资源简介

浙江省2023年高中数学学业水平仿真模拟卷(三)
选择题部分
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.)
1.已知集合A={1,2,a2+2},B={1,3a},若B A,则a等于(　　)
A.1或2 B.2
C.3 D.1或2或
2.一元二次不等式2x2-x-1<0的解集是(　　)
A.(-∞,-)∪(1,+∞) B.(-1,)
C.(-∞,-1)∪(,+∞) D.(-,1)
3.已知a>b>0,下列不等式中正确的是(　　)
A.> B.<
C.-a2>-ab D.ab>b2
4 .幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为(　　)
A.2或-1 B.-1
C.2 D.-2或1
5.若复数z满足=i,则等于(　　)
A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i
6.若△ABC的边BC上两点D,E满足 ==,则下列结论正确的是(　　)
A.||+||=||+||
B.·=·
C.+=+
D.·=·
7.如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=
2AB=4,EF⊥BA,则EF与CD所成的角为(　　)
A.90° B.45°
C.60° D.30°
8.函数f(x)=ab -x的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确
的是(　　)
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.00
9.在△ABC中,||=3,||=2,·=·,则·的值为(　　)
A.7 B.-7 C.11 D.-11
10.函数f(x)=+2ln|x|的图象可能是(　　)
11.设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当
x∈(-1,1)时,f(x)=-x2+1,则下列结论错误的是(　　)
A.f()=-
B.f(x+7)为奇函数
C.f(x)在(6,8)上是减函数
D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解
12.在△ABC中,若AC=2,+=++1,则△ABC的周长的最大值为(　　)
A.2+4 B.2+4
C.2+7 D.2+7
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对且没错选得2分,不选、错选得0分.)
13.有以下四种说法,其中正确的有(　　)
A.“x>2,且y>3”是“x+y>5”的充要条件
B.直线l,m,平面α,若m α,则“l⊥α”是“l⊥m”的充分不必要条件
C.“x=3”是“x2-2x-3=0”的必要不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab=0”的既不充分也不必要条件
14.已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,0<<π)的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列命题正确的是(　　)
A.函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(x+)
B.函数g(x)的解析式为g(x)=2sin(2x-)
C.函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=-
D.函数g(x)在区间上单调递增
15.已知函数f(x)=+.下列命题正确的是(　　)
A.f(x)的图象是轴对称图形,不是中心对称图形
B.f(x)在(0,)上单调递增,在(,3)上单调递减
C.f(x)的最大值为,最小值为0
D.f(x)的最大值为,最小值为
16.在通用技术课上,某小组将一个直三棱柱ABCA1B1C1展开得到平面图如图所示,∠ABC=90°,AA1=AB,P为AB1的中点,Q为A1C的中点,则在原直三棱柱ABCA1B1C1中,下列说法正确的是(　　)
A.P,Q,C,B四点共面
B.A1C⊥AB1
C.几何体APQCB和直三棱柱ABCA1B1C1的体积之比为
D.当BC=AB时,A1C与平面ABB1所成的角为45°
非选择题部分
三、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分.)
17.对某种电子元件使用寿命跟踪调查,所得样本的频率分布直方图如图.由图可知,这一批电子元件中寿命的85%分位数为　　　　h.
18.命题“ x∈(0,+∞),ax>x2+4”的否定为　　　　　　　　　.
19.已知tan(α+)=, 则tan α=　　　　,sin 2α=　　　　.
20.已知函数f(x)=若函数y=2[f(x)]2+3mf(x)+1有6个不同的零点,则实数m的取值范围是　　　　.
四、解答题(本大题共3小题,共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
21.(本小题满分11分)
某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组[30,40),[40,50),…,[90,100],整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)若该样本中男生有55人,试估计该学校高三年级女生总人数;
(2)若规定小于60分为“不及格”,从该学校高三年级学生中随机抽取一人,估计该学生不及格的概率.
22.(本小题满分11分)
已知函数f(x)=2cos2-cos(x+)-1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(A)=2,b=2,△ABC的面积为3,求△ABC外接圆的面积.
23.(本小题满分11分)
已知f(log2x)=ax2-2x+1-a,a∈R.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设h(x)=2-xf(x),当a>0时,任意x1,x2∈[-1,1],
使|h(x1)-h(x2)|≤成立,求实数a的取值范围.
参考答案(三)
1.D　因为B A,集合A={1,2,a2+2},B={1,3a},若3a=2,则a=,符合题意;若a2+2=3a,则a=1或2,经检验均符合题意.
2.D　2x2-x-1<0 (x-1)(2x+1)<0,解得-.
3.D　由a>b>0,所以0<<,而c≥0时,≤,因此A不正确;a-1,b-1与0的大小关系不确定,因此B不正确;由a>b>0,所以-a2<-ab,因此C不正确;由a>b>0,所以ab>b2,因此D正确.
4.B　由于幂函数f(x)=(m2-m-1)
在(0,+∞)上是减函数,故有
解得m=-1.
5.B　=i,所以z=i(3+i)=-1+3i,则=-1-3i.
