资源简介

第十讲 相遇问题
●小●学●四●年●级
第十讲 相遇问题
【知识概述】
两个运动物体相向运动或在环形跑道上做背向运动,随着时间的发展,必然
面对面地相遇,这类问题就是相遇问题。基本数量关系式是:
路程=速度和×相遇时间
相遇时间=路程÷速度和
速度和=路程÷相遇时间
甲车速度=路程÷相遇时间-乙车速度
列车行程问题有车长与桥长问题,还有两列火车的“追及”“相遇”问题。下
列着重介绍两列火车的“追及”“相遇”问题。
两列火车“追及”的情况,请看下图:
两列火车A 与B,图1中图(1)表示A 已经追上B,图(2)表示A 已经超过
B。可看出,A 的车头比B 的车头多行的路程是B 的车身长与A 的车身长的和,
因此,A 车追上到超过B 车所用的时间是:
(A 的车身长+B 的车身长)÷(A 的车速-B 的车速)
两列火车相遇的情况,请看上图2中,根据前面类似地分析,可以看出,A、B
两列火车从相遇到错过所需的时间是:
(A 的车身长+B 的车身长)÷(A 的车速+B 的车速)。
例题精学
例1 甲、乙两人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千
米,乙每小时走4千米,两人几小时后相遇
【思路分析】 出发时甲、乙两人相距30千米,以后两人的距离每小时都缩短6+
123
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
4=10(千米),即两人的速度的和(简称速度和),所以30千米里有几个10千米就
是几小时相遇。
同步精练
1.甲、乙两列客车同时由相距680千米的两地相对出发,甲客车每小时行42
千米,经过8小时后相遇。乙客车每小时行多少千米
2.一条环形跑道长400米,甲骑自行车每分钟骑450米,乙跑步每分钟跑
250米,两人同时从同地同向出发,经过多少分钟两人相遇
3.甲、乙两列火车从相距366千米的两个城市相对开出,甲列火车每小时行
37千米,乙列火车每小时行36千米,甲列火车先开出2小时后,乙列火车才开
出,乙列火车行几小时后与甲列火车相遇 相遇时两列火车各行了多少千米
例2 小明步行上学,每分钟行70米。离家12分钟后,爸爸发现小明的文具盒
忘在家中,爸爸带着文具盒,立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明。爸
爸出发几分钟后追上小明
【思路分析】 画出示意图:
当爸爸出发时,小明已经走了12分钟到达A 地,这段路就是爸爸要追赶的
路程,称为“追及路程”(或距离差)。爸爸每分钟比小明快(280-70)米,即210
米/分,称为“速度差”。追及路程里面有多少个210米,就需要多少分钟追上。这
个时间称为“追及时间”。
124
第十讲 相遇问题
●小●学●四●年●级
同步精练
1.小明以每分钟50米的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑
自行车去追小明,结果在距学校1000米处追上小明,求小强骑自行车的速度。
2.甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞,向同一方向飞行,甲机每小时行300
千米,乙机每小时行340千米,飞行4小时后它们相隔多少千米 这时候甲机提
高速度用2小时追上乙机,甲机每小时要飞行多少千米
3.大客车和小轿车同地、同方向开出,大客车每小时行60千米,小轿车每小
时行84千米,大客车出发2小时后小轿车才出发,几小时后小轿车追上大客车
例3 一列客车长190米,一列货车长240米,两车分别以每秒20米和23米的速
度相向行进,在双轨铁路上,两车从车头相遇到车尾相离共需要多少时间
【思路分析】 根据题目的条件可知,本题属于两列火车相遇的情况,用公式可直
接计算。
同步精练
1.一列火车长160米,全车通过440米的桥需要30秒,这列火车每秒行多
少米
2.一列火车长258米,以每秒18米的速度通过一个山洞,从车头入洞到车
尾出洞共用了3分45秒。山洞的长是多少米
3.慢车的车身长是142米,车速是每秒17米,快车车身长是173米,车速是
每秒22米,慢车在前面行驶,快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间
125
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
例4 小张从甲地到乙地,每小时步行5千米,小王从乙地到甲地,每小时步行
4千米。两人同时出发,然后在离甲、乙两地的中点3千米的地方相遇,求甲、乙
两地间的距离。
【思路分析】 画示意图:
离中点3千米的地方是A 点,从图上可以看出,小张走了两地距离的一半多
3千米,小王走了两地距离的一半少3千米。从出发到相遇,小张比小王多走了
6千米。
小张比小王每小时多走(5-4)千米,从出发到相遇所用的时间是
6÷(5-4)=6(小时)
因此,甲、乙两地的距离是(5+4)×6=54(千米)。
同步精练
1.甲、乙两车同时同地背向而行,甲车每小时行50千米,乙车每小时行
42千米,当甲车比乙车多行32千米时,甲、乙两车相距多少千米
2.甲、乙两队学生从相距18千米的两地同时出发,相向而行。一个同学骑
自行车以每小时14千米的速度在两队间不停地往返联络。甲队每小时行5千
米,乙队每小时行4千米,两队相遇时,骑自行车的同学共行多少千米
3.甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行。甲每小时行20千米,乙每小时
行18千米。两人相遇时距全程中点3千米。全程长多少千米
126
第十讲 相遇问题
●小●学●四●年●级
练 习 卷
一、选择。
1.两列火车同时从两个城市相对开出,甲列车每小时行50千米,乙列车每
小时行40千米,经过4小时相遇。两个城市间的铁路长多少千米 列式是
( )
A.50+40×4 B.(50+40)×4 C.40+50×4
2.客轮和货轮同时从两个港口对开,16小时相遇。客轮每小时行28千米,
货轮每小时行24千米。两个港口相距多少千米 列式是 ( )
A.(28+24)×16 B.24×16+28
C.28×16+24 D.28×24+28×16
3.小刚家在学校南面,志华家在学校北面。小刚每分走65米,走到学校用8
分;志华每分走64米,走到学校用7分。小刚家到志华家有多少米 列式是
( )
A.65×7+64×8 B.(65+64)×(8+7) C.(65+64)×7+65
4.甲、乙两人各从所在村相对出发,甲每小时走11千米,乙每小时走10千
米,相遇时甲走4小时,乙比甲少用1小时,两个村间有多少千米 列式是
( )
A.11×4+10×1 B.11×4+10×(4-1)
C.11×4+10×(4+1) D.(10+11)×4-10
5.A、B 两地之间相距1800千米,甲、乙两辆卡车从两地同时相对开出,甲
车每小时行50千米,乙车每小时行40千米,经过几小时两车相遇 ( )
A.20小时 B.36小时 C.45小时 D.81小时
6.甲、乙两个修路队合修一条路,甲队每天修18米,乙队每天修15米,两队
合修24天修完,这条路全长多少米 列式是 ( )
A.18-15=3(米),3×24=72(米)
B.18+15=33(米),33×24=792(米)
127
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
二、填空。
1.小张从甲地到乙地步行需要36分钟,小王骑自行车从乙地到甲地需要12
分钟。他们同时出发,( )分钟后两人相遇。
2.甲、乙两人同时从学校出发到少年宫去,已知学校到少年宫的距离是2400
米,甲到少年宫后立即返回学校,在距离少年宫300米处遇到乙,此时他们离开学
校已30分钟。甲每分钟走( )米,乙每分钟走( )米。
3.一列火车开过一座长1200米的大桥,需要75秒,火车以同样的速度开过
路旁的电线杆只需15秒,火车长( )米。
4.某工程兵修铁路开凿山洞的长是300米,两个班从两端开始凿山洞,甲班
每天凿出5米,乙班每天凿出6米,同时开凿( )天后,还差80米没有凿通。
5.两列货车从相距450千米的两个城市相向开出,甲货车每小时行38千
米,乙货车每小时行40千米,同时行驶4小时后,还相差( )千米没有相遇。
三、解决问题。
1.两艘渡船从南岸开往北岸,第一艘船以每小时30千米的速度先开,第二
艘晚开2小时,速度为每小时40千米,结果两船同时到达,南北两岸相距多远
2.甲、乙两人环绕周长为400米的跑道跑步,若两人从同一地点背向而行,
经2分钟能相遇;两人如果从同一地点同向而行,经过20分钟追及相遇,求甲、乙
各自的速度。
3.两座大楼相距300米,甲、乙两人各从一座大楼门口向相反方向走去,7分
钟后两人相距860米。甲每分钟走37米,乙每分钟走多少米
4.甲、乙两车从A、B 两地同时出发,相向而行,甲车每小时行40千米,乙车
每小时行50千米,2小时后两车相距40千米。A、B 两地的距离是多少千米
128
第十讲 相遇问题
●小●学●四●年●级
5.一列火车全长265米,每秒行驶25米,全车要通过一座985米长的大桥,
需要多少秒
6.一列长50米的火车,穿过200米长的山洞用了25秒。这列火车每秒行
多少米
7.甲、乙两车分别从东西两城同时相对开出,经过3小时两车共走了全程的
一半,这时乙车停在货站装货,甲车继续行驶320千米,在货站与乙车相遇,乙车
装货后用原来每小时40千米的速度向东城开,乙车从货站开到东城要用几小时
