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微专题16 立体几何经典题型精练
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE.
(1)求证：E为棱SC的中点；
(2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.
【解析】（1）连AC交BD于F，连EF．
∵ABCD是平行四边形，∴
∵直线平面BDE，面PAC，面面，
∴，由是中点，
∴E为棱SC的中点；
（2）取DC中点O，OC中点G，连SO，OF，GE，BG
∵侧面SCD满足，不妨设
∴，
∵平面平面ABCD，平面平面
∴平面ABCD，又平面ABCD，故，
∵
∴
∵ ∴ ，∴，又，平面，
∴平面
∴是二面角的平面角
∴，又，
∴∴∴
∴∴
∴，∵
∴，∴平面ABCD
∴为直线EB与平面ABCD所成的角
，即直线EB与平面ABCD所成的角的正切值为
例2．（2023·浙江·三模）如图，四面体的棱平面，．
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成锐二面角的正切值为，线段与平面相交，求平面与平面所成锐二面角的正切值．
【解析】(1)
作于M，连接，则，，则，
则，故．又，则，又，平面，故平面，
又平面，则平面平面．
(2)
作于G，于H，由（1）知，又，平面，则平面，
又平面，则，又，同理可得平面，，则三点共线．
由平面与平面所成锐二面角的正切值为，则，又，则．又，
则，，则．延长交于点N，连接，作于K，
易得，又，平面，则平面，又平面，则，
则平面与平面所成锐二面角即．又，则，又，则，
故，故．
例3．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）如图（1），在正方形中，、、分别为、、的中点，点在对角线上，且，将、、分别沿、、折起，使、、三点重合（记为），得四面体（如图（2）），在图（2）中.
(1)求证：平面；
(2)在上，求一点，使二面角的大小为.
【解析】（1）在图（1）中，连接，设，S为的中点，连接、，，，而分别是的中点，则，，于是，
又，则为的中点，也为的中点.
在图（2）中，的中点为，连接，又为的中点，∴
∵不在平面内，在平面内，∴平面.
（2）由题意知，在图（2）中，直线、、两两互相垂直，且相交于一点.
∴以为原点，分别以直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
设正方形的边长为，则，，，，，，，
设，
∴，
设平面的一个法向量为，则得，得，取，得，∴，
又知平面的一个法向量为，∴，即，即，
解得.
∴所求的点在上靠近的三等分点处.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知梯形，现将梯形沿对角线向上折叠，连接，问：
(1)若折叠前不垂直于，则在折叠过程中是否能使？请给出证明；
(2)若梯形为等腰梯形，，折叠前，当折叠至面垂直于面时，二面角的余弦值．
【解析】（1）假设折叠过程中能使．
折叠前，假设，E为垂足，连，则与不垂直．①
折叠后，若，又与是平面内的相交直线，
故平面，又平面，从而有，
故折叠前也应有②.显然，①与②矛盾．故假设不能成立．
即折叠过程中不能使．
（2）设折叠前与的交点为F，则由题意易知．
折叠前，在梯形内过B做，垂足为G，
则．
折叠后，因为面垂直于面，而，所以．
所以，
又和是平面内的相交直线，所以平面．所以．
解法①：过点C在平面内作，H为垂足，连接，
又，则平面，又平面，所以，
故即为二面角的平面角．
在中，，
所以，又，则
得，又，
所以，
即二面角的余弦值为．
解法②：以F为原点，分别以FD、FC、FB为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
则．
于是，，
设平面的一个法向量为，则
则，令，则，则，
设平面的一个法向量，则
则，令，则，则，
记二面角的平面角为，
则．
又观察发现二面角为钝角，故二面角的余弦值为．
例5．（2023秋·福建福州·高三福建省福州格致中学校考阶段练习）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.
(1)求证：；
(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.
【解析】（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以，
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面平面.
所以
（2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知，
所以，所以在中，就是异面直线与所成的角.
