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高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第10讲 立体几何与空间向量
立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一大”或“两小一大”的格局．多以选择题或者填空题的形式考查外接球问题以及空间内点线面的关系为主，空间几何体的体积或表面积的计算.
从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点．高考主要考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，主要为解答题，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.
1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021年天津高考数学试题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021年全国新高考II卷数学试题）正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022年高考天津卷（回忆版）数学真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
9．（2022年北京市高考数学试题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
11．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A． B．AB与平面所成的角为
C． D．与平面所成的角为
12．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
13．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022年全国新高考I卷数学试题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A． B． C． D．
16．（2021年全国新高考II卷数学试题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
17．（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022年全国新高考II卷数学试题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
20．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
21．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期高考适应性测试数学试题）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
22．（陕西省榆林市2023届高三下学期二模文科数学试题）已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为的等边三角形，若三棱锥体积的最大值是，则球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
23．（河南省2023届普通高中毕业班高考适应性考试文科数学试题）如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面
B．
C．直线MN与平面ABCD所成的角为60°
D．异面直线MN与所成的角为45°
24．（四川省乐山市2023届高三下学期第二次调查研究考试数学（理）试题）在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
25．（宁夏银川市2023届高三教学质量检测数学（文）试题）正方体中，E为中点，O是AC与BD的交点，以下命题中正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．上平面 D．直线与直线所成的角是60°
26．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一）数学试题）正方体的棱长为3，E，F分别是棱，上的动点，满足，则（ ）
A．与垂直
B．与一定是异面直线
C．存在点E，F，使得三棱锥的体积为
D．当E，F分别是，的中点时，平面截正方体所得截面的周长为
27．（吉林省延边州2023届高三统考二模数学试题）如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（ ）
A．若G为线段AE的中点，则平面CEF
B．
C．的最小值为48
D．点B到平面CEF的距离为
28．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期高考适应性测试数学试题）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．平面ABCD
C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等
29．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（六））如图，正方体的棱长为4，是上一点，，是正方形内一点（不包括边界），若，则（ ）
A．对任意点，直线与直线异面 B．存在点，使得直线平面
C．直线与所成角的最大值为 D．的最小值为5
30．（浙江省嘉兴市平湖市2023届高三下学期3月模拟数学试题）已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段的长为
B．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
C．三棱锥的体积为
D．设为球上任意一点，则与所成角的范围是
31．（河南省开封高级中学2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（一）试题）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为__________.
32．（北京市门头沟区2023届高三综合练习（一）数学试题）在正方体中，棱长为，已知点、分别是线段、上的动点（不含端点）.
①与垂直；
②直线与直线不可能平行；
③二面角不可能为定值；
④则的最小值是.
其中所有正确结论的序号是___________.☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第10讲 立体几何与空间向量
立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一大”或“两小一大”的格局．多以选择题或者填空题的形式考查外接球问题以及空间内点线面的关系为主，空间几何体的体积或表面积的计算.
从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点．高考主要考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，主要为解答题，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.
1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选：B.
2．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
3．（2021年天津高考数学试题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
4．（2021年全国新高考II卷数学试题）正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
故选：D.
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
6．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，
所以，
又，则，
所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故选：C.
7．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为，则，
当且仅当即时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，
(当且仅当，即时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高.
故选：C．
8．（2022年高考天津卷（回忆版）数学真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，则,
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为
则
则该几何体的体积为.
故选：D.
9．（2022年北京市高考数学试题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
而三角形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为
故选：B
10．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A
【详解】解：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；
对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；
故选：A.
11．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A． B．AB与平面所成的角为
C． D．与平面所成的角为
【答案】D
【详解】如图所示：
不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．
对于A，，，，A错误；
对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；
对于C，，，，C错误；
对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．
故选：D．
12．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【详解】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
13．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
14．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
15．（2022年全国新高考I卷数学试题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
16．（2021年全国新高考II卷数学试题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：.
故选：C.
17．（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】设正方体的棱长为，
对于A，如图（1）所示，连接，则，
故（或其补角）为异面直线所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A错误.
