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第七讲圆的有关性质
【知识要点】
到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆.圆常被人们看作是
最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印，
在圆中常用的基本图形
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧
2.同弧所对的圆周角相等，且等于其圆心角的一半：
特别地，直径所对的圆周角为90°；90°的圆周角所对的弦是直径.
3.圆内接四边形的对角互补.
4.平行弦所夹的两条弧相等.
【例题精讲】
例1如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全
58
覆盖的圆的最小半径为
A.√2
B.
5
2
5w/17
C.
16
D.
5
4
【分析】
所作圆圆心应该在对称轴上，且最小圆
应尽可能通过图形的某些顶点，故可通过设元
求解，
【解答】
如图，设所求圆的圆心为点O,半径为r,O到底边距离为α，根
a2十1=r2
据题意，得
2-a+(2)=解得a=8
5√/17
161
故选C.
例2如图，直径为13的⊙M经过原点O,并且
与x轴、y轴分别交于A,B两点，线段OA,OB
(OA>OB)的长分别是方程x2十kx十60=0的
两根.
(1)求线段OA,OB的长：
(2)已知点C在劣弧OA上，连接BC交OA
于D,当OC2=CD·CB时，求C点的坐标；
(3)在⊙M上是否存在点P,使S△OD=S△D？若存在，求出P点的
坐标；若不存在，请说明理由，
【解答】(1)连接AB,则AB是⊙M的直径，OA+OB=一k,OA·OB=
60,OA2十OB2=AB2=132,解得k=-17,OA=12,OB=5.
(2)连接CA,连接MC交AO于点E,由OC=CD·CB,易证明
△OCBp△DCO,所以OC=AC,MC⊥OA,所以OE=AE=6,CE=4,所
以C(6,-4).
(3)假设在⊙M上存在点P,使得S△oD=S△AD.
OD
因OB∥EC,所以△OBD∽△ECD,所以C
一ED
46-OD,解得OD=10
即5=
OD
3sam=AD·50=65
,SmD=
65
59
△POD中OD边上的高为13，即点P到x轴距离为13.
因⊙M上的点到x轴的最大距离为9，所以点P不在⊙M上，即在
⊙M上不存在点P,使得S△OD=S△ABD·
例3如图，设P为正三角形的外接圆BC上任一点，AP交BC于D,连
接PB,PC,求证：PB,PC是方程x2一PAx+PA·PD=0的两根.
【分析】要说明PB,PC是方程x2一PAx十PA·PD=0的两根，即要
说明PB十PC=PA,PB·PC=PA·PD.
【证明】如图，在AP上截取PQ=PB,连接BQ.
易证△PQB为等边三角形.
在△ABQ与△CBP中，
AB=BC,BQ=BP,∠ABQ=∠CBP
所以△ABQ≌△CBP
所以PB+PC=PA.
.'∠APB=∠APC,∠BAP=∠BCP
△APBn△CPD,所以PES,即PB·PC=PA·PD.
例4如图，已知△ABC的边AB是⊙O的直径，
外两边BC,AC分别交⊙O于D,E两点，DF⊥AB于
F交BE于G,FD的延长线与AC的延长线交于H.
求证：DF=HF·GF.
【证明】连接AD,在Rt△ADB中，DF⊥AB于F,
所以△ADF∽△DBF,
所以F-BS即DFr-AP·BE,
又Rt△AFHC∽Rt△GFB
所以f-需即FH·GF=AF·BF
故DF2=HF·GF.
例5如图，已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC⊥BD于E,G是BC
中点，F是AD中点，试问：线段EF与线段OG有怎样的关系？
【解答】线段EF与线段OG相等且平行，理由如下：
60参考答案
第一讲关于中点的联想
-、1.B2.B3.D4.C5.C
二、6.67.1三、11.连接AE,证明BE=AE=DF
12.连接AE,证明EP-2AD=专BC=EF
13.过A作AQ⊥BE于G,并延长交BC于点Q,则Q为BC的中点
14.延长AM,AN交BC于点F,G,证明M,N分别是AF,AG的
中点
15.AB+CD>AD+BC
第二讲二次根式
-、1.B2.A3.D4.B5.B
二、6.-3
2
7.20018.w5-19.1310.58
三、11.1)5-厅(2)
10
12.提示：证明等式两边的平方相等
13.194
14.提示：设W/a2+2005=b,两边平方，有b2-a2=1×2005=5×
401.和为1200.
15.a或2
第三讲
整体思想
-、1.B2.C3.C4.B5.B
二、6.47.18.-2439.510.1+2+3+6
6
三、11.等边三角形
12.a=1,b=2,c=1
174
13.将这6式相乘
14.M≥N
15.134
第四讲一元二次方程的解法
-、1.A2.D3.C4.C5.C
二、6.-7或67.-19978.0或39.110.0
三、11.1
12..2=±1+5
2
13.当m=1时，x=1;当m≠1时，x-1,x,=m二3
m-1
14.(1)=2=1,=}
2,x1=2:（2)1=2,x2=-3,x.4=
-1士√33
2
,(3).1-1,x2=-4.5;(4)x=-6,x2=1.
15.256
第五讲一元二次方程式根的判别式与韦达定理
-、1.A2.A3.C4.D5.B
9413
6.67.30,28.20039.19
10.-4≤m或m≤-
三、11.a=±4
12.p<-1
13.提示：△十△2≥0.
14.m=-3
15.a=1,b=-
2
第六讲
一元二次方程的构造与整数解
-、1.C2.C3.C4.A5.D
二、6.347.128.149.910.98
三、11.432
12.(1)存在，理由略.(2)m≥1，证明略.
13.0w≤号0
175
14.n=10,0,-18,-8
15.m=15,斜边为13；m=12,斜边为10
第七讲
圆的有关性质
-、1.B2.D3.A4.C5.B
二、6.107.28.
9.410.36
5
三、11.连接OB,BC,△OBF△OCB→OB2=OC·OF
12.连接0E.0E-汽a6=1a+b=5→号+2-3
13.AE+BE=AB,AE·BE=AD·BC
14.(1)∠QPB=∠BAC=60°(2)△BAP≌△BCQ
(3)
R△ABP中，0
15.连接BO并延长交AD于H,则BH∥CD→CD=1,OH=0.5,
AD=2AH=22,AB=√6，BC=3
第八讲直线与圆的位置关系
-、1.A2.A3.A4.D5.A
=6909
7.ab
a+b
8.45°9.4V510.
弱
提示：EM=1,
PM=1.5,S△Px=3,S△PMN=
27
25
三、11.(1)6；
7(2)1=号或1=8
12.略
13.略
14.提示：(1)∠BIC=∠IEC(2)∠BID+∠CIE=∠AEI=
∠CIE+∠ECI
15.方法一：连接OA,OC,OO,OB,OC,利用S△0c+S△0,0c
十S△0，x十S0形0，Am,=SAAc可求得r=,5
2n+3
方法二：连接AO并延长交BC于D,连接OP,由角平分线定理可
求得CD=
专，由△A0,P△ADC可得AP=3r:同理可得BQ=2r,由
176

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