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同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
第十二讲 抽屉原理
【知识概述】
有3本书,放在2个抽屉里,放的方法有以下几种:
甲抽屉 乙抽屉
3 0 3=3+0
0 3 3=0+3
2 1 3=2+1
1 2 3=1+2
从以上四种情况可以发现:至少有1个抽屉放了2本或2本以上的书。
这就是抽屉原理的一个例子。同样,如果有3个抽屉,放4本或多于4本书,至少有1个
抽屉里放2本或2本以上的书。什么是抽屉原理呢
把m 个物体任意放进n(n体;有n+1个物体任意放进n 个抽屉里,则其中一定有一个抽屉里至少有2个物体。
运用抽屉原理,可以解决一些奇妙而有趣的数学问题。运用抽屉原理解题时,要从最不利
的情况去考虑,所以抽屉原理也叫最不利原理。解题的关键是要确定物体的个数和抽屉的个
数,要会制造抽屉。
例题精学
例1 实验小学去年招收学生730人,他们都是同一年出生的,至少有几名学生同一天出生
【思路点拨】 从最不巧的情况想,一年有366天(闰年),每一天有一个学生出生,366名学生
出生日期都不相同。另有730-366=364(个)学生,无论他们各在哪一天过生日,那么至少有
两个学生的生日是同一天。
同步精练
1.五(1)班有40名学生,老师至少要拿多少本本子随意分给大家,才能保证至少有1个
学生拿到2本或2本以上的本子
2.铅笔盒里有4支圆珠笔和3支钢笔(一样粗细),如果闭着眼睛拿笔,一次至少拿几支
才能保证有1支是钢笔
1 46
第十二讲 抽屉原理
●小●学●五●年●级
3.六年级共有学生57人,至少有几人在同一个星期内过生日
例2 在一条长100米的小路一旁种102棵树苗,你能说明不管怎样种,至少有两棵树苗之间
的距离不超过1米吗
【思路点拨】 把100米平均分成100段,每段长1米。如下图:
现在有102棵树苗种在这100段中,根据抽屉原理可知,至少有两棵树苗种在同一段中,
这一段中就会有两棵树苗之间的距离小于1米,也就是不超过1米。
同步精练
1.一个阳台长10米,要摆放12盆花,不管怎样放,会有两盆花的距离不超过1米吗
2.体育室有篮球、足球、排球各7个。现有7名学生来借球,每人任意借走2个,会有两
名学生借的球相同吗
3.口袋里放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球。现有31人轮流从口袋中取球,每人各
取3个球,至少有几人取出的球的颜色情况完全相同
例3 下面的图形中正好有3×9=27(个)方格,现在用红、蓝两种颜色之一涂色。小方格中涂
的颜色完全相同的至少有几列
第一行
第二行
第三行
【思路点拨】 共有9列,每列有3个小方格,用红、蓝两色给每列中的3个小方格随意涂色,有
下面8种情况:
1 47
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红 蓝 红 红 蓝 蓝 红 蓝
红 蓝 红 蓝 红 红 蓝 蓝
红 蓝 蓝 红 红 蓝 蓝 红
把这8种情况看作8个抽屉,而在3×9的方格中,共有9列(每列有3小格),给第9列再
涂色,一定与这8种中的一种相同。因此一定有2列涂色方法完全相同。
同步精练
1.某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》《儿童时代》《儿童故事画报》中的一种或
几种。那么其中至少有多少名学生订的报刊种类完全相同
2.某旅游团一行50人,随意游览甲、乙、丙三地,至少有多少人游览的地方完全相同
3.5个同学在一起练习投篮,共投进41个球,那么有一个人至少投进多少个球
例4 一副扑克牌去掉两张王牌后还有52张牌,共有黑桃、红桃、方块及梅花4种花色,每种
花色各有13张。
(1)一次至少要摸出多少张牌,才可以保证摸出的牌中至少有3张是不同花色的牌
(2)一次至少要摸出多少张牌,才可以保证摸出的牌中至少有3张是同花色的牌
(3)一次至少要摸出多少张牌,才可以保证摸出的牌中至少有一张“K”
【思路点拨】 (1)摸出的牌中找不到3张不同花色的,即最多有两种花色牌,则至多可取得13
×2=26(张)牌,因此至少取26+1=27(张)牌就能保证摸出的牌中至少有3张是不同花色的
牌;(2)要摸出的牌中没有3张是同花色的,即每种花色的牌至多取2张,从而至多取2×4=8
(张)牌,因此至少取8+1=9(张)牌才能保证摸出的牌中至少有3张是同花色的牌;(3)要使
摸出的牌中有1张“K”,即可以先取出除“K”以外的52-4=48(张)牌,因此取48+1=49(张)
牌将保证至少取出一张“K”。
1 48
第十二讲 抽屉原理
●小●学●五●年●级
同步精练
1.有一个箱子里装有10双黑色的袜子和10双白色的袜子,它们都是散乱地放在箱子里的,如
果不看颜色而要从箱子里摸出颜色相同的一双袜子,至少要摸出多少只袜子才能符合要求
2.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出多少个,才能保
证有2个小球是同色的
3.一把钥匙只能打开一把锁,现有10把锁和其中的8把钥匙,要保证将这8把钥匙都配
上锁,至少要试验多少次
练 习 卷
1.学校书法组有31名学生,他们都出生在四月份,会不会有两人出生在同一天呢
2.张老师有科技书和文艺书各4本。现在有4名学生来借阅,每人可以从中任意借两
本,会有两位学生借阅的图书相同吗
3.学校买来红、黄、蓝三种颜色的球,规定每位学生最多可以借两个球。那么至少要来几
名学生借球,就能保证有两位学生借的球的颜色完全相同
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4.19朵鲜花插入4个花瓶里,说明为什么至少有一个花瓶里要插入5朵或5朵以上的花
5.一位运动员用11秒跑完了100米,在跑的过程中会有1秒跑的距离超过9米吗
6.随手从一副扑克牌中取牌,至少取多少张,才能保证其中必有3张牌的点数相同
7.有红、黄、绿小球各10个,混合放在布袋里,一次至少摸出多少个球,才能保证有4个
是同色的
8.从3,5,7,9,…,27,29这14个奇数中任取几个数,其中一定有两个数之和是32
9.把400本书随意分给若干同学,但每人不得超过11本,至少有多少个同学得到的书的
本数相同
10.有19名学生参加了数学、美术、书法课外活动小组,每人可参加三个组中的一个、两
个或三个,这些同学中至少有几个同学参加了相同的组
1 50参 考 答 案
●小●学●五●年●级
0.8=c(c分别代表3.6,3.8,3.4,3.9,3.7)。经验 2=50(秒),小王第1,2,3,…,50秒跑的路程是下
证:4×0.7+1×0.8=3.6(米),2×0.7+3×0.8= 面的等差数列:1,1.1,1.2,1.3,…,5.9。50秒可跑
3.8(米),1×0.7+4×0.8=3.9(米),3×0.7+2× (1+5.9)×50÷2=172.5(米)。小王不用50秒就
0.8=3.7(米)。无论怎样取整数,均找不到数满足 可以跑完100米,所以小王取胜。 6.200×3-
a×0.7+b×0.8=3.4(米)。 100=500(米)
综合调研卷(二) 下册
一、1.(1)90 (2)156 提示:154.44÷(100-1)
=1.56,1.56×100=156。 (3)1501 (4)10 第一讲 分数加减法
2.(1)n×n-(n-1)×(n-1)=2n-1 (2)根据
上面得出的规律可知,原式=(2003×2-1)+ 例 1 1 1 1 1 1 1 1 11 6=9+18=8+24=7+42=10+15
(2001×2-1)+…+(3×2-1)+(1×2-1)=
[同步精练]
2007006。 提示:从正方形联想到自然数是平方
1 1 1 1 1 1 1 1 1
数。 3.(1)17.2 (2)3 1.12=36+18=48+16=60+15=84+14
二、1.108÷2÷3=18(平方厘米) 提示:连接 1 1 1 1 1 1 4 1 1
=
AD。 2.7平方厘米 提示:SB=SA+SC。 156
+13=30+20=28+21 2.15=15+5=
3.5.65平方厘米 提示:延长BA,CD 相交于E, 1 1 1 1 1 1 1 1
+ = + 3. = + +
根据条件可求出∠E=45°,并且三角形EBC 是等 60 4 10 6 6 36 18 12
腰三角形。四边形ABCD 的面积等于三角形EBC 例 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2+6+12+20+30+42+56+72+90+
的面积减去三角形EAD 的面积。
1 1 1 1 1 1 1
三、1.(88-74)÷(76-74)=7(人),76×7-88- 110=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+
70×5=94(个)。答:这个小队做得最多的同学可 1 1 1 1 1 1 1
。 + + + =1- + - +能做了94个 提示:除去已知1个做了88个的 7×8 8×9 9×10 10×11 2 2 3
人,1个做得最多的人,假设其他人都做了70个。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- + - + - + - + - +
2.本题可用假设法或方程解。用方程解,设定价 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
为60元的羊毛衫购进x 件,则定价为90元的羊毛 1 1 1 1 1 1 1 10
8-9+9-10+10-11=1-11=11
衫购进2x 件,定价为210元的羊毛衫购进(47-
[同步精练]
x-2x)件。210×(47-x-2x)+90×2x+60x=
1 1 1 1 1 1
6360。x=9。60元的:9件,90元的:9×2=18 1.3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9=
(件),210元的:47-9-18=20(件)。答:三种羊毛 1 1 2 2 2 2 2
衫各购进20件、18件、9件。 3.需要大卡车14 3-9=9 2.2×4+4×6+6×8+8×10+
辆、小卡车4辆,运费为1740元。 提示:因为大卡 2 1 1 5 1 1 1
= - = 3.1 +2 +3 +
车每吨运费比小卡车便宜,所以应尽可能多用大卡 10×12 2 12 12 20 30 42
车,并使所有卡车满载。运费最省为110×14+ 1 1 1 1 1456+572+690+7110+8132=
(1+2+3+4+
50×4=1740(元)。 4.设百位数字是x,则十位
1 1 1 1
数字是0.5x,个位数字是0.5x×1.5=0.75x。根 5+6+7+8)+ 4×5+5×6+6×7+7×8+
据题意列方程,得x+0.5x+0.75x=18,x=8。所 1 1 1 1
以这个三位数是846。 5.小赵跑完全程需100÷ 8×9+ 9×10 + 10×11 + 11×12 = 36 +
1 75




