资源简介

同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
参 考 答 案
=1650×2+1650×23-1650×15=1650×(2+23
上 册 -15)=1650×10=16500
例4 1.999×2023-1.998×2024=1.999×2023
第一讲 小数乘法 -1.998×(2023+1)=1.999×2023-1.998×
(小数乘法的简便计算) 2023-1.998=(1.999-1.998)×2023-1.998=
2.023-1.998=0.025
例1 0.125×0.25×0.5×64=0.125×0.25×0.5 [同步精练]
×8×4×2=(0.125×8)×(0.25×4)×(0.5×2) 1.19.94×2023-19.93×2024=19.94×2023
=1×1×1=1 -19.93×(2023+1)=19.94×2023-19.93×
[同步精练] 2023-19.93=2023×(19.94-19.93)-19.93=
1.1.31×12.5×8×2=(1.31×2)×(12.5× 2023×0.01-19.93=20.23-19.93=0.3
) 8 =2.62×100=262 2.1.23×2.45-1.22×2.46=1.23×2.45-
2.1.25×32×0.25=(1.25×8)×(4×0.25) 1.22×(2.45+0.01)=1.23×2.45-1.22×2.45
=10×1=10 -0.0122=(1.23-1.22)×2.45-0.0122=0.01
3.1.25×88=1.25×8×11=10×11=110 ×2.45-0.0122=0.0245-0.0122=0.0123
例2 (1)1.25×1.08=1.25×(1+0.08)=1.25× 3.3.6×2023-3.5×2024=3.6×2023-3.5
1+1.25×0.08=1.25+0.1=1.35 ×(2023+1)=(3.6-3.5)×2023-3.5=202.3-
(2)7.5×9.9=7.5×(10-0.1)=7.5×10- 3.5=198.8
7.5×0.1=75-0.75=74.25
[同步精练] 练 习 卷
1.(1)2.5×10.4=2.5×(10+0.4)=2.5×10
+2.5×0.4=25+1=26 1.0.8×0.04×12.5×25=
(0.8×12.5)×
() ( )23.8×0.99=3.8×(1-0.01)=3.8×1- 0.04×25 =10×1=10
( )
3.8×0.01=3.8-0.038=3.762 2.16.08×0.125= 16+0.08 ×0.125=16×
2.0.125×92=0.125×(100-8)=0.125× 0.125+0.08×0.125=2×8×0.125+0.01=2+
100-0.125×8=12.5-1=11.5 0.01=2.01
3.(1)4.6×99+4.6=4.6×(99+1)=4.6× 3.99×73.2+73.2=(99+1)×73.2=100×
100=460 73.2=7320
(2)7.5×101-7.5=7.5×(101-1)=7.5× 4.0.25×4.73×0.125×320=(0.25×40)×
100=750 (0.125×8)×4.73=10×1×4.73=47.3
例3 404.4×9-2022×0.8=(404.4×5)×(9÷ 5.4.7×2.8+3.6×9.4=4.7×2.8+3.6×2
5)-2022×0.8=2022×1.8-2022×0.8=2022× ×4.7=4.7×(2.8+7.2)=47
(1.8-0.8)=2022 6.3.75×4.8+62.5×0.48=3.75×4.8+
[同步精练] 6.25×4.8=(3.75+6.25)×4.8=10×4.8=48
1.404.6×7-2023×0.4=(404.6×5)×(7÷ 7.13.8×175-13.7×176=13.8×175-13.7
5)-2023×0.4=2023×1.4-2023×0.4=2023× ×(175+1)=175×(13.8-13.7)-13.7=17.5-
(1.4-0.4)=2023 13.7=3.8
2.239×7.2+956×8.2=(239×4)×(7.2÷ 8.3.6×232-36×13.2-360=3.6×232-
4)+956×8.2=956×1.8+956×8.2=956×(1.8 3.6×132-3.6×100=3.6×(232-132-100)=0
+8.2)=956×10=9560 9.6.3×3.5+6.6×6.3-0.63=6.3×3.5+
3.275×12+1650×23-3300×7.5=(275× 6.3×6.6-6.3×0.1=6.3×(3.5+6.6-0.1)=
6)×(12÷6)+1650×23-(3300÷2)×(7.5×2) 6.3×10=63
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参 考 答 案
●小●学●五●年●级
10.6.3×27+1.9×21=63×2.7+1.9×21=
21×3×2.7+1.9×21=21×(8.1+1.9)=210
第二讲 位置 2.
例1 根据A 的位置(0,0)可以用数字标出行和
列,如下图,就能表示出D 点的位置(2,2)。
3.
[同步精练]
1.A 2.(8,7) 3.B 提示:解答以上三题 例3 为了便于表示,在方格图上可以把行和列上
的关键都是先找到(0,0)点的位置作出坐标图,然 的数字补充完整。原来三角形三个顶点的位置分
后根据坐标图解答。 别是A(10,8),B(8,4),C(10,4)。在平面图上,把
例2 (1)动物园的大门位于(5,0),顺着表示0的 这个三角形向右平移5格后,移动后的位置如图。
行找到表示第5列的点,就能标出动物园的大门。 这时三个顶点的位置分别是A1(15,8),B1(13,4),
从大门向北走100米,也就是走了2格,到达熊猫 C1(15,4),比较对应点的位置可以发现,数对中表
馆,所以熊猫馆的位置是(5,2)。 示列的数字都加了5,表示行的数字不变。
(2)海洋馆位于(8,9)。
(3)大象馆位于(10,3),在第10列和第3行的
交点处标出大象馆。
(4)从海洋馆到大象馆要8小格,因此,狮虎山
到海洋馆和大象馆各走4格,在图中可以有多个地
点,比如可以在(10,7)处,也可以在(9,6)处,还可
以在(8,5)处。 [同步精练]
1.A(6,9),B(10,9),C(9,12)
2.
[同步精练]
(1)图中A 的位置是(4,7),B 的位置是(6,5)。
(2)如果把这个小旗先向右平移6格,再向下
平移4格,移动后A1 的位置是(10,3),B1 的位置
1. 是(12,1)。
3.(1)用数对表示三角形三个顶点的位置是
A(2,6),B(2,3),C(4,3)。
(2)以直线L 为对称轴,画出对称轴另一边的
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三角形,画出的三角形三个顶点的位置分别 是 3.(1)A(5,9),F(3,8) (2)C(8,5) D(8,
A1(10,6),B1(10,3),C1(8,3)。 3)
4.(11,2) 提示:先找数字规律,第1行奇数
列的数字是所在列的平方,所以第1行第11列为
11×11=121,120在121下面,所以在第2行第
11列。
5.(1)A(8,6) B(8,4) C(12,4)
例4 三个顶点的位置是 A1(0,1),B1(5,4),
(,) ()C1 51
2
6.A(1,6),O(2,3),B(2,6)
[同步精练]
1.A(5,8),B(1,6),C(5,6),A1(7,0),B1(5,
4),C1(5,0)
第三讲 小数除法
(小数除法的简便计算)
例1 59÷0.25=59×4=236
[同步精练]
1.3.2÷0.125=3.2×8=25.6 4.8÷0.125
=4.8×8=38.4
2.3÷0.25=3×4=12 7÷0.25=7×4=28
3.5.7÷0.2=5.7×5=28.5 8.7÷0.5=8.7
×2=17.4
例2 8.8÷3.2÷2.5=8.8÷(3.2×2.5)=8.8÷8
2. =1.1
[同步精练]
1.7.68÷2.5÷0.4=7.68÷(2.5×0.4)=
7.68÷1=7.68
2.3.75÷1.25÷0.4=3.75÷(1.25×0.4)=
练 习 卷 3.75÷0.5=7.5
3.9.8÷3.5÷0.2=9.8÷(3.5×0.2)=9.8÷
一、1.D 提示:表中第1行数的规律是两个相同 0.7=14
数的乘积,所以100应该在第1行第10列,99在 例3 9.8÷(4.9÷0.7)=9.8÷4.9×0.7=2×0.7
100下面一行,所以在第2行第10列。 2.B =1.4
3.A 4.A 5.B [同步精练]
二、1.(1)(2,2) (2)(5,4) 1.3.8÷(1.9÷0.8)=3.8÷1.9×0.8=2×
2.(3,6) 正东 西北 西南 0.8=1.6
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参 考 答 案
●小●学●五●年●级
2.9.1÷(1.3÷0.5)=9.1÷1.3×0.5=7× [同步精练]
0.5=3.5 1 1
3.13.2÷(1.1÷0.35)
1.
