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14.如图，在△ABC中，AM为BC边上的中线，求证，AB+AC-BC
2
2
时
15.如图，已知P为边长为1的等边△ABC内任意一点，过点P且
平行于BC的直线交AB,AC于E,F,求证：
(1EF>PA;
(2)2》
143
第十五讲反证法
【知识要点】
反证法就是从命题结论的反面出发，经过推理，引出矛盾，从而命题
成立.其证明的基本步骤是：(1)否定待证命题的结论：(2)推理得出矛盾；
(3)肯定原命题的结论，
宜用反证法的问题的特征是：
(1)结论涉及无限；(2)结论涉及唯一性：(3)结论为否定形式：(4)结
论涉及“至多、至少”：(5)结论以疑问形式出现等.
【例题精讲】
例1求证√2是无理数。
【分析】
从反面入手，若√2不是无理数，则必是有理数，而有理数都能表
示成(m,n为整数，且互质)的形式，进而导出矛后。
【解答】
若√②不是无理数，则必是有理数，不妨设√2=m(m,n为整数，
且互质)，
两边平方，则有2n2=m2,
因m,n为整数，且互质，则m必是2的倍数，不妨设m=2p(p为整数)，
所以有n2=2p2,则n必是2的倍数，
而此时m,n都是2的倍数，与m,n互质相矛盾，故假设错误，所以√2
是无理数
【点评】因有理数有一般的表达形式，所以对√2是无理数的证明，用反证
法，就容易得多了
例2设a,b,c为非零实数，ax2十2b.x十c=0,b.x2十2cx十a=0,c.x2十2a.x
+b=0.
试问：a,b,c满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不
相等的实数根？
144
【分析】如从正面考虑三个二次方程中至少有一个方程有不相等的实数
根，所涉及的情况比较复杂，但从反面考虑情况却十分简单，只有一种可
能，即三个方程都没有实数根，然后从全体实数中排除三个方程都无实数
根的a,b,c的取值即可.
【解答】
设三个方程都没有不相等的实数根，根据题意，有
「4b2-4ca0
4c2-4ab≤0，三式相加，得a2十b2+c2一ab-bc一ca≤0，
4a2-4bc0
即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20
所以当a=b=c时，三个方程都没有不相等的实数根，
因此当a,b,c为不全相等的非零实数时，三个方程至少有一个有不
相等的实数根，
【点评】本题的正面涉及多种情况，但反面只涉及一种情况，故可从反面
入手
例3证明：如果整系数二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有有理根，那么
a,b,c中至少有一个是偶数.
【分析】结论是要说明α，b,c中至少有一个是隔数，涉及多种情况，故可
从反面入手.
【证明】
假设a,b,c全是奇数，且(m,n为整数，且互质)是方程的一个
有理根，则
+b·m+c=0,
即am2+bmn十cn2=0,
此时若m为奇数，n为偶数，等式左边为奇数，矛盾：
若m为偶数，n为奇数，等式左边为奇数，矛盾：
若m为奇数，n为奇数，等式左边为奇数，矛盾，
所以假设错误，a,b,c中至少有一个是偶数.
【点评】本题在思路上和例2类似，结论正面涉及多种情况，而反面只有
一种情况，故采用反证法就显得很简单.
例4我们知道：过平行四边形的对角线交点的任一条直线都把平行四
145参考答案
第一讲关于中点的联想
-、1.B2.B3.D4.C5.C
二、6.67.1三、11.连接AE,证明BE=AE=DF
12.连接AE,证明EP-2AD=专BC=EF
13.过A作AQ⊥BE于G,并延长交BC于点Q,则Q为BC的中点
14.延长AM,AN交BC于点F,G,证明M,N分别是AF,AG的
中点
15.AB+CD>AD+BC
第二讲二次根式
-、1.B2.A3.D4.B5.B
二、6.-3
2
7.20018.w5-19.1310.58
三、11.1)5-厅(2)
10
12.提示：证明等式两边的平方相等
13.194
14.提示：设W/a2+2005=b,两边平方，有b2-a2=1×2005=5×
401.和为1200.
15.a或2
第三讲
整体思想
-、1.B2.C3.C4.B5.B
二、6.47.18.-2439.510.1+2+3+6
6
三、11.等边三角形
12.a=1,b=2,c=1
174
13.将这6式相乘
14.M≥N
15.134
第四讲一元二次方程的解法
-、1.A2.D3.C4.C5.C
二、6.-7或67.-19978.0或39.110.0
三、11.1
12..2=±1+5
2
13.当m=1时，x=1;当m≠1时，x-1,x,=m二3
m-1
14.(1)=2=1,=}
2,x1=2:（2)1=2,x2=-3,x.4=
-1士√33
2
,(3).1-1,x2=-4.5;(4)x=-6,x2=1.
15.256
第五讲一元二次方程式根的判别式与韦达定理
-、1.A2.A3.C4.D5.B
9413
6.67.30,28.20039.19
10.-4≤m或m≤-
三、11.a=±4
12.p<-1
13.提示：△十△2≥0.
14.m=-3
15.a=1,b=-
2
第六讲
一元二次方程的构造与整数解
-、1.C2.C3.C4.A5.D
二、6.347.128.149.910.98
三、11.432
12.(1)存在，理由略.(2)m≥1，证明略.
13.0w≤号0
175
14.n=10,0,-18,-8
15.m=15,斜边为13；m=12,斜边为10
第七讲
圆的有关性质
-、1.B2.D3.A4.C5.B
二、6.107.28.
9.410.36
5
三、11.连接OB,BC,△OBF△OCB→OB2=OC·OF
12.连接0E.0E-汽a6=1a+b=5→号+2-3
13.AE+BE=AB,AE·BE=AD·BC
14.(1)∠QPB=∠BAC=60°(2)△BAP≌△BCQ
(3)
R△ABP中，0
15.连接BO并延长交AD于H,则BH∥CD→CD=1,OH=0.5,
AD=2AH=22,AB=√6，BC=3
第八讲直线与圆的位置关系
-、1.A2.A3.A4.D5.A
=6909
7.ab
a+b
8.45°9.4V510.
弱
提示：EM=1,
PM=1.5,S△Px=3,S△PMN=
27
25
三、11.(1)6；
7(2)1=号或1=8
12.略
13.略
14.提示：(1)∠BIC=∠IEC(2)∠BID+∠CIE=∠AEI=
∠CIE+∠ECI
15.方法一：连接OA,OC,OO,OB,OC,利用S△0c+S△0,0c
十S△0，x十S0形0，Am,=SAAc可求得r=,5
2n+3
方法二：连接AO并延长交BC于D,连接OP,由角平分线定理可
求得CD=
专，由△A0,P△ADC可得AP=3r:同理可得BQ=2r,由
176

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