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1 1 1 75,2 48,1 8 ,11 33,7 35,2 74-12 =366 120 5=12015=12040=12024=120 5+24
例 1 2 33 1 +2 +3 +…
2022 5 11 1 5
2023 2023 2023 +20222023= =12+40=15+8
(
( ) 1+2022
)×2022÷2
1+2022 ×2022÷2+ 2023 = 练 习 卷
2023×1011+1011=2046264
[同步精练] 1.()
11 5 4 1 11
1312+49+59+612= 312+
1 2 3 2023
1. … 1 5 42024 + 2024 + 2024 + + 2024 = 612 + 49+59 =10+10=20 (2)6.35-
(1+2023)×2023÷2 1
2024 =2023÷2=1011.5 2. +
3 13 3
55 44+120-2.25= 136.35+120 - 44+2.25
2 3
+ +…
10 11 12 13 20
55 55 + -
… 1 1 1 1 1 1 1
55 155-155-155- -155= =8-7=1 2.20=21+420 18=20+342+380
(1+10)×10÷2 (11+20)×10÷2
- 5 1 1 1 1 1 1 155 155 =1-1=0 3.18=9+6=4+36 4.
和
12 15 5.23+
1 1 1 1 1
3.1- - 3 5 17 19 (1+19)×10÷2 10010 100-1000-10000-100000=1- …23+23+ +23+23= 23 =23
0.1-0.01-0.001-0.0001-0.00001=1-
1 2 3 19 1 3 39
0.11111=0.88889 6.30+30+30+
…+30-150-
…
150- -150=
例 1 1 1 1 2 2 (4 + + +…+ + + +…+ 1+19)×19÷2 (1+39)×20÷2 190 4002 3 4 20 3 4 30 - 150 =30-150=
2 3 3 3 18 18 19 950 400 550 11 + + +… … 1 1 1 7 120 4 5 +20 + + 19+20 +20= 150-150=150=3 7.2+4+8=8=1-8
1 1 2 1 2 3 … 1 2+ 1 1 1 1 15 1 1 1 12 3+3 + 4+4+4 + + 19+19+ 2+4+8+16=16=1-16 2+4+8+
3
+…
18
19 +19 1 2 3 19+ + + +…20 20 20 +20 1=2+ 1 1 31 1 1 1 1 1 116+32=32=1-32 2+4+8+16+32+
2 3 18 19 (1+19)×19÷2
2+ +
…
2 +2+2= =95
1 1 1 1 255 1 1
2 64+128+256=1-256=256 8.3×4+4×5+
[同步精练] 1 … 1 1 1 2021
由
1 1 2 1 2 3 1 5×6
+ +2023×2024=3-2024=6072 9.
1.2+3+
…
3+4+4+4+ +60+ 题意知,A=1,B 可能是1或2,C 可能是1或3。
2 … 59 1 2 3 59
60+ +60= 2 + + +
…
2 2 + =
A+1 B+1 C+1 1,即1+1 B+12 2 + 3 + 4 =26 2 + 3 +
(1+59)×59÷2 1 1 2 1
2 =885 2.1=1 + + =2
C+1 1
2 2 2 =2 ,变式后得4B+3C=7,可知4 6 B=1
,
1 2 3 2 1
+ + + + =3 依此类推
1
+ C=1。 10.分母是126的真分数有125个,它们3 3 3 3 3 2024
(1+125)×125÷2
2 2023 2024 2023 2 1 的和是 126 =62.5
。
2024+
…+ …2024+2024+2024+ +2024+2024
=2024 原 式=1+2+3+ … +2024=(1+ 第二讲 长方体(一)(巧算表面积)
5 50 5
2024)×2024÷2=2049300 3. ,12=120 8= 例1 解:25×20+(25×15+20×15)×2=1850
1 76

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
(平方厘米) 答:做这样一个鱼缸需要1850平方 答:这个立体图形的表面积是214平方分米。
厘米的玻璃。 2.解:朝前、朝后有小正方形9×2=18(个) 朝
[同步精练] 上、朝下有小正方形9×2=18(个) 朝左、朝右有
1.解:30×20+(30×10+20×10)×2=1600 小正方形8×2=16(个) 2×2×(18+18+16)=
(平方厘米) 答:做这个木箱至少要用1600平方 208(平方厘米) 答:它的表面积是208平方厘米。
厘米木板。 2.解:42×4=64(平方分米) 答:这 3.解:朝上、朝下有小正方形9×2=18(个) 朝
张商标纸的面积至少是64平方分米。 3.解: 前、朝后有小正方形7×2=14(个) 朝左、朝右有
50×25+(50×1.6+25×1.6)×2=1490(平方米) 小正方形9×2=18(个) 2×2×(18+14+18)=
答:抹水泥的部分是1490平方米。 200(平方厘米) 答:它的表面积是200平方厘米。
例2 解法一:22×10=40(平方厘米)
练 习 卷
解法二:2×2=4(厘米)
(4×2+4×2+2×2)×2=40(平方厘米)
一、1.56平方厘米 16厘米 2.25 15 375
答:这个长方体的表面积是40平方厘米。 15 10 150 3.150 4.4 96 5.60 412
[ ] 同步精练 6.72平方分米 7.100 8.450 400 9.8 384
1.解法一:32×10=90(平方厘米) 解法二: 10.8a+8b
( ) ( ) ( 3×2=6 厘米 6×3+6×3+3×3 ×2=90 平 二、1. 2. 3. 4. 5.
) : 方厘米 答 这个长方体的表面积是90平方厘 三、1.解:4×2=8(米) 4÷2=2(米) (8×4+
米。 2.解:36×6×2-36×2=360(平方厘米) 8×2+4×2)×2=112(平方米) 答:这个长方体
: 答 长方体的表面积是360平方厘米。 3.解: 的表面积是112平方米。 2.解:25×10+(25×
32×2=18(平方厘米) 答:表面积减少了18平方 3+10×3)×2-28=432(平方米) 答:粉刷的面
厘米。 积是432平方米。 3.解:3分米=0.3米 5×
例3 解:(5×4+5×3+4×3)×2×2=188(平方 0.3×4×4×25=600(元) 答:一共要600元。
厘米) 188-5×4×2=148(平方厘米) 答:
这个 4.解:2.5×1.2+(2.5×0.8+1.2×0.8)×2=
长方体的表面积是148平方厘米。 8.92(平方分米) 8.92×2=17.84(平方分米)
[同步精练] 答:做一对这样的铁皮盒至少要17.84平方分米的
1.解:(3×2+3×1+2×1)×2×2=44(平方 铁皮。 5.解:2分米=0.2米 2.5×0.2×4×10
厘米) 44-3×2×2=32(平方厘米) 答:这个长 =20(平方米) 答:做10个这样的烟囱管至少需
方体的表面积是32平方厘米。 2.解:(5×2+ 要20平方米铁皮。 6.解:42×2+26×5=214
5×1+2×1)×2×2=68(平方厘米) 68-2×1× (平方厘米) 答:这个长方体的表面积是214平方
2=64(平方厘米) 答:这个长方体的表面积是64 厘米。 7.解:0.8×0.4×2=0.64(平方米) 答:
平方厘米。 3.解:6×4×2-4×3×2=24(平方 它的表面积最少增加0.64平方米。 8.解:(25×
厘米) 答:这个大长方体的表面积的最大值与最 20+25×5+20×5)×2×2-25×20×2=1900(平
小值相差24平方厘米。 方厘米) 答:至少需要1900平方厘米包装纸。
例4 解:102×6+10×4×2+4×4×2=712(平方 9.解:朝上、朝下有小正方形12×2=24(个) 朝
厘米) 答:这个立体图形的表面积是712平方 前、朝后有小正方形7×2=14(个) 朝左、朝右有
厘米。 小正方形8×2=16(个) 1×1×(24+14+16)=
[同步精练] 54(平方厘米) 答:它的表面积是54平方厘米。
1.解:5×5×6+4×4×4=214(平方分米) 10.解:3×3×6+1×1×4×6=78(平方厘米)
1 77