=13.2÷1.1×0.35= 2 2
12×0.35=4.2 1 12.
例4 (4.8×7.5×8.1)÷(2.4×2.5×2.7)=(4.8 54 54
÷2.4)×(7.5÷2.5)×(8.1÷2.7)=2×3×3=18 13.
[同步精练] 10
1.(3.9×1.6×2.7)÷(1.3×0.8×0.9)= 例 2 42
(3.9÷1.3)×(1.6÷0.8)×(2.7÷0.9)=3×2×3 6 6
=18 [同步精练]
2.(3×4×5)÷(0.6×0.8×0.25)=(3÷0.6) 6 41.
×(4÷0.8)×(5÷0.25)=5×5×20=500 10 10
3.(1.8×0.9×0.6)÷(3.6×0.3×0.2)= 1 42.
(1.8÷3.6)×(0.9÷0.3)×(0.6÷0.2)=0.5×3 54 54
×3=4.5 6 43.10 10
练 习 卷 例3 绿球更多,大约有8个。
[同步精练]
1.9.73÷12.5÷0.8=9.73÷(12.5×0.8)= 1.2
9.73÷10=0.973 2.2 8
2.7.8×4.89÷3.9=7.8÷3.9×4.89=2× 3.2 4
4.89=9.78 例 ( )
4 1 ● ● ● ○○○○○○ (2)● ●
3.28.9×4.7÷289=28.9÷289×4.7=0.1×
○○○○○○○○○○ (3)●●●●○○○○
4.7=0.47
[同步精练]
4.38÷0.125=38×8=304
( 1.(1)全部涂上红色。 (2)可以涂1个红色,5.0.525÷13.125÷4×0.7=0.525÷ 13.125
×4)
。 () ,
×0.7=0.525÷52.5×0.7=0.01×0.7= 其他的球涂别的颜色 3 可以涂1个红色 其
0.007 他的涂绿色。 (4)不涂红色。
6.99.99×77.77÷33.33=99.99÷33.33× 2.可以放2个红球,再放4个别的颜色的球。
77.77=3×77.77=233.31
7.4.4…4÷5.55…5=(4×1.11…1)÷(5×
︸ ︸ ︸ 3.
2024个4 2024个5 2024个1
1.11…1)=(4÷5)×(1.11…1÷1.11…1)=0.8
︸ ︸ ︸
2024个1 2024个1 2024个1
8.(6.3×3.8×2.9)÷(2.1×1.9×5.8)=
( 练 习 卷6.3÷2.1)×(3.8÷1.9)×(2.9÷5.8)=3×2×
0.5=3
5 3
9.5.6÷3.5=5.6÷0.7÷5=8÷5=1.6 一、1. 2.(1)
2 4 4 6
8 8 10
(
10 2
)
10 10
10.17.8÷(1.78×4)=17.8÷1.78÷4=10÷
1 2 1 1 6
4=2.5 3.6 4.6 5.54 54 6.6 7.10 8.12
11.8.1÷4.5=8.1÷0.9÷5=9÷5=1.8 4 6 1 4
12.0.49÷1.4=0.49÷0.7÷2=0.7÷2= 10 12 9.2 10.7
0.35 二、略
三、 ()放
第四讲 可能性 1.1 4
支红铅笔,4支绿铅笔。 (2)放6
支红铅笔,4支绿铅笔。
(用分数表示可能性的大小) 2.(1)3 4 (2)无法确定 (3)不公平,朝上
1 的数大于3算小松赢;朝上的数不大于3算小例1 6 亭赢。
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1 3 (),1 4, 第 排
: ,第 排 ()第
所以红球装 个,绿球装 8.1 5 62 6 65 2 1
排:50
3.4=12 3=12 3 5 座;第2排:50+3×1=53(座);第3排:50+3×2
个,黄球装4个。 =56(座),第4排:50+3×3=59(座)……第n 排:
( ) 50+3×
(n-1)=50+3n-3=47+3n(个)。
第五讲 简易方程 用字母表示数
第六讲 简易方程(解方程一)例1 长方形周长=16+2a,面积=8a
[同步精练] 例1 解:(1)5x=8+2
1.a×5÷2=2.5a(cm2) (2)3x=12-3
2.(a+b)×5÷2=2.5(a+b)(cm2) (3)7x-6x=4
3.(1)mn-qp (2)ab-4x2 [同步精练]
例2 6m+8n 1.解:x=5+7。
[ 同步精练] 2.解:5x=8-2。
( 1.30÷2-x)×x=(15-x)×x=15x-x2 3.解:6x-3x=3。
(m2) 例2 (1)14x-12=7x+23
3a
2.a÷(b÷3)= 解:14x-7x=23+12b 7x=35
3.15b÷(a-b) x=35÷7
例3 11-a+4=15-a(岁),当a=3时,15-a= x=5
15-3=12(岁) (2)3x+4x-6=36-5x
[同步精练] 解:3x+4x+5x=36+6
1.(1)1000-a-(6a+b)=1000-a-6a-b 12x=42
=1000-7a-b x=42÷12
(2)1000-7a-b=1000-7×120-4=1000- x=3.5
840-4=156(亩) (3)7×(x-8)=31+4x
2.这个两位数是a×10+(a÷2+5),当a=6 解:7x-56=31+4x
时,这个两位数是68。 7x-4x=31+56
3.a+2a-10=3a-10(人),男女生人数相 3x=87
等,则a=2a-10,2a-a=10,a=10,当a=10时, x=87÷3
男、女生人数相等。 x=29
例4 (n+1)(n-1)=n2-1 [同步精练]
[同步精练] 1.15x-10=8x+11
1.(n+1)(n-1)=n2-1 解:15x-8x=11+10
(
… 1+n
)×n
2.1+2+3+ +n= 7x=212
x=21÷7
3.13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2 x=3
练 习 卷 2.5x+6x-6=36-3x
解:5x+6x+3x=36+6
1.1.2+ab 2.-1-t 3.0.4m+an 14x=42
4.(x-2)÷5,当x=100时,(100-2)÷5= x=42÷14
98÷5=19.6(千克)。 x=3
5.ab-a(m2) ab-a(m2) 3.9×(x-4)=45+6x
6.当x 增大时,4x-1的值增大,15-4x 的值 解:9x-36=45+6x
减少,当x=2时,4x-1=15-4x。 9x-6x=45+36
7.方法一:c2 方法二:ab÷2×4+(b-a)2= 3x=81
2ab+(b-a)2 x=81÷3
1 68

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
x=27 7x+3x-8x=20+42
例3 (1)21.5+8×4x=28.7 2x=62
解:21.5+32x=28.7 x=31
32x=28.7-21.5 3.8.4x-2.8x+6=80.8-1.2x
32x=7.2 解:8.4x-2.8x+1.2x=80.8-6
x=0.225 6.8x=74.8
(2)37x=7.5+12x x=11
解:37x-12x=7.5
25x=7.5 练 习 卷
x=0.3
1.(1) (2) ()(3)
3
23x-21=49+3x
解: 2.0.25x-2.6=5.6523x-3x=49+21
解:0.25x=5.65+2.6
20x=70
0.25x=8.25
x=3.5
[同步精练] x=33
( )
1.26-3.5×4=2.5x 0.125× x+3 =1
解:
解:26-14=2.5x 0.125x+0.375=1
2.5x=12 0.125x=0.625
x=4.8 x=5
2.3.4x-9.8=1.4x+9 2.5×4+2.5x=18
:
