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第1章 有理数 解答题训练
1．计算：
(1)；
(2) ；
(3) ；
(4)．
2．有个填写运算符号的游戏：在“1□3□6□7”中的每个□内，填入“+，﹣，×，÷”中的某一个（可重复使用）．然后计算结果．
(1)计算：1+3﹣6﹣7．
(2)若1÷3×6□7＝﹣5，请推算□内的符号．
(3)在1□3□6﹣7的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
3．把下列各数在数轴上表示，并用“＜”号把它们连接起来．
4，，|﹣1.5|，0．
4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里．
1，0.0708，-700，-3.88，0，3.14159265，，．
正整数集合：{ 　　　　　…}， 负整数集合：{　　　　　 …}，
整数集合：{　　　　　 …}， 正分数集合：{　　　　 …}，
负分数集合：{　　　　　　 …}，分数集合：{ 　　　　　…}，
非负数集合：{　　　　　　 …}，非正数集合：{ 　　　　　…}．
5．一只蚂蚁从点出发，在一条直线上来回爬行．假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则蚂蚁爬过的各段路程依次为（单位：cm）：
，，，，，，．
(1)蚂蚁最后是否回到了出发点？
(2)蚂蚁距离出发点最远时是第 次．
(3)在爬行过程中，如果每爬行1cm奖励一粒糖，那么蚂蚁一共可以得到多少粒糖？
6．7箱橘子，标准质量为每箱15千克，每箱与标准质量差值如下（单位：千克，超过的用正数表示，不足的用负数表示）：0.3，，0.25，，，1.1，．
(1)称得总质量与总标准质量相比超过或不足多少千克？
(2)7箱橘子共有多少千克？
7．张老师把七（2）班第三组五名同学的成绩简记为：+10，-5，0，+8，-3，又知道记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分．
(1)请你写出这五名同学的实际成绩．
(2)求这五名学生平均成绩．
8．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值 （单位：g） ﹣5 ﹣2 0 1 3 6
袋数 1 4 3 4 5 3
(1)样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？
(2)标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少克？
9．阅读下列材料：计算．
解法一：原式＝＝550．
解法二：原式＝＝50÷＝50×6＝300．
解法三：原式的倒数为
＝．
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题：
计算：．
10．璧山枫香湖儿童公园享誉重庆，今年“十一”黄金周期间，外地游客纷纷前来旅游打卡．据统计，在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化（单位：万人） 5 1.6 0.4 ﹣1 2 ﹣2.4 ﹣1.1
已知9月30日的游客人数为1万人，请回答下列问题．
(1)七天内游客人数哪天最多？哪天最少？分别是多少？它们相差多少万人？
(2)求这7天平均每天的游客人数是多少万人．
11．如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5、b、4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．
(1)在图1的数轴上，AC＝　　个长度单位；在图2中，AC＝　 　cm；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的　 　cm；
(2)求在数轴上点B所对应的数b；
(3)若点Q是数轴上一点，且满足AQ＝2AB，通过计算，求点Q所表示的数．
12．假设股市双休日不休市，刘明上周末买进某只股票200股，每股38元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）
星期 一 二 三 四 五 六
每股涨跌 +2.1 +1.5 ﹣2 ﹣1 +3.8 ﹣2.4
(1)星期三收盘时，每股是多少元？
(2)本周内最高价是每股多少元？最低每股多少元？
(3)已知买进股票时付了2‰的手续费，卖出时需付成交额2‰的手续费和1%的交税，刘明周六收盘前全部卖出股票获利多少？
如果a，b互为倒数，c，d互为相反数，且m的绝对值是2，求代数式2ab﹣（c+d）﹣m的值．
14．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如：数时，都是“共生有理数对”．
(1)判断数对是不是“共生有理数对”，写出过程；