因为异面直线与所成角的正切值为，
所以，即
又平面平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以
所以在平面中，过点A作的平行线即为直线l.
以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设.
因为为正三角形所以，从而
由已知E，F分别是的中点，所以
则，所以，
所以，
因为，所以可设，平面的一个法向量为，
则，取，得，
又，则.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的取值范围为.
例6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，几何体中，均为正三角形，四边形为正方形，平面，，M，N分别为线段与线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）设P,Q在平面ABCD上的射影分别为G,H,
取中点E，连，由于均为正三角形，
故 ,而 ，故 平面PGE,
平面PGE,故,
即G点在AD的垂直平分线上，同理可证H在BC的垂直平分线上，
由于四边形为正方形，故EN垂直平分AD,BC,
故G,E,N,H在一条直线上，
因为平面，则 ,
故四边形为平行四边形，则 ,
则 ;
延长于F使得，连，延长交于O，连，
取中点J，连结，则四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，则 ,∴，
即 ,故 ,
故,
∴四边形为平行四边形.，
∴，又∵平面，平面，
∴平面.
（2）由（1）得，四边形是平行四边形，，
∵均为正三角形，E为中点.∴
又∵，∴面.
∴面面
∵在四边形中且，∴,
又∵面面面，∴面,
方法一：（等体积法）
∵，∴直线与平面所成角等于与平面所成角,
∵，，，,
设F到平面的距离为d，∴，
设与平面所成角为，∴；
方法二：（向量法）
连接，以为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由于 ,
故，
于是，
则，
设平面的法向量为，则 ，
得法向量的一个解为，
所以直线与面所成角.
【过关测试】
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图四棱锥在以为直径的圆上，平面为的中点，
(1)若，证明：⊥；
(2)当二面角的正切值为时，求点到平面距离的最大值.
【解析】（1）记AC的中点为O，连结，则O为圆心，
又E为SC的中点，所以EOSA，
因为平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，
连接，取连接OD并延长，交于点，
因为，所以，
由对称性可知AB=AD，故为等边三角形，
又因为O为的外心，所以O为的中心，故，
∵平面，平面ABCD，
，
∵，平面，
∴⊥平面，
∵平面EOD，
.
（2）过点D作于，作于，连接，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以SA⊥DH，
因为，平面ASC，
所以DH⊥平面ASC，
因为平面SAC，
所以DH⊥SC，
因为，，平面DHN，
所以SC⊥平面DHN，
因为DN平面DHN，
所以，
故为二面角的平面角，
因为，所以，故为等边三角形，
由题意知，
，，
，
，
在Rt中，，
，
∵三角形ASC为直角三角形，
∴三角形ASC为等腰直角三角形，
，
又由，
由勾股定理得：，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以SA⊥DC，
因为AC为直径，所以AD⊥DC，
因为，平面ASD，
所以DC⊥平面ASD，
因为平面ASD，
所以DC⊥SD，
，
由于点在半圆弧上运动，当位于线段中垂线上时，的面积取得最大值，
且最大值为，
设点到平面距离为，
根据，
即点到平面距离的最大值为.
2．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）在四棱锥中，，，，，平面平面.
(1)证明：；
(2)若是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的大小.
【解析】（1）取AD中点为O，AB中点为F，连接OS，OF，DF，
，
，
平面平面，且平面平面，
平面，
，
在四边形ABCD中，，，
四边形ABCD为直角梯形，
，
，
，，
四边形BCDF为正方形，
且，
在中，，
在中，，
，
，
，平面SAD，平面SAD，
平面SAD，
平面SAD，
；
（2）、F为AD、AB的中点，
，且，
由（1）知，
，
以O为原点，OA、OF、OS分别为x、y、z轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则， ，，
设，，
则，
设，
则，
则，则，
则，
设平面SAD的一个法向量为，
则，
令，则，
设平面ADE的一个法向量为，
则，
令，则，
二面角的余弦值为，
，
，即，
，
，
，解得：，
故.