解: 解3.4x-1.4x=9+9.8 10+2.5x=18
2x=18.8 2.5x=18-10
x=9.4 2.5x=8
3.0.72×3+4x=3.06+3x x=3.2
解:2.16+4x=3.06+3x 5x+2=7x-8
4x-3x=3.06-2.16 解:7x-5x=2+8
x=0.9 2x=10
例4 (1)(x-4)×9=(4-x)×7 x=5
解:9x-36=28-7x 2x+20=4x-24
9x+7x=28+36 解:4x-2x=20+24
16x=64 2x=44
x=4 x=22
(2)1.8×(3x-2.5)-3.8x=1.54 6×(x-1)=7×(x-3)
解:5.4x-4.5-3.8x=1.54 解:6x-6=7x-21
5.4x-3.8x=1.54+4.5 7x-6x=21-6
1.6x=6.04 x=15
x=3.775 (2x+3)×2=5x-4
解:4x+6=5x-4
[同步精练] 5x-4x=6+4
1.5x+3×(x-2)=15.6 x=10
解:5x+3x-6=15.6 (x+0.25)×80=100x
8x=15.6+6 解:80x+20=100x
8x=21.6 100x-80x=20
x=2.7 20x=20
2.7×(x-6)+3x=4×(2x+5) x=1
解:7x-42+3x=8x+20 54+48x=18x+60
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解:48x-18x=60-54 6x+3=117
30x=6 6x=114
x=0.2 x=19
5+3x=17.6-x 甲数:3×19+7=64
解:3x+x=17.6-5 乙数:2×19-4=34
4x=12.6 4.(1)解:2m+6=14
x=3.15 2m=8
32x-7x=6.56+8.6x m=4
解:25x-8.6x=6.56 m2-1=42-1=15
16.4x=6.56 (2)解:
1
b-1=2
x=0.4 2
8x÷(1.8+3)=1.5 1b=3
解:8x=1.5×(1.8+3) 2
8x=2.7+4.5 b=6
2 2
8x=7.2 b -1=6-1=35
(
x=0.9 3
)解:□×3-2×□=1
24×(1.72+5.6x)=148.8 □=1
解:41.28+134.4x=148.8 第七讲 简易方程(解方程二)
134.4x=107.52
x=0.8 例1 0.7x-3=0.3x+0.2
2(2-x)+3(4x-2)=7(x+4) 解:0.7x-0.3x=0.2+3
解:4-2x+12x-6=7x+28 0.4x=3.2
10x-2=7x+28 x=3.2÷0.4
3x=30 x=8
x=10 [同步精练]
2(x-2)+3(2x-1)=9(x-1) 1.0.6x+1.4x=8.2-5.4
解:2x-4+6x-3=9x-9 解:2x=2.8
8x-7=9x-9 x=2.8÷2
x=2 x=1.4
10×(2-x)-9×(2-x)-8×(2-x)-7× 2.0.25x-3.2=0.5x-5.2
(2-x)=56 解:5.2-3.2=0.5x-0.25x
解:14(x-2)=56 2=0.25x
14x-28=56 x=2÷0.25
14x=84 x=8
x=6 3.2.8x=19.32-6.4x
3.(1)解:设这个数是x。 解:6.4x+2.8x=19.32
(x-2.8)×3=9.6 9.2x=19.32
3x-8.4=9.6 x=2.1
3x=18 例2 0.2×(3x-5)+3=0.4×(x-2)+4
x=6 解:0.6x-1+3=0.4x-0.8+4
(2)解:设这个数是x。 0.6x+2=0.4x+3.2
6x+3x=3.6 0.6x-0.4x=3.2-2
9x=3.6 0.2x=1.2
x=0.4 x=6
(3)解:设丙数是x。 [同步精练]
3x+7+(2x-4)+x=117 1.0.4(x-0.6)-1.5=1.2x-3.34
1 70

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
解:0.4x-0.24-1.5=1.2x-3.34 0.2)+m=0.7×6-0.38。这变成了解一个未知
0.4x-1.74=1.2x-3.34 数为m 的方程了,m=1.5。
3.34-1.74=1.2x-0.4x 3.设这个数为x,得(x-10)×2+70=250,解
0.8x=1.6 得x=100。
x=2
2.3(3x-2)=10-0.5(x+3.5) 练 习 卷
解:9x-6=10-0.5x-1.75
1.(1)3x÷5=15
9x-6=8.25-0.5x
解:3x=15×5
9x+0.5x=8.25+6
3x=75
9.5x=14.25
x=25
x=1.5
()
3.(
20.5×8+7x=18
0.6x+420)÷(x+20)=3
解:
解:3(x+20)
4+7x=18
=0.6x+420
7x=14
3x+60=0.6x+420
3x x=2-0.6x=420-60
()
2.4x=360 2.12x+3=11-6x
解:
x=150 6x+2x=11-3
例3 5(y-4)-7(7-y)-9=12-3(9-
8x=8
y)
解:5y-20-49+7y-9=12-27+3y x=1
()
12y-78=3y-15 27x-7=4x-1
解:
12y-3y=78-15 7x-4x=7-1
9y=63 3x=6
y=7 x=2
[同步精练] 3.6(x+1)=0.5(10x+16)
1.4(2 :y+5)-3y=7(y-5)+4(2y+1) 解 6x+6=5x+8
解:8y+20-3y=7y-35+8y+4 6x-5x=8-6
5y+20=15y-31 x=2
31+20=15y-5y 4.5(x+2)-3(1-x)=23
10y=51 解:5x+10-3+3x=23
y=5.1 8x+7=23
2.3(x+2)-4(x-1)+2(3x-1)-18=0 8x=16
解:3x+6-4x+4+6x-2-18=0 x=2
5x-10=0 5.7(2y-1)-3(4y-1)+5(4y+2)-28=0
x=2 解:14y-7-12y+3+20y+10-28=0
3.3(4-y)-7=7(2-y)+2(y-3)-1 22y-22=0
解:12-3y-7=14-7y+2y-6-1 y=1
5-3y=7-5y 6.35(x-2)-15(5x-6)=22x-63-21(3x
5y-3y=7-5 -4)
2y=2 解:35x-70-75x+90=22x-63-63x
y=1 +84
例4 设“□”=x,得0.3x-x×0.25=21.15-7x 20-40x=21-41x
解得x=3,所以□中应填3。 41x-40x=21-20
[同步精练] x=1
1.设“○”=x,得4.3x-1.1=1.3x+3.7 x 7.设这个数为x,得[(x+6)×6-6]÷6=6,
=1.6,○中应填1.6。 解得x=1,这个数为1。
2.将这个方程中的x 换成6。即得0.4×(6- 8.设“□”=x,得24×x-x×15=18,解得x
1 71

同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
=2,□中应填2。 2(x+300),x=900。这条路的全长是900+900×
9.5a-16=12+a,a=7。 3=3600(米)。
10.a+(a-1)+(a+1)=120,3a=120,a= [同步精练]
40。a-1=39,a+1=41。 1.解:设丙有x 元,甲有6x 元,乙有5x 元。
(6x+180)÷(5x+30)=1.5,x=90。三人原来钱
第八讲 简易方程(列方程解决问题) 数之和为:90+6×90+5×90=1080(元)。
例1 解:设这个班有x 人。列方程:6x-48=5x 2.