(2)若是“共生有理数对”，求a的值；
(3)若是“共生有理数对”，则______“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；说明理由；
15．2022年新冠肺炎疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
超减产量/个 ＋5 －2 －4 ＋13 －9 ＋16 －8
(1)根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩______个；
(2)根据表格记录的数据可知，小王本周实际生产口罩数量为______个；
(3)若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.8元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.2元；若完不成每周的计划量，则少生产一个扣0.25元，小王这一周的工资总额是多少元？
(4)若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.8元．若超额完成每日计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.2元；若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.25元，小王这一周的工资总额是多少元？
若（x+3）2与|y﹣2|互为相反数．求xy的值．
17．材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．问题：
(1)计算以下各对数的值：______，______，______；
(2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为______；、、之间又满足怎样的关系式：______；
(3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？______（且，，）．
18．动脑筋、找规律．邱老师给小明出了下面的一道题，如图，请根据数字排列的规律．探索下列问题：
(1)在B处的数是正数还是负数？
(2)负数排在 ，，， 中的什么位置？
(3)第 个数是正数还是负数？排在对应于 ，，， 中的什么位置？
19．规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得（a+2）×2﹣b，即a※b＝（a+2）×2﹣b，例如：3※5＝（3+2）×2﹣5＝10﹣5＝5，根据上面规定解答下题：
(1)求7※（﹣3）的值；
(2)7※（﹣3）与（﹣3）※7的值相等吗？
20．阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2． 表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；
(1)初步认知：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D 【A，B】的好点， 【B，A】的好点（请在横线上填是或不是）．
(2)知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4．
在M点的左边是否存在【N，M】的好点，如果有，请求出【N，M】的好点所表示的数是多少；如果没有，请说明理由．
(3)深入探究：A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为2，在点B的左边有一点P，当点P表示的数是多少时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
参考答案：
1．(1)1
(2)
(3)
(4)0
【分析】（1）根据有理数加减法计算即可；
（2）根据乘法分配律分别计算后，利用有理数加减法计算即可；
（3）根据有理数乘除法运算法则计算即可；
（4）根据乘方运算、有理数乘法运算及有理数加减法分别计算即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
；
（3）
解：
；
（4）
解：
．
【点评】本题考查有理数的混合运算，涉及到有理数加法运算、减法运算、乘法运算、除法运算、乘方分配律及乘方运算，熟练掌握相关运算法则及运算顺序是解决问题的关键．
2．(1)-9
(2)-
(3)-24
【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）根据有理数混合运算的法则计算后可得2□7＝﹣5，然后根据有理数减法运算法则得出答案；
（3）根据减法运算中减数越大结果越小求解即可．
（1）
解：原式＝1+3+（﹣6）+（﹣7）
＝4+（﹣6）+（﹣7）
＝﹣2+（﹣7）
＝﹣9；
（2）