8.大毛和二毛两人同时从相距1000米的两地相向而行。大毛每分钟行
120米,二毛每分钟行80米,如果一只狗与大毛同时同向而行,每分钟行500米,
遇到二毛后,立即回头向大毛跑去,遇到大毛后再向二毛跑去。这样不断来回,
直到大毛和二毛相遇为止,狗共行了多少米
9.一个车队以5米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥,共用145秒。
已知每辆车长5米,两车间隔8米。问:这个车队共有多少辆车
10.有甲、乙、丙三人,都从A 城到B 城。甲每小时行4千米,乙每小时行
5千米,丙每小时行6千米。甲出发3小时后乙出发,恰好三人同时到达B 城。
乙出发几小时后丙才出发
129参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
13.2 4 1 8 9 3 56 7 小数是0.1,0.999-0.1=0.899。
二、1.B 2.B 2.纯小数的整数部分是0,最大的是0.1110,最
三、537-(137+286)=537-137-286=400-286 小的是0.0111。
=114 3.小数有无数个,两位小数有9个,分别是
184+57+16=(184+16)+57=200+57=257 0.11、0.12、0.13、0.14、0.15、0.16、0.17、0.18、
25×32×125=(25×4)×(8×125)=100× 0.19。
1000=100000 例3 第70个数是352.41。
185-(85-17)=185-85+17=100+17=117 [同步精练]
165-27+35-73=(165+35)-(27+73)= 1.用1、2、3、4做最高位的一位小数各有24个,
200-100=100 24×4=96,第98个数是以5做最高位的从小到大
143-59-41=143-(59+41)=143-100=43 排列的第2个,即5124.3。
四、先取者取两根,以后每次把4的倍数根火柴留给 2.后个数是前一个数的3倍,填13.5、40.5和
对方取。先取者获胜。 121.5。
五、1.(16+10)÷(8-6)=13(间) 8×13-10= 3.0.1,0.3,0.5,0.7…间隔排列,所以第2个括
94(人) 号里应填0.9;0.5,0.7,0.9…间隔排列,所以第一个
2.-0.3 0 +0.1 -0.1 0 +0.3 括号里应填1.1。
-0.2 +0.2 +0.1 -0.1 例4 62×(62+1)÷2=1953,2001-1953=48
3.720×2÷(720÷60+720÷120)=1440÷ 48<63,63-48+1=16(个),0.2001应排在第
(12+6)=80(米/分) 63行左起第16个。
4.20+6+8+4=38(种) [同步精练]
5.9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(次) 1.(2+4)÷2=3 (6+4)÷2=5 (3+9)÷2
6.2×21=42(盆) =6 (12+0)÷2=6 (4+4)÷2=4,( )中
7.10梅=3苹+1梨;18梅+3苹=3梨,两式 填9。
相加得:7梅=1梨。 2.分组观察(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,
8.132-(30-1)×2=74 (74+132)×30÷2 6),(5,6,7)…每组中的第一个数分别是1,2,3,4,5
=3090(个) …且第几组的第一个数就是几,每组中三个数的和
等于中间一个数的3倍。下 册 100÷3=33
(组)……1(个
数),第100个数是第33+1=34(组)的第1个数,和
为:(2+3+4+…+34)×3+34=1816。
第一讲 小数的意义和加减法(小数的意义) 3.62×(62+1)÷2=1953(个)数,前62行已经
例1 5.845>5.84>5.8399>5.839>5.79 排了1953个数,还剩1991-1953=38(个)数,38<
[同步精练] 63。0.1991应排在第63行左起第38个。
1.整数部分都是7,就比十分位。十分位上8
练 习 卷
最大,是7的几个数再比百分位或千分位上的数。
7<7.007<7.07<7.7<7.707<7.708<7.8。 一、1.600.06
2.最小的两位小数是0.81,最大的两位小数是 2.2.034 2.025 提示:当这个小数“四舍”时
0.89。 它比2.03大,最大是2.034;当这个小数“五入”时,
3.(1)后一个数比前一个数多0.4,填1.8和 它比2.03小,最小是2.025。
2.2。 (2)后一个数是前一个数的3倍,填16.2和 3.3 提示:12.5万=125000,所以把12.5万
48.6。 (3)分别填最小的四位小数0.0001和最小 的“万”字和小数点去掉,要再加3个0才能保证数
的五位小数0.00001。 值没有改变。
例2 0.99+0.01=1 二、1.B 提示:4.73与4.731相差最少。
[同步精练] 2.D
1.最大的三位纯小数是0.999,最小的一位纯 3.D 提示:这三个数的数值相等都是10,但因
183



同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
为它们的小数位数不同,所以它们的精确度不同。 [同步精练]
4.C 提示:分别是0.21、0.22、0.23、0.24、 1. 0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9
0.25、0.26、0.27、0.28、0.29,共9个。 =1+10+100+1000+10000-0.1-0.1-
三、1.上面两个数相加的和乘下行左边的数就是下 0.1-0.1-0.1
行右边的数。(4+3)×5=35。 =11111-0.5
2.用6、7做最高位的数各有6个。第15个数 =11110.5
是8做最高位数时的第3个数,是876.9。 2. 0.9+0.98+0.997+0.9996+0.99995
3.方框中是1、3两个数字,试2次即可。 =1+1+1+1+1-0.1-0.02-0.003-
4.因为A+D=B+D③,根据①+③得到ADD>B>A。 =4.87655
5.将拐弯处的个数与拐弯处的数排列如下: 3.此题尽管小数的数位比较多(A 是102位小
数,B 是103位小数),计算加减时依然要注意数位
对齐。
第二十个拐弯处的数是0.1+0.1+0.1+0.2+ (1)A +B =0.00…01375,(2)A -B =
0.2+0.3+0.3+0.4+0.4+…+1.0+1.0=11.1。 ︸99个0
… 。
6.采取逐一试验的方法可以发现1号座位上的 0.00 0125︸
个
人永远当不上幸运者。 100 0
例4 4.9+14.7+24.5+34.3+44.1=122.5(米)。
第二讲 小数的意义和加减法(小数的加减法) [同步精练]
例1 15.4+(9-6)+(0.7-0.4)=15.4+3+0.3 1.5.0是这7个数的平均数,它们的和为5×7
=18.7 =35。
[同步精练] 2.□与△的差是0.6,△与□的和是1.6,△=
1.一个加数个位上的9看成了4,就少加了9- (1.6-0.6)÷2=0.5,□=0.5+0.6=1.1。
4=5;另一个加数百分位上的1看成了7,就多加了 3.0.2+(0.2+0.1)+(0.2+0.1+0.1)+(0.2
0.07-0.01=0.06。正确的结果是17.42+5-0.06 +0.1+0.1+0.1)+(0.2+0.1+0.1+0.1+0.1)
=22.36。 =0.2+0.3+0.4+0.5+0.6=2(米)。
2.被减数百分位上的3看成了8,就多算了
练 习 卷
0.05;减数十分位的7看成了2就少减了0.5。正确
的结果应该是1.87-0.05-0.5=1.32。 1.(1) 5.74-2.42+3.26-4.58
3.被减数个位上的2看成了6就多算了4,减 =(5.74+3.26)-(2.42+4.58)
数百分位上的7看成了1就少减了0.06,所以错误 =9-7
的结果与正确的结果相差4+0.06=4.06。 =2
例2 a=4,b=5,c=1 (2) 19.9+19.98+19.997+19.9996
[同步精练] =20+20+20+20-0.1-0.02-0.003-
1.A=9,B=8,C=0,M=5,N=3。 0.0004
2.8.78=a.bc+a.bc,所以a.bc=8.78÷2= =80-0.1234
4.39,a+b+c=4+3+9=16。 =79.8766
3.以两个加数的最高位的计算情况可知:节= 2.(1)a+b=0.00…01025︸
1,庆=9,再 依 次 推 算 其 他 字。这 个 竖 式 的 和 是 19个0
987654.321。 (2)a-b=0.00…0575︸
例3 0.9+0.99+0.999+0.9999 20个0
=1+1+1+1-0.1-0.01-0.001-0.0001 3.被减数十分位上的4看成了9,就多算了
=4-0.1111 0.9-0.4=0.5;减数百分位上的9看成了4,就少减
=3.8889 了0.09-0.04=0.05,错误的结果与正确的结果相
184
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
差0.5+0.05=0.55。 例2 分 别 以 OA、OB、OC、OD 为 一 边 的 角 有