解:设尾长x 米,则身长(x+3)米,x+3+3
+3,解得x=51,
, 。大鲨鱼的全长为
5×51+3=258(角)。答:这个班 =2x x=6 3+6+3+6=18
(米)
有51人,纪念品的价格为25元8角。
[ ] 3.解:设小盒有x 个,中盒有3x 个,大盒有同步精练
: 。 , (50-x-3x)个,70×(50-x-3x)1.解 设有x 辆卡车 3.5x+2=4x-1x= +30×3x+
, ( ), : , , (个)。64×6-1=23 吨 答 有6辆车,这批化肥有 20x=1800x=103×10=30 50-10-30
。 =10(个),答:小盒有10个,中盒有 个,大盒有23吨 30
个。
2.解:设每本练习本x 元。每支铅笔(x- 10
0.1)元。5×(x-0.1)+8x=7.3,x=0.6,0.6- 练 习 卷
0.1=0.5(元),答:每本练习本0.6元,每支铅笔
0.5元。 1.解:设毛笔有x 支,18x-(69-x)×7.5=
3.解:设每只排球x 元。x+10+x+8+x= 120,x=25。答:毛笔有25支。
36×3,x=30。答:每只排球30元。 2.解:设上山为x 小时,2.4x=(4.5-x)×3,
例2 解:设x 年后,爷爷的年龄正好是三个孙子年 x=2.5,2.5×2.4=6(千米)。答:从山下到山顶有
龄的和。78+x=(27+x)+(23+x)+(16+x), 6千米。
x=6。答:6年后,爷爷的年龄正好是三个孙子年 3.解:设乙仓库原有存粮x 吨,3x-28=x+
龄的和。 28+4,x=30。答:乙仓库原有存粮30吨。
[同步精练] 4.解:设计划时间为x 分钟,50x+50×3=
1.解:设x 年前爸爸的年龄是儿子的4倍。50 60x-60×2,x=27。60×(27-2)=1500(米)。
-x=(26-x)×4,x=18。 答:小明家距少年宫有1500米。
答:18年前爸爸的年龄是儿子的4倍。 5.解:设乙、丙相遇时用了x 分钟。(60+70)x
2.解:设第三个数是x。9.3+x+0.2+x= =(50+70)(x+2),x=24。(60+70)×24=3120
8.5×3,x=8。答:第三个数是8。 (米)。答:A、B 之间的路程为3120米。
3.解:设共采了x 天,晴天有(x-6)天。20× 6.解:设有一个孩子的家庭有x 户,共有孩
(x-6)+12×6=14x,x=8。 子:x×1+(5000-x)÷2×2=x+5000-x=5000
答:共采了8天。 (个)。
例3 解:设十位数字为x,个位数字为2x,10×2x 7.解:设个位数字为x,十位数字为(8-x),
+x-(10x+2x)=36,x=4。 10x+(8-x)-[(8-x)×10+x]=54,x=7。
答:原来的两位数为48。 答:原两位数为17。
[同步精练] 8.解:设甲原有x 本书,x+23=[7(x-16)-
1.解:设十位上的数字为x,个位数字为x+ 16-23]×2,x=25。7×(25-16)-16=47。答:
1,x+x+1=(10×x+x+1)×0.2,x=4。答:原 甲原有25本书,乙原有47本书。
两位数为45。 9.解:设当四人相等时每人都做了x 个。(x
2.解:设学校共有x 个班,5x×3=6x+72,x -2)+(x+2)+(x÷2)+(x×2)=180,x=40。
=8。排球有8×5=40(个),足球有40×3=120 甲做了40-2=38(个),乙做了40+2=42(个),丙
(个)。 做了40÷2=20(个),丁做了40×2=80(个)。
3.解:设井深为x 米,2(x+8)=3(x+1),x 10.解:设地球每年新生成的资源为x,1亿人
=13。答:井深13米。 一年耗资源y,210x-90x=99×210y-110×
例4 解:设原来已修的米数是x 米。3x-300= 90y,x=90.75y。答:地球的人口应控制在90.75
1 72

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
亿以内。 △DEF 的高,所以CF 的长=24×2÷8=6(厘米)。
例4 S△DOC=12平方厘米,S△BCO=12×2=24(平
第九讲 多边形的面积(面积计算) 方厘米)。
( ), ( ), [同步精练]例1 28÷4=7 厘米 7-5=2 厘米 2×4÷2=
4(平方厘米)。 1.
因 为 BO=2DO,所 以 阴 影 部 分 面 积 是
[ ] △DOC 面积的2倍,△ABO 的面积是阴影部分面同步精练
积的 倍。
1.梯形的高就是阴影三角形的高,高=150×2 2 S△ADO=S△BCO
。所以梯形ABCD 的面
( 积 (平方厘米)。÷15=20 厘米),梯形的面积是(15+25)×20÷2 =4÷2+4+4+4×2=18
( )。 2.因 为 E 为 AB 的 中 点,所 以=400 平方厘米 △AED
与
( ), △BED 的面积相等;又因为梯形的下底是上底的2.平行四边形的底是48÷6=8 厘米 阴影 2
( ), 倍,所以△ABD 的面积是△BCD 面积的2倍,这三角形的底是8-5=3 厘米 阴影三角形的面积
( )。 样就可以知道是3×6÷2=9 平方厘米 S△BCD =S△BDE=S△ADE
,所以梯形
, ABCD 的面积是三角形 面积的 倍。3.平行四边形有两组对应的底和高 其中一组 EDB 3
是12厘米和6厘米,
三角形 的面积与三角形 的面积
用面积除以高9就是另一条底。 3. BOC AOD
( ), ( ) 之差与三角形ABC 面积与三角形 面积之差12×6÷9=8厘米 平行四边形的周长是 12+8 × ADB
2=40(厘米)。
相等,所以S△BOC-S△AOD=S△ABC-S△ADB=12×8
( ) ( (平方厘米)。例2 10×6-6×6÷2- 6+4 ×4÷2- 6-4)× ÷2-7×8÷2=20
4÷2=18(平方厘米)。 练 习 卷
[同步精练]
1.4×4+3×3-(4+3)×4÷2=11(平方厘 1.正方形的面积是100平方厘米,它的边长
米)。 (AD、CD)是10厘米,阴影部分的面积=正方形面
2.8×8+5×5-8×8÷2-(8+5)×5÷2= 积-S△ADE-S△DCF,所以阴影部分的面积=100-
24.5(平方厘米)。 10×6÷2-10×8÷2=100-30-40=30(平方厘
米)。
3.小路可以移成 。20×14-(20-
2.阴影部分面积等于长方形面积减去三块空
2)×(14-2)=64(平方米)。 白三角形的面积。S△EFB=10×8-10×4÷2-8×
例3 4×4-6=10(平方厘米),10×2÷4=5(厘 5÷2-5×4÷2=80-20-20-10=30(平方厘
米),5-4=1(厘米)。 米)。
[同步精练] 3.梯形ABCD 的高也是三角形ADE 以5为
1.三角形ADE 的面积比三角形CEF 的面积 底边的高,这条高长=3×4÷5=2.4(厘米),所以
大10平方厘米,用这两个三角形分别加上四边形 梯形面积=(5+8)×2.4÷2=15.6(平方厘米)。
ABCE,就 得 到 长 方 形 ABCD 的 面 积 比 三 角 形 4.阴影甲的面积与阴影乙的面积差就是大三
ABF 的面积大10平方厘米,S△ABF=10×6-10= 角形与正方形的面积差,即(8+6)×6÷2-6×6=
50(平方厘米),它的高 BF=50×2÷10=10(厘 6(平方厘米)。
米),CF=10-6=4(厘米)。 5.阴影部分的面积比三角形EFG 的面积小
2.阴影部分的面积比三角形EFG 的面积大 10平方厘米,就是平行四边形的面积比三角形
10平方厘米,就是平行四边形ABCD 的面积比三 BCE 的面积小10平方厘米。平行四边形的面积=
角形BCE 的面积大10平方厘米,三角形BCE 的 10×10÷2-10=40(平方厘米),CF=40÷10
面积=10×8÷2=40(平方厘米),平行四边形AB- =4(厘米)。
CD 的面积为40+10=50(平方厘米),它的高CF
6.原图的阴影部分可以转化为 ,阴
长为50÷10=5(厘米)。
3.DE=12÷(2+1)×2=8(厘米)。△ADF 影部分面积为(16-2)×(12-2)=140(平方米)。
的底是AD,高是DC,所以S△ADF=12×12÷2=72 7.乙-甲=4(平方厘米),就是大三角形面积
(平方厘米)。S△ADE=12×8÷2=48(平方厘米), 比长方形面积大4平方厘米。大三角形面积为4×