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答:所得物体的表面积是78平方厘米。 油 32 千克。5
第三讲 分数乘法
例 24 解:600× 1-5 ÷2.4=150(千米/时)
例 21 解:2700× -1050=750(米) 答:再挖750 150-80=70(千米/时) 答:乙车每时行70千米。3
[同步精练]
米正好挖完这条水渠的2。
3 1.解:720× 5 18-2 =90(千米) 答:这时火
[同步精练]
3 车超过两站中点90千米。
3 2
2.解:420× 4+ - 1.解:8× -3=3(千米) 答:再修3千米正 34
1 =175(千米) 答:这时两车相距175千米。
好修这条路的3。 1 1
4 2.
解:72× 2-4 =18
2
3.解:1200÷ 1200× ÷4 =10(天) 4+7=11
(页) 答:再看18页就正好看了这本书的一半。 5
3 1 1 (天) 10<11 答:照这样的速度,能完成任务。
3.解: 4-5 ÷ 5÷4 =11(天) 答:再运
3 练 习 卷
11天就正好运走它的 。4
一、1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C
例 解:9 1 1 72 × + = (吨) 答:两周共吃掉大8 3 2 8 二、 解: 1 1 61. + × =1(千克) 答:六年级采2 3 5
米7吨。
8 集树种1千克。 2.解: 3 31312× 1-8-8 =328[同步精练]
(人) 答:男生比女生少328人。 3.解:24×
解:5 3 1 51. × + = (米) 答:两次一共用8 5 4 8 324× =432(平方米) 答:它的面积是4 432平
5 去 米。 解: 1 1 3
8 2. 8×4-4=1
(吨) 答:第一4 方米。 解: 2 4 4. 60×5×5=19.2
(千克) 答:第
次比第二次多用 31 吨。
1 1
4 3.
解:2-2×4-2= 二次卖出19.2千克。 5.解:
2 2 2
40×5+3=163
1(吨) 答:这时还剩1吨。
1 1 (吨) 答:第二次运走
2
16 吨。3 6.
解:120×
例3 解法一:100-100×5-100×4=55
(页)
1 2
1 1 (页) 答:两天一共看了 页。解法二:100× 1- - =55(页) 答:第三天 4
+5 =78 78
5 4
看了55页。 7.解:10× 1 2 81- - = (吨) 23 5 3 =2 (吨) 答:3
[同步精练]
还剩 22 吨没有卖。 8.解:
1
1 3 3
800× 1+4 -200
1.解:3400× 1-4-10 =1530(吨) 答: =800(千克) 答:再卖出800千克本周就比上周
仓库里还剩1530吨化肥。 2.解:
5
12600× + 多卖1。 解: 79 4 9. 240×8× (台) 答:实12=1120
3
5-1 =1960(辆) 答:去年超产汽车1960辆。 际5天生产了1120台。 1 10.解:2400× 2-
2 2 3 1
3.解:5-5× - =2 (千克) 答:还剩下5 5 5 20×7 =360(千米) 答:离中点还有360千米。
1 78

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
[同步精练]
第四讲 长方体(二)(巧算体积)
1.解:200×(8-5)=600(立方厘米) 答:这
例1 解:144÷36=4(厘米) 答:它的高是4 块石头的体积是600立方厘米。 2.解:120×
厘米。 60×20=144000(立方厘米)=144立方分米 答:
[同步精练] 王刚颈部以下的体积是144立方分米。 3.解:
1.解:5×5=25(平方厘米)=0.25平方分米 60×20×4÷5=960(立方厘米) 答:每块铁块的
2.5÷0.25=10(分米)=1(米) 答:应截取的 体积是960立方厘米。
钢材长是1米。 2.解:200升=200立方分米
练 习 卷
200÷(5×5)=8(分米) 答:水箱的高是8分米。
3.解:144升=144立方分米 144÷(6×6)×2
一、 1
1.1000 2.64立方厘米 3. 4.9000
=8(分米) 答:这个油箱深8分米。 27
例2 解:63÷9=24(分米) 答:铸成的钢材长24 5.27 6.1.5 7.72 8.12.5 9.75 10.4
米
分米。 11.30 12.120 30
[ 二、同步精练] 1.C 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C
: 3 ( ) : 三、解:体积:2
3+5×5×2=58(立方厘米) 表面1.解 0.8÷0.16=3.2 米 答 锻成的钢材
。 : 积:(长3.2米 2.解 103÷(2×2)=250(厘米)=25 5×5+5×2+5×2
)×2+22×4=106(平方厘
: 。 : 米) 答:这个零件的体积是58立方厘米,表面积分米 答 这个长方体的长是25分米 3.解
63
是 平方厘米。
÷(6×5)=7.2(分米) 6×5×(8.5-7.2)=39 106
(立方分米)=39升 答:水深是7.2分米,
四、
还应再 1.解:72÷(6×3)=4(厘米) 答:高是4厘
。 米。 2.解:16平方分米倒入39升水 =0.16
平方米 0.16×
: : ( ) 3×10=4.8(立方米) 答:10根这样的木料的体积例3 解 长方体铁盒的长 40-5×2=30 厘米
: ( ) 是4.8立方米。 3.解: (立长方体铁盒的宽 30-5×2=20 厘米 长方体铁 2.4×0.5×0.2=0.24
: : 方米)=240升 240÷15=16(分) 答:它的容积盒的高 5厘米 长方体铁盒的容积 30×20×5=
( ) 是240升,需要用 分才能注满这个水槽。3000 立方厘米 3000立方厘米=3立方分米 16
: 。 4.解:(7+6+5)×4÷12=6(厘米) 6
3 (立
答 这个铁盒的容积是3立方分米 =216
[ 方厘米)同步精练] 答:这个正方体的体积是216立方厘米。
解:( ) ( ) (立 5.解:1. 20-5×2 × 15-5×2 ×5=250 40÷4=10
(厘米) 10×10×40=4000(立
方厘米) 毫升 答:这个盒子的容积是 毫 方厘米)=4升 答:这个铁箱的容积是4升。=250 250
升。 2.解:840÷[(26-3×2)×3]=14(厘米) 6.
解:16÷[(3-1)×2]=4(平方米) 4×(2×3)
14+3×2=20(厘米) 答:这块铁皮原来的宽是20 =24
(立方米) 答:原长方体的体积是24立方米。
。 () :3 ( ) : 7.解:厘米 3.1 解 3=27 立方分米 答 这个铁
皮盒的容积是27立方分米。 (2)解:32×5=45
(平方分米) 答:这个铁皮盒用铁皮45平方分米。
(3)解:9×9=81(平方分米) 答:原来铁皮的面 焊接成的铁皮盒是一个底面是边长为20厘米
积是81平方分米。 的正方形、高是5厘米的长方体。 20×20×5=
例4 解:3×3×3÷(15×12)=0.15(分米)=1.5 2000(立方厘米) 答:这个铁皮盒的最大容积是
厘米 答:水面升高了1.5厘米。 2000立方厘米。
1 79

