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第十五讲
反比例函数及其应用
【知识要点】
1.反比例函数的一般形式是：y=(k≠0)：
其常用的两种等价形式分别是：y=kx-1(k≠0)和xy=k(k≠0).
2.反比例函数y-(k≠0的常数)的图象是双曲线.
当k>0时，图象在一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而
减小：
当0y·
当k<0,x<0时，图象在第二象限，且在这个象限内，y随x的增大
而增大：
当x3.反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形.
其对称中心是原点；对称轴是直线y=x,直线y=一x.
4,反比例函数y=(k≠0的常数)中自变量x的取值范围是工≠
0,函数y的取值范围是y≠0，所以图象的两支曲线向坐标轴无限接近，
但永不相交.
5.
过反比例函数y=(k≠0的常数)图象双曲线上的任意一点P,
向两条坐标轴作垂线，垂足分别为A,B,则长方形PAOB的面积是一个
定值，等于k.
【例题精讲】
例1
函数y=二1与函数y=k(x十1)（其中x为自变量，k为常数）在
173
同一直角坐标系中的图象可能是
B
【分析】根据k值与曲线函数的性质确定，
【解答】因曲线在一，三象限，所以k一1>0，即k>1.
当k>1时，y=kx十k,即直线与y轴的交点在(0,1)的上方.根据图
分析可知，C选项满足条件.
【点评】关键是掌握函数的图象随系数的变化而发生的变化.
例2如果点A(-2,),B(-1,),C(3,)都在反比例函数y-+
的图象上，请比较y2y的大小，并说明理由.
【分析】点A,B,C在函数y=十1的图象上，分别把三点的坐标代入
西数式，可求y1,y2,y的大小，再比较大小，
【解答】
3
因为k”十1>0，
所以y>y1>y2
【点评】关键是点在函数的图象上，则点的坐标就满足函数式，可计算各
自的函数值.
例3
试判断下列一次函数的图象与反比例函数y=一上的图象有几个
交点？
(1)y=x(2)y=x-2(3)y=x-3(4)y=x+k
【分析】可以把两个方程进行联立，求一下方程组有没有解，有几个解。
【解答】列出方程求解，进行判断
174
1)y=x与y=-1
y=x
联立方程
1,解得x=一士=-1，所以x无解，所以y=工
与y=一工没有交点.
2y=x-2与y=-
y=x-2
联立方程
y=-1解得x-2=-子2-2x+1=0,所以x=
-1,所以)=1-2与y=-有1个交点
(3)y=x-3与y=-1
y=x3
联立方程
=-1·解得x一3=-子2-3x+1=0,所以1=2计
3,x=2-3,所以y=x-2与y=-1有2个交点.
(4)y=x十k与y=-
y=x十k
联立方程
y=1·解得x十6=一1
x2+kx十1=0，
b2-4ac=k2-4
当2一4>0，即k>2或k<一2时，有2个交点；
当k2一4=0，即k=2或k=一2时，有1个交点；
当k2一4<0，即一2【点评】求两个图形有无交点，可以转化为求由这两个方程所联立得到
的方程组有无解.本题关键是(4)要根据k值大小进行分类，找出交点数
例4如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=一工-(k+1)
175参考答案
第一讲等腰三角形的性质与判定
-、1.D2.B3.A4.D5.D
二、6.75°或30或15°247.15或188.219.36或18010.4
1或1
三、11.延长BE到F,使得CF=AD,连DF,证明△DBC≌△DFE.
12.a=180
7
13.70°提示：作∠BAC的平分线与CO的延长线交于点D,连接BD.
14.延长AB到M,使得BM=BP,证明AC=AM.
15.5:3：7提示：以点A为中心将三角形AOB逆时针旋转60°.
第二讲直角三角形及其勾股定理
-、1.D2.A3.D4.C5.D
二、6.307.42或328.19940049.610.14
三、11.(1)1(2)两直角边分别为2,3的直角三角形4个，长、宽分别为1,0.5的长
方形两个.
12.利用a2-=c2.
13.设正方形的边长为a,验证EF2+FC=EC.
14.16.9cm
15.作AE⊥BC于E,则AE=EC=BE,BD十CD=(BD+CD)2一2BD·CD
=BC-2(BE-DE)=2(BE+DE)=2AD2.
第三讲配方法与非负数
-、1.D2.B3.C4.A5.D
二，6.47厄8169.010.-号
三、11.1212.813.正三角形
254
1原式-法”"。]
15.这32个人分别住在第2至第33层的每一层，设电梯停在第x层，在第一层
有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为：
S=3[1+2+3+…+(33-x)]+3(1+2+3+…+y)+[1+2+…+(x-y
2)]
=2.x2-xy-102x+2y2+3y+1684
=2(-+02)+5(y-6+316≥316.
所以当x=27,y=6时，最小值为316.
第四讲图形的平移与旋转
-、1.A2.B3.B4.A5.D
二、6.607.a+b8.1340π9.45°10.2：5
三、11.1+4
2
12.2√7
13.把CA沿CB平移到DM的位置，连接MB,易得：AB+DM>AD+BM.
14,过点F作AD的平行线交过点A作的DF的平行线于点P,过点F作BC的
平行线交过点B作CF的平行线于点Q,则AP∥BQ,AP=BQ,连接PQ必过点E,
△FPQ中有：2EF15.将△PAC绕点C顺时针旋转60°至△PA'C‘的位置，则A',P',P,B四点共
线，∠A'CB=150°，过点A'作BC延长线的垂线，易求得A'B=√100+483，
第五讲平行四边形
-、1.C2.A3.C4.C5.A
=、6.19117.58.79.
10.(1)平行四边形(2)∠BAC=150
(3)AB=AC,且∠BAC≠60°(4)∠BAC=60
三、11.75°
12.过平行四边形对角线的交点及圆心的直线.
255

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