3．（2023秋·河南开封·高三统考期末）如图,在四棱锥中,平面,平面,底面为矩形,点在棱上,且与位于平面的两侧.
(1)证明:平面;
(2)若,,,试问在线段上是否存在点,使得与的面积相等？若存在,求到的距离;若不存在,说明理由.
【解析】（1）证明:因为平面,
平面,
所以,
因为平面,平面,
所以平面,
因为底面为矩形,
所以,
因为平面,平面,
所以平面,
因为,
且平面,平面,
所以平面平面,
又因为平面,
所以平面;
（2）设线段上存在点使得与的面积相等,
过作,垂足为,
因为平面,
所以,
故,
所以,
故,
因为,
所以,
过作,垂足为,连接,
过作,垂足为,连接,如图所示:
因为底面,,
所以底面,
所以,
又,,
所以平面,
因为平面
则,
同理可得,
因为与的面积相等,
所以,
在中,根据等面积法可得,
则,
设,,
则,
因为,
所以,
所以,
因为,
所以,
所以,
整理得,
因为,所以,
故存在,且到的距离为.
4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.
(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：.
(2)若，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.
【解析】（1）因为在三棱锥中，平面PBC，，
所以易得两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，故，
不妨设，，则，，
所以，即，
所以，，，
要证，只需证不是直线与的公垂线即可，
假设是直线与的公垂线，则，
故，即，
整理得，消去，得，即，
所以，不满足，故假设不成立，
所以.
.
（2）不妨设，则，
由（1）得，，，
因为，所以，则，
所以，
不妨设是直线与的公共法向量，
所以，令，则，，故，
设线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为，
则，
因为，
所以，即线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为.
5．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且.将沿着DE折起，形成四棱锥，其中点A对应的点为点P，如图2.
(1)在图2中，在线段PB上是否存在一点F，使得∥平面PDE？若存在，请求出的值，并说明理由；若不存在，请说明理由；
(2)在图2中，平面PBE与平面PCD所成的锐二面角的大小为，求四棱锥的体积.
【解析】（1）当时，∥平面PDE.
理由如下：
过点作，垂足为H，
在PE上取一点M，使得，连接HM，FM，
因为，，所以∥，且
因为D是AC的中点，且，所以∥，且
所以∥且，CFMH是平行四边形，即∥，
又因为平面PDE，平面PDE，所以∥平面PDE；
（2）易知，，且，
作平面，以向量为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设，
则，，，
则，，
设平面的法向量为，
则
取，则，，
所以，
易知平面的法向量，设平面PBE与平面PCD所成锐二面角为，
由题意可知，，
整理得，解得或（舍去）.
所以，
所以四棱锥的高，
又四边形的面积，
所以四棱锥的体积.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.
(1)求证：；
(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.
【解析】（1）底面是菱形，
，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，又平面，
.
（2）解法一：
由（1）知面，又平面，
平面平面，
作交线，垂足为，
因为平面平面=，平面，则面，
又平面，所以.
再作，垂足为，面，面，
所以面，又面
则，
所以为二面角的平面角，
因为平面，所以到底面的距离也为.
作，因为平面平面，平面平面＝，
平面，所以平面，所以，
又为锐角，
所以
又，所以为等边三角形，故，所以，
因为，所以，
所以.
所以二面角的平面角的余弦值为.
解法二：由（1）知面，又平面，
平面平面，
作，因为平面平面，平面平面＝，
平面，所以平面，
如图，建立直角坐标系：为原点，为轴方向，轴.
因为平面，所以到底面的距离也为.
所以，又为锐角，所以
又，所以为等边三角形，故，
在空间直角坐标系中：，设，则
则，
设平面的法向量为，
，取
设平面的法向量为，
，取
所以，
由题知二面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.