同步奥数培优
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8.解:2分米=20厘米 5升=5000立方厘米 4 3 9 4 9× = 42÷ 1- - =245(个) 答:
20×20×15-5000=1000(立方厘米) 答:石头 7 5 35 7 35
的体积是1000立方厘米。 9.解:10×10×15÷ 王师傅计划做245个零件。
2 2
3.解: 1-7 ×5
(25×10)=6(厘米) 答:这时水的高度是6厘米。
2 2 2
( )
10.解:32÷4÷2=4(厘米) 4×4×(4+2)= =7 10÷ 7×2- 1- 立方米7×2 =70
96(立方厘米) 答:原来长方体的体积是96立方 答:这批木料共有70立方米。
厘米。
例 解: 1 3 54 55÷ 1+4-8-12 =120(棵) 答:
第五讲 分数除法 学校计划植树120棵。
[同步精练]
例 31 解:(200+250)÷ =750(个) 答:这批零5 1.解: 3 4200÷ + -1 =2000(件) 答:服10 5
件共有750个。
[同步精练] 装厂计划生产2000件服装。 2.解:
5
3360÷ 9+
1.解:( )
2
320+400 ÷ =1080(千克) 答:超 33 5-1 =21600(辆) 答:去年计划生产汽车21600
市现在一共有水果1080千克。 2.解:(64+
辆。 3 7 3.解:1-
3 3 10
=10 340÷ 9 7 8
-10 =800
86)÷10=500
(套) 500× 1-10 =350
(套)
(块) 答:这堆砖原有800块。
答:家具厂还要生产350套沙发。 3.解:(90-
3 练 习 卷
30)÷ 1- =240(千米) 答:这条铁路长4 240
一、
千米。 1. 2. 3. 4. 5.
: 2 3 ( ) : 二、1.解:
2 2
例2 解 24÷ 1- - =80 页 答 这本书 420÷ 1+5 =300(棵) 300× =5 10 5
(棵) 答:柑树比橘树多 棵。
共有80页。 120 120 2.
解:
[同步精练] 8 11000÷ - =3000(米) 答:这条路全长15 5
解: 1 11. 24÷ - =144(台) 答:这批电 2 3 1 13000米。 3.解:16÷ - =192(千米)4 6
脑有144台。 2.解: 1 16÷ - (千克) 3 5 =45 答:这段路全长192千米。 4.解:桌子:80÷ 1+
答:这筐萝卜原有45千克。
2 1
3.解:90÷ 5- 34 (元) 椅子: 3 (元) 答:桌子的5 =50 50×5=30
=600(米) 答:这条马路全长600米。 单价是50元,椅子的单价是30元。 5.解:120÷
例3 解:
1 1
108÷ 1-4 × 1-5 =180(米) 65-60=40(千米/时) 答:乙车每时行40千米。
答:这捆电线共长180米。
6.解: 2 5150×5+150 ÷6=252(人) 答:全[同步精练]
3
1.解:31÷ 2 4 2 4+ - 1- - 厂有工人252人。 7.解:(8+2)÷ 1- =255 9 5 9 =45 5
(吨) 答:这批原料共有45吨。 2.解: 1- (米) 答:这根钢筋原长 125米。 8.解:1-4=
1 80

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
3 1 3 例 这时船在海港 的北偏东 方向 海里
324÷ 1+ - =720(个) 答:原来这堆 3 A 60° 304 5 4 处。以B 为观测点,A 在B 的南偏西60°方向30海
苹果 有 720 个。 9. 解:(90+14-4)÷
里处。
1 11-4-3 =240(页) 答:这本故事书一共240 [同步精练]
页。 10.解: 1 1 2 1 21-3 × = 1- - × 1.A 2.A 点在O 点的0°方向50千米处 3 9 3 9
B 点在O 点的30°方向30千米处 C 点在O 点的
1 1
4=9 6÷ 1 2 11- - (个) 答:篮子3 9-9 =18 90°方向30千米处 D 点在O 点的240°方向50千
里原有桃子18个。 米处 3.66
例4 (1)以我军潜艇为观测点,在南偏东60°的方
第六讲 确定位置
向上,目标主要有敌舰A,还有一个小岛。 (2)敌
例1 D 舰B 在我军潜艇的正东方向。 (3)我军潜艇需沿
[同步精练] 着北偏东30°的方向,至少以90千米/时的速度追
1.C 2.C(4,5),D(7,8),E(9,4),F(5,4) 击,才能将敌舰击沉,且没有触礁的危险。
3.(1)略 (2)4路→7路→12路→学校(答案不唯
[同步精练]
一)
例2 1.(1)北偏东45° 300 (2)电影院 2.油井
C 在油井A 的北偏东45°方向4.5千米处 油井B
在油井A 的正东方向6千米处 油井D 在油井B
的南偏西60°方向6千米处 3.(1)学校→公园:北
偏东55°方向 1500米 公园→新村:南偏东60°方
向 1000米 新村→学校:南偏西80°方向 2000
米 (2)300米/分
[同步精练]
1. 练 习 卷
1.A 2.B 3.D 4.2 不同 20排10号
(15,13) 5.
2号
2.
1号
5号
3号
3. 4号
6.(1)正北 90 (2)教学楼、厕所 (3)(6,11)
(5,2) 运动场 7.答案有多种,如以落雁湖为观
测点,休闲阁在落雁湖的南偏东45°方向150米处,
磨砚阁在落雁湖的南偏西60°方向250米处,赏心
1 81

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亭在落雁湖的北偏东38°方向150米处,醉仙亭在 5(240-x)=400-x
落雁湖的北偏西45°方向180米处,仙人湖在落雁 x=200
湖的北偏西78°方向200米处。 400-200=200(个)
240-200=40(个)
第七讲 用方程解决问题
答:甲筐剩200个梨,乙筐剩40个梨。
例1 解:设每把椅子x 元,每张桌子3x 元。 2.解:设两班原有图书各x 本。
2×3x+5x=220 3(x-72)=x+38
x=20 x=127
20×3=60(元) 答:两班原有图书各127本。
答:每张桌子60元,每把椅子20元。 3.解:设乙班有x人,甲班有(x+8×2)人。
[同步精练] 2(x-8)=x+8×2+8
1.解:设一条白毛巾x 元,一条花毛巾3x 元。 x=40
3x×40+40x=640 40+8×2=56(人)
x=4 答:甲班有56人,乙班有40人。
3×4=12(元) 例3 解:设原计划每天生产x 个。
4+12=16(元) 10x=(10-3)×(x+42)
答:一条白毛巾和一条花毛巾共16元。 x=98
2.解:设1千克小米x 元,1千克精粉2x 元。 98×10=980(个)
30 2x 70x 312 答:× + = 这批零件有980个。
x=2.4 [同步精练]
2.4×2=4.8(元) 1.解
:设原计划行x 时。
2.4×70=168(元) 30x=(30+10)×(x-2)
4.8×30=144(元) x=8
答:买精粉用了144元,买小米用了168元。 30×8=240(千米)
3.解:设每个排球x 元,每个篮球(x+5)元。 答:甲、乙两地相距240千米。
:
10x 4(x 5) 510 2.解 设准时到学校要+ + = x
分。
65(x+3)=70(x-2)x=35
35+5=40(元) x=67
答:
( )
每个篮球40元,每个排球35元。 70× 67-2 =4550
(米)
: , 。 答:王宇家到学校的路程是 米。例2 解 设岸上有x 只鸭 河里有3x 只鸭 4550
3.解:设下午行了 时。3x-26=x+26 x
x=26 42
(x+4)=50×4+39x
26×3=78(只) x=10
2
3
26+78=104(只) 2
答:这群鸭一共有104只。 答
:这辆车下午行了10 时。3
[同步精练] 例4 解:设每包15克的有x 包,每包7克的有
1.解:设取出x 个。 (x+80)包。
1 82

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
15x+7(80+x)=1000 15×2×1.2=36(元)
x=20 35×1.2=42(元)
20+80=100(包) 答:李大伯卖蚕豆得36元,卖青菜得42元。
答:15克一包的有20包,7克一包的有100包。 3.解:设乙仓运进x 吨,甲仓运进(60-x)吨。
[同步精练] 130+(60-x)=2(80+x)
1.解:设上坡x 时,下坡用(5-x)时。 x=10
15x+40(5-x)=150 60-10=50(吨)
x=2 答:甲仓运进50吨,乙仓运进10吨。
2×15=30(千米) 4.解:设小货车载质量是x 吨,大货车载质量
答:这过程中上坡有30千米。 是3x 吨。
2.解:300÷30=10(天) 9×3x-15x=18
设生 产 工 艺 草 帽 用 x 天,生 产 普 通 草 帽 用 x=1.5
(10-x)天。 9×3×1.5=40.5(吨)
27x+32(10-x)=300 答:大货车一共运送货物40.5吨。
x=4 5.解:设乙有x 元,甲有(x+48)元。
4×27=108(顶) x+48+27=2(x-27)
答:生产工艺草帽用了4天,生产工艺草帽 x=129
108顶。 129+48=177(元)
3.解:设公猴有x 只,则母猴有(x+4)只,小 答:甲有177元,乙有129元。
猴有38-x-(x+4)=(34-2x)只。 6.解:设乙是x,甲是6x。
10x+8(x+4)+5(34-2x)=266 6x-x=6
x=8 x=1.2
8+4=12(只) 6×1.2=7.2
38-8-12=18(只) 7.2+1.2=8.4
答:公猴有8只,母猴有12只,小猴有18只。 答:甲、乙两数的和是8.4。
7.解:设这队少先队员有x 人。
练 习 卷
5x+14=7x-4
一、x=4.5 x=7 x=4.2 x=0.9 x=2 x=9
y=0.75 5×9+14=59(棵)
二、1.解:设每台吊扇x 元,每台台扇(x+45)元。 答:这队少先队员有9人,一共要栽59棵树。
5(x+45)+4x=1440 8.解:设四年级种了x 棵,五年级种了(3x+
x=135 7)棵。
135+45=180(元) 3x+7-x=55
答:每台台扇180元,每台吊扇135元。 x=24
2.解:设1千克青菜x 元,1千克蚕豆2x 元。 3×24+7=79(棵)
15×2x+35x=78 答:四年级种了24棵,五年级种了79棵。
x=1.2 9.解:设女生有x 人,男生有(4x-8)人。
1 83

