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14.设a和b为实数，且使x2十a.x十b十1=0有实数根，对所有这样
的a与b,求a2+4b的最小值.
15.计划用汽车从产油地A运油到B地，每辆汽车可载油a吨，但
A,B两地往返一次每辆车需耗油a吨，因此，让汽车由A地直接运往B
地是不可取的.为此，在中途设立中间站C,使一部分汽车只在A,C间往
返，而另一部分汽车在C,B之间往返.
(1)设AC-3AB,那么如何组织车辆，使运油率P(B地收到的汽油
吨数与A地运出的汽油吨数之比)最大？
(2)设AB=1,那么AC取何值时，运油率P最大？此时应如何组织
安排车辆？
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第十二讲几何最值与几何定值
【知识要点】
几何最值问题是指在一定条件下，求平面几何图形中某个确定的量
(如线段的长度、角度的大小、图形的周长、图形的面积等)的最大或最小
值.求几何最值的基本方法有：
1.先考虑图形的特殊位置与极端位置，确定最值的具体数据，再进
行一般情形下的推理、论证
2.利用几何中的不等关系.如：斜边大于直角边、两点之间线段最
短、三角形的两边之和大于第三边等：
3.利用代数基本不等式.如：若a>0,b>0,则a2十b≥2ab,当a=b
时，等号成立.
4.建立函数关系式，把几何最值转化成函数的最值.
5.建立一元二次方程，利用判别式，解不等式求最值
6.利用韦达定理构造一元二次方程，再利用判别式，求最值，
几何中的定值问题是指在一定条件下构成的图形中，当某些几何元
素（如角、线段、周长、面积）按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有
关的某种几何量始终保持不变（或几何元素之间的关系不变）.
平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角度、
定比值、平方和或倒数和为定值等)：一类是定形问题（如定点、定线、定圆
或定弧、定方向等)，它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由周定条
件和变动条件两部分组成：
一般来说，求解几何定值问题的方法有：
1.图形分析法.画出符合条件的图形后，分析图中几何元素的数量
关系及位置关系，直接寻求出定值并给予证明.
2.特殊位置法.不论图形如何变动，定值这一共性始终不变，因此，
可选择图形的特殊位置与极端位置（如中点、起点、终点、临界位置、极限
位置等)加以探索.
3.参数计算法.图形运动中，选取其中的变量作为参数，将要求的定
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值用参数表示出来，然后再消去参数，即得定值
【例题精讲】
例1如图，已知□ABCD中，AB=a,BC=b
(a>b),P为AB边上的一动点，直线DP交
CB的延长线于Q,求AP十BQ的最小值.
【分析】设AP=x,把BQ用x的代数式表
示，运用不等式a2+b≥2ab或a十b≥2√/ab
(当且仅当a=b时取等号)来求最小值.
b(a-x）
【解答】设AP=x,由△APDn△BPQ,得部=设，即BQ半
所以AP+BQ=x+ab二b虹=x+ab-b
因x+>2…=2a
所以当且仅当x=,即x=√ab时，上式等号成立，故当AP=√ab
时，AP+BQ最小，最小值为2√ab一b.
【点评】在这里，我们建立了AP十BQ与AP之间的函数关系，从而通
过基本不等式解决问题.
例3如图，正方形ABCD的边长为1，点M,N分别在
BC,CD上，使得△CMN的周长为2.求：
(1)∠MAN的大小：
(2)△MAN面积的最小值.
【分析】(1)如图，可把△AND绕点A旋转到△ALB
的位置，可得△AMN≌△AML;
(2)把△MAN的面积转化为△MAL的面积问题.
【解答】(1)如图，延长CB至L,使得BL=DN,则Rt△ABL≌
Rt△ADN;
所以AL=AN,∠DAN=∠BAL,∠NAL=∠BAL+∠BAN=
∠DAN+∠BAN=90
115参考答案
第一讲关于中点的联想
-、1.B2.B3.D4.C5.C
二、6.67.1三、11.连接AE,证明BE=AE=DF
12.连接AE,证明EP-2AD=专BC=EF
13.过A作AQ⊥BE于G,并延长交BC于点Q,则Q为BC的中点
14.延长AM,AN交BC于点F,G,证明M,N分别是AF,AG的
中点
15.AB+CD>AD+BC
第二讲二次根式
-、1.B2.A3.D4.B5.B
二、6.-3
2
7.20018.w5-19.1310.58
三、11.1)5-厅(2)
10
12.提示：证明等式两边的平方相等
13.194
14.提示：设W/a2+2005=b,两边平方，有b2-a2=1×2005=5×
401.和为1200.
15.a或2
第三讲
整体思想
-、1.B2.C3.C4.B5.B
二、6.47.18.-2439.510.1+2+3+6
6
三、11.等边三角形
12.a=1,b=2,c=1
174
13.将这6式相乘
14.M≥N
15.134
第四讲一元二次方程的解法
-、1.A2.D3.C4.C5.C
二、6.-7或67.-19978.0或39.110.0
三、11.1
12..2=±1+5
2
13.当m=1时，x=1;当m≠1时，x-1,x,=m二3
m-1
14.(1)=2=1,=}
2,x1=2:（2)1=2,x2=-3,x.4=
-1士√33
2
,(3).1-1,x2=-4.5;(4)x=-6,x2=1.
15.256
第五讲一元二次方程式根的判别式与韦达定理
-、1.A2.A3.C4.D5.B
9413
6.67.30,28.20039.19
10.-4≤m或m≤-
三、11.a=±4
12.p<-1
13.提示：△十△2≥0.
14.m=-3
15.a=1,b=-
2
第六讲
一元二次方程的构造与整数解
-、1.C2.C3.C4.A5.D
二、6.347.128.149.910.98
三、11.432
12.(1)存在，理由略.(2)m≥1，证明略.
13.0w≤号0
175
14.n=10,0,-18,-8
15.m=15,斜边为13；m=12,斜边为10
第七讲
圆的有关性质
-、1.B2.D3.A4.C5.B
二、6.107.28.
9.410.36
5
三、11.连接OB,BC,△OBF△OCB→OB2=OC·OF
12.连接0E.0E-汽a6=1a+b=5→号+2-3
13.AE+BE=AB,AE·BE=AD·BC
14.(1)∠QPB=∠BAC=60°(2)△BAP≌△BCQ
(3)
R△ABP中，0
15.连接BO并延长交AD于H,则BH∥CD→CD=1,OH=0.5,
AD=2AH=22,AB=√6，BC=3
第八讲直线与圆的位置关系
-、1.A2.A3.A4.D5.A
=6909
7.ab
a+b
8.45°9.4V510.
弱
提示：EM=1,
PM=1.5,S△Px=3,S△PMN=
27
25
三、11.(1)6；
7(2)1=号或1=8
12.略
13.略
14.提示：(1)∠BIC=∠IEC(2)∠BID+∠CIE=∠AEI=
∠CIE+∠ECI
15.方法一：连接OA,OC,OO,OB,OC,利用S△0c+S△0,0c
十S△0，x十S0形0，Am,=SAAc可求得r=,5
2n+3
方法二：连接AO并延长交BC于D,连接OP,由角平分线定理可
求得CD=
专，由△A0,P△ADC可得AP=3r:同理可得BQ=2r,由
176

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