对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确.
对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，
故，故C正确.
对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，
则，
因为，故，故，
所以或其补角为异面直线所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误.
故选：BC.
18．（2022年全国新高考II卷数学试题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
19．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则 ，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面，平面，则，
因为 ，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.
故选：ABD
20．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
【答案】BD
【详解】
易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．
故选：BD．
21．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期高考适应性测试数学试题）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图．沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如下图所示：
则即为的周长的最小值，又因为，
所以，在中，，由勾股定理得：
．
故选：C．
22．（陕西省榆林市2023届高三下学期二模文科数学试题）已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为的等边三角形，若三棱锥体积的最大值是，则球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设外接圆的半径为，则，
设球的半径为，当三棱锥的高最大时，体积取最大值，高的最大值.
所以，即，解得.
故球的表面积是．
故选：A.
23．（河南省2023届普通高中毕业班高考适应性考试文科数学试题）如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面
B．
C．直线MN与平面ABCD所成的角为60°
D．异面直线MN与所成的角为45°
【答案】C
【详解】在正方体中，取棱中点，连接，
因为M，N分别为AC，的中点，则，
因此四边形为平行四边形，则平面，
平面，所以平面，A正确；
因为平面，则，所以，B正确；
显然平面，则是与平面所成的角，又，
有，由于，所以直线MN与平面ABCD所成的角为，C错误；
因为，，则是异面直线MN与所成的角，显然，D正确.
故选：C
24．（四川省乐山市2023届高三下学期第二次调查研究考试数学（理）试题）在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，取的中点，连接，
在菱形中，，则都是等边三角形，
则，
因为平面平面，
所以即为二面角的平面角，
因为，所以，即，
所以平面平面，
如图，设点为的外接圆的圆心，则在上，且，
设点为三棱锥的外接球的球心，则平面
外接球的半径为，设，
则，解得，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：B.
25．（宁夏银川市2023届高三教学质量检测数学（文）试题）正方体中，E为中点，O是AC与BD的交点，以下命题中正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．上平面 D．直线与直线所成的角是60°
【答案】C
【详解】在正方体中，对角面是矩形，则，直线与平面相交，
因此与平面不平行，A错误；
平面，平面，则，又，，平面，
则有平面，而平面，有，同理，
平面，于是平面，因为平面平面，因此不垂直于平面，B错误；
令，E为中点，O是AC与BD的交点，则，
，，
即，有，又，为的中点，则，
面，因此平面，C正确；
取中点，连接，因为E为中点，则四边形为平行四边形，
于是，四边形为平行四边形，即，
则为直线与直线所成的角或其补角，由选项C知，，，
因此，不是，D错误.
故选：C
26．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一）数学试题）正方体的棱长为3，E，F分别是棱，上的动点，满足，则（ ）
A．与垂直
B．与一定是异面直线
C．存在点E，F，使得三棱锥的体积为
D．当E，F分别是，的中点时，平面截正方体所得截面的周长为
【答案】ACD
【详解】如图建立空间直角坐标系，设，
则，
A：由题可得，所以,
所以，即，故A正确；
B：当E，F为中点时，，所以，B，D，F，E四点共面，此时与不是异面直线，故B错误；
C：由，可得，
则，由于，故C正确；
D：直线与分别交于，连接分别交，于点M，N，
则五边形为平面截正方体所得的截面，
因为E，F分别是，的中点，
所以易得，故可得，
因为，所以，
可得，同理可得，所以五边形的周长为，故D正确.
故选：ACD.
27．（吉林省延边州2023届高三统考二模数学试题）如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（ ）
A．若G为线段AE的中点，则平面CEF
B．
C．的最小值为48
D．点B到平面CEF的距离为
【答案】ABD
【详解】因为BDEF是矩形，所以，
又矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD相交于BD，
且平面BDEF，所以平面ABCD，
而AD，平面ABCD，所以，，
而ABCD是正方形，所以，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
对于A，，，
当G为线段AE的中点时，，得，
设平面CEF的一个法向量为，
有，
因为，平面CEF，则平面CEF，故A正确；
对于B，，，
所以，故B正确；
对于C，设，则，
得有最小值44，故C错误；
对于D，，，
所以点B到平面CEF的距离为，故D正确.