4.14.48+95.73=110.21或14.48+85.73= ∠AOB、∠BOC、∠COD 和∠DOE,把它们看作基
100.21 9.007-3.424=5.583 本角,
5.新=1 年=8 快=0 乐=2 由一个基本角组成的角有:∠AOB、∠BOC、
6.两根木线条被锯去同样长的一段,它们差是不 ∠COD 和∠DOE 4个
变的,依然相差2.6-1.8=0.8(米)。0.8÷(2-1)= 由两个基本角组成的角有:∠AOC、∠BOD 和
0.8(米),1.8-0.8=1(米)。两根木条各剪去1米。 ∠COE 3个
7.7×5+7×3+1.5×2+4+6.5=69.5(元), 由三个基本角组成的角有:∠AOD、∠BOE
单独购买要69.5元;69.5-55=14.5(元),节省了 2个
14.5元。 由四个基本角组成的角有:∠AOE 1个
8.分两种情况考虑: 所以图中一共有10个角。
[同步精练]
(1)如图: 1.15 2.15 3.20
例3 18个
( ) ( ); [同步精练]池深= 3+0.2 ÷2=1.6 米
1.36个 2.36个 3.9
( 例 (个)2)如图: 4 16+9+4+1=30
[同步精练]
池深 ( )=(3-0.2)÷2=1.4(米)。 1.9+4+1=14 个
9.边长是0.7米,0.8米,1.0米,1.1米的正方 2.25+16+9+4+1=55
(个)
形各1种,边长是0.9米的正方形可以是0.1+0.8, 3.20+12+6+2=40
(个)
0.2+0.7,0.3+0.6,0.4+0.5,0.9这五条边中选 练 习 卷
4条,所以有5种方法,一共有1+1+1+1+5=9(种) 1.31条 2.21个 3.30个 4.60个
方法。
5.210个 6.(1)36+25+16+9+4+1=91(个)
第三讲 认识三角形和四边形(图形计数) (2)10个
例1 方法一:以线段左端点为起点分类数的方法, 第四讲 小数乘法(小数乘法的简便计算)
以A 点为左端点的线段有:AB、AC、AD、AE 例1 0.125×0.25×0.5×64=0.125×0.25×0.5
4条 ×8×4×2=(0.125×8)×(0.25×4)×(0.5×2)=
以B 点为左端点的线段有:BC、BD、BE 3条 1×1×1=1
以C 点为左端点的线段有:CD、CE 2条 [同步精练]
以D 点为左端点的线段有:DE 1条 1.1.31×12.5×8×2=(1.31×2)×(12.5×8)
所以图中共有线段:4+3+2+1=10(条) =2.62×100=262
方法二:把图中线段AB、BC、CD、DE 看成基 2.1.25×32×0.25=(1.25×8)×(4×0.25)=
本线段 10×1=10
由一条基本线段组成的线段有 AB、BC、CD、 3.1.25×88=1.25×8×11=10×11=110
DE 4条 例2 (1)1.25×1.08=1.25×(1+0.08)=1.25×1
由两条基本线段组成的线段有AC、BD、CE +1.25×0.08=1.25+0.1=1.35
3条 (2)7.5×9.9=7.5×(10-0.1)=7.5×10-
由三条基本线段组成的线段有AD、BE 2条 7.5×0.1=75-0.75=74.25
由四条基本线段组成的线段有AE 1条 [同步精练]
图中一共有10条线段 4+3+2+1=10(条) 1.(1)2.5×10.4=2.5×(10+0.4)=2.5×10
[同步精练] +2.5×0.4=25+1=26
1.15 2.28 3.25 (2)3.8×0.99=3.8×(1-0.01)=3.8×1-
185
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
3.8×0.01=3.8-0.038=3.762 2.16.08×0.125=2.01×(8×0.125)=2.01×
2.0.125×92=0.125×(100-8)=0.125×100 1=2.01
-0.125×8=12.5-1=11.5 3.99×73.2+73.2=(99+1)×73.2=100×
3.(1)4.6×99+4.6=4.6×(99+1)=4.6× 73.2=7320
100=460 4.31.8×16+0.16×6820=31.8×16+16×
(2)7.5×101-7.5=7.5×(101-1)=7.5× 68.2=16×(31.8+68.2)=16×100=1600
100=750 5.2.9×165+0.71×1650=2.9×165+7.1×
例3 399.6×9-1998×0.8=(399.6×5)×(9÷5) 165=(2.9+7.1)×165=10×165=1650
-1998×0.8=1998×1.8-1998×0.8=1998× 6.314×0.043+3.14×7.2-31.4×0.15=
(1.8-0.8)=1998 3.14×4.3+3.14×7.2-3.14×1.5=3.14×(4.3
[同步精练] +7.2-1.5)=3.14×10=31.4
1.404.6×7-2023×0.4=(404.6×5)×(7÷ 7.0.25×4.73×0.125×320=0.25×4.73×
5)-2023×0.4=2023×1.4-2023×0.4=2023× 0.125×8×4×10=(0.25×4)×(0.125×8)×
(1.4-0.4)=2023 (4.73×10)=1×1×47.3=47.3
2.239×7.2+956×8.2=(239×4)×(7.2÷4) 8.4.7×2.8+3.6×9.4=4.7×2.8+(3.6×2)
+956×8.2=956×1.8+956×8.2=956×(1.8+ ×(9.4÷2)=4.7×2.8+7.2×4.7=4.7×(2.8+
8.2)=956×10=9560 7.2)=4.7×10=47
3.275×12+1650×23-3300×7.5=(275×6) 9.0.45×99=0.45×(100-1)=0.45×100-
×(12÷6)+1650×23-(3300÷2)×(7.5×2)= 0.45×1=45-0.45=44.55
1650×2+1650×23-1650×15=1650×(2+23- 10.2.7×3.7+0.37×73=2.7×3.7+3.7×
15)=1650×10=16500 7.3=3.7×(2.7+7.3)=3.7×10=37
例4 48×0.56+44×0.48=0.48×56+44×0.48 第五讲 观察物体(方阵问题)
=0.48×(56+44)=0.48×100=48或48×0.56+
44×0.48=48×(0.56+0.44)=48×1=48 例1 方阵最外层每边人数:60÷4+1=16(人);整
[同步精练] 个方阵共有学生人数:16×16=256(人)。
1. 0.279×343+0.657×279 [同步精练]
=0.279×343+657×0.279 1.解:方 阵 最 外 层 每 边 人 数:56÷4+1=
=0.279×(343+657) 15(人),整个方阵共有学生人数:15×15=225(人)
=0.279×1000 答:方阵最外层每边有15人,此方阵中共有
=279 225人。
2. 0.264×519+264×0.481 2.解法1:最外边一层棋子个数:(14-1)×4=
=0.264×519+0.264×481 52(个)
=0.264×(519+481) 第二层棋子个数:(14-2-1)×4=44(个)
=0.264×1000 第三层棋子个数:(14-2×2-1)×4=36(个)
=264 摆这个方阵共用棋子:52+44+36=132(个)
3. 9.16×1.53-0.053×91.6 解法2:还可以这样想:中空方阵总个数=(每边个
=9.16×1.53-0.53×9.16 数-层数)×层数×4进行计算。
=9.16×(1.53-0.53) (14-3)×3×4=132(个)
=9.16×1 答:摆这个方阵共需132个围棋子。
=9.16 例2 方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题
中去掉一行、一列的人数是33人,则去掉的一行(或
练 习 卷 一列)人数=(33+1)÷2=17(人)。方阵的总人数
1.0.8×0.04×12.5×25=(0.8×12.5)× 为最外层每边人数的平方,所以总人数为17×17=
(0.04×25)=10×1=10 289(人)。
186
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
[同步精练] 个花坛共栽花69株。
1.本题中去掉的人数=7×2-1=13(名),还剩 答:大三角形边上共栽花48株,整个花坛共栽
的人数=(7-1)×(7-1)=36(名)。 花69株。
2.本题中去掉的人数=8×2-1=15(名),还剩 练 习 卷
的人数=8×8-15=49(名)。
答:如果去掉一行一列,还剩下49名学生。 1.这要用到方阵的公式逆运算,100必然是一
3.依据:去掉一行、一列的总人数=去掉的每边 个数的平方数,因为10×10=100(枚),并且是实心
人数×2-1 的方阵,所以最外层有10×4-4=36(枚)。
可知每边的人数是:(27+1)÷2=14(人) 2.先去2行,共去掉20人,再去掉2列,共去掉
原人数是:14×14=196(人) 16人
,所以,一共去掉了36人。
( ) ,
例3 这样想:把中空方阵的总人数,看作中实方阵 3.