解：在1÷3×6□7＝﹣5中，没有小括号和乘方运算，
所以先算乘除，可得：1××6□7＝﹣5，
∴2□7＝﹣5，
根据有理数减法运算法则可推算，□内的符号为：“﹣”；
（3）
由题意算式的开头1是定值，结尾是减去7，
∵减法运算中减数越大结果越小，
∴计算所得数最小时，为1﹣3×6﹣7＝﹣24，
即两个方框的符号分别为“﹣”和“×”时，算式结果最小为﹣24．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
3．
【分析】首先在数轴上表示各数，然后再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”连接即可．
【详解】解：|﹣1.5|＝1.5，
如图所示：
，
∴﹣＜0＜|﹣1.5|＜4．
【点评】此题主要考查了数轴和有理数比较大小，正确在数轴上表示出各数是解题关键．
4．见解析
【分析】根据有理数的分类填写即可．
【详解】解：正整数集合：{1…}；
负整数集合：{-700…}；
整数集合：{1，-700，0…}；
正分数集合：{0.0708，3.14159265，；…}；
负分数集合：{ -3.88，…}；
分数集合：{0.0708，3.14159265，，-3.88，…}；
非负数集合：{1，0.0708，3.14159265，0，…}；
非正数集合：{-700，-3.88，0，…}．
【点评】本题考查了有理数的知识，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
5．(1)蚂蚁最后回到了出发点
(2)三
(3)52
【分析】（1）根据正负数和有理数加减混合运算的性质分析，即可得到答案；
（2）结合题意，根据绝对值和有理数加减运算的性质分析，即可得到答案；
（3）根据有理数加法和乘法的性质计算，即可得到答案．
（1）
解：∵cm，
∴蚂蚁最后回到出发点；
（2）
第一次爬行距离原点O是5cm，
第二次爬行距离原点O是cm，
第三次爬行距离原点O是cm，
第四次爬行距离原点O是cm，
第五次爬行距离原点O是cm，
第六次爬行距离原点O是cm，
第七次爬行距离原点O是cm，
∴蚂蚁距离出发点最远时是第三次．
故答案为：三；
（3）
蚂蚁爬行的总路程为cm，
∴粒，即蚂蚁一共得到52粒糖．
【点评】本题主要考查了有理数的知识，解题的关键是熟练掌握正负数、绝对值、有理数加减运算、有理数乘法运算的性质．
6．(1)0.65
(2)104.35
【分析】（1）由题意将记录的数据相加，用有理数的加法法则即可求解；
（2）将标准质量与（1）中的变差质量进行相加或相减即可得到答案．
（1）
解：∵ （千克），
故称得总质量与总标准质量相比不足0.65千克
（2）
∵ （千克），
故7箱橘子共有104.35千克．
【点评】本题主要考查了有理数加法的实际应用，明确题意，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键．
7．(1)100分，85分，90分，98分，87分
(2)92分
【分析】(1)分别用每人的记分加上90即可算出五名同学的分数；
(2)用五名同学的记分的平均数加上90即可求得．
（1）
解：+10+90=100(分)，
-5+90=85(分)，
0+90=90(分)，
+8+90=98(分)，
-3+90=87(分)，
故这五名同学的实际成绩分别为：100分，85分，90分，98分，87分；
（2）
解：这五名同学的平均成绩为：
(+10-5+0+8-3)÷5+90=92(分)，
故这五名同学的平均成绩为92分．
【点评】此题考查了正数和负数的应用、有理数加减混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
8．(1)样品的平均质量比标准质量多，多克
(2)9024克
【分析】（1）根据表格，将20袋的与标准质量的差值相加，再除以20即可得；
（2）根据表格，将20袋的与标准质量的差值相加，再加上标准总质量即可得．
（1）
解：
，
答：样品的平均质量比标准质量多，多克．
（2）
解：
，
答：抽样检测的总质量是9024克．
【点评】本题考查了正负数在生活中的应用、有理数加减乘除运算的应用，正确列出运算式子，熟练掌握运算法则是解题关键．
9．一；
【分析】根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案；
根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案．
【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误；
故答案为：一．
原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查了有理数的除法，先算括号里面的，再算有理数的除法，注意没有除法分配律．
10．(1)5日游客最多，7日游客最少，分别为9万人、5.5万人，相差3.5万人
(2)7.1万人