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4x-8=3x+24 年上缴利润情况统计图
x=32
4×32-8=120(人)
答:这个学校参加竞赛的男生有120人,女生
有32人。
10.解:设梨原来有x 千克,苹果原来有3x
千克。
x ()
3x-45× =150 120
(2)2020 (3)2022 (4)2022 2019
20
(5)略
x=200
2.育才小学3个年级春季植树情况统计图
3×200=600(千克)
答:苹果原来有600千克,梨原来有200千克。
11.解:设原来第二车间有x 人,原来第一车间
有3x 人。
3x-125=x+125
x=125
答:原来第二车间有125人。
12.解:设从甲班调x 人到乙班。 (1)六年级 春 季 植 树 最 多 (2)300 25
2(56-x)-10=30+x (3)答案不唯一,比如4月三个年级一共植树多少
x=24 棵 4月哪个年级植树最少
答:从甲班调24人到乙班。 3.小明、小亮、小力和小强四人抛正方体木块
情况统计图
第八讲 统计表和条形统计图
例1 育才小学四年级两个班回收易拉罐情况统计图
(1)观察直条的高矮,可以发现这四人抛正方
(1)四(1)班7月回收的易拉罐最多,4月回收 体木块的共同点是A 面朝上次数的直条最矮,B 面
的易拉罐最少。 (2)24+26+28+32=110(个) 朝上次数的直条比较高,C 面朝上次数的直条最
答:四(2)班四个月一共回收110个易拉罐。 高。 (2)将每个人抛A,B,C 面的次数分别相加,得
(3)110÷10×2=22(个) 答:四(2)班四个月回收 到A 面朝上的次数共是20次,B 面朝上的次数共是
的易拉罐可以制成22个新易拉罐。 (4)(23+ 37次,C 面朝上的次数共是63次,因为正方体木块上
25+26+34)÷4=27(个) 答:四(1)班平均每月 一面写“A”,两面写“B”,三面写“C”,所以B 面朝上的
回收27个易拉罐。 次数大约是A 面的2倍,C 面朝上的次数大约是A 面
[同步精练] 的3倍,C 面朝上的次数大约是B 面的1.5倍,这四个
1.某电脑公司第一、第二门市部2019-2022 人抛的各种面的次数和与可能性的预测比较接近。
1 84

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
例2 某年甲市、乙市各季度平均气温统计表 三班 40 38 95%
单位:℃ 四班 50 49 98%
季度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 [同步精练]
甲市 1 20 24 6 1.
乙市 11 23 28 15 班级 考试总人数 优秀人数 优秀率
(1)二 一 (2)乙 ()略 六
(1)3 班 42 23 54.8%
()
[ ] 六 2 班 40 23 57.5%同步精练
六(3)班 41 24 58.5%
1.新华村2020-2022年水稻、小麦产量统计表
六(4)班 41 22 53.7%
单位:吨
从表格中看,六(3)班的数学测试优秀率最高,
年份 总计 202020212022
说明这个班同学比较勤奋,优秀的学生比较多。
合计 6300170020002600
水稻 3700100012001500 2.
小麦 2600 700 800 1100 苹果罐头 桃罐头 山楂罐头 梨罐头
(1)2022 (2)3500(答案不唯一) (3)科学种 抽查箱数 50 40 60 80
合格箱数
植、风调雨顺等 46 32 54 68
合格率
、 、 92% 80% 90% 85%2.甲 乙 丙、丁四地环境污染情况统计表
单位:万元 (1)苹果罐头的合格率最高,桃罐头的合格率
最低。 (2)略
地区 总计 甲 乙 丙 丁
合计 ()910 363 226 184 137 3.1 某县四镇农业产值和总产值统计表
水污染 635 327 129 69 110 总产值 农业产值 农业产值占总
项目 (亿元) (亿元) 产值的百分数
大气污染 275 36 97 115 27
合计 15.2 4.43 29.1%
(1)甲 (2)丙 (3)635 (4)291 (5)略
甲镇 7.2 1.78 24.7%
3.四年级(1)班某小组同学两次跳绳测试成绩 乙镇 3.6 1.09 30.3%
统计表 丙镇 2.8 0.94 33.6%
单位:下 丁镇 1.6 0.62 38.8%
小军 小强 小兰 小方 (2)15.2 4.43 甲 (3)甲镇的总产值远远
第一次测试 115 124 148 148 高于其他镇,说明这个镇经济状况最好,而且该镇
第二次测试 131 125 150 140
的农业产值占总产值的比重最小,说明工业产值、
(1)与第一次测试相比,小军第二次测试进步 服务业产值比较高,人们的生活水平也应该高于其
最大。 (2)从数据中还可以看出小兰的水平比较 他镇。丁镇的总产值较低,并且农业产值占的比重
高而且很稳定。 高,说明其他产值也不高,这个镇的人民的经济状
例3 建华小学六年级学生参加植树活动各班出勤 况可能不是很好。
情况统计表 例4 语文学科的优秀率=12÷36≈33.3%,数学
项目 应出勤人数 实际出勤人数 出勤率 学科的优秀率=15÷36≈41.7%。
一班 42 42 100% [同步精练]
二班 45 44 97.8% 1.(1)37.8 英国友人比较喜欢这种活动
1 85

同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
(2)略 提示:低于10.8%即可 好以下人数只占全班的1,所以总体成绩良好。
2.足球 跳绳 乒乓球 5
3.B 提示:甲品牌的销量高不代表利润高。 第九讲 折线统计图
练 习 卷 例1 C
[同步精练]
1.某商店去年8~10月份衬衫和羊毛衫两种
1.C 2.D 3.B
商品销售情况统计图
例2 A
[同步精练]
1.B 2.D 3.C
例3 (1)六 四 (2)五 (3)略
[同步精练]
1.(1)衬衫销量逐步下降。 (2)(100+200+
400+600+900+800)÷6=500(件) (3)因为十
(1)8 10 (2)11月和12月应多购进羊毛衫, 二月冬天到了,人们都要穿棉衣(或羽绒服)了。
少购进衬衫。 2.(1)22.5 (2)4.5 (3)2.25 3.(1)实线表示
2.某书店第一、二季度各类图书销售情况统计图 A市,虚线表示B市 (2)3月最接近 4月相差最
大 (3)略
例4 (1)李林、王亮五次体育测试成绩统计图
(1)童话、漫画书销量减少,科普书、趣味数学
销量增加。 (2)多进科普书和趣味数学。
3.(1)乙地人均绿地面积比甲地多。 (2)略
4.(1)六(1)
班同学水果喜好情况统计图 (2)一 五 (3)四 (4)上升 上升
[同步精练]
1.(1)
(2)略
5.A
6.(1)5 10 15 20(从下往上填) (2)50
1.08 (3)这次测试总体良好,优秀率达50%,且良 (2)A品牌 (3)6月份 1月份 (4)A品牌
1 86

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
彩电全年销量呈下降趋势,B品牌彩电全年销量呈
第十讲 实践与操作
上升趋势。
2.(1) 例1 768÷4=192(平方厘米) 192÷(32-4×2)
=8(厘米) 32×(8+4×2)=512(平方厘米)
答:原长方形铁皮的面积是512平方厘米。
[同步精练]
1.(6×5+6×4+5×4)×2=148(平方厘米)
(2)像图中虚线这样先找到影长8米,再找相 148+6×5×4=268
(平方厘米) 148+5×4×4
=228(平方厘米) 答:, 这三个小长方体的表面积对应横轴上的数据 大约2.7米
的和最大是268平方厘米,最小是() 228
平方厘米。
3.1
2.8×5×2+(10-2)×5×2+(10-2)×(8-2)
=208(平方厘米) (10-2)×(8-2)×(5-1)=
192(立方厘米) 答:需1厘米厚的木板208平方厘
米,这个木盒的容积是192立方厘米。 3.63÷
(4×2)=27(厘米) 答:这个长方体铁块长27厘米。
例2 空白面的字母是“E”。
[同步精练]
1.绿色 蓝色 黑色 2.c、f、g折起后可以
(2)①月平均最高气温都出现在7月和8月 组成一个正方体。 3.
最低气温都在1月 ②2月 31℃ ③甲市:最高
30℃ 最低-18℃ 乙市:最高38℃ 最低5℃
例3 搭成一个八边形。图略
练 习 卷 [同步精练]
1.
1.D 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C
7.(1)二 (2)2020 (3)①第一门市部上缴利
润增长先快后慢;②两个门市部电脑销售利润都增
长,说明电脑需求旺盛。 2. (正四面体)
8.(1)
3.
例4
最少需要移动2枚。
[同步精练]
(2)2018年 (3)国内邮票从2017年到2018
1.
年下降,2018年以后上升;国外邮票从2017年开始
逐渐下降。
1 87

