资源简介

13.如图，点O是△ABC内任一点，直线AO,BO,CO分别与BC,
CAAB的交点是D,EF,求证肥·货·需为定值
14.如图，在△ABC中，AB=AC=a,D,E分别是AB,AC的中点，
P是DE上任一点，连接BP并延长交AC于G,连接CP并延长交AB
于F,求证：研+乙为定值
125
第十三讲三角形的“四心”与三点共线
【知识要点】
外心、内心、重心、垂心统称为三角形的“四心”，由于三角形的四心处
在特殊的位置上，因而它们具有丰富而独特的性质，这些性质是解三角形
“四心”问题的基础。
1.外心
三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，也是三角形外接圆
的圆心
锐角三角形的外心在三角形的形内：直角三角形的外心是斜边的中
点；钝角三角形的外心在三角形的形外.
如图1，设O是△ABC的外心，则
(1)0A=OB=OC;
(2)∠BOC=2∠BAC,∠AOC=2∠ABC,∠AOB=2∠ACB;
图1
图2
D
图3
图
2.内心
三角形三条内角平分线的交点叫三角形内心，也是三角形内切圆的
126
圆心.
如图2，设I是△ABC的内心，则
(1)1到各边的距离相等；
(2)∠BIC=90°+∠BAC:∠A1C=90+2∠ABC:∠AIB=90
+2∠ACB,
3.重心
三角形的三条中线的交点叫三角形的重心.
如图3，设G是△ABC的重心，则
(1)GD-GE_GF_1
GA GB GC2
(2)SAmC-SANC=SANG-1
4.垂心
三角形三边高所在直线的交点叫三角形的垂心.
锐角三角形的垂心在三角形形内：直角三角形的垂心是直角顶点：钝
角三角形的垂心在三角形的形外
如图4，设H是△ABC的垂心，则
(1)AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB;
(2)∠BHC+∠BAC=180°，∠AHC+∠ABC=180°，∠AHB+
∠ACB=180°.
证明三点共线的问题是平面几何中困难但又很有趣的问题，解决这
类问题的基本方法有如下几种：
1.利用平角的概念，证明相邻两角互补.
如图1所示，若∠AOP+∠BOP=180°，则A,O,B三点共线：
2
图1
图2
2.利用对顶角的概念，证明两角相等.
127
如图2所示，若O点在直线1上，若∠1=∠2，则A,O,B三点共线：
3.利用两点确定一条直线，证明第三点在此直线上
4.利用“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”.
如图3所示，PA∥1，PB∥l,则A,P,B三点共线
1
P
6
图3
图4
图5
5.利用“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”.
如图4所示，PA⊥1，PB⊥I,则P,A,B三点共线
6.利用相似三角形证三点共线.
如图5所示，△PADC∽△PCB,且P点在CD上，则由∠APD=
∠CPB可得A,P,B三点共线.
【例题精讲】
例1
如图，□ABCD中，E是AB的中点，AB
=10,AC=9,DE=12,□ABCD的面积是
多少？
【分析】
连接BD,交AC于点O,则G是
△ABD的重心，
【解答】连接BD,交AC于点O,则G是△ABD的重心，
AG=2×号AC=3,GE=3DE=4,AE=5
所以AC⊥DE
所以S△C=
AC.DG=号×9X8=36
所以口ABCD的面积是72.
【点评】三角形的重心分三角形中线两部分长度比为2：1.
128参考答案
第一讲关于中点的联想
-、1.B2.B3.D4.C5.C
二、6.67.1三、11.连接AE,证明BE=AE=DF
12.连接AE,证明EP-2AD=专BC=EF
13.过A作AQ⊥BE于G,并延长交BC于点Q,则Q为BC的中点
14.延长AM,AN交BC于点F,G,证明M,N分别是AF,AG的
中点
15.AB+CD>AD+BC
第二讲二次根式
-、1.B2.A3.D4.B5.B
二、6.-3
2
7.20018.w5-19.1310.58
三、11.1)5-厅(2)
10
12.提示：证明等式两边的平方相等
13.194
14.提示：设W/a2+2005=b,两边平方，有b2-a2=1×2005=5×
401.和为1200.
15.a或2
第三讲
整体思想
-、1.B2.C3.C4.B5.B
二、6.47.18.-2439.510.1+2+3+6
6
三、11.等边三角形
12.a=1,b=2,c=1
174
13.将这6式相乘
14.M≥N
15.134
第四讲一元二次方程的解法
-、1.A2.D3.C4.C5.C
二、6.-7或67.-19978.0或39.110.0
三、11.1
12..2=±1+5
2
13.当m=1时，x=1;当m≠1时，x-1,x,=m二3
m-1
14.(1)=2=1,=}
2,x1=2:（2)1=2,x2=-3,x.4=
-1士√33
2
,(3).1-1,x2=-4.5;(4)x=-6,x2=1.
15.256
第五讲一元二次方程式根的判别式与韦达定理
-、1.A2.A3.C4.D5.B
9413
6.67.30,28.20039.19
10.-4≤m或m≤-
三、11.a=±4
12.p<-1
13.提示：△十△2≥0.
14.m=-3
15.a=1,b=-
2
第六讲
一元二次方程的构造与整数解
-、1.C2.C3.C4.A5.D
二、6.347.128.149.910.98
三、11.432
12.(1)存在，理由略.(2)m≥1，证明略.
13.0w≤号0
175
14.n=10,0,-18,-8
15.m=15,斜边为13；m=12,斜边为10
第七讲
圆的有关性质
-、1.B2.D3.A4.C5.B
二、6.107.28.
9.410.36
5
三、11.连接OB,BC,△OBF△OCB→OB2=OC·OF
12.连接0E.0E-汽a6=1a+b=5→号+2-3
13.AE+BE=AB,AE·BE=AD·BC
14.(1)∠QPB=∠BAC=60°(2)△BAP≌△BCQ
(3)
R△ABP中，0
15.连接BO并延长交AD于H,则BH∥CD→CD=1,OH=0.5,
AD=2AH=22,AB=√6，BC=3
第八讲直线与圆的位置关系
-、1.A2.A3.A4.D5.A
=6909
7.ab
a+b
8.45°9.4V510.
弱
提示：EM=1,
PM=1.5,S△Px=3,S△PMN=
27
25
三、11.(1)6；
7(2)1=号或1=8
12.略
13.略
14.提示：(1)∠BIC=∠IEC(2)∠BID+∠CIE=∠AEI=
∠CIE+∠ECI
15.方法一：连接OA,OC,OO,OB,OC,利用S△0c+S△0,0c
十S△0，x十S0形0，Am,=SAAc可求得r=,5
2n+3
方法二：连接AO并延长交BC于D,连接OP,由角平分线定理可
求得CD=
专，由△A0,P△ADC可得AP=3r:同理可得BQ=2r,由
176

展开更多......

收起↑