一共有6×6=36 枚 棋子 最外层一共有
(枚)。
总人数减去空心方阵人数。 6×4-4=20
() : ( ) 4.(1)中实方阵总人数:16×16=256(人)1 中实方阵总人数 12×12=144 人
(2)
()第四层每边人数: ( ) (人)
第四层每边人数:12-2×(4-1)=6(人) 2 16-2× 4-1 =10
(3)空心方阵人数:( ) ( ) ( )
(3)空心方阵人数:(10-2) ( ) (人)6-2 × 6-2 =16 人 × 10-2 =64
()
() 中空方阵人数
: (人)
4 中空方阵人数:144-16=128(人)
4 256-64=192
5.由于方阵中相邻两层相差8,因此第二层应
答:总人数是128人。
摆鲜花48-8=40(盆),第 三 层 有 花[ 40-8=同步精练]
(盆),第四层有花 (盆)。这样通过枚举
1.(1)中实方阵总人数:10×10=100(人)
32 32-8=24
方法求出一共有四层花,及中间两层花的总数。因
(2)第三层每边人数:10-2×(3-1)=6(人)
此一共摆了 (盆)。
(3)空心方阵人数:(6-2)×(6-2)=16(人)
48+40+32+24=144
6.增加后外层共有:(16+2-1)×4=68(个)
(4)中空方阵人数:100-16=84(人)
原来内层共有(16-2-1) ×4=52(个)
2.方阵的外一层应该比内一层多8个,这个方
需要增加68-52=16(个)
阵有5层,总棋子数应该是第3层的5倍,所以第3
层有40个,最外层比第3层多16个,所以最外层有 第六讲 认识方程
56个,最外层每边棋子数为56÷4+1=15(个)。 例1 0.7x-3=0.3x+0.2
3.(1)最外层每边人数:48÷4+1=13(人) 解:0.7x-0.3x=0.2+3
(2)最内层每边人数:16÷4+1=5(人) 0.4x=3.2
(3)这个方阵的层数:(13-5)÷2+1=5(层) x=3.2÷0.4
(4)中实方阵总人数:13×13=169(人) x=8
(5)空心方阵人数:(5-2)×(5-2)=9(人) [同步精练]
(6)中空方阵人数:
169-9=160(人) 1. 0.6x+1.4x=8.2-5.4
答:这个方阵有5层,总人数是160人。 解:2x=2.8
4.①从已知条件中可以知道大三角形的边长是 x=2.8÷2
小三角形边长的2倍,又知道每个小三角形的边上 x=1.4
均匀栽9株,则大三角形边上栽的株数为9×2-1= 2. 0.25x-3.2=0.5x-5.2
17(株)。 解:5.2-3.2=0.5x-0.25x
②又知道这个大三角形的三个顶点上栽的一株 2=0.25x
花是相邻的两条边共有的,所以大三角形三条边上 x=2÷0.25
共栽花:(17-1)×3=48(株)。 x=8
③再看图中涂色的小三角形三个顶点正好在大 3. 2.8x=19.32-6.4x
三角形的边上,在计算大三角形栽花株数时已经计 解:6.4x+2.8x=19.32
算过一次,所以小三角形每条边栽花株数:9-2=7 9.2x=19.32
(株),中间小三角形三条边一共栽7×3=21(株),整 x=2.1
187
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
例2 0.2×(3x-5)+3=0.4×(x-2)+4 3.3(4-y)-7=7(2-y)+2(y-3)-1
解:0.6x-1+3=0.4x-0.8+4 解:12-3y-7=14-7y+2y-6-1
0.6x+2=0.4x+3.2 5-3y=7-5y
0.6x-0.4x=3.2-2 5y-3y=7-5
0.2x=1.2 2y=2
x=6 y=1
[同步精练] 例4 设“□”=x,得0.3x-x×0.25=21.15-7x
1.0.4(x-0.6)-1.5=1.2x-3.34 解得x=3,所以□中应填3。
解:0.4x-0.24-1.5=1.2x-3.34 [同步精练]
0.4x-1.74=1.2x-3.34 1.4.3x-1.1=1.3x+3.7 x=1.6 ○中应
3.34-1.74=1.2x-0.4x 填1.6。
0.8x=1.6 2.将原方程中的x 换成6。即得0.4×(6-
x=2 0.2)+m=0.7×6-0.38。这就是一个未知数为m
2. 3(3x-2)=10-0.5(x+3.5) 的方程了。m=1.5。
解:9x-6=10-0.5x-1.75 3.设某数为x,得(x-10)×2+70=250,解得
9x-6=8.25-0.5x x=100。
9x+0.5x=8.25+6 练 习 卷
9.5x=14.25 1.(1)3x÷5=15
x=1.5 解:3x=15×5
3.(0.6x+420)÷(x+20)=3 3x=75
解:3(x+20)=0.6x+420 x=25
3x+60=0.6x+420 (2)0.5×8+7x=18
3x-0.6x=420-60 解:4+7x=18
2.4x=360 7x=14
x=150 x=2
例3 5(y-4)-7(7-y)-9=12-3(9-y) 2.(1)2x+3=11-6x
解:5y-20-49+7y-9=12-27+3y 解:6x+2x=11-3
12y-78=3y-15 8x=8
12y-3y=78-15 x=1
9y=63 (2)7x-7=4x-1
y=7 解:7x-4x=7-1
[同步精练] 3x=6
1.4(2y+5)-3y=7(y-5)+4(2y+1) x=2
解: 8y+20-3y=7y-35+8y+4 3.6(x+1)=0.5(10x+16)
5y+20=15y-31 解:
6x+6=5x+8
31+20=15y-5y 6x-5x=8-6
10y=51 x=2
y=5.1 4.5(x+2)-3(1-x)=23
2.3(x+2)-4(x-1)+2(3x-1)-18=0 解:5x+10-3+3x=23
解:3x+6-4x+4+6x-2-18=0 8x+7=23
5x-10=0 8x=16
x=2 x=2
188
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
5. 3.(1)
7(2y-1)-3(4y-1)+5(4y+2)-28=0
天气
解:14y-7-12y+3+20y+10-28=0 天数 16 10 4
22y-22=0
1 (2)y=
6.
35(x-2)-15(5x-6)=22x-63-21(3x-4)
解:35x-70-75x+90=22x-63-63x+84
20-40x=21-41x
41x-40x=21-20
x=1
7.设某数为x,得[(x+6)×6-6]÷6=6,解
得x=1,某数为1。
8.设“□”=x,得24×x-x×15=18,解得x 例2 项目 跳绳 踢毽子 跳远 跑步
=2,□中应填2。 人数 18 8 16 12
9.5a-16=12+a,a=7。
10.a+(a-1)+(a+1)=120,3a=120,a=40。 [同步精练]
a-1=39,a+1=41。 1. 季节 春 夏 秋 冬
第七讲 数据的表示和分析 人数 12 9 12 12
(条形统计图和平均数)
2.(1)
例1 种类 杨树 槐树 柳树
棵数 14 24 20
(2)6
3.(1)车模 形体 (2)34
例3
[ 水果同步精练]
1. 人数 18 9 15
2.
[同步精练]
1.(1)
学习辅
类型 合计 故事书 科幻书 文艺书
导书
数量/本 90 30 20 5 35
189
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
(2) 3.
练 习 卷
1.(1)
月份 合计 一月 二月 三月
(3)①文艺书 科幻书 ②7 水费(元) 75 20 25 30
2.(1) (2)①三 一 ②75
姓名 小明 小丽 小红 2.(1)
数量/个 6 4 12
节目名称 动画片 电视剧 新闻
(2) 人数 20 14 8
(2)
例4
(3)
[同步精练]
1.