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至少移动4枚。 10.
2.
11.“↑”表示杯口向上,“↓”表示杯口向下。
左边第一个移到横排最后一个,最上面一个移
↑↑↑↑↑ (1)↓↓↓↑↑ (2)↑↑↓↓↑
到中间,与中间硬币重叠。 (3)↓↓↓↓↓ 经过3次翻转。 12.“↑”表示
3. 杯口朝上,“↓”表示杯口朝下。↓↓↓↓↓↓
(1)↓↑↑↑↑↑ (2)↑↓↓↓↓↑ (3)↓↑↑
把第2杯水倒入第5杯。
↑↓↓ (4)↑↓↓↑↑↑ (5)↓↑↓↓↓↓
()
练 习 卷 6 ↑↑↑↑↑↑ 经过6次翻转。
1.68÷2=34(平方厘米) 16÷2=8(厘米) 第十一讲 容斥原理
8×8=64(平方厘米) 64-34=30(平方厘米) 例1 24+36-8=52(人)或24-8+36=52(人)或
30÷2=15(平方厘米) 答:长方形ABCD 的面积 36-8+24=52(人)。答:至 少 做 对1题 的 有
是15平方厘米。 52人。
2. [同步精练]
1.12+17-6=23(人)。答:至少有1门得100
或
分的共有23人。 2.30+26-12=44(人)。答:
五年级(1)班共有学生44人。 3.30+36-10=
1+2+3+……+12=78 78÷(1+2)=26
56(人)。答:大华纺织厂有女工56人。
3.a、c、d可折成完整的正方体。 4.(1)d 例2 10×5+40-60=30(平方厘米)。答:两张纸
(2)d 5.100=10×10 10×2=20(厘米) 答:每 片重合部分的面积是30平方厘米。
个长方形的周长是20厘米。 [同步精练]
1.30+35-50=15(人)。答:两个组都参加的
6. 至少取走3根。 有15人。 2.女生有42-20=22(人),女生中的
少先队员有22-4=18(人),男生中的少先队员有
33-18=15(人)。答:男生中有15人是少先队员。
7.
3.10×8+5×5-3×4÷2=99(平方厘米)。答:
这两个图形盖住的桌面的面积是99平方厘米。
例3 设三种报纸都订的有a 人,只同时订数学、语
8.(1) (2)
文报的有(10-a)人,只同时订数学、科技报的有
(12-a)人,只同时订语文、科技报的有(12-a)人,
只订数学报一种的有28-(10-a)-(12-a)-a
=6+a;只订语文报一种的有41-(10-a)-(12-
9.把右上角的三角形移至左下角: a)-a=19+a;只订科技报一种的有20-(12-
a)-(12-a)-a=a-4。列方程:(a+6)+(19+
1 88

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
a)+(a-4)+(10-a)+(12-a)+(12-a)+a= 11)÷2-11=6(千米),AC 长为(10+13+11)÷
64,得a=9。或64-[(28+41+20)-(10+12+ 2-10=7(千米)。答:A,B 之间距离最短,为4千
12)]=9。答:三种报纸都订的有9人。 米。 4.会游泳的有:7×(48÷12)=28(人),两样
[同步精练] 都会的有:48÷4=12(人);单会游泳的有:28-12
1.38+40+42-7-8-9+3=99(平方厘米)。 =16(人),会骑自行车的有:48-16=32(人)。答:
答:图形覆盖的总面积是99平方厘米。 2.不会 会骑自行车的有32人。 5.设竖长方形的宽为x
游泳、不会骑自行车和不会打乒乓球的人分别是 厘米,横长方形的宽为y 厘米,列出方程为:7x+5y
21、15和8人,故至少有一项不会的最多有21+ =43,当x=4,y=3时,7×4+5×3=43,两个长方
15+8=44(人),三项都会的至少有48-44=4 形重叠部分的面积:4×3=12(平方厘米)。答:两
(人)。答:至少有一项不会的最多有44人,三项都 个长方 形 重 叠 部 分 的 面 积 为12平 方 厘 米。
会的至少有4人。 3.借文艺书、故事书、科技书 6.62+34-11=85(人),100-85=15(人)。答:这
共有20+25+30=75(人),其中借文艺书和故事书 两个频道都不喜欢的有15人。 7.画展的总幅
的重复了9人,借文艺书和科技书的重复了11人, 数:(22+18+20)÷2=30(幅),其他年级共展出:
借故事书和科技书的重复了10人,三种书都借的重 30-22=8(幅)。答:其他年级共展出8幅画。
复了1人,所以五(1)班共有学生:20+25+30-9- 8.17+14-4=27(人),46-27=19(人)。答:两样
11-10+1=46(人)。答:五(1)班有学生46人。 都不会的有19人。 9.45+10+10+12-25-
例4 10000÷5=2000,10000÷7=1428……4, 20-30=2(人)。答:三个班都报名的有2人。
10000÷35=285……25,2000+1428-285=3413 10.1000÷3=333……1,1000÷5=200,1000÷7=
(个)。答:1~10000的自然数中,能被5或7整除 142……6,1000÷(3×5)=66……10,1000÷(3×
的数有3143个。 7)=47……13,1000÷(5×7)=28……20,1000÷
[同步精练] (3×5×7)=9……55,333+200+142-(66+47+
1.1000÷5=200,1000÷9=111……1,1000÷ 28)+9=543,1000-543=457(个)。答:有457个
45=22……10,200+111-22=289(个)。答:有 数不能被3,5,7中任何一个数整除。
289个。 2.100÷2=50,100÷3=33……1,
第十二讲 抽屉原理
100÷6=16……4,50+33-16=67(个)。答:有67
个。 3.105=3×5×7,105÷3=35,105÷5=21, 例1 730-366=364。至少有两名学生在同一天
105÷7=15,105÷(3×5)=7,105÷(3×7)=5, 过生日。
105÷(5×7)=3,105÷105=1,105-[(35+21+ [同步精练]
15)-(7+5+3)+1]=48(个)。答:有48个。 1.至少要拿41本本子,才能保证至少有1个
学生拿到2本或2本以上的本子。 2.一次至少
练 习 卷
拿5支才能保证有1支是钢笔。 3.一年有52个
1.(56+54-82)÷2=14(岁)或(56+54+ 星期,57÷52=1……5,至少有2人在同一个星期
82)÷2-82=14(岁)。答:小华今年是14岁。 内过生日。
2.32+24-20=36(人),46-36=10(人)。答:两 例2 把100米平均分成100段,每段长1米,两头
道题都没有做对的有10人。 3.AB+BC=10, 都栽共可栽101棵树苗,现在要栽102棵树苗,至少
BC+AC=13,AC+AB=11,AB 的长为:(10+ 有两棵树苗栽在同一段中,这一段中会有两棵树苗
13+11)÷2-13=4(千米),BC 长为(10+13+ 之间的距离小于1米,也就是不超过1米。
1 89

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[同步精练] 一白,再摸出1只,不管是白的还是黑的,都会有颜
1.把10米平均分成10份,每份是1米,两头 色相同的一双袜子,因此至少要摸出3只袜子。
都放,正好放11盆,每两盆之间的距离正好是1米。 2.从最不利的情况想,如果摸出4个,正好是红、
现在有12盆花,这样一定会在1份中放两盆花,就 黄、蓝、白各1个,再摸出1个,不管是什么颜色,都
会有两盆花的距离小于1米,即不超过1米。 会有2个球是同色的。因此一次至少要摸出5个小
2.三种球每人借2个,借的球只有六种情况:篮球和 球。 3.9+8+7+6+5+4+3+2=44(次),至少
足球,篮球和排球,足球和排球,篮球和篮球,足球和足 要试验44次。
球,排球和排球。7个人来借球,至少有两人借的球相
练 习 卷
同。 3.每人取3个球,球的颜色有三种,共有10
种不同的颜色搭配:红红红、白白白、蓝蓝蓝,红红 1.四月份有30天,如果正好每天有1人出生,
白、红红蓝、白白红、白白蓝、蓝蓝红、蓝蓝白、红白 则31人一定会有两人同一天出生。 2.每人借2
蓝。31÷10=3……1,3+1=4,至少有4人取出的 本,共有三种借法:科技书和科技书,文艺书和文艺
球的颜色情况完全相同。 书,科技书和文艺书,4名学生来借书一定会有2名
例3 用红、蓝两色给每列中的3个小方格随意涂 学生借阅的图书相同。 3.每个学生借一个球有
色,只有8种情况: 三种方式;借两个球有六种方式,3+6=9,9+1=
红 蓝 红 红 蓝 蓝 红 蓝 10,至少来10名学生借球,就一定会有2名学生借
红 蓝 红 蓝 红 红 蓝 蓝 的球的颜色完全相同。 4.19÷4=4……3,4+1
红 蓝 蓝 红 红 蓝 蓝 红 =5,如果每瓶只插4朵,则只能插16朵,还有3朵
在3×9的方格中,有9列,把第9列再涂色,一 要插入花瓶中,至少有1个花瓶里要插入5朵或5
定与这8种情况中的一种相同。因此一定会有2列 朵以上的花。 5.100÷11=9……1,如果每秒跑
涂色方法相同。 9米,11秒就跑99米,还有1米必须在11秒中的1
[同步精练] 秒中加进去,这样就一定会有1秒跑的距离超过9
1.订阅报刊的种类共有7种情况:只订一份有 米。 6.一副牌有54张,去掉大王和小王,还有52
3种,订两份有3种,订三份有1种。37÷7=5…… 张,在剩下的52张牌里,共有13种点数,每种点数
2,5+1=6,至少有6人订的报刊种类完全相同。 各有4张,即有13个抽屉,13×2=26,又取出大王
2.可游览的地方有甲、乙、丙。只游览一个地方 和小王,共28张,再多取1张,共29张。所以至少
有3种方式,游览2个地方有3种方式,游览3个地 取29张,才能保证其中必有3张牌的点数相同。
方有1种方式,共有3+3+1=7(种)方式。50÷7 7.3×3+1=10(个),一次至少摸出10个球,才能
=7……1,7+1=8,至少有8人游览的地方完全相 保证有4个是同色的。 8.在给的14个奇数中,
同。 3.41÷5=8……1,8+1=9,那么有1人至 正好组成7对,和都是32,3+29=32,5+27=32,
少投进9个球。 7+25=32,9+23=32,11+21=32,13+19=32,
例4 (1)至少摸出27张牌,才能保证摸出的牌中至少 15+17=32。任取8个数,一定有两个数之和是
有3张是不同花色的牌;(2)至少摸出9张牌,才能保 32。 9.1+2+3+…+11=66,400÷66=6……
证摸出的牌中至少有3张是同花色的牌;(3)至少摸出 4,最不利的方法是:得1,2,3,…,11本书的各6人,
49张牌才能保证摸出的牌中至少有1张“K”。 还有4本书,要使每人不超过11本,至少有7人得
[同步精练] 到的书的本数相同。 10.每人可以参加三个组中
1.从最不利的情况想,摸出的2只袜子是一黑 的一个、两个或三个。这样就有3+3+1=7(种)参
1 90

