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第六讲」
正方形与菱形
【知识要点】
1.定义
既是菱形又是矩形的四边形叫做正方形.
2.性质
(1)边：正方形四条边都相等，对边平行，邻边互相垂直.
(2)角：正方形四个角都为90°.
(3)对角线：正方形对角线互相垂直平分且相等.
3.判定
(1)一组邻边相等的长方形是正方形.
(2)对角线互相垂直的长方形是正方形.
(3)一个角为直角的菱形是正方形.
(4)对角线相等的菱形是正方形.
4.正方形一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
5.正方形的面积计算公式：(1)S=a;(2)S=对角线
2
【例题精讲】
例1如图，正方形ABCD的对角线相交于点
O,O是正方形A'B'C'O的一个顶点.如果两个
正方形的边长为a,那么正方形A'B'C'O绕点
O无论如何转动，两个正方形重叠部分的面积
总是一个定值，试求出这个定值：
【分析】观察图中阴影部分，可证明△OBE≌
△OCF,因而Sm影=S△OBC·
【解答】四边形ABCD,A'B'C'O为正
方形，
58
,∴.∠A'OC'=90°（正方形四个角都是直角）
AC⊥BD(正方形对角线互相垂直)
AO=CO=BO=DO(正方形对角线相等且互相平分)
∠OCF=∠OBE=45°（正方形的对角线平分一组对角）
,AC⊥BD
∴.∠BOC=90°∴.∠COF=90°-∠BOF
,∠A'OC'=90°.∠BOE=90°-∠BOF
∴.∠COF=∠BOE
在△OBE和△OCF中，
「∠BOE=∠COF
BO=CO
OBE=/OCF
∴.△OBE≌△OCF(ASA)
∴.S△OBE=S△0F
S阴彬=S△Oc=
SE方彩ACcD=
4
4
【点评】要善于观察，把图形进行等积变化.
例2如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD
上的E点，其折痕为FG,若GF=l3cm,求EC的长.
【分析】作FH⊥BC交BC于H,易证△ADE≌△FHG.可得GH=
DE.算出DE的值，即可得到EC的值.
【解答】作FH⊥BC交BC于H
,·四边形ABCD为正方形
∴.AD∥BC(正方形对边平行)
∠C=∠D=90°（正方形四个角都为90°）
AD=DC(正方形四边相等)
AD∥BC
∴.∠AFG=∠FGH
",·AE⊥FG(轴对称图形中对应点的连线段垂直于对称轴)
∴.∠AIF=90
∴.∠AFG=180°-∠FAI-90°=90°-∠FAI=∠AED
59参考答案
第一讲等腰三角形的性质与判定
-、1.D2.B3.A4.D5.D
二、6.75°或30或15°247.15或188.219.36或18010.4
1或1
三、11.延长BE到F,使得CF=AD,连DF,证明△DBC≌△DFE.
12.a=180
7
13.70°提示：作∠BAC的平分线与CO的延长线交于点D,连接BD.
14.延长AB到M,使得BM=BP,证明AC=AM.
15.5:3：7提示：以点A为中心将三角形AOB逆时针旋转60°.
第二讲直角三角形及其勾股定理
-、1.D2.A3.D4.C5.D
二、6.307.42或328.19940049.610.14
三、11.(1)1(2)两直角边分别为2,3的直角三角形4个，长、宽分别为1,0.5的长
方形两个.
12.利用a2-=c2.
13.设正方形的边长为a,验证EF2+FC=EC.
14.16.9cm
15.作AE⊥BC于E,则AE=EC=BE,BD十CD=(BD+CD)2一2BD·CD
=BC-2(BE-DE)=2(BE+DE)=2AD2.
第三讲配方法与非负数
-、1.D2.B3.C4.A5.D
二，6.47厄8169.010.-号
三、11.1212.813.正三角形
254
1原式-法”"。]
15.这32个人分别住在第2至第33层的每一层，设电梯停在第x层，在第一层
有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为：
S=3[1+2+3+…+(33-x)]+3(1+2+3+…+y)+[1+2+…+(x-y
2)]
=2.x2-xy-102x+2y2+3y+1684
=2(-+02)+5(y-6+316≥316.
所以当x=27,y=6时，最小值为316.
第四讲图形的平移与旋转
-、1.A2.B3.B4.A5.D
二、6.607.a+b8.1340π9.45°10.2：5
三、11.1+4
2
12.2√7
13.把CA沿CB平移到DM的位置，连接MB,易得：AB+DM>AD+BM.
14,过点F作AD的平行线交过点A作的DF的平行线于点P,过点F作BC的
平行线交过点B作CF的平行线于点Q,则AP∥BQ,AP=BQ,连接PQ必过点E,
△FPQ中有：2EF15.将△PAC绕点C顺时针旋转60°至△PA'C‘的位置，则A',P',P,B四点共
线，∠A'CB=150°，过点A'作BC延长线的垂线，易求得A'B=√100+483，
第五讲平行四边形
-、1.C2.A3.C4.C5.A
=、6.19117.58.79.
10.(1)平行四边形(2)∠BAC=150
(3)AB=AC,且∠BAC≠60°(4)∠BAC=60
三、11.75°
12.过平行四边形对角线的交点及圆心的直线.
255

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