7．（2023·陕西渭南·统考一模）在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F为DE的中点，且点满足．
(1)证明：GF平面ABC；
(2)当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A-BE-D的正弦值．
【解析】（1）取AB，EB中点M，N，连接CM，MN，ND，
在梯形ACDE中，且DC=EA，
而M，N分别为BA，BE中点，
∴MN//EA，MN=EA，
∴MN//CD，MN=CD，即四边形CDNM是平行四边形，∴CM//DN，
又，N为EB中点，
∴G为EN中点，又F为ED中点，
∴GF//DN，故GF//CM，
又CM平面ABC，GF平面ABC，∴平面ABC.
（2）在平面ABC内，过B作BH⊥AC交AC于H．
∴平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，BH平面ABC，BH⊥AC，
∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B-ACDE的高，
又底面ACDE面积确定，要使多面体ABCDE体积最大，即BH最大，
此时AB=BC=，，为的中点，
连结，易得，易知HB，HC，HF两两垂直，
以为原点建立如图所示的平面直角坐标系H-xyz，
∴，
则，
设为平面ABE的一个法向量，则，即，取，
设为平面DBE的一个法向量，则，即，取，
∴，
∴二面角ABED的正弦值为.
8．（2023·全国·高三专题练习）在三棱柱中，，平面，、分别是棱、的中点.
(1)设为的中点，求证：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正切值为，求多面体的体积.
【解析】（1）连接，，
因为点，，分别为，，的中点，
所以且，，，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面
（2）因为平面，平面，所以，，
又因为，，平面，所以平面，
所以即是直线与平面所成的角，
所以，
因为，所以，
因为，，所以，
因为，平面，所以平面，
所以，
因为，
所以，，所以，
由（1）知多面体为四棱锥，且四边形是平行四边形，
所以.
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，.
(1)求证：平面ABCD；
(2)设，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值.
【解析】（1）取CD的中点E，连接BE，
四边形ABCD为直角梯形，，且E为CD的中点，且，所以，四边形ABED为矩形，
，
，
，
，
，平面，平面，平面PAD，
平面PAD，，
，平面，平面，平面ABCD；
（2）由（1）可知，PA AB AD两两垂直，以点A为坐标原点，分别以AB AD AP所在直线为x y z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面PBD的法向量为，
由，得，
令，得.
，
设平面PAM的法向量为，
由，得，令，则，
，
由于平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为，
则，整理可得，
，解得.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.
(1)求证：；
(2)若，从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
【解析】（1）在三棱柱中，，又面，面，
所以平面，又面面，面，
所以.
（2）选①②：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形.
又为中点，所以，
又面面，面面， 平面，
所以平面，平面，
故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选②③：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形.
又为中点，故，且，又，.
所以，则.
又，面，所以面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选①③：取中点，连接，.
在中，因为，所以，且，.
又面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以.
在中，，又，，
所以，则.
由，面，则面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
11．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）
取中点，连接，
分别为的中点，
，
底面四边形是矩形，为棱的中点，
，．
，，
故四边形是平行四边形，
．
又平面，平面，
平面．
（2）假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，则是四棱锥的高．
设，则，，
，所以.
以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，，．
设，
．
设平面PMB的一个法向量为，
则
取．
易知平面的一个法向量为，，
，
故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.
12．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．
(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）在翻折过程中总有平面平面，
证明如下：∵点，分别是边，的中点，
又，∴，且是等边三角形，
∵是的中点，∴，
∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）由题意知，四边形为等腰梯形，
且，，，
所以等腰梯形的面积，
要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，
∴当平面时，点到平面的距离的最大值为.
假设符合题意的点存在．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，又，
又，且，平面，平面，
平面，故平面的一个法向量为，
设（），
∵，
，故，
∴，，
平面的一个法向量为，
则，，
即
令，所以
，
则平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，即，解得：，
故符合题意的点存在且为线段的中点．
13．（2023·上海·高三专题练习）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.