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
加形式,从最不利的情况看,7人参加的组各不相 输,耗 油 量 最 省。 3.运 费 表 如 下,作 差 比 得
同,因为19÷7=2……5,至少有2+1=3(个)同学 400-300<800-500,即丁优先提供给乙,将丁的6
参加了相同的组。 万千克粮食提供给乙,再从丙提供8-6=2(万千
克)粮食给乙,从丙提供8万千克粮食给甲,此时费
第十三讲 最优化问题
用最省,最省费用为:400×8+500×6+800×2=
例1 0.5×(10×200+20×150)=2500(元) 答: 7800(元)。
最少要花2500元运费才行。 甲 乙
[同步精练] 丙 400 800
1.(1)煎三个饼要3分 方法:两个饼先煎一 丁 300 500
面,拿下一个饼,另一个饼翻面并放上第三个饼,再
例3 18+7+10+9+10=54(分) 答:从A 到B
煎1分,一个饼已煎好,把拿下去的饼及第三个饼
的最短时间是54分。
都翻一面再煎1分就都煎好了。 (2)煎n 个饼用
[同步精练]
n分。 2.本题要做的事中,花时间最长的是烧开
1.22千米 提示:A 到E4千米,E 到B5千
水,要15分,所以不管怎么安排,至少要15分才能
米,B 到C3千米,C 到D3千米,D 到F3千米,F
沏上茶。再看看,在烧开水的同时,可以做洗茶壶、
到A4千米,共4+5+3+3+3+4=22(千米)。
洗茶杯、放茶叶这三件事,但洗开水壶必须在烧开
2.28分 提示:到A 与到B 必一骑车一乘车,且
水之前完成,即洗开水壶与烧开水不能同时完成,
骑车每千米要走6分(如都骑车,按骑2千米12分,
因此15分不可能沏上茶,还要加上先洗开水壶的1
骑3千米则要18分。如都乘车,可知乘车每千米
分,共16分才行。 3.第二人→第一人→第四人
3.5分,等车5分,于是到C 应为19分),而到B、到
→第五人→第三人。总时间为:3×5+5×4+6×
C 都不可能骑车,均为乘车,于是乘车每千米2.5
3+7×2+10×1=77(分)。
分,故等车8分,这样8千米乘车需2.5×8=20
例2 70×40+30×30+(30×30+50×20)=5600
(分)。等车8分,共需28分。 3.调运方案如下
(元) 答:A 供应给乙40台,供应给丙30台;B 供
图。运费为(2×3+6×4+2×3+2×5)×10=
应给甲30台,供应给丙20台,此时运费最少,为
460(元)
5600元。
[同步精练]
1.由原安排,运垃圾车往返一趟要跑600米,
其中空车300米,运砖车往返一趟要跑720米,其中
空车要跑360米,而如果每车从A 到B 运垃圾,
例4 总费用为:空 7000×(30+5+2)+2000×(4×
) (元)。答:从水塔到居民点
车到C 再运砖到D 再到A,这样运了一车垃圾一车 3+1×2+5 =297000
( ), 用粗管,最后三个居民点用细管费用最省,为砖共跑空车240+90=330 米 故可用20辆车这 C
样先跑20趟,
元。
再从A 运20车垃圾到B 即可。原来 297000
[同步精练]
空车共要跑:300×60+360×40=32400(米) 合
。 :
理运法空车只跑: 1.5
周就可完工 如图
300×20+(240+90)×40=
19200(米) 2.大卡车每吨耗油:10÷5=2(升)。
小卡车每吨耗油7.5÷3=2.5(升),157÷5=31
(辆)……2(吨)。用大卡车31辆,小卡车1辆来运 2.A 地调7万吨到南京,调3万吨到上海;B
1 91

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地的5万吨全调到上海,运费最省。0.6×7+ 是质数了;②设p+2b除以5余3,则p+4b除以5
0.8×3+0.5×5=9.1(万元)。 3.从县城到A7 余5,不是质数;③设p+2b 除以5余7,则p+4b
(或A6)装一根粗管;(A6、A7 之间装四根细管)A7、 除以5余9,p+6b除以5余1,p+8b除以5余3,
A8 之间装三根细管;A8、A9 之间装两根细管;A9、 p+10b除以5不是质数;④设p+2b 除以5余9,
A10 之间装一根细管。费用:8000×(30+5+2+ 则p+4b除以5余1,p+6b除以5余3,p+8b不
4+2+3+2)+2000×(6+4+5)=414000(元)或 是质数。(2)设b是除以5余2的自然数,则已知中
8000×(30+5+2+4+2+3)+2000×(8+6+4+ 5个数之间的差为10k+4,分情况讨论:①设p+
5)=414000(元) 2b除以5余1,则p+4b 不是质数;②设p+2b 除
以5余3,则p+8b不是质数;③设练 习 卷 p+2b
除以5余
7,则p+6b 不是质数;④设p+2b 除以5余9,则
1.谈话先后顺序为:丙—甲—乙。丙谈话8分, p+10b不是质数。(3)设b为除以5余3或4的自
甲等8分,自己谈10分,共用8+10=18(分)。乙 然数都可以列出p+kb(k=4,6,8,10)不是质数。
等18分、自己谈12分,共用18+12=30(分)。最 (4)设b为5的倍数的自然数,则分情况讨论:①b
少的时间为8+8+10+8+10+12=56(分)。 除以3余1或余2,则p+2b,p+4b,p+6b中有一
2.50×4+80×(8-4)+40×6=760(元) 3.从 个能被3整除,就不是质数;②b除以3余0,则b为
图中可以看出有三种较近的走法:(1)A→C→M→ 15的倍数,所以b 的最小值是15。此时p 肯定为
D→E→B;(2)A→O→P→H→F→B;(3)A→O 奇数,这五个数都不是质数了。而p>1,所以p 是
→P→H→E→B。比较得第(1)种时间最短。16+ 3,5,7,9,…中的一个,p 不能取3和5,如果取这两
4+6+13+12=51(分)。 4.28分 5.甲、丁两 个的话,那这5个数中就会有一个能被3或5整除,
组7天全部生产上衣,乙组3天生产上衣,4天生产 所以p 的最小值为7,故b+p 的最小值为15+7=
裤子,丙组7天全部生产裤子,共做125套。 22。
6.由天然气站经G,F,E 到D 安装粗管,D 到C 5.31
安装2根细管,C 到B 安装1根细管,并且从天然 6.9 提示:有一对2和5相乘,末尾就有1个
气站到A 安装1根细管。此时所需费用为8000× 0,将这些数分解质因数,如24=2×2×2×3,因数2
(3+12+8+6)+3000×(5×2+9+10)=319000 就会有很多,只需要数因数5的个数即可。20,25,
(元)。 7.C 或D,停车11分。 30,35,40,45,50,共有7个数中含有5,其中25=
综合调研卷(一) 5×5
,含有2个5,50=2×5×5也含有2个5,因此
7+1+1=9,共有9个5,积的末尾也就有9个0。
、 一 1.34.56 2.96225 7.15 8.105 9.9 17 10.16 11.4.4
二、
1 2 3 4 5 6 7 8 9 12÷2=6(厘米) (3.14×62÷2-12×6÷
3.
8 2 6 5 4 3 9 1 7 2)×2=41.04(平方厘米)
4.22 提示:首先,b 的取值可以分这几种情 三、1.从结果出发,还原倒推。①第四次移动前:
况来讨论:(1)设b是除以5余1的自然数,这样的 甲港:48÷2=24(只),乙港:48+24=72(只);②第
话,b可以看成是5k+1,则已知中5个数之间的差 三次移动前:乙港:72÷2=36(只),甲港:24+36=
为10k+2,这时分情况讨论:①设p+2b除以5余 60(只);③第二次移动前:甲港:60÷2=30(只),乙
1,则p+4b除以5余3,p+6b除以5余5,这就不 港:36+30=66(只);④第一次移动前:乙港:66÷2
1 92