【分析】（1）根据正负数的意义分别求出每天的人数，再比较即可；
（2）用7天的人数相加，再除以7即可．
（1）
假期中每天的游客人数分别为：
1日：1+5＝6（万人），
2日：6+1.6＝7.6（万人），
3日：7.6+0.4＝8（万人），
4日：8﹣1＝7（万人），
5日：7+2＝9（万人），
6日：9﹣2.4＝6.6（万人），
7日：6.6﹣1.1＝5.5（万人），
相差：9﹣5.4＝3.5（万人），
所以，5日游客最多，7日游客最少，分别为9万人、5.5万人，相差3.5万人；
（2）
，
所以，这7天平均每天的游客人数是7.1万人．
【点评】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算，解答此题的关键是理清正数与负数的意义．
11．(1)9，5.4，0.6；
(2)；
(3)1或．
【分析】（1）根据图1和图2中的数据可直接得出答案；
（2）求出AB在数轴上的距离，即可得出答案；
（3）求出AQ＝6，然后分情况求解即可．
（1）
解：由图1可得AC＝4﹣（﹣5）＝9，由图2可得AC＝5.4cm，
∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为：cm，
故答案为：9，5.4，0.6；
（2）
由图2得：AB＝1.8cm，
∴AB在数轴上的距离为个单位长度，
∴在数轴上点B所对应的数b＝﹣5+3＝﹣2；
（3）
∵AQ＝2AB，AB＝3，
∴AQ＝6，
∵点A所表示的数为﹣5，
∴点Q表示的数为－5＋6＝1或－5－6＝－11．
【点评】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键．
12．(1)39.6元
(2)周内每股最高价42.4元，每股最低价38.6元
(3)288.8元
【分析】（1）根据正负数的意义相加计算即可得解；
（2）根据表格数据判断出周二时最高，周五时最低，然后分别计算即可得解；
（3）根据题意推出周五收盘前的每股价格，然后计算出1000股的总价，再减去所缴纳的手续费，即为周五收盘前将股票全部卖出的收益．
（1）
由题意可得，周三股票涨跌为，+2.1+1.5﹣2＝+1.6，
即周三每股是38+1.6＝39.6（元）；
（2）
周一每股：38+2.1＝40.1（元），
周二每股：40.1+1.5＝41.6（元），
周三每股：41.6﹣2＝39.6（元），
周四每股：39.6﹣1＝38.6（元），
周五每股：38.6+3.8＝42.4（元），
周六每股：42.4﹣2.4＝40（元），
周内每股最高价42.4元，每股最低价38.6元；
（3）
周一购进是花费为：38×200+38×200×2‰＝7615.2（元），
周六卖出时获得总金额为：40×200﹣40×200×2‰﹣40×200×1%＝7904（元），
全部卖出股票获利：7904﹣7615.2＝288.8（元）．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
13．0或4
【分析】利用倒数，相反数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，且m的绝对值是2，
∴ab＝1，c+d＝0，m＝2或﹣2，
当m＝2时，原式＝2﹣0﹣2＝0；
当m＝﹣2时，原式＝2﹣0+2＝4，
则代数式的值为0或4．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
14．(1)不是共生有理数对，是共生有理数对，过程见解析；
(2)；
(3)是，理由见解析．
【分析】（1）先计算，然后根据“共生有理数对”的定义可以判断是不是共生有理数对；
（2）根据新定义可得到一个关于a的一元一次方程，再解方程即可；
（3）根据共生有理数对的定义对变形即可判断．
（1）
，，，故不是共生有理数对；
，，故是共生有理数对．
（2）
由题意得：，解得．
（3）
是，理由如下：
，，
∵（m，n）是“共生有理数对”，
∴m－n＝mn＋1，
∴－n＋m＝mn＋1，
∴（－n，－m）是“共生有理数对”．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
15．(1)291
(2)2111
(3)1691元
(4)1689.85元
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；
（2）根据题意和表格中的数据，本周生产个数=2100+增减产量，即可求得；
（3）根据题意和表格中的数据，本周收入=本周生产个数×0.8＋增产个数×0.2，即可解得；
（4）根据题意和表格中的数据，本周收入=生产个数×0.8＋每天增产个数×0.2－每天减产个数×0.25，即可解得．
（1）解：小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），故答案为：291；
（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）故答案为：2111个；