(1)设平面平面，证明：；
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.
【解析】（1）因为四边形OBCH为正方形，∴，
∵平面POH，平面POH，∴平面POH.
∵平面PBC，平面平面，∴.
（2）∵圆锥的母线长为，，∴，，
以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，，
，为平面PAB的一个法向量，
设MN与平面PAB所成的角为，
则，令，
则
所以当时，即时，最大，亦最大，此时，
所以.
14．（2023秋·安徽·高三校联考期末）如图，在四棱锥中，，E是PB的中点．
(1)求CE的长；
(2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值．
【解析】（1）取PA的中点G，连接DG，EG，如图所示：
则，且，，
所以四边形CDGE为平行四边形．
因为，所以为直角三角形，，
在中，因为，所以，
所以
所以CE的长为；
（2）在平面ABCD内过点A作BC的平行线，交CD的延长线于点M，如图所示，
则，，
以点M为坐标原点，分别以MA，MC为x轴和y轴，以与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，取AD的中点为N，连接PN，MN，则，，平面，所以平面，平面，
所以平面平面，在平面PMN内过点P作，垂足为F，
因为平面平面，所以平面，
由已知可得，则，设．
因为，所以，
因为，，为线段的中点，所以，
所以，
所以，
所以．
设平面PAD的法向量，
则
令，则．
设平面的法向量，
因为，
则
令．则，所以为平面的一个法向量．
设平面PAD和平面PBC的夹角为，
则
．
令，所以，
所以，所以当时，有最小值，
所以平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值为．
15．（2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考期末）如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．
(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点A到平面的距离．
【解析】（1）由题设，平面，又是切线与圆的切点，
∴平面，则，且，
又，∴平面，
又平面，所以平面平面.
（2）作，以为原点，以、、为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系，
且，
又，可得，
∴，，，
有，，，
设是面的一个法向量，则，
令，则，
又直线与平面所成角的正弦值为，
即，
整理得，即，解得或
当时，，，， ，
，，
设是面的一个法向量，则，
令，则，
所以点A到平面的距离
当时，，，， ，
，，
设是面的一个法向量，则，
令，则，
所以点A到平面的距离
综上，点A到平面的距离为或.
16．（2023秋·江苏南通·高三海安高级中学期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，O为BD中点．
(1)求二面角的正弦值；
(2)E为内的动点（包含边界），且平面，求OE与平面所成角的正弦值的最大值．
【解析】（1）（方法一）连结AO．因为，O为BD中点，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
过点O作，交CD于点E，连结AE．
因为AO，平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
所以是二面角的平面角．
因为，，
所以在中，，，，所以，
即二面角的正弦值为．
（方法二）连结AO．因为，O为BD中点，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
因为，O为BD中点，所以，
所以OC，OD，OA两两互相垂直．
以为一组基底建立如图所示空间直角坐标系．
因为，，
所以，，，，
所以，，，
所以为平面的一个法向量．
设平面的的法向量，
所以，即．
令，得平面的一个法向量．
所以，
所以二面角的正弦值为．
（2）取AD中点M，CD中点N．
因为O为BD中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，同理平面．
因为平面，平面，，
所以平面平面．
因为E为平面内动点（包含边界），且平面，
所以E在线段MN上．
由，，，
所以，，
则．
设OE与平面所成角为，则
，
当时，的最大值为，
所以OE与平面所成角的正弦值的最大值为．
17．（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.
【解析】（1）取的中点，连接，
因为，则，
当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，
此时平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为；
（2）连接，
因为，所以，
所以为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
过作于点，由题意得平面，
设,,，
所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设平面的法向量为，
因为，
则，
令，可得：，
设两平面夹角为，
则
，
令，所以，则
所以，所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为.