6.C　若△ABC是等边三角形,则||=||>||=||,故A,B
错误;
因为==,所以D,E是边BC的三等分点,设BC的中点M,则M也是DE的中点,所以+=2,+=2,即+=+,故C正确;
若∠BAC=90°,则·=0,·≠0,D错误.
7.D　设G为AD的中点,连接GF,GE,则GF,GE分别为△ABD,△ACD的中位线,所以GF∥AB,且GF=AB=1,GE∥CD,且GE=CD=2,则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数,又EF⊥AB,GF∥AB,所以EF⊥GF,
则△GEF为直角三角形,GF=1,GE=2,∠GFE=90°,所以在Rt△GEF中,
sin∠GEF=,所以∠GEF=30°.
8.A　由f(x)=ab-x,可得f(x)=,因为由图象可知函数是减函数,所以0<<1,所以a>1,因为09.B　因为·=·,所以·(-)=0,
即(-)·(+)=0,
所以-=0,所以||=||=3.
所以在△ABC中,cos A==,
所以·=||||cos(π-A)
=-||||·cos A
=-3×3×=-7.
10.C　函数f(x)=+2ln|x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,f(x)=1+2ln x是增函数,令f(x)=0,解得x==;当x<0时,
f(x)=-1+2ln(-x),是减函数,令f(x)=0,解得x=-=-,结合四个选项中的图象易知,只有C项满足.
11.C　由题设f(-x-1)=-f(x-1),则f(x)关于(-1,0)对称,
即f(x)=-f(-x-2),
由f(x+1)=f(-x+1),则f(x)关于直线x=1对称,即f(x)=f(2-x),
f(2-x)=-f(-x-2),则f(2+x)=-f(x-2),
故f(x)=-f(x-4),
所以f(x-4)=-f(x-8),即f(x)=f(x-8),故f(x)=f(x+8),所以f(x)的周期为8,f()=f(2-)=f(-)=-f(-2)=-f(-)=-,A正确;由周期性知f(x-1)=f(x+7),故f(x+7)为奇函数,B正确;由题意,f(x)在(6,8)与(-2,0)上单调性相同,而x∈(-1,0)时,f(x)=-x2+1单调递增,由f(x)关于(-1,0)对称知,当x∈(-2,-1)时,f(x)单调递增,故在(-2,0)上f(x)单调递增,所以f(x)在(6,8)上是增函数,C错误;f(x)+
lg x=0的根等价于f(x)与y=-lg x交点横坐标,根据f(x)、对数函数性质得f(x)∈[-1,1],-lg 12<-1<-lg 6,如图所示,函数共有6个交点,D正确.
12.A　由+=++1可得+=++1,
两边同乘sin Asin B得sin A+sin Acos B=sin B+sin Bcos A+
sin Asin B,
两边同加sin Bcos A得sin A+sin Acos B+sin Bcos A=
sin B+2sin Bcos A+sin Asin B,
即sin A+sin(A+B)=sin B+2sin Bcos A+sin Asin B,
又sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
则sin A+sin C=sin B(1+2cos A+sin A),设内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,
由正弦定理得 a+c=b(1+2cos A+sin A)=2(1+2cos A+sin A)=
2[1+sin(A+)],其中sin =,cos =,不妨设∈(0,),易得当A+=时,a+c取得最大值2+2,此时周长最大值为2+2+2=
4+2.
13.BD　对于A,由“x>2,且y>3”,根据不等式的性质可得“x+y>5”,充分性满足;反之,“x+y>5”推不出“x>2,且y>3”,必要性不满足,故A不正确.对于B,根据线面垂直的定义“l⊥α”可推出“l⊥m”,反之,由线面垂直的判定定理可知,仅“l⊥m”,不一定得出“l⊥α”,故B正确.对于C,“x=3”可得“x2-2x-3=0”,充分性满足;反之,“x2-2x-3=0”可得“x=3或x=-1”,必要性不满足,所以“x=3”是“x2-2x-3=0”的充分不必要条件,故C不正确.对于D,若“a≠0,且b=0”可推出“ab=0”;反之,若“ab=0”,可得“a=0或b=0”,所以“a≠0”是“ab=0”的既不充分也不必要条件,故D正确.
14.ABD　由题图可知,A=2,=π,所以T=4π=,解得ω=,故f(x)=2sin(x+).
因为图象过点C(0,1),所以1=2sin ,即sin =.因为点(0,1)位于单调递增区间上,且0<<π,所以=,故f(x)=2sin(x+),故A项正确;若其纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,所得到的函数解析式为y=2sin(2x+),再向右平移个单位长度,所得到的函数解析式为g(x)=2sin=2sin(2x-),故B项正确;
当x=-时,f(-)=2sin 0=0,即当x=-时,f(x)不取最值,故x=-不是函数f(x)的一条对称轴,故C项错误;令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故函数g(x)的单调递增区间是(k∈Z),当k=1时,g(x)在区间上单调递增,所以D项正确.