（3）（元）答：小王这一周的工资总额是1691元．
（4）（元）答：小王这一周的工资总额是1689.85元．
【点评】此题考查有理数的混合运算和正负数的意义，本题是实际生活中常见的一个表格，它提供了多种信息，但关键是从中找出解题所需的有效信息，构造相应的数学模型来解决问题．
16．9
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，
∴（x+3）2+|y﹣2|＝0，
∴x+3＝0且y﹣2＝0，
∴x＝﹣3，y＝2，
∴xy＝（﹣3）2＝9；
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
17．(1)2、4、6
(2)，
(3)
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，；
（3）由特殊到一般，得出结论：．
（1）
∵，，，
∴，，，
故答案为：2、4、6；
（2）
4×16=64，
由题意可得：，，，
∴，
故答案为：4×16=64，；
（3）
由（2）易知，
故答案为：．
【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
18．(1)负数
(2)B、D
(3)D
【分析】（1）根据题目给出的数据，可以发现向右箭头对应的数是负数，从而可以得到在B处的数是正数还是负数；
（2）根据题目给出的数据，可以发现向右箭头对应的数是负数，从而可以得到负数排在A，B，C，D中的什么位置；
（3）根据题目给出的数据，可以发现4的整数倍都在A的位置，从而可以得到第2023个数排在对应于A，B，C，D中的什么位置．
（1）
∵B是向右箭头的对应的数，与-5的符号相同，
∴在B处的数是负数；
（2）
∵向右箭头对应的数是负数，
∴B和D的位置是负数；
（3）
∵2023÷4=505 3，
∴第2023个数排在D的位置．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出各个位置相应的数据．
19．(1)21
(2)不相等
【分析】（1）把所给定义式中的a换成7、b换成﹣3代入计算即可．
（2）根据（1）中所给的定义先分别计算出7※（﹣3）与（﹣3）※7的值，然后比较计算结果即可．
（1）
解：7※（﹣3）＝（7+2）×2﹣（﹣3）＝9×2+3＝21
（2）
解：不相等．理由是：
∵7※（﹣3）＝（7+2）×2﹣（﹣3）＝9×2+3＝21，（﹣3）※7＝（﹣3+2）×2﹣7＝﹣2﹣7＝﹣9，
即：21≠﹣9
∴7※（﹣3）与（﹣3）※7的值不相等．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义、运算顺序．
20．(1)不是；是
(2)-8
(3) 16； 10； 7； 2； 1；0
【分析】（1）根据好点的定义代入求解即可判断；
（2）设在M点的左边【N，M】的好点对应的点为x，分别求出此点到点N和点M的距离，列出等式进行求解即可；
（3）设点P所对应的点为m，分情况讨论即可．
（1）
解：∵点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，
∴点D到点B的距离是点D到点A的距离的2倍，即点D是【B，A】的好点，不是【A，B】的好点．
故答案为：不是；是．
（2）
解：存在，理由如下：
设在M点的左边【N，M】的好点Q对应的数为x，
∵点M所表示的数为 2，点N所表示的数为4，
∴点Q到点M的距离为 2 x，点Q到点N的距离为4 x，
∵点Q是【N，M】的好点，
∴点Q到点N的距离是点Q到点M的距离的2倍，即4 x＝2（ 2 x），
解得：x＝ 8，
∴【N，M】的好点所表示的数是-8．
（3）
解：设点P所对应的点为m（m＜2），分以下几种情况：
∵点A所表示的数为 4，点B所表示的数为2，
∴AP＝|m＋4|，BP＝|m 2|，|AB|＝6；
①点P是【A，B】的好点，
∴|m＋4|＝2|m 2|，解得m＝0或m＝8（舍）；
②点P是【B，A】的好点，
∴2|m＋4|＝|m 2|，解得m＝ 10或m＝ 2；
③点A是【B，P】的好点，
∴6＝2|m＋4|，解得m＝ 1或m＝ 7；
④点A是【P，B】的好点，
∴|m＋4|＝2×6，解得m＝8（舍）或m＝ 16；
⑤点B是【A，P】的好点，
∴6＝2|m 2|，解得m＝ 1或m＝5（舍）；
⑥点B是【P，A】的好点，
∴|m 2|＝2×6，解得m＝14（舍）或m＝ 10；
综上分析可知，点P表示的数是 16； 10； 7； 2； 1；0．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是理解好点的定义，找到合适的等量关系列出方程，注意由好点的定义有不止一种情况，要注意分类讨论，第三问要考虑全面．

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