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第七讲，
梯形及其中位线定理
【知识要点】
1.梯形与平行四边形都是特殊的四边形，不同点在于：梯形有且仅
有一组对边平行，而平行四边形必须两组对边都要平行
2.梯形中有两种特殊的梯形：直角梯形和等腰梯形.
3.梯形的中位线与两底的关系是：梯形的中位线平行于上下两底，
且等于上下两底和的一半，
4.在梯形中，通过作辅助线把梯形化为三角形、平行四边形，这是解
梯形问题的基本思路，常用辅助线的作法有：
5.有关一条线段等于另一条线段一半的几个常用定理：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的
一半.
直角三角形斜边上的中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半.
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等腰三角形三线合一定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中
线、底边上的高重合.
30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半.
【例题精讲】
例1已知四条线段的长分别为1,2,3,4，以这四条线段为边的梯形的面
积是多少？
【分析】根据腰与底的不同排列组合，一共有
7
6种情况，对这6种情况逐一进行讨论.只有当
上底为1，下底为4，两腰分别为2,3时才能组
成一个梯形.
【解答】如图所示，梯形ABCD中，AD=1,
BC=4,AB=2,DC=3.
过点D作DE∥AB交BC于点E,在△DEC中，作DF⊥BC于
点F,
设EF=x,CF=3一x,由勾股定理得：
22-x2=32-(3-x)2
解得x=
3
:DF=
3
S-号(BC+AD)DF-21+40X4g2-102
3
3
【点评】已知的四条线段中，只有当两条线段与另外两条线段的差能组
成一个三角形时，这四条线段才能成为梯形的四边.
例2梯形上下底分别为1和4，两条对角
线长分别为3和4，此梯形的面积为多少？
【分析】平移梯形的一条对角线所得到的
三角形DBE的面积正好等于梯形的面积.
【解答】如图所示，过点D作DE∥AC交
BC的延长线于点E.
74
.·DE∥AC,AD∥CE
.四边形ACED是平行四边形
∴.AD=CEAC=DE
.BE=BC+CE=BC+AD=1+4=5
.BD=4,DE=AC=3,
由勾股逆定理得：△BDE是一个直角三角形.
S△DE=
:，×3×4=6
S梯形ACD=
2(AD+BC)·h=(CE+BC)·A
1BE·h=S△E=6
【点评】在已知两条对角线的数量关系或位置关系时，通常我们通过平
移其中的一条对角线把梯形问题转化三角形问题进行处理.
例3
如图，梯形ABCD中，AD∥BC,EF为中位线，且3△D=
3
S△BcD
求：S梯形AEFD:S梯形BCP的值.
【分析】S△AD和S△D是不同底，但等高的三
角形
【解答】设AD=3x,则BC=7x,梯形ABCD的
高为h.
·EF是梯形ABCD的中位线
·.EF=2(AD+BC)=2(3x+7x)=5x
∴.S形AEFD=
S梯形A5FD:S牌形CF=8：12=2÷3
【点评】梯形的面积比往往转化成两条线段的比.
例4证明连接四边形一组对边中点的线段，不大于另一组对边和的一半
【分析】遇到中点、线段的一半这样的问题，容易联想到三角形的中位线
定理.
已知：如图，在四边形ABCD中，点E,F分别是AD和BC的中，点.
75参考答案
第一讲等腰三角形的性质与判定
-、1.D2.B3.A4.D5.D
二、6.75°或30或15°247.15或188.219.36或18010.4
1或1
三、11.延长BE到F,使得CF=AD,连DF,证明△DBC≌△DFE.
12.a=180
7
13.70°提示：作∠BAC的平分线与CO的延长线交于点D,连接BD.
14.延长AB到M,使得BM=BP,证明AC=AM.
15.5:3：7提示：以点A为中心将三角形AOB逆时针旋转60°.
第二讲直角三角形及其勾股定理
-、1.D2.A3.D4.C5.D
二、6.307.42或328.19940049.610.14
三、11.(1)1(2)两直角边分别为2,3的直角三角形4个，长、宽分别为1,0.5的长
方形两个.
12.利用a2-=c2.
13.设正方形的边长为a,验证EF2+FC=EC.
14.16.9cm
15.作AE⊥BC于E,则AE=EC=BE,BD十CD=(BD+CD)2一2BD·CD
=BC-2(BE-DE)=2(BE+DE)=2AD2.
第三讲配方法与非负数
-、1.D2.B3.C4.A5.D
二，6.47厄8169.010.-号
三、11.1212.813.正三角形
254
1原式-法”"。]
15.这32个人分别住在第2至第33层的每一层，设电梯停在第x层，在第一层
有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为：
S=3[1+2+3+…+(33-x)]+3(1+2+3+…+y)+[1+2+…+(x-y
2)]
=2.x2-xy-102x+2y2+3y+1684
=2(-+02)+5(y-6+316≥316.
所以当x=27,y=6时，最小值为316.
第四讲图形的平移与旋转
-、1.A2.B3.B4.A5.D
二、6.607.a+b8.1340π9.45°10.2：5
三、11.1+4
2
12.2√7
13.把CA沿CB平移到DM的位置，连接MB,易得：AB+DM>AD+BM.
14,过点F作AD的平行线交过点A作的DF的平行线于点P,过点F作BC的
平行线交过点B作CF的平行线于点Q,则AP∥BQ,AP=BQ,连接PQ必过点E,
△FPQ中有：2EF15.将△PAC绕点C顺时针旋转60°至△PA'C‘的位置，则A',P',P,B四点共
线，∠A'CB=150°，过点A'作BC延长线的垂线，易求得A'B=√100+483，
第五讲平行四边形
-、1.C2.A3.C4.C5.A
=、6.19117.58.79.
10.(1)平行四边形(2)∠BAC=150
(3)AB=AC,且∠BAC≠60°(4)∠BAC=60
三、11.75°
12.过平行四边形对角线的交点及圆心的直线.
255

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