所以S△DEF=72-48=24(平方厘米)。而CF 是 5+4=24(平方厘米),a=24×2÷4-5=7(厘米)。
1 73

同步奥数培优
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8.将P 点分别与A、B、C 三 3.过点P 作三角形ABC
点连接,S△ABC=S△ABP+S△BCP+ 三边的平行线,就得到三个等
S△ACP=AB×3÷2+BC×3÷2 边三角形和三个平行四边形,
+AC×3÷2=(AB+BC+AC) 在每个等边三角形和每个平行
×3÷2=20×3÷2=30(平方厘米)。 四边形中阴影部分和空白部分
9.将BA 与CD 分别延长并相交于E 点,图中 的面积都是相等的。所以阴影部分的面积是40÷2
EB=BC=7厘米,ED=AD=3厘米。 =20(平方厘米)。
例3 4×4÷5=3.2(厘米)。
[同步精练]
1.阴影面积+S△ECF=S四边形ADCF+S△ECF,所
以阴影部分面积与四边形 ADCF 的面积是相等
的。(四边形ABCD 的面积等于三角形EBC 的面 8-3+8
)×5÷2=32.5(平方分米)。
积减去三角形 的面积,即 连接 ,可以求出ADE 7×7÷2-3×3÷2 2. CF S△EFC=10×6-5×6÷
=24.5-4.5=20(平方厘米)。 2-10×3÷2-5×3÷2=22.5
(平方厘米),S△CEG
(平方厘米)。
10.梯形上底AD=45×2÷6-10=5(厘米), =22.5÷3=7.5
,每块面积都是
三角形ADE 的高为5×2÷5=2(厘米),阴影三角 3.S△ADE=S△DFC=S四边形DEBF
( ), (12+15)×8÷2÷3=36(平方厘米),形的高为6-2=4 厘米 阴影部分的面积=10×4 EB=8-36
÷2=20(平方厘米)。 ×2÷12=2
(厘米),BF=15-36×2÷8=6(厘
米),所以S△BEF=2×6÷2=6(平方厘米)。
第十讲 多边形的面积(等积变形) 例4 4×4÷2=8(平方厘米)。
[同步精练]
例1 80÷2=40(平方厘米)。 1.梯形EFBC 的面积和△DEF 的面积是相
[同步精练] 等的(想一想为什么相等),那么S△BGF=S△DCG,阴
1.分别连接AE、AD、AC,即可发现图中阴影 影部 分 面 积 可 以 转 化 为 大 正 方 形 面 积 的 一 半
部分面积的和与空白部分面积的和相等,所以阴影 (S△BCD),即6×6÷2=18(平方
部分的面积=16÷2=8(平方厘米)。 分米)。
2.过点P 作平行四边形的高,两个空白三角 2.连 接 AE、BF、CD,如
形的面积之和为AB×EP÷2+CD×FP÷2=AB 图。因 为 CF =3AC,所 以
×(EP+FP)÷2=AB×EF÷2,所以空白三角形 S△BCF=S△ABC×3=15(平方厘米),又因为 AD=
面积之和与阴影三角形面积之和相等,都等于50÷ 2AB,所以 S△ACD =S△ABC ×2=10(平方厘米),
2=25(平方厘米)。 S△DAF=(S△ABC+S△BCF)×2=2×(5+15)=40(平
方厘米)。用同样的办法也可以求出其他三角形的
面积。S△DEF=180平方厘米。
3.因为AE=ED,所以S△ABE=S△BED,又因为
3.S△FGP+S△CLP=(6÷3)×6÷2=6(平方厘 2 2 2
), ( ) ( AF=3FC
,所以S△ABF= S△BFC= S△ABC,阴影
米 S△EDP+S△BHP= 6÷2 ×6÷2=9 平方厘 3 5
米),所以阴影部分的面积和为6+9=15(平方厘 部分的面积 2=S△ABF= ×100=40(平方厘米)。
米)。 5
例2 5×8=40(平方厘米)。 练 习 卷
[同步精练]
1.连接GB,
得S△AGE=S△GEF=S△GFB,所以 1.连接 AF、EC,由 AB 与CD 平行,可知
S△ABG=6×3=18(平方厘米),S△GCB=18÷2=9 S△BCF=S△ACF,由 EF 与AC 平行,可知S△ACF=
(平方厘米),S△ABC=18+9=27(平方厘米),平行 S△ACE,由CB 与AD 平行,可知S△AEB=S△ACE,所
四边形的ABCD 面积为27×2=54(平方厘米)。 以三角形AEB 的面积是35平方厘米。
2.连接EF,S△ABG=S△EFG,S△DCQ=S△EFQ,所 2.设△ABC 的面积为S,那么S=BC×AD
以阴影部分的面积为20+35=55(平方厘米)。 ÷2,从而BC=S×2÷8,同理可知AB=S×2÷7,
1 74

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
由AB+BC=21,就是2S÷8+2S÷7=21,所以S
=39.2平方厘米。 第十一讲 多边形的面积(图形的割补)
3.S△ABC=4×6÷2=12(平方厘米),因为AC 例1
=2CD,所以S△BCD=12÷2=6(平方厘米)。这样
S△ABD=6+12=18(平方厘米)。又因为BE=BD,
所以S△ABE=S△ABD,这样可知S△ADE=18×2=36
(平方厘米)。 (答案不唯一)
4.因为D 是BC 的中点,所以S△ACD=15平 [同步精练]
方厘米,由AE=2ED,可知
S△ACE=S△CED×2,所 1.
以S△CDE=15÷3=5(平方厘米)。
5.因为D 是BC 的中点,所以S△ABD=90平
方厘米,由AD=3AE,可知S△BAE=90÷3=30(平
方厘米),由EF 是BF 的3倍,可知S (答案不唯一)△AEF=30÷4
×3=22.5(平方厘米)。 2.先把每个正方形平均分成四个小正方形,共
6.连接PD,可知S△PDH+S ,△PMN=(12÷3)× 12个小正方形 再每3个合并。
12÷2=24(平方厘米),而S△PDG+S△PEF=(12÷
4)×12÷2×2=36(平方厘米)。这样阴影部分的
面积=24+36=60(平方厘米)。
由题意可知, 17. S△BCD =4S△BAD
,则 CD= (第2题) (第3题)
1
AD,
1
CD=12× =2.4(厘米),
4
4 5 AD=12× =
3.如上右图。
5 例2 方法一:20×20+15×15+(15+20)×5÷2
(厘米), 1 19.6 S△EFD= S△EFA,则FD= AF,2 2 FD =712.5
(平方厘米);
1 1 2 方法二:40×15+(20+25)×5÷2=712.5(平
=3AD=9.6×3=3.2
(厘米),AF=9.6×3= 方厘米);
(厘米), 1
方法三:, ,所以 40×20-
(15+20)×5÷2=712.5(平
6.4 S△BDE=3S△ADE S△AFG=S△GFE 方厘米)。
1
BE= AB=3(厘米),
1
4 AG=GE=2AE=4.5
(厘 [同步精练]
米),AF=6.4厘米,FD=3.2厘米,DC=2.4厘 1.方法一: (40+30)×10÷2×2=700
米,AG=4.5厘米,GE=4.5厘米,BE=3厘米。
(平方厘米)。
8.连接 AD,因为BD=2DC,所以S△ABD=
S△ADC×2,又因为S△ABD+S△ADC=S△ABC=18平方 方法二: 40×20-20×10÷2=700(平
厘米,所以S△ABD =12平方厘米。又因为 AE= 方厘米)。
BE,所以S△BDE =SADE =S△ABD ÷2=6(平方厘
米)。因此S 四边形AEDC=S△ABC-S△BDE=18-6=12 2.多种分割方法,如 ,面积为5×2
(平方厘米)。
9.图中两个阴影部分的面积相等,两个正方形 +(5+3)×3+(5+3+4)×2=10+24+24=58
重合部分的面积为一个正方形面积的1即2×2÷4 (平方厘米)。4
=1(平方厘米),所以两个正方形不重合部分的面
如图分割,将 平方厘米的面
积和为2×2×2-2=6(平方厘米)。 3. 12
10.在正方形中,S△ACD=S△ABD×2,S△AOB=
S△AOD,所以△CDO 的面积是△ABO 面积的3倍。 积平均分成4个相等的长方形,每个长方形面积为
12÷4=3(平方厘米),大正方形边长为3÷1+1=
4(厘米),面积为4×4=16(平方厘米)。
1 75

同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
例3 形,最后再把每三个小等边三角形合并。
3.1+1+2+3+…+13=92(个)部分。
[同步精练]
4.先找到CD 与DE 的中点M 和N,将AM
1. 2. 与AN 连接就将正六边形平均分成了三份。
3.