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
=33(只),甲港:33+30=63(只)。答:甲港原来停 答:如果取100名,需要准备20克黄金。
有小船63只,乙港原来停有小船33只。 5.煎3个饼:应先往锅中放入2个饼,煎熟一
2.根据有关整除的性质,先把12分成两数之 面后拿出1个,另1个翻面,再放入第3个;当再煎
积:12=12×1=6×2=3×4。要从已知的四个数 熟一面时把熟的1个拿出来,再放入早先拿出的那
中找出两个,使其积能被12整除,有以下三种情 个,使两个饼同时熟,共需3分。两个饼同时煎需
况:①找出一个数能被12整除,这个数与其他三个 要2分。(51-3)÷2×2+3=51(分)。答:煎51个
数中的任何一个的乘积都能被12整除;②找出一 饼最少需要51分。
个数能被6整除,另一个数能被2整除,那么它们的
综合调研卷(二)
积就能被12整除;③找出一个数能被4整除,另一
个数能被3整除,那么它们的积能被12整除。容易 一、1.27.785 提示:1.135+3.346+5.557+
判断,这四个数都不能被12整除,所以第①种情况 7.768+9.979=1.135+3.346+5.557+(5.557+
不存在;对于第②种情况,四个数中能被6整除的 2.211)+(5.557+4.422)=1.135+3.346+
只有76554,而76550,76552是偶数,所以可以选 5.557+5.557+2.211+5.557+4.422=(1.135+
76554和76550,76554和76552;对于第③种情况, 4.422)+(3.346+2.211)+5.557+5.557+5.557
四个数中只有76552能被4整除,76551和76554 =5.557+5.557+5.557+5.557+5.557=
都能被3整除,所以可以选76552和76551,76552 5.557×5=27.785
和76554。综合以上分析,去掉相同的,可知两个数
17 101
的乘积能被12整除 的 有 以 下 三 组 数:76550和 2.103 103
76554,76552和76554,76551和76552。 3.8 提示:甲、乙年龄差:21-17=4(岁);乙
3.设AD=BC=x 厘米,AB=CD=y 厘米, 此时的年龄:18-4=14(岁);丙与丁的年龄和:
则乙虫第一次相遇时走了(x+y+32)厘米,第一次 64-18-14=32(岁);丁现在的年龄:32÷(3+1)
相遇到第二次相遇时又走了[(x-32)+y+x+ =8(岁)。
16]厘米。x+y+32=(x-32)+y+x+16,解得 4.31 5 11 提示:因为用1~5个砝码可分
x=48。同理,甲虫第一次走了(y+x-32)厘米, 别组合成1,2,4,8,16,1+2,1+4,1+8,1+16,2+
第二次相遇到第三次相遇时走了(16+x+16)厘 4,2+8,2+16,4+8,4+16,8+16,1+2+4,1+
米,y+x-32=16+x+16,解得y=64,答:长方形 2+8,1+2+16,1+4+8,1+4+16,1+8+16,2+
的边AB 长64厘米。 4+8,2+4+16;2+8+16、4+8+16、1+2+4+8、
() 1 1 1 14.110+10× +10× × +10× × 1+2+4+16
、1+2+8+16、1+4+8+16、2+4+
2 2 2 2
8+16、1+2+4+8+16。可以称出1,2,4,8,16,3,
1 1 1 1 1 1 1 1
2×2+10×2×2×2×2+10× ×
,, ,, , , , ,
2 2× 591761018122024
,7,11,19,13,21,25,
1 1 1 1 1 1 1 14
,22,26,28,15,23,27,29,30,31,共有31种;其
2×2=10× 1+2+4+8+16+16 =10×2 中质量为5克和11克的称法最多。
=20(克)。答:如果取6名,需要准备20克黄金。 5.40 提示:用放缩法估算:31.719×1.2798
1 1(2)10+10× +10× 1 2+ … +10× >31.7×1.27=31.7×(1+0.2+0.07)=31.7+2 2
31.7×0.2+31.7×0.07>31.7+31×0.2+30×
1 98 1 98 12 +10× 2 =10× 1+ 2
1
+ 0.07=31.7+6.2+2.1=40。又因为31.719×
1 2 1 98 1 98 1.2798<32×1.28=40.96<41
,因此所求整数部
2 +…+ 2 + 2 =10×2=20(克)。 分是40。
1 93

同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
6.1.2 提示:设这个班有男生x人,女生y人。 米)。阴影部分的面积为12.56-2.28=10.28(平
75.5x+81y=78(x+y) 方厘米)。
75.5x+81y=78x+78y 三、1.假设本班同学答对x 题,不答y 题,答错就
75.5x+81y-75.5x=78x+78y-75.5x 是(50-x-y)题,可知本班的得分为:3x+y-
81y=2.5x+78y (50-x-y)=4x+2y-50,这个数肯定是偶数。
81y-78y=2.5x+78y-78y 2.1+2+…+9=45,设标上的8个数为A1,
3y=2.5x A2,…,A8,未标的数为W。算面和时,A1,A2,…,
x∶y=3∶2.5=(3×2)∶(2.5×2)=6∶5 A8 每个数都重复算了3遍,共6面。面和=(A1+
所以男生是女生的:6÷5=1.2倍。 A2+…+A8)×3÷6=(A1+A2+…+A8)÷2=
7.488 提示:因为1000=10×10×10,所以 (45-W)÷2,W 必为奇数,并且因为45含因数1,
大正方体每层有100个小正方体,共有10层,其中 3,5,9,W 不能等于这些数,否则不满足面和不被W
没有涂色的有(10-2)×(10-2)×(10-2)=8× 整除。所以W=7,面和=19。答:这个和是19,未
8×8=512(个),因此至少有一面被油漆过的小正 标的数是7。
方体有1000-512=488(个)。 3.由于起点和终点共有15个车站,有一辆车
8.37 259 111 185 提示:296÷37=8。 除终点外,每一站上车的乘客中,恰好有一位乘客
当两个数分别除以37所得的商是1和7时,这两个 到以后的每一站下车。所以从1到14站,每站上车
数是:37×1=37,37×7=259,37和259的最大公 的乘客个数为:14,13,12,11,10,9,8,7,6,…,1,0;
因数是37,符合题意;当两个数分别除以37所得的 从1到15站,每站下车的乘客个数为:0,1,2,3,4,
商是3和5时,这两个数是:37×3=111,37×5= 5,6,7,8,…,12,13,14;当上车的乘客比下车的乘
185,111和185的最大公因数是37,符合题意;故这 客少的时候,车上的乘客数量减少,反之,当上车的
两个自然数是37和259或111和185。 乘客比下车的乘客多的时候,车上的乘客数量增
9.6 加。我们可以看出:从第九站开始,下车的人比上
10.15 提示:两人10分共行的全程:(3+ 车的人多,第九站以前,上车的人比下车的人多,所
2)×60×10÷100=5×60×10÷100=30(个),由 以第八站至第九站之间的一段路上,车上乘客最
于他们总是在奇数个全程时相遇,1~30中共有15 多。第八站有乘客:(14-0)+(13-1)+(12-
个奇数,所以他们跑了10分后,共相遇15次。 2)+(11-3)+(10-4)+(9-5)+(8-6)+(7-
二、如图,加辅助线EF,可发 7)=56(个),所以车上至少应有56个座位。答:这
现阴影C 的面积等于空白部 辆公交车最少要有56个座位。
分A 的面积,这样阴影部分的 4.160÷39=4(名)……4(本) 4+1=5(名)
总面积就等于半径4厘米圆 答:至少有5名学生得到的书一样多。
1 5.解:乙、丙经过x 时相遇,根据总路程相等列面积的 减去图中B 的面积。半径为4厘米圆面4 出方程:
积的1为 13.14×42× =12.56(平方厘米)。小圆 (15+20)x=(5+20)(x+1)4 4
35x=25x+25
直径为4厘米,则半径为4÷2=2(厘米),B 的面积
x=2.5
等于半径2厘米的半圆面积减去边长为2厘米的正
总路程:(15+20)×2.5=87.5(千米)。答:
方形的面积: 13.14×22× -2×2=2.28(平方厘 东、西两城相距2 87.5
千米。
1 94

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