故选：ABD..
.
28．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期高考适应性测试数学试题）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．平面ABCD
C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等
【答案】ABC
【详解】对于A选项，连接、，
因为四边形为正方形，则，
平面，平面，，
平面，，
所以平面，
因为平面，因此，A选项正确；
对于B选项，因为平面平面，平面，
所以平面，B选项正确；
对于C选项，因为的面积为，
点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，C选项正确；
对于D选项，设，取的中点，连接、，
由A选项可知，平面，即平面，
平面，则，
因为且，故四边形为平行四边形，
则且，
因为、分别为、的中点，故且，
所以四边形为平行四边形，
平面，平面，所以，
故四边形为矩形，所以，
平面，所以平面，
平面，，，
所以，D选项错误.
故选：ABC.
29．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（六））如图，正方体的棱长为4，是上一点，，是正方形内一点（不包括边界），若，则（ ）
A．对任意点，直线与直线异面 B．存在点，使得直线平面
C．直线与所成角的最大值为 D．的最小值为5
【答案】ACD
【详解】对于A，连接，因为，，所以，即，
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的四分之一（不含边界），则直线与直线异面，故A正确；
对于B，过点作，垂足为，则，设为上一点，且，
连接，则，连接，
又平面，平面，所以平面，平面，平面，所以平面，
因为平面，则平面平面，
因为到的距离为3，大于2，所以直线与圆相离，所以不存在点，使得直线平面，故B错误；
对于C，因为，所以即直线与所成的角，当与圆相切时，最大，此时 ，得，
所以直线与所成角的最大值为，故C正确；
对于D，连接，
易知，显然当最小时，最小，连接交圆于点，当与重合时最小，最小值为，故5，故D正确.
故选：ACD.
30．（浙江省嘉兴市平湖市2023届高三下学期3月模拟数学试题）已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段的长为
B．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
C．三棱锥的体积为
D．设为球上任意一点，则与所成角的范围是
【答案】BC
【详解】过，，三点的截面为正六边形，球心为其中心，如图，
在正六边形中，，点到的距离为，，
所以，故A错误；
正六边形的面积，故B正确； ，故C正确；
、、为球的切线，故当为中点时，与所成角最小为0，
，所以，
当与球相切且P在平面OAC内时，与所成角最大为，故D错误.
故选：BC.
31．（河南省开封高级中学2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（一）试题）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为__________.
【答案】
【详解】
过C作面于H，
则三棱锥的体积为，所以，
取AD中点M，连接CM，MH，
因为为等边三角形，所以，
又面，面，所以，
又，所以面，
面，所以，
在中， 所以
以AB，AD为轴，垂直于AB，AD方向为轴，建立如图所示空间坐标系，
设球心，在面的投影为，
由得，
所以N为的外接圆圆心，所以N为斜边的中点，故设
由得，解得，
所以，
故外接球的表面积为，
故答案为：
32．（北京市门头沟区2023届高三综合练习（一）数学试题）在正方体中，棱长为，已知点、分别是线段、上的动点（不含端点）.
①与垂直；
②直线与直线不可能平行；
③二面角不可能为定值；
④则的最小值是.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①④
【详解】对于①，因为，则、、、四点共面，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，①对；
对于②，当、分别为、的中点时，，
又因为，此时，②错；
对于③，因为、，平面即为平面，平面即为平面，
所以，二面角即为二面角，
而二面角为定值，
故二面角为定值，③错；
对于④，因为平面，平面，则，同理可得，
因为，同理可得，，
将和延展至同一平面，如下图所示：
在中，，，
因为，，，所以，，
所以，，故，
所以，，
当时，取最小值，且最小值为，④对.
故答案为：①④.

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