18．（2023秋·天津北辰·高三校联考期中）如图，在三棱锥中，底面，，点分别为棱的中点，是线段的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段AH的长．
【解析】（1）在三棱棱中，底面，，易得两两垂直，故以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
因为点分别为棱的中点，是线段的中点，，
则，
则，,
设平面的一个法向量，则，即，
令,则，故，
所以，故，
又平面，所以平面.
.
（2）由（1）得，
设平面的一个法向量，则，
令，则，得，
易知平面，故设平面的一个法向量，
设平面与平面的平面角为，则由图形易知为锐角，
故，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设，则，
故
则，解得或（舍去），
故，即线段的长为.
19．（2023秋·海南·高三海南华侨中学校考阶段练习）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧棱平面ABCD，点M在棱DP上，且，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.
(1)若N是棱PC中点，完成：
（i）画出的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证：平面AMN；
(2)若四边形ABCD是正方形，且，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.
【解析】（1）（i）设AC与BD的交点为O，连接PO与AN交于点G，
点O为AC中点，点N为PC中点，
PO与AN的交点G为的重心，
，
又PO为在BD边上的中线，
点G也为的重心，即重心点G在线段AN上.
（ii）
证明：连接DG并延长交PB于点H，连接，
点G为的重心，
，
又，
即，又MG在平面AMN内，BP不在平面AMN内，
所以PB∥平面AMN.
（2）四边形ABCD是正方形，且平面ABCD，
AB、AD、AP两两垂直，
以A为坐标原点，方向为x轴正方形建立空间直角坐标系，如图所示，
则点，，，，
则，，，
设则，
，
设平面AMN的法向量为，
则有，
化简得：，
取则，，
设直线PA与平面AMN所成角为，
则，
当时的值最大，
即当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大，最大值为.
20．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）如图，在直角梯形中，，，平面，，．
(1)求证：；
(2)在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
如图，作，，连接交于，连接，，
∵且，∴，即点在平面内．
在平行四边形中，，
∴，又由平面知，
∴平面，∴①
在矩形中，，∴②
∴由①②知，平面，∴．
（2）
如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
∴，，
设平面的法向量为，则，
令，得，，∴，
又平面，∴为平面的一个法向量，
∴，解得，
故在上存在点，且．
21．（2023秋·安徽·高三校联考开学考试）如图，在三棱柱中，平面 .
(1)求证:;
(2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值.
【解析】（1）证明: 因为平面 ，平面，所以，
因为， 四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形，
所以，
又因为，平面，平面，所以平面，
因为平面， 所以.
（2） 因为与平面所成角为平面，所以，
因为， 所以是正三角形，
设， 则，
以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以 ，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
设二面角的大小为，
因为，
所以，
所以二面角的正弦值为.
22．（2023·全国·高三专题练习）如图在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，.E F G H分别是线段 上的动点，且四边形为平行四边形.
(1)求证：平面；
(2)设二面角的平面角为，求在区间变化的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；
(3)设，且平面平面，则当为何值时，多面体的体积恰好为？
【解析】（1）证明：∵四边形为平行四边形，∴．
而面，面，∴面．而面，面面，
∴∥．而面，面，
∴∥平面．
（2）∵，∴在平面上的投影满足，即在线段的中垂线上．
如图所示，将补成边长为的正，
当二面角为角时，即点在平面上，此时为，
当二面角为角时，此时为中点，
故在平面上的投影所扫过的平面区域为，而，
故线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积为；
（3）取中点，连接OD，则，
又平面平面，平面平面，面，
则平面，平面．
所以，
是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，，所以，，根据勾股定理，∴．
所以．
而多面体的体积恰好为，即多面体的体积恰为四面体体积的一半．
连接．设F到面AEH的距离为，C到面ABD的距离为 ，A到面DGH的距离为，A到面BCD的距离为，
，
∴．
，
∴．
∴，
∴，整理：，即，
解得：（舍去）．微专题16 立体几何经典题型精练
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE.
(1)求证：E为棱SC的中点；
(2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.