第八讲 平均数问题
例1 解: (90+88+92)÷3
=270÷3
=90(厘米)
答:张强在跳远比赛中的平均成绩是90厘米。
[同步精练]
2. 1.解:小华、小芳、小红和小丽的体重总和是
40+42+38+52=172(千克)
她们的平均体重是172÷4=43(千克)
答:她们四人的平均体重是43千克。
2.解:先求出七天最高气温之和,再除以一周七
天,即可求出平均最高气温。
28+29+25+25+22+21+25=175(度)
175÷7=25(度)
答:这一周的平均最高气温是25度。
190
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
3.解: (96+96+99)÷3 答:这个小组同学的平均身高是129厘米。
=291÷3 3.解: (13×3+12×15+11×11+10×21)÷
=97(分) (3+15+11+21)
答:王明期末考试的平均成绩是97分。 =(39+180+121+210)÷50
例2 前3天看的页数是 =550÷50
14×3=42(页) =11(岁)
后4天看的页数是 答:四(1)班同学的平均年龄是11岁。
21×4=84(页) 例4 解:语文、外语、自然三科总成绩是
这本书的总页数是 74×3=222(分)
42+84=126(页) 四科总成绩是
小花平均每天看的页数是 (74+3)×4=308(分)
126÷(4+3)=18(页) 数学成绩是
答:小花平均每天看18页。 308-222=86(分)
[同步精练] 综合算式:(74+3)×4-74×3=86(分)
1.解: 151+145×2+147×6 答:小华的数学成绩是86分。
=151+290+882 [同步精练]
=1323(厘米) 1.解: (93+2)×3-93×2
1323÷(1+2+6) =95×3-186
=1323÷9 =285-186
=147(厘米) =99(分)
答:田径队同学的平均身高为147厘米。 答:小明数学考试得了99分。
: (125+55)÷3 2.解 2.解:176÷2=88(分)
=180÷3 (88+3)×3
=60(个) =91×3
答:他平均每小时做60个零件。 =273(分)
3.解: (30+32×2+29×4)÷(1+2+4) 273-176=97(分)
=(30+64+116)÷7 答:小冬外语成绩是97分。
=210÷7 3.解: 92×5-90×4
=30(千克) =460-360
答:这个小组的平均体重是30千克。 =100(分)
例3 解: (98+86+92×5)÷(1+1+5) 答:小强数学成绩是100分。
=644÷7
练 习 卷
=92(分)
答:这一组的平均分是92分。 一、1.B 提示: (90+97+95)÷3
[同步精练] =282÷3
1.解: (114+87×3)÷5 =94(分)
=(114+261)÷5 李平三科的平均成绩是94分。
=375÷5 2.C 提示: (46+74)÷3
=75(棵) =120÷3
答:这个班平均每天植树75棵。 =40(个)
2.解: (123×2+132×4)÷(2+4) 他平均每小时做40个。
=(246+528)÷6 3.C 提示: (78+39+41)÷2
=774÷6 =158÷2
=129(厘米) =79(亩)
191
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
平均每天耕地79亩。 =57(亩)
4.D 提示: (197+91)÷3 答:这三天平均每天耕地57亩。
=288÷3 (51+51+39+30)÷(6+6+4+3)
=96(分) =171÷19
小红三门功课的平均成绩是96分。 =9(亩)
二、1.80 提示:68×3=204(分) 答:平均每小时耕地9亩。
62×2=124(分) 5.解:50×38=1900
204-124=80(分) (1900-124)÷(50-2)
他第三次得80分。 =1776÷48
2.6 4 1 提示: (40+42+45+11)÷3 =37
=138÷3 答:剩下的数的平均数是37。
=46(个) 6.解:24×3=72(千克) 26×3=78(千克)
46-40=6(个) 46-42=4(个) 46-45= 78-72=6(千克)……丁比甲多采的千克数
1(个) 28-6=22(千克)
分给一班6人,分给二班4人,分给三班1人, 答:甲队采22千克。
才能使每班学生人数相等。 7.解:4元5角=45角
3.9 6 提示: (28+31+15)÷2 3×(18-3)
=74÷2 =3×15
=37(个) =45(角)
37-28=9(人) 37-31=6(人) (45+45)÷18
分给甲组9人,分给乙组6人,才能使两组人数 =90÷18
相等。 =5(角)
4.91 提示:88×3=264(分) 答:平均每人要付5角。
(264+100)÷4 8.解: (39×20+42+36)÷(20+2)
=364÷4 =(780+42+36)÷22
=91(分) =858÷22
王红这四科的平均成绩是91分。 =39(千克)
三、1.解:48×2=96(棵) 答:现在这个班男生的平均体重是39千克。
42×2=84(棵) 9.解: 90×4=360(分)
(96+84)÷4 (90-2)×5
=180÷4 =88×5
=45(棵) =440(分)
答:四年级平均每班植树45棵。 440-360=80(分)
2.解:78×3=234(米) 答:王明自然考了80分。
(234+166)÷(3+2)
第九讲 一般的盈亏问题=400÷5
=80(米) 例1 解:小朋友的人数为:(22+18)÷(7-5)=40
答:这个修路队平均每天修路80米。 ÷2=20(个)
3.解:85×4=340(分) 87×5=435(分) 435 糖果块数:5×20+22=122(块)或7×20-18=
-340=95(分) 122(块)
答:第五单元测验必须考95分。 答:有20位小朋友和122块糖果。
4.解: (51+51+39+30)÷3 [同步精练]
=171÷3 1.班级数和足球数是不变量,由于每班多借
192
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
(6-4)个,结果相差(3+7)个,便可求出分配到的班 苹果18×11+2=200(个)。
级:(3+7)÷(6-4)=5(个),从而求出足球的个数: 例4 解:50×8+60×5=400+300=700(米)
4×5+3=23(个)。 700÷(60-50)=700÷10=70(分)
2.班级数和苹果数个数是不变量,由于每班多 50×(70+8)=50×78=3900(米)
分(25-20)个,结果相差(17+18)个苹果,便可求出 答:张华家离学校有3900米。
分配到的班级:(17+18)÷(25-20)=7(个),买来 [同步精练]
的苹果数是20×7+17=157(个)。 1.迟到6分钟,还差65×6=390(米);早到
3.植树的人数和树的棵数是不变的。每人多栽 4分,还可以走75×4=300(米)。计划时间:(390+
(7-5)棵,就相差(14+4)棵,所以植树小组有18÷2 300)÷(75-65)=69(分),从工厂到家的路程是:
=9(人),一共有5×9+14=59(棵)树。 65×(69+6)=4875(米)。
例2 解:船的条数:20÷(5-3)=10(条) 2.每分钟行80米,提前6分钟到校,若继续走
学生人数:5×10=50(人) 还可走80×6=480(米);每分钟走50米,则要迟到
答:共有学生50人,共租了10条船。 3分钟,即还差50×3=150(米),计划走的时间:
[同步精练] (480+150)÷(80-50)=21(分),从家到学校的路
1.人数(份数)和糖果数(总数)是不变量,由于 程:80×(21-6)=1200(米)。
每人多分(9-8)粒,
结果就相差(25+0)粒,可求出 3.每小时行驶10千米,可以提前2小时到达,
小朋友有25÷(9-8)=25(个),共有糖果8×25+ 即继续行,可再走10×2=20(千米);每小时行驶
25=225(粒)。 8千米,迟到3小时,还差8×3=24(千米)。计划的
2.玻璃数(总数)和人数(份数)是不变量,由于 时间:(24+20)÷(10-8)=22(小时),甲、乙两城相
每人多擦(7-5)块,结果就相差(20+0)块,可求出 距:10×(22-2)=200(千米)。
有20÷(7-5)=10(人),共有玻璃7×10=70(块)。
练 习 卷
3.房间数(份数)和人数(总数)是不变量,由于
每个房间多住(5-3)人,就相差(20+0)人,可求出 一、1.200 提示:(20+2)÷(20-18)=11(人),
有20÷(5-3)=10(间)房间,共有5×10=50(人)。 20×(11-1)=200(块)。
例3 解:房间数:(20+4)÷(6-4)=24÷2= 2.138 提示:(10+6)÷(18-16)=8(个),
12(间) 16×8+10=138(个)。
人数:6×12-4=72-4=68(名) 3.5 提示:(3+7)÷(5-3)=5(个)。
答:有12间宿舍,有68名学生。 4.10 72 提示:(12+8)÷(8-6)=10(人),
[同步精练] 6×10+12=72(支)。
1.每人分7本书,就会剩6本书,即多6本书; 5.50 提示:10÷(12-10)=5(组),5×10=
每人分9本书,就缺8本书,即少8本书,也就是每 50(人)。
人多分(9-7)本,就相差(6+8)本,可求出分书的人 二、1.C 提示:(37+20)÷(12-9)=19(个)。
数:(6+8)÷(9-7)=7(人),共有书:7×7+6= 2.A 提示:(12+4)÷(7-5)=8(个)。
55(本)。 3.C 提示:(13+3)÷(32-28)=4(辆),
2.每个房间住5人,就有14名旅客没有床位, 28×4+13=125(名)。
也就是多14人;每个房间住7人,就会有4张床位 4.C 提示:(5+4)÷(17-14)=3(行)。
空着,即少4人;也就是每间多住(7-5)人,就相差 三、1.先 求 能 站 几 行:(37+20)÷(12-9)=