5.将原图分割成 ,图中四个拐
例 ( )4 40÷20=2(厘米),(20+2)÷2=11(厘米), 角 即a 的面积为1×1×4=4
(平方厘米),图中c
(20-2)÷2=9(厘米)。大正方形的边长为11厘 的面积为b的2倍
。所以b的面积为(16-4)÷6=
米, ( ),小正方形的边长为 厘米。 2 平方厘米 大长方形的宽为9 2÷1+1+1=4
(厘
[ ] 米),同步精练 大长方形的长为2×2+1+1=6(厘米),大长
方形的面积为 (平方厘米)。
1.做一个这样的直角三角形,用直尺可以量出 4×6=24
它的斜边是5分米,而长方形的宽是5分米,刚好 6. 7.
作为三角巾的斜边,如图形状裁剪, 共
能做4×(50÷5)=40(条)三角巾。
8.
2.1条直线可以将一个平面分成1+1=2(个)
部分,2条直线可以将一个平面分成1+1+2=4
(个)部分,3条直线可以将一个平面分成1+1+2
+3=7(个)部分,……10条直线可以将一个平面分 9.要想分得的小正方形的数目少的话,分的小
成1+1+2+3+…+10=56(个)部分。 正方形的边长应尽量大。
3.找到BC 的中点E,以及 AD 的三等分点
F,连线EF 即可以将原梯形分成形状,大小都相同
的两部分。
10.
练 习 卷 第十二讲 多边形的面积(图形的切拼)
1. 例1
2.先把这个等腰梯形平均分成三个等边三角
形,再把每个等边三角形平均分成四个小等边三角
1 76

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
[同步精练] 例4
1. 2.
[同步精练]
3. 1.
例2
2.
[同步精练] 3.
1.
2. 练 习 卷
1.
3.
或
例3
2.拼成的正方形的边长为12厘米。
[同步精练]
1.
3.
2.
3.
4. 或
1 77

同步奥数培优
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2.(6-1)×2×5=50(元)
5. 或 3.24÷(7-1)=4(分钟) 40÷4+1=11(棵)
练 习 卷
一、1.11 提示:5÷(6-1)=1(秒) (12-1)×1
=11(秒)
6. 2.40 提示:80÷4=20(盆) 20×2=40(盆)
3.5 提示:64÷16+1=5(层)
4.11 提示:甲:4-1=3(层) 乙:3-1=2
(层) 甲到16层:(16-1)÷3=5 乙:2×5+1=
11(层)
7. 5.8 7 提示:(10-3)÷(3-2)+1=8(天)
7夜
6.397 提示:(57-1)×2+57×5=397(米)
二、1.(7-1)×4=24(盏)
8. 2.500÷50-1=9(根)
3.(50÷5+1)×2=22(面)
4.82÷2-1=40(棵) 200÷40=5(米)
5.(52÷2-1)×16=400(米)
6.(151-1)×7÷3=350(米)
9.共有10种不同的撕法,分别是:1245,2356, 7.40×2=80(米)
1234,1235,1236,1456,2456,3456,1256,2345。
8.(4-1)×3×3=27(分钟)
10. 9.6÷(4-1)=2(分钟) 18÷2+1=10(段)
10.54÷(4-1)=18(秒) 18×(6-1)=90
(秒) 90-54=36(秒)
11.(100+40)×2÷2=140(棵)
12.17×(11-1)=170(级)
第十三讲 数学广角(植树问题) 13.6÷(3-1)×(7-1)=18(分钟)
14.52÷2-1=25(棵) 100÷25=4(米)
例1 解:5×(45-1)=220(米)
答:这条路长220米。 第十四讲 数学广角(行程中的相遇问题)
[同步精练]
1.(50-1)×3=147(米) 例1 14×2÷(43-36)=4(分钟),(43+36)×4=
2.(42÷6-1)×2=12(面) 316(米)。
3.1×8=8(个) 答:两地相距316米。
例2 解:6÷(4-1)=2(分钟) 13-1=12(次) [同步精练]
2×12=24(分钟) 1.39÷(10+3)=3(小时)。答:3小时后他们
答:锯成13段需要24分钟。 在途中相遇。
[同步精练] 2.48×2÷(108-92)=6(小时),(108+92)×
1.12÷(4-1)×(6-1)=20(分钟) 6=1200(千 米)。答:A、B 两 地 之 间 相 距1200
2.8÷(5-1)×(20-1)=38(分钟) 千米。
3.5÷(6-1)×(10-1)=9(秒) 3.货车6小时行的路程客车只要行5小时,客
例3 9÷(4-1)÷3×(8-1)=7(分钟) 车的速度为50×6÷5=60(千米/时)。甲、乙两地
答:大人从1楼到8楼共要7分钟。 相距(50+60)×6=660(千米)。
[同步精练] 例2 35÷(4+3)=5(小时),8×5=40(千米)。
1.126÷21+1=7(层) 答:狗走了40千米。
1 78

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
[同步精练] 甲车行5小时后与乙车相遇。
1.400÷(35+45)=5(小时),50×5=250(千 4.14×[18÷(5+4)]=28(千米)。答:骑自行
米)。答:鸽子飞250千米时,两车正好相遇。 车的同学共行28千米。
2.600÷4=150(千米/时)。(150+8)÷2=79 5.1170×3÷(40+50)=39(分钟)。答:两人
(千米/时),79-8=71(千米/时)。答:小汽车的速 从出发到第二次相遇共走了39分钟。
度是79千米/时,货车的速度是71千米/时。 6.180×2÷(90-60)=12(分钟),12×60+
3.612÷68=9(小时),612-54×9=126(千 180=900(米)。答:他们家离校900米。
米)。慢车离B 地还有126千米。 7.(460+4×10)÷(2+4+4)=50(千米/时)。
例3 60×3-30=150(千米)。答:A、B 两地相距 答:甲列车每小时行50千米。
150千米。 8.(80+60)×10÷(70-60)=140(分钟),(80
[同步精练] +70)×140=21000(米)。答:A、B 两地之间的距
1.慢车停车修理0.5小时,就相当于快车早出 离是21000米。
发0.5小时。(446-68×0.5)÷(68+35)=412÷ 9.40×3-15=105(米)。答:甲、乙两地之间
103=4(小时)。4+0.5=4.5(小时)。答:两车从 相距105米。