例2．（2023·浙江·三模）如图，四面体的棱平面，．
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成锐二面角的正切值为，线段与平面相交，求平面与平面所成锐二面角的正切值．
例3．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）如图（1），在正方形中，、、分别为、、的中点，点在对角线上，且，将、、分别沿、、折起，使、、三点重合（记为），得四面体（如图（2）），在图（2）中.
(1)求证：平面；
(2)在上，求一点，使二面角的大小为.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知梯形，现将梯形沿对角线向上折叠，连接，问：
(1)若折叠前不垂直于，则在折叠过程中是否能使？请给出证明；
(2)若梯形为等腰梯形，，折叠前，当折叠至面垂直于面时，二面角的余弦值．
例5．（2023秋·福建福州·高三福建省福州格致中学校考阶段练习）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.
(1)求证：；
(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.
例6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，几何体中，均为正三角形，四边形为正方形，平面，，M，N分别为线段与线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【过关测试】
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图四棱锥在以为直径的圆上，平面为的中点，
(1)若，证明：⊥；
(2)当二面角的正切值为时，求点到平面距离的最大值.
2．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）在四棱锥中，，，，，平面平面.
(1)证明：；
(2)若是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的大小.
3．（2023秋·河南开封·高三统考期末）如图,在四棱锥中,平面,平面,底面为矩形,点在棱上,且与位于平面的两侧.
(1)证明:平面;
(2)若,,,试问在线段上是否存在点,使得与的面积相等？若存在,求到的距离;若不存在,说明理由.
4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.
(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：.
(2)若，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.
5．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且.将沿着DE折起，形成四棱锥，其中点A对应的点为点P，如图2.
(1)在图2中，在线段PB上是否存在一点F，使得∥平面PDE？若存在，请求出的值，并说明理由；若不存在，请说明理由；
(2)在图2中，平面PBE与平面PCD所成的锐二面角的大小为，求四棱锥的体积.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.
(1)求证：；
(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.
7．（2023·陕西渭南·统考一模）在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F为DE的中点，且点满足．
(1)证明：GF平面ABC；
(2)当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A-BE-D的正弦值．
8．（2023·全国·高三专题练习）在三棱柱中，，平面，、分别是棱、的中点.
(1)设为的中点，求证：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正切值为，求多面体的体积.
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，.
(1)求证：平面ABCD；
(2)设，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.
(1)求证：；
(2)若，从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
11．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
12．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．
(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
13．（2023·上海·高三专题练习）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.
(1)设平面平面，证明：；
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.
14．（2023秋·安徽·高三校联考期末）如图，在四棱锥中，，E是PB的中点．
(1)求CE的长；
(2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值．
15．（2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考期末）如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．
(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点A到平面的距离．
16．（2023秋·江苏南通·高三海安高级中学期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，O为BD中点．
(1)求二面角的正弦值；
(2)E为内的动点（包含边界），且平面，求OE与平面所成角的正弦值的最大值．
17．（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.
18．（2023秋·天津北辰·高三校联考期中）如图，在三棱锥中，底面，，点分别为棱的中点，是线段的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段AH的长．
19．（2023秋·海南·高三海南华侨中学校考阶段练习）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧棱平面ABCD，点M在棱DP上，且，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.
(1)若N是棱PC中点，完成：
（i）画出的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证：平面AMN；
(2)若四边形ABCD是正方形，且，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.
20．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）如图，在直角梯形中，，，平面，，．
(1)求证：；
(2)在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
21．（2023秋·安徽·高三校联考开学考试）如图，在三棱柱中，平面 .
(1)求证:;
(2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值.
22．（2023·全国·高三专题练习）如图在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，.E F G H分别是线段 上的动点，且四边形为平行四边形.
(1)求证：平面；
(2)设二面角的平面角为，求在区间变化的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；
(3)设，且平面平面，则当为何值时，多面体的体积恰好为？

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