(14+4)人,可求出房间数:(14+4)÷(7-5)= 19(行),再求共有人数19×9+37=208(人)。
9(间),共有旅客:5×9+14=59(人)。 2.(60×5+75×2)÷(75-60)=30(分) 60×
3.每人分18个,还多2个;每人分20个,就有 (30+5)=2100(米)
一位小朋友没分到苹果,即少20个苹果;也就是每 3.12÷(12-10)=6(组) 10×6=60(人)
人多分(20-18)个,就相差(20+2)个,从而可求出 4.根据题意,按现有船来安排,每条船坐6人,
小朋友的人数:(20+2)÷(20-18)=11(个),共有 还有6人无船坐;如果每条船坐9人,还要有9人才
193
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
能坐满每条船。两种方案结果相差9+6=15(人), 米)
而每条船所坐人数相差9-6=3(人),所以现有船 答:甲、乙两地间的距离为54千米。
15÷3=5(条),共有学生6×5+6=36(人)。 [同步精练]
5.两种分配方法相比较,每人搬的砖块数相差 1.(50+42)×[32÷(50-42)]=368(千米)
22-20=2(块),而“每人搬22块,则有两人没砖 2.14×[18÷(5+4)]=28(千米)
搬”,也就是每人搬22块,则少22×2=44(块),总数 3.(20+18)×[3×2÷(20-18)]=114(千米)
相差44+4=48(块),求出共有(22×2+4)÷(22- 练 习 卷
20)=24(个)同学,共要搬砖24×20+4=484(块)。
一、1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 6.B
第十讲 相遇问题 二、1.9 提示:设全程为360米,甲速度:360÷36
例1 解:30÷(6+4) =10(米/分),乙速度:360÷12=30(米/分),360÷
=30÷10 (10+30)=9(分)。
=3(小时) 2.90 70 提 示:甲:(2400+300)÷30=
答:3小时后两人相遇。 90(米/分),乙:(2400-300)÷30=70(米/分)。
[同步精练] 3.300 提示:1200÷(75-15)=20(米/秒),
1.680÷8-42=43(千米) 20×15=300(米)。
2.400÷(450-250)=2(分) 4.20 提示:(300-80)÷(5+6)=20(天)。
3.(366-37×2)÷(36+37)=4(小时) 甲:37 5.138 提示:450-(38+40)×4=138(千米)。
×(4+2)=222(千米) 乙:36×4=144(千米) 三、1.分析:要求南北两岸的距离可用第一艘的速
例2 解:爸爸要追及的路程:70×12=840(米) 度乘第一艘船所用的时间,或是用第二艘船的速度
爸爸与小明的速度差:280-70=210(米/分) 乘第二艘船所用的时间。这两种时间都等于追及时
爸爸追及的时间:840÷210=4(分)。 间,所以问题归结为求追及时间。
综合算式:70×12÷(280-70)=4(分)。 解:30×2=60(千米)
答:爸爸出发4分钟后追上小明。 60÷(40-30)=6(小时)
[同步精练] 40×6=240(千米)
1.小强追上小明的时间:(1000-12×50)÷50 答:南北两岸相距240千米。
=8(分) 2.分析:根据背向而行的相遇时间可求出两人
小强骑自行车的速度:1000÷8=125(米/分) 的速度之和是:400÷2=200(米/分),再根据同向而
2.4小时后相距多少千米:(340-300)×4= 行的追及时间可求出两人的速度之差:400÷20=
160(千米) 20(米/分),再根据和差问题求出甲、乙各自的速度。
甲机提高速度后每小时飞行的距离:160÷2+ 解:甲:(400÷2+400÷20)÷2=110(米/分)
340=420(千米) 乙:(400÷2-400÷20)÷2=90(米/分)或甲:90米/
3.60×2÷(84-60)=5(小时) 分 乙:110米/分。
例3 解:(190+240)÷(20+23)=10(秒) 答:甲每分钟走110米,乙每分钟走90米。或
答:需要10秒。 甲每分钟走90米,乙每分钟走110米。
[同步精练] 3.解:(860-300)÷7-37=43(米/分)
1.(160+440)÷30=20(米/秒) 答:乙每分钟走43米。
2.3分45秒=225(秒) 18×225-258=4050 4.解:有两种情况,①如两车还未相遇,则有(40
-258=3792(米) +50)×2+40=220(千米);②如两车相遇后又相
3.(142+173)÷(22-17)=63(秒) 离,则有(40+50)×2-40=140(千米)。
例4 解:从出发到相遇所用的时间是:6÷(5-4)= 5.解:(265+985)÷25=50(秒)
6(小时) 答:需要50秒。
因此,甲、乙两地的距离是:(5+4)×6=54(千 6.解:(200+50)÷25=10(米/秒)
194
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
答:这列火车每秒行10米。 3.
7.解:
至少移4枚硬币,移法:如图所示,将图甲的3
枚硬币移至图乙右上角,图甲右下角的一枚硬币移
方法一:乙车3小时走了:40×3=120(千米)
: 至图乙左上角。甲车3小时走了 320-120=200(千米)
乙车从货站开到东城要用:(320+200)÷40= 例2 3只蛋糕每只平均分4块,共分:4×3=
13(小时) 12(块)
方法二: 每人分几块 12÷12=1(块)
320×2=640(千米) 4只蛋糕每只平均分3块,共分:3×4=12(块)
40×3=120(千米) 每人分几块 12÷12=1(块)
(640-120)÷40=13(小时) 每人共分几块 1+1=2(块)
答:乙车从货站开到东城要用13小时。 [同步精练]
8.分析:这道题的关键是:大毛和二毛相遇的时
1.大块是中、小块的和,我们把3块叠起来对准
间和狗跑的时间是一样的。
圆心,从中间一刀切下去,成了6块,2份大的半块分
解:500×[1000÷(120+80)]=2500(米)
: 给两个人,每半块中的加每半块小的再分给另两答 狗共行了2500米。
9.解:车队145秒行的路程为5×145=725 个人。
(米)。车队长度为725-200=525(米) 2.分析:首先要注意,要使得用船次数最少,每
车队共有车(525-5)÷(5+8)+1=41(辆) 次船上人必最多。还要注意由于没有船夫,前面每
答:这个车队共有41辆车。 次必须有人将船划回来。所以前面每次最多渡过5
10.解:乙的追及时间:4×3÷(5-4)=12(小 -1=4(人),但是最后一次最多却可以渡5人。
时) 解:(37-5)÷(5-1)×2+1=17(次)
AB 间的距离:5×12=60(千米) 答:至少要用船17次。
丙比乙晚出发的时间:12-60÷6=2(小时)
3.分析:对折一次后在中间剪开有2+1=
答:乙出发2小时后丙才出发。
3(根),对折两次后在中间剪开有2×2+1=5(根),
第十一讲 操作问题 对折3次后在中间剪开有2×2×2+1=9(根),从而
例1 对折4次后有:2×2×2×2+1=17(根)。
解:2×2×2×2+1=17(根)
答:剪开后共有17根。
例3
[同步精练]
1. 4 5 1 2 3
规律:按照数表外围的
3 1 2 3 4
数字最底面从右往左,
2 5 5 4 5
从外圈向里圈数是1、
1 4 3 2 1
2、3、4、5这样排列。 [同步精练]
5 4 3 2 1
2. 1. 2.○ ○
○ ○
5枚
○ ○
○ ○
195
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
3. 子。因此,经过3985次取、放后,甲盒中还剩下3987
-3985=2(个)棋子。
根据题中所说的取、放方法,每次取、放之后,甲
盒中要么减少1个黑棋子,要么减少2个白棋子增
加1个黑棋子。显然,甲盒中的白棋子总是两个两
例4 个地减少。而甲盒中有1993个白棋子,那么,最后
必定剩下1个白棋子。另外剩下的那个棋子一定是
黑色的。
3. 添加的砝码
[同步精练] 方法 左边 右边
1.分析:将图形分成3块,每块中有小正方形一 例如 3克 0克
定是12÷3=4(块)。又因为每块中都有一个小圆 ① 1克、2克 0克
圈,所以如何分块,我们还得以小圆圈为出发点。我
② 4克 1克
们考虑以含有小圆圈的正方形为一块,并且含4个
③ 1克、5克 3克
小正方形的各种可能。例如最左端有小圆圈的一
④ 2克、4克 3克
块,含它在内的有4个小正方形的图形有6个,对这
⑤ 2克、5克 4克
6个图形分别试验可以得出该题的解。
4.分析:在动手剪之前,我们先数出图中有9个
小正方形,可见,拼成的大正方形每边上应该有3个
解:如图所示,沿粗线剪开 小正方形。这样,就可以找到拼的方法了。
2.解:如图所示,沿不同颜色剪开,并翻折即
可。
3. 5.分析:由于中间方孔不变,所以要使得分割后
所剩部分为中间有孔的正方形,则分割方法一定是
如图(1),相当于从大正方形内部挖掉一个“回”字形
图,或如图(2), 从大正方形4个角去掉4个相同的
练 习 卷
小直角三角形。图(1)的分割方法不合题意,图(2)
1. 的方法满足要求。我们可以将图沿着图(2)中虚线
剪开,再如图(3)那样的拼合,图(4)为分割所剩
部分。
解:沿图(2)中虚线剪开,再如图(3)拼合,图(4)
为分割所剩部分,这时就可以得到两个大小一样的,
“ ” , 中间有方孔的正方形。利用 平移 法 可知量出图中标记的6段长度
即可,所以最少要量6段。
2.解:根据题意,甲盒中共有1993+1994=
3987(个)棋子。每次取出2个棋子后又放回到甲盒
中1个棋子,实际每次取、放后,甲盒中减少1个棋
196
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
6. 所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠6+∠7+