15.ABD　对于选项A,由f(3-x)=f(x),得f(x)的对称轴为直线x=,因此f(x)的图象是轴对称图形,不是中心对称图形.对于选项B,C,D,因为f(x)≥0,f2(x)=3+,函数y=f(x)和y=f2(x)在定义域内的单调性相同,而y=f2(x)在(0,)上单调递增,在(,3)上单调递减,所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,3)上单调递减.当x=时,f(x)取到最大值 ;当x=0或3时,f(x)取到最小值 .
16.ABD　如图,将展开的平面图还原成立体图形,对于A选项,连接A1B,PQ,因为P为AB1的中点,所以P也为A1B的中点,又Q为A1C的中点,所以PQ∥BC,所以P,Q,C,B四点共面,故A选项正确;
对于B选项,因为∠ABC=90°,棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,所以易得BC⊥平面ABB1A1,又AB1 平面ABB1A1,所以AB1⊥BC,又AA1=AB,所以四边形ABB1A1为正方形,所以AB1⊥A1B,又BC∩A1B=B,BC,A1B 平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC,又A1C 平面A1BC,所以A1C⊥AB1,所以B选项
正确;
对于C选项,连接AC1,因为P,Q分别为A1B,A1C的中点,
所以S四边形PQCB=,
所以===×=,
所以几何体APQCB和直三棱柱ABCA1B1C1的体积之比为,故C选项
错误;
对于D选项,当BC=AB时,又AA1=AB,且AA1⊥AB,所以A1B=AB,所以BC=A1B,又由B选项分析知A1B⊥BC,所以∠BA1C=45°,又由B选项知BC⊥平面ABB1A1,所以∠BA1C即为A1C与平面ABB1所成的角,又
∠BA1C=45°,所以A1C与平面ABB1所成的角为45°.
17.解析:由频率分布直方图,寿命在区间[500,600]的概率(频率)为×100=0.15,因此寿命在区间[100,500)上的概率为0.85,从而这一批电子元件中寿命的85%分位数为500.
答案:500
18.解析:由存在量词命题的否定是全称量词命题,可得命题“ x∈(0,+∞),ax>x2+4”的否定为“ x∈(0,+∞),ax≤x2+4”.
答案: x∈(0,+∞),ax≤x2+4
19.解析:因为tan(α+)=,所以=,
所以tan α=-.
sin 2α===-.
答案:-　-
20.解析:令t=f(x),则原函数等价为y=2t2+3mt+1.作出函数f(x)的图象如图.
由图象可知,
当t<0时,函数t=f(x)有一个零点.
当t=0时,函数t=f(x)有三个零点.
当0当t=1时,函数t=f(x)有三个零点.
当t>1时,函数t=f(x)有两个零点.
要使关于x的函数y=2[f(x)]2+3mf(x)+1有6个不同的零点,
则函数y=2t2+3mt+1有两个根t1,t2,
且01或t1=0,t2=1,
令g(t)=2t2+3mt+1,则由根的分布可得,
将t=1代入得m=-1,
此时g(t)=2t2-3t+1的另一个根为t=,不满足t1=0,t2=1.
若01,则
解得m<-1.
答案:m<-1
21.解:(1)样本中的女生人数为100-55=45,
高三年级中女生人数估计值为400×=180.
(2)由频率分布直方图知,
样本中及格的频率为(0.02+0.04+0.02+0.01)×10=0.9,
样本中不及格的频率为1-0.9=0.1,
从高三年级中随机地抽取一人,该学生不及格的概率约为0.1.
22.解:(1)f(x)=2cos2 -cos(x+)-1=cos x+sin x=2sin(x+),
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为f(A)=2 2sin(A+)=2,又A为△ABC的内角,所以A=,
由S△ABC=bcsin A=3,得bc=12,因为b=2,所以c=6,由a2=c2+b2-2bccos A=c2+b2-bc=28,得a=2.
设△ABC外接圆半径为R,则2R==,所以R=,所以△ABC外接圆的面积为S=πR2=.
23.解:(1)f(log2x)=ax2-2x+1-a,设log2x=m,
则x=2m,f(m)=a(2m)2-2·2m+1-a=a·22m-2·2m+1-a,
则f(x)=a·22x-2·2x+1-a.
(2)h(x)=2-xf(x)=a·2x-2+(1-a)2-x,
设2x=t,t∈,则g(t)=at+-2,
当a>1时,函数g(t)在上单调递增,
故|h(x1)-h(x2)|max=g(2)-g()=≤,解得a≤,不成立;
当a=1时,g(t)=t-2,函数在上单调递增,
故|h(x1)-h(x2)|max=g(2)-g()=≤=1,不成立;
当0若>2,即0故|h(x1)-h(x2)|max=g()-g(2)=≤,解得a≥,不成立;
若≤≤2,且g()≥g(2),即≤a≤,
故|h(x1)-h(x2)|max=g()-g()=--2+2≤,
解得≤a≤;
若≤≤2,且g()故|h(x1)-h(x2)|max=g(2)-g()=-2+2≤,
解得若综上所述,a∈.

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