出发到相遇共经过4.5小时。 10.(54+48)×[216÷(54-48)÷3]=1224
2.3.2千米=3200米,3200×2÷(250-90)= (千米)。答:甲、乙两站间的距离是1224千米。
40(分钟),250×40=10000(米)=10(千米),10-
3.2=6.8(千米)。 :
第十五讲 数学广角(实践操作)
答 A、B 两地间的距离是6.8
千米。 例1 10÷4=2……2,第十次交换位置后小兔坐在
3.11-8=3(小时)。[21×(1+2)-9]÷2= 第2号位置上。
27(千米)。(27+9)÷3=12(千米/时)。答:甲每 [同步精练]
小时走12千米。 1.一条绳子折成三折如下左图所示,再对折并
例4 (50+70)×2÷(60-50)=24(分钟),(60+ 从中间剪开,如下右图所示,于是一共剪成7段。
70)×24=3120(米)。答:A、B 两地相距3120米。
[同步精练]
1.(52×6-40×6)÷1-40=32(千米/时)。
: / 。 2.除了第1次五个手指计数外
,以后每数完8
答 卡车的速度是32千米 时
个数,就会停在小指上,然后再从无名指开始数起。
2.小王到达C 点时,小张已在平路上走了4×
(
( ) ( ); ( 2023-5
)÷8=252……2,2023应停在中指上。
2.5÷6-1÷6 =1 千米 小王和小张又走了 3
3.如果第一个被取走的是) ( ) ( ) ; 1
号棋子,那么第一
-1 ÷ 4+4 ×60=15 分钟 在平路上相遇 共用
圈就剩偶数号棋子。第二圈就剩下4的倍数号。
时间2.5÷6×60+15=40(分钟)。
第三圈就剩被8除余4的号码。继续下去,最后剩
3.因为小红的速度不变,相遇地点不变,所以
下的棋子号码是 。要使最后剩下的号码是 ,
小红两次从出发到相遇的时间相同。也就是说, 36 39小
应该先从1+(39-36)=4号棋子开始取。
强第二次比第一次少走4分钟。由(70×4)÷(90
例2 以5×3-7×2=1为例。先将5升桶装满,
-70)=14(分钟)可知,小强第二次走了14分钟,
倒入7升桶中。再将5升桶装满倒入7升桶中,当
推知第一次走了18分钟,两人的家相距(52+70)
7升桶满时,将7升桶中的水倒掉,把5升桶中剩下
×18=2196(米)。
的水倒入7升的空桶中。再将5升桶装满向7升桶
练 习 卷 中倒。当7升桶装满时,5升桶内还剩1升水。
[同步精练]
1.(1)2400÷(50+70)=20(分钟) (2)2400- 1.9×2-4×3=6(升),至少要用9升水桶从
(50+70)×3=2040(米) (3)(50+70)×30-2400 河中取水2次。
=1200(米) 2.(1)因为1986不能被9整除,所以不行。
2.(20+18)×[3×2÷(20-18)]=114(千 (2)1989÷9=221,所以办得到。容易写出方框中
米)。答:全程长114千米。 的九个数,并得到其中最大的数是229,最小的数
3.(470-40×2)÷(38+40)=5(小时)。答: 是213。
1 79

同步奥数培优
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3.最少称3次。先把5克和30克两个砝码放 第三次:从这2个砝码中选出1个出来称,如
在天平的一边,称出35克盐。然后把30克砝码和 果称出的重量是100克,则找出了100克的砝码;
35克盐放在天平的一边,用它称65克盐。这65克 如果称出的重量不是100克,那么100克的砝码就
盐与第一次称出的35克盐合在一起正好是100克 是剩下的那个。
盐;将100克盐放在天平的一边,在另一边称出100
克盐;剩下的盐也是100克。 练 习 卷
例3 A=9。
1.10段。
[同步精练]
2.在n×n 的方格中画一条直线,最多可穿过
1.可以先分别画一个3×3,5×5,7×7的方形
的方格数为2n-1。2×9-1=17(个)。
棋盘尝试操作,可以发现(2n+1)×(2n+1)的方形
3.至少4次,操作过程如图:
棋盘要经过2n+1次操作才能使灯全部变亮,所以
原来状况:↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
2023×2023的方形棋盘要经过2023次操作才能使
①↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑
灯全部变亮。
②↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑
2.记第i次操作后,圆周上所有数的和为ai, ③↓↓↓↓↓↑↓↓↑↑
依题意,得ai+1=2ai+ai=3ai。又因为原来三数
, , ④↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓的和为a0=1+2+4=7 所以a1=3a0=21a2= 4.先称甲乙两人体重,再分别称甲丙和乙丙的
3a1=63,a3=3a2=189,a4=3a3=567,a5=3a4= 体重。然后将(甲乙+甲丙+乙丙), ÷2=
三人体重
1701a6=3a5=5103,即所有数的和为5103。
的总和。最后用三人体重的总和分别减去其中两
3.操作程序是CCCCAAAAB。
人的体重和就能得出每个人的体重了。
例4 把十只袋子分别编上1~10号,在1~10号
,,,…, 5.袋中分别拿123 10个鸡蛋,共拿55个。把
这55个鸡蛋放在秤上称,总重量比2750克少几十
克,几号袋中的鸡蛋就是40克的。
[同步精练]
1.只要称一次即可。将各袋按1~10编号,然
6.红→红→红→黄→红→黄。
后从第1袋取1枚,第2袋取2枚,第3袋取3
7.最少要通过4次操作,才可以将它们并入一
枚,……,第10袋取10枚。称出所有金币的重量,
堆。(2,5,9)→(2,, , 10
,4)→(4,8,4)→(8,8,0)→
用这个重量和550克比较 少几克 第几袋的金币 ( ,,)
就是假的。
1600
, 8.54÷4=13
……2,所以第13次移动后,红桃
2.通过操作发现 每次撕完后小纸片的张数构
会出现在从上面数第 张 ,第 次移动后,红桃
成一个等差数列:1,4,7,10,…,
K 3 14
这样撕6次后有纸
K会被移到从下面数第2张,所以再进行相同的13
片1+6×3=19(张)。
次移动,红桃K会出现在最上面,共要27次。
3.第一次:先从5个砝码中任意挑选2个合在
, 、 。 9.