∠3+∠2+∠5=180°。
第十二讲 合理安排
例1 这个最短时间是3×6+4×5+5×4+6×3+
7.一次操作以后(1),两次操作以后(4), 7×2+10=100(分)。
( ), ( ), [同步精练]三次操作以后 16 四次操作以后 64
1.要使时间少,顺序为小赵、小李、小王。
五次操作以后(64×4=256) 2.五人打水时间由少到多排队。1×5+2×4+
8.分析:黑棋要想获胜,必须想办法逼白棋向 3×3+4×2+5×1=35(分)
左移。
3.打水1分的排在第1个位置,2分的排在第
解:若第一步白棋移到D,则黑1移到C;白棋 2个位置,3分、4分分别排在第3、4个位置。所以这
再走的话,一定得向左走,此时,如果白棋第二步走
4人按照打水所需时间由少到多的顺序排队,所费时
到E,那么黑2到D;如果白棋第二步走到F,那么 间最省。这样得出4人排队和打水时间总和的最小
黑1移到D……如此一步一步将白棋逼到顶点。
值是:
若白棋第一步移到E,则黑2移到C;如果白棋
1×4+2×3+3×2+4×1=20(分)
第二步走到D,那么黑1到B;如果白棋第二步走到
例2 3个饼共6面,1分钟可煎2面,煎6面只需3
F,那么黑1移到D……最终也可以一步一步将白棋
分钟。
逼到顶点。
[同步精练]
9.可以将某一个小正方形固定不动,假想将周
1.煎3个饼用去9分钟,设3个饼分别为A、
围的正方形折起来,看能否形成一个正方体。如果
B、C,方法如下:
有一个正方形可以就可以,反之亦然。最后发现只
(1)A 正 B 正
有③不可以。 (2)A 反 C 正
10. (3)B 反 C 反
共3×3=9(分),所以21÷3×9=63(分)。
2.分析:煎一个饼要4分,煎2个饼要4分,煎3
个饼要6分,可见当煎饼个数大于1个时,煎饼所用
如上图,可知平行四边形两边长度分别为:9+1 时间正好是煎饼个数的2倍,所以煎8个饼,至少用
=10(厘米),9+5=14(厘米); 16分。
可以求出六边形另两条边为:14-1=13(厘 解:8×2=16(分)
米),10-5=5(厘米); 3.解:若m=1时,至少需要4分;
所以六边形周长为:13+5+5+9+9+1=42(厘 若m≥2时,至少需要2m 分钟。
米)。 例3 解:(1)共计3+10+3+3+4+6=29(分)
11. (2)共计8+5+3+10=26(分)
[同步精练]
1.先洗锅2分钟,接着烧热锅2分钟,烧热油
4分钟,在这同时完成敲蛋,搅蛋,切葱三项工作,最
后炒蛋用4分钟,这样共用:2+2+4+4=12(分)。
解:如右上图,有∠6+∠7+∠8=180°,∠1+ 2.洗开水壶要1分钟、烧开水要15分钟(同时
∠4+∠9=180°, 洗茶壶要1分钟,洗茶杯要1分钟,拿茶叶要2分
且∠8=∠9, 钟),这样共用:1+15=16(分)。
所以∠6+∠7=∠1+∠4, 3.12分钟。
197
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
2 分 钟 2分 钟 3分 钟 5 分 钟 5.让理发时间短的人先理,这样可以缩短总的等
洗锅 → 将锅烧热 → 将油烧热 → 煎烧
↑ 候时间,因此这样安排:甲师傅理三位顾客,理发时间分
↓
洗鱼 → 切鱼 → 切姜葱 别是10、15和20分钟,乙师傅理两位顾客,理发时间分
2分 钟 2 分 钟 1分 钟 别是12和24分钟,理发和等候的时间总和为10×3+
例4 所需费用为:1×10×(100×4)+1×20×(100 15×2+20×1+12×2+24×1=128(分)。
×3)
=10000(元) 6.分析:所用的时间是指他们四个各自收割时
[同步精练] 间与等待的时间的总和,因为各自收割的时间不变,
1.3 提示:这里按每个厂的人数多少和距离的 所以在安排收割的顺序时,该使等待的时间尽可能
长短来安排,应设在3号工厂,假设相邻两个工厂距 少,即应该安排收割时间少的人先用。顺序是:乙、
离为K 米,100×2K+120K+215K=535K(米), 丁、丙、甲,过程可用下表表示:
总路程最少。
乙收割 丁收割 丙收割 甲收割
2.解:货物总质量为10+30+20+10+60= 的时间 的时间 的时间 的时间
130(吨),可以看出,各仓库的货物质量均不超过总 乙等待的时间 1
质量的一半65吨,因此应向中间集中,将E 仓库的 丁等待的时间 1 2
货物运至D 仓库,此时D 仓库货物质量为70吨,超
丙等待的时间 1 2 3
过了65吨,所以集中运到D 仓库运费最少。
甲等待的时间 1 2 3 4
运费=0.5×100×3×10+0.5×100×2×30+
0.5×100×20+0.5×100×60 从表中可看出,四人收割的时间为:1+2+3+4
=8500(元) =10(小时)
答:运到D 仓库最省运费,为8500元。 三人等待的时间为:1×3+2×2+3=10(小时)。
3.分析:这种运输问题,运的货物越重路程越 解:1+2+3+4=10(小时)
远,花费就越多,反之,如果移动的货物质量小路程 1×3+2×2+3=10(小时)
近,花费的费用就少。在本题中,各粮库之间距离相 10+10=20(小时)
等都是50千米,一般原则是“少往多处靠”。集中存 答:安 排 顺 序 为:乙、丁、丙、甲,最 少 时 间 是
在粮食较多的库房比较节约,甲、乙两仓库粮食合起 20小时。
来是30吨,还不如丁粮库的粮食多,所以应将甲、乙 7.分析:甲厂供给二区20吨,三区40吨;乙厂
粮库的粮食集中放在丁粮库。甲粮库需用1×10× 供给一区45吨,二区55吨。
50×3=1500(元),乙粮库需要1×20×50×2=2000 解:从已知条件中可以看出,乙厂到一区最近,
(元),共用1500+2000=3500(元)。 而甲厂到一区最远,所以一区的面粉由乙厂供应。
解:1×(10×3+20×2)×50=3500(元) 虽然甲厂到二区最近,但是甲厂到二区的距离
答:最少要花3500元运费。 只比乙厂到二区的距离少8-5=3(千米),相比之
下,甲厂到三区的距离比乙厂到三区的距离要少
15
练 习 卷
-6=9(千米),所以三区的面粉应由甲厂供应,甲厂
一、1.30 剩余的面粉和乙厂剩余的面粉同时供应二区,分配
2.65 提示:按B、C、A、E、D 的顺序加工,耽 方案见下表。
误时间总和最少为:3×5+4×4+5×3+6×2+7=
65(分钟)。
运输量(吨) 一区 二区 三区
3.14 提示:医生应先给小华点眼药水,再给李
甲 0 20 40
明包纱布,最后给孙东打针。 乙 45 55 0
三人留在卫生室总时间:1×3+3×2+5= 8.因为3×11+7×2=47(人),所以男的住了
14(分)。 11人的房间3间,7人一间的房间2间。又因为1×
二、1.小王———小李———小赵 2.6分钟 3.25 11+7×5=46(人),所以,女的住了11人一间的房
分钟 4.16分钟 间1间,7人一间的房间5间。
198
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
最少安排:3+2+1+5=11(个)。 10.54÷(4-1)=18(秒) 18×(6-1)=
第十三讲 植树问题 90(秒) 90-54=36(秒)
11.(100+40)×2÷2=140(棵)
例1 解:5×(45-1)=220(米) 12.17×(11-1)=170(级)
答:这条路长220米。 13.6÷(3-1)×(7-1)=18(分)
[同步精练]
14.52÷2-1=25(棵) 100÷25=4(米)
1.(50-1)×3=147(米)
2.(42÷6-1)×2=12(面) 第十四讲 最优化问题
3.1×8=8(个) 例1 解:船停靠在P 点处,小冬、小李两人所走的
例2 解:6÷(4-1)=2(分) 13-1=12(次) 2× 路程之和最短。
12=24(分)
答:锯成13段需要24分钟。
[同步精练]
1.12÷(4-1)×(6-1)=20(分)
2.8÷(5-1)×(20-1)=38(分)
3.5÷(6-1)×(10-1)=9(秒) [同步精练]
例3 解:9÷(4-1)÷3×(8-1)=7(分) 1.
答:大人从1楼到8楼共要7分钟。
[同步精练]
1.126÷21+1=7(层)
2.(6-1)×2×5=50(元) 2.
3.24÷(7-1)=4(分) 40÷4+1=11(棵)
练 习 卷
一、1.11 提示:5÷(6-1)=1(秒),(12-1)×1=
11(秒)。 例2 解:如图,桥应建在CD 处。
2.40 提示:80÷4=20(盆),20×2=40(盆)。
3.5 提示:64÷16+1=5(楼)。
4.11 提示:甲:4-1=3(层),乙:3-1=
2(层),甲到16层:(16-1)÷3=5,乙:2×5+1=
11(层)。
5.8 7 提示:(10-3)÷(3-2)+1=8(天),
。 [同步精练]7夜
6.397 提示:(57-1)×2+57×5=397(米)。 1.
二、1.(7-1)×4=24(盏)
2.500÷50-1=9(根)
3.(50÷5+1)×2=22(面)
4.82÷2-1=40(棵) 200÷40=5(米)
5.(52÷2-1)×16=400(米) 2.
6.(151-1)×7÷3=350(米/分)
7.40×2=80(米)
8.(4-1)×3×3=27(分)
9.6÷(4-1)=2(分) 18÷2+1=10(段)
199
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
例3 解:不难找到从A 到B 的所有最短路线,即: [同步精练]
A→C→D→G→B A→C→F→G→B
A→C→F→I→B A→E→F→G→B
A→E→F→I→B A→E→H→I→B
这道题实际上可以用标数字相加的方法找到最
短路线走法的规律,如下图(一般来说,从出发点, 2×3÷2=3(条) 2×3÷2=3(条)3×4÷2=6(条)
横、竖两条线段上的交点分别表示 ,然后把对角线 3×4÷2=6( )1 条 4×5÷2=10
(条)
6×6=36(个)
上的数相加,这样便可求出不同的走法) 3×6=18(个) 10×3=30(个)
练 习 卷
1.
答:共有6种最短路线的走法。
[同步精练]
1.
2.
从家到学校共有20种最短路线的走法。 桥应建在PA 处。
2.
3.
共有15种不同的走法。 共6种。
3.
4.
有4条。 5.30个 60个
例4 解:从一个顶点向两边分别标上数字
数出各有线段条数 3×4÷2=6(条)
2×3÷2=3(条) 6.
共有平行四边形:6×3=18(个)
第十五讲 智巧问题
例1 解:经过19天,这些睡莲就能长满半个池塘。
[同步精练]
1.由于荷叶每天长大1倍,第12天把池塘盖
满,所以盖满池塘的一半时是第11天。
200
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
2.1分59秒 的人有位置放棋子,必然留下另一空位给先放的人,
3.一样多 直到后 放 的 不 能 再 放 为 止。所 以 先 放 的 人 必 定
例2 解:(1)这只蜗牛每天实际向上爬了多少米 取胜。
3-2=1(米) 练 习 卷
(2)几天爬到井口 (12-3)÷1+1=10(天)
答:这只蜗牛10天能爬到井口。 一、1.59
[同步精练] 2.511 提示:1+2+4+8+16+32+64+128
1.(10-4)÷(4-3)+1=7(天) +256=511(粒)。
2.画一个正方形,要画4条相等的线段,而图中 3.3
共有线段2×6=12(条),即有12÷4=3(个)小正方 二、1.我们不妨直接来想:5只猫在5分钟内可以捉
形形成 的 段 数,因 此 画 好 这 个 图 形,需 要 蘸 三 次 5只老鼠,那么5只猫在5×2=10(分钟)内可以捉
墨水。 到5×2=10(只)老鼠,在5×4=20(分钟)内可以捉
3.(14-3)÷(3-2)+1=12(天) 到5×4=20(只)老鼠,因此,5×20=100(分钟)抓5
例3 详解见【思路分析】 ×20=100(只)老鼠,由于时间多用了20倍,因此抓
[同步精练] 老鼠的只数也相应地扩大20倍,但猫的只数没有
1.参照例3,只要用天平称3次就可把次品找 变,所以,100分钟抓100只老鼠需要5只猫。
出来。 2.因为王欣买《葫芦岛历险记》只缺1分钱,所
2.第一次先把7千克和2千克的砝码放在天平 以只要李媛带了1分或多于1分的钱,则两人的钱
的一端,在另一端称出9千克的盐;第二次再把9千 合起来肯定够买一本书,这说明李媛没带钱。李媛
克盐和7千克砝码放在天平一端,在另一端称出9+ 所缺的2元4角钱,就是这本书的价钱。
7=16(千克)的盐;第三次在天平的一端放上9+16 3.想一想:狼狗、兔子和青菜,谁和另外两者都
=25(千克)的盐,另一端放上25千克的盐,这时天 不能离开猎人而单独在一起
平的两端共有25+25=50(千克)的盐,此时还剩下 猎人不在时,兔子既不能和狼狗在一起,也不能
90千克,这样便可得到90千克和50千克。(答案不 和青菜在一起。猎人可以经过4个来回,将狼狗、兔
唯一) 子和青菜全部安全带过河去,方法如下:
3.①把20克的砝码和70克药粉混合放在一 (1)先把兔子带过河去,猎人独自划船返回;
起,放在天平的两端,便可称出20+25=45(克)这样 (2)再把狼狗带过河去,猎人划船将兔子带回;
的两堆;②再把25克的药粉这一堆取20克与20克 (3)将青菜带过河去,猎人独自划船返回;
的砝码分别放在天平的两端,剩下的便为5克的 (4)将兔子带过河去。
药粉。 4.把小盒子放进中盒子里,大盒子另外放,小盒
例4 144-3=141(个) 里放4个,中盒里放4个,大盒里放8个。
[同步精练] 5.分成50、50、1三堆:第一次称两个50,如果
1.他们把3根圆木摆成三角形,每人抬一角。 平了,第二次从这100个中任意拿1个(当然是真
2. 的)与第三堆的1个称,自然会得出结果;第一次称
两个50不平是正常的,第二次我们把其中一堆(或
重的或轻的都行)分成25、25称第二次;①把轻的分
成25、25,如果平了,说明那堆重的有假,当然假的是
超重;如果不平,说明这50个轻的有假,假的是轻
3.缩小桌面,使这张桌子只能放下一枚棋子,当 了;②把重的分成25、25,道理同上。所以两次可以
然是先放的人胜利。让圆桌变大,由于圆桌有对称 发现轻重,但是找不出哪个是假的。
中心,那么问题便迎刃而解了———还是先放的获胜。 三、1.每份为2杯半牛奶。
方法是先放的人在对称中心处放第一枚棋子。根据 第一份:2整杯,1半杯,2空杯
平面内其他各点以中心点呈对称性可知,只要后放 第二份:2整杯,1半杯,2空杯
201
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
第三份:1整杯,3半杯,1空杯 的数值,加上正确的数值即得:201-7-90+9+60
2.排成六边形,一人在角上当两人用。每行 =173。 11.五 日
5人。 二、4.8×7.8+78×0.52=4.8×7.8+7.8×5.2=
3.每个铁丝网重30克,而每个铁丝网共用铁丝 (4.8+5.2)×7.8=10×7.8=78 1.87×9.9+
所在的线段有2×6=12(条)。而由同型号的铁丝制 0.187=1.87×9.9+1.87×0.1=1.87×(9.9+
成的右图的铁丝网,共用线段条数4×10=40(条), 0.1)=1.87×10=18.7 46×57+23×86=46×
每2条为一组,左边图形有12÷2=6(组),每组重 57+46×43=46×(57+43)=46×100=4600
30÷6=5(克),右边图形有40÷2=20(组),一共重 7.2×0.2+2.4×1.4=2.4×0.6+2.4×1.4=
5×20=100(克)。 2.4×(0.6+1.4)=2.4×2=4.8
四、1.因为水涨船高,所以水在涨高,船也在涨高, 三、45 225 18
船上的梯子也随着船升高而升高,不管水怎样涨,永 四、1.若父母的年龄之和是小明年龄的7倍,则父
远都是第三级。 母的年龄之和一定是7的整数倍,可能是70、77、84
2.列表如下: 等等,今年父母的年龄之和是73岁与77最接近且
层数 质量 相差4,恰好是过2年,小明年龄为11岁,与题意
第一层 1千克 符合。
第二层 2千克 2.400÷(450-250)=2(分)
第三层 3千克 3.2+10=12(分)
第四层 6千克 4.解:3×40-15=105(米) 答:甲、乙两地之
第五层 12千克 间相距105米。 提示:从第一次相遇到第二次相
第六层 24千克 遇,两人走的路程是第一次相遇时两人走的路程的
第七层 48千克 2倍。
第八层 96千克 5.分析:73-58≠4×4,我们知道四个人四年应
第九层 192千克 该增长了4×4=16(岁),但实际上只增长了15岁,
因为192千克>100千克。而96千克<100千 为什么呢 是因为在4年前,弟弟还没有出生,那么
克,所以这些箱子最多只能堆八层。 弟弟今年应该是几岁呢 我们可以这样想:父亲、母
3.根据植树原理,100条毛巾用夹子夹在绳子 亲、姐姐三个人4年增长了12岁,15-12=3,3就是
上晒干,由于两头都夹,同一个夹子可以夹在相邻的 弟弟的年龄! 那么很快能得到姐姐是3+2=5(岁),
两条毛巾 的 两 边,夹 子 数 要 比 毛 巾 数 多1个,即 父母今年的年龄和是73-3-5=65(岁)。根据和差
101个。 问题,就可以得到父亲是(65+3)÷2=34(岁),母亲
4.由于是中午在谈话,小聪说的是再过36小时 是65-34=31(岁)。
会不会出太阳;再过24小时是第二天中午,此时还 解:由题意可知弟弟3岁,姐姐:3+2=5(岁),
差12小时,到第36小时应该是半夜,不管天气是否 父亲:(65+3)÷2=34(岁) 母亲:65-34=31(岁)
晴朗,都不会出太阳。 6.解:小正方形的边长是:(136-4×4)÷2÷4
综合调研卷 =120÷8=15(厘米)。大正方形的边长是:15+4=
19(厘米)。
一、1.22 2.蓝 69 3.40 4.621 9 5.30 7.解:两列车的长度的和为:(25+20)×9=
6.36 7.10 8.2500 405(米),乙车的长度为:405-225=180(米)。
9.120 提示:从100至199的整数中,每个数 8.36÷4+1=10(盆) 10×10=100(盆) 答:
的百位上都是1,所以1出现的次数为100+20= 这个方阵共有100盆花。
120(次)。 9.10×6+4×4-6×2=64(平方厘米)
10.173 提示:用和分别减去个位、十位上错误
202

展开更多......

收起↑