如果从①开始取,则最后剩下棋子⑧,要使
一起称 所称出的重量有A B 两类
最后剩下棋子⑥,只需将开始的棋子逆时针旋转( 2A 类 含 100 克):201 克、202 克、204 克、
个,即从19开始。
207克。
两只青蛙各跳一次,距离增加为原来的
B 类(
10. 3
不含100克):203克、205克、206克、208
倍,所以A7B 77=3×1=2187(米),而且A 在右,克、209克、211克。 7
B7 在左(跳奇数次时,A 点的青蛙在右,跳偶数次如果第一次称出的重量在A 类中,只要再称一
时,B 点 的 青 蛙 在 右)。由 对 称 性 可 知,, BA =次 就能找出100克的砝码;如果第一次称出的重 7
, , AB
。所以BA =(B
量在B 类中 那么 100克的砝码在剩下的3个 7 7 7
A7-AB)÷2=(2187-1)
。 ÷2=1093
(米)。
当中
第二次:从剩下的3个砝码中任意挑选2个合 第十六讲 归纳与猜想
在一起称。如果所称出的重量在B 类中,那么100
克的砝码就是剩下的那个;如果所称出的重量在A 例1 第2023行中左起第三个数是1+2+3+…+
类中,那么100克的砝码在这2个当中。 2021=(1+2021)×2021÷2=2043231。
1 80

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
[同步精练] n 与Sn 之间的关系不太明显,但Sn-Sn-1 有
1.每一行的最末一个数正好为该行行数的平 如下关系:
方,该行开头的数是前一行最末一个数加1。由于 n 1 2 3 4 5 6 …
1522<23400<1532,23400-1522=296,故23400 Sn 2 4 7 11 16 22 …
在第153行的第296个位置上。
…
2.所有8的倍数均在第3列中,
Sn-Sn-1 2 3 4 5 6
数1000是8
的倍数,所以它在第3列中。 观察上表,发现如下规律:Sn-Sn-1=n(n=2,
3.(1)通过观察可以发现,四个连续自然数的乘 3,…)。
积加1一定是一个完全平方数,并且有:n×(n+1) 因为在n-1条直线后添加第n 条直线被原n
×(n+2)×(n+3)+1=[n×(n+3)+1]2 -1条直线截得的n 段中的任何一段都将被它所在
(2)5×6×7×8+1=1681=(5×8+1)2=412 的原平面一分为二,相应地增加n 部分,所以Sn=
7×8×9×10+1=5041=(7×10+1)2=712 Sn-1+n,Sn-Sn-1=n。从而S2-S1=2,S3-S2
13×14×15×16+1=43681=(13×16+1)2 =3,S4-S3=4,…,Sn-Sn-1=n。将上面各式相
=2092 加有Sn-S1=2+3+…+n,
例2 (1)第65次拐弯处的数是[(65+1)÷2]2+1 所以Sn=S1+2+3+…+n=2+2+3+…+
=1090 (2)当n=88时,拐弯处的数是(1+88÷ n=1+(1+2+…+n)=1+n(n+1)÷2。
2)×88÷2+1=1981;当n=89时,拐弯处的数是 3.观察点阵中各层点数的规律,然后归纳出点
[(89+1)÷2]2+1=2026;当n=90时,拐弯处的 阵共有的点数。
数是(1+90÷2)×90÷2+1=2071。所以在2023 第一层有点数:1;
~2050中恰好在拐弯处的数是2026。 第二层有点数:1×6;
[同步精练] 第三层有点数:2×6;
1.观察右下角拐弯处的数的规律: 第四层有点数:3×6;
第1个拐弯处为1=12=(2×1-1)2;第2个 ……
拐弯处为9=32=(2×2-1)2;第3个拐弯处为25 第n 层有点数:(n-1)×6。
=52=(2×3-1)2;……因此第n 个拐弯处的数为 因此,这个点阵的第n 层有(n-1)×6个点,n
(2n-1)2。距中央正东100千米处为他走到右下 层共有点数为
角的第100个拐点处再向北99千米处,故他共走 1+1×6+2×6+3×6+…+(n-1)×6=1+
了(2×100-1)2+99=39700(千米)。 6×[1+2+3+…+(n-1)]=1+3n(n-1)。
2.仔细观察十字框中的5个数,中间一个是这 例4 至少要用4个砝码,重量分别是1克、3克、9
5个数的平均值,也是其余4个数的平均值,所以中 克、27克。
间这个数可由 [ ]500÷5=100得到,即得4个角上数 同步精练
之和为100×4=400。 1.每次应选所有纸中最小的一张来裁
,裁完后
10
3.观察归纳得:“行数+列数=奇数”
。 ( ),
时为白色 的面积是原来的一半 64×16=2 平方厘米 经
。
的,“行数+列数=偶数”时为黑色的。而38+99 过9次后变为2平方厘米
为奇数,因此( , )这一格是白色的。 2.幸运儿的号码是小于总人数且是最大的
n
3899 2
, , 。 数。如总人数是40,幸运儿就是2
5=32号;总人数例3 a=17b=26a+b=43
[ 是 ,幸运儿是
6 号。
同步精练] 100 2=64
( 3.首先找出第四行数的构成规律。通过观察、1.第20行的第1个格子是蓝色的 20÷7=
2…… ), : 、 、 、 、 、
分析,可以看出:第四行的任一个数都和第一行中
6 第20行的排列规律是 蓝 紫 红 橙 黄
、 、…… 相应的四个相邻的数有关,具体关系可以从下表绿 青 第30个格子是紫色的(30÷7=4……
看出:
2)。
第一行
2.设n 条直线分平面为S 部分,先实验观察 n-1 n n+1 n+2n
第二行
特例有如下结果: 2n-1 2n+1 2n+3
第三行 4n 4n+4
n 1 2 3 4 5 6 … 第四行 8n+4
Sn 2 4 7 11 16 22 … 如果用an 表示第四行的第n 个数,那么an=
1 81

同步奥数培优
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8n+4。 形,共有2n(n+1)+n2 条边。
现在要找出an=8n+4=1986k 的an,注意到 所以n=100时,共分为2×1002=20000(个)
第四行中最大的数是15876<1986×8,所以只需对 直角三角形,共有2×100×(100+1)+1002=
k=1,2,3,4,5,6,7进行验算即可。 30200(条)边。
如果把1986写成8×248+2的形式,那么要 9.通过观察填表如下:
找出使an=8n+4=8×248k+2k 的数就容易了, 顶点数 边数 区域数
即当k 取2,6时,a496=3972,a1489=11916能被 (a) 4 6 3
1986整除。
(b) 8 12 5
练 习 卷 (c) 6 9 4
(d) 10 15 6
1.第n 行最后一个数是n2,第15行的最后一
()由上表可以看出,所给四个平面图形的顶
个数是15×15=225,第16行的第3个数是228。 1
() 点数、边数及区域数之间有下述关系:2.19个数的和是13×9=117。(2)9个数
,
的和是(159-9)×9=1350。(3)这九个数分别是 4+3-6=1
,
34,35,36,42,43,44,50,51,52。 8+5-12=1
3.6×(
,
1+2+…+9)=270(个)正六边形。 6+4-9=1
提示:第n 圈有6n 个正六边形。 10+6-15=1
。
因此我们可以推断:任何平面图形的顶点数、
4.矩形网格内的所有格点数之和必是平方数,
边数及区域数之间,都有下述关系:
如2×2方格网中共有格点32=9(个),3×3方格网
中共有格点42=16(个)。
顶点数 区域数 边数 。
因为2024=442+88= + - =1
2 , (2)由上面所给的关系,可知所求平面图形的45-1 所以第2024个点必在第45行或第45列
。 边数。上 因为第452 个点在第1行第45列上,而2024
边数 顶点数 区域数
=452-1,从第1行倒退1行,所以第2024个点在 = + -1=999+999-1
。
第2行第45列上。 =1997
上下两行对应位置的两个数之和依次为
5.A、B、C、D 四个盒子球的变化情况为(6,7, 10.
4,1),(7,4,5,2),(4,5,6,3),(5,6,3,4),(,,, 31
,
634 61
,91,……,(391-31)÷30+1=13。n=13
5),(3,4,5,6),(4,5,6,3)…,除前2次外,后面每4 综合调研卷
次为一个周期。(100-2)÷4=24……2。A 有5
个,B 有6个,C 有3个,D 有4个。 一、1.(1)64 提示:余数最大是42,商最大是22。
6.这串数的排列规律是:6,4,0,4,4,8,2,0,2, (2)(1+1)÷(1÷150+1÷100)=120 (3)(10
2,4,6,0,6,6,2,8,0,8,8,6,4,…,每20个数为一 +25)×84×2÷8÷2=367.5 (4)(147+123+
个周期。286÷20=14……6,所以第286个数字 132)÷2-123=78 (147+123+132)÷2-132=
是8。 69 (147+123+132)÷2-147=54 (5)392 提
7.长方形内有1个点时,可作出4个互不重叠 示:根据左图可知,正方形面积为大三角形面积的
的三角形,后面每增加1个点三角形就加2个。共 一半,将右图分为9个面积相等的小等腰直角三角
4+(1996-1)×2=3994(个)三角形。 形,正方形面积为其中的四个之和。
8.采用不完全归纳,观察图形可知道随着n 的 2.22=4 32=9 42=16 52=25 20232=
增加,直角三角形的个数及边数有如下规律: 4092529 提示:每个算式的结果均为中间数的
n=1时,有直角三角形2×12 个,边数=2×1 平方。
×(1+1)+12=5; 二、1.1+3+3+2+2+4=15(厘米) 提示:将六
n=2时,有直角三角形2×22 个,边数=2×2 边形补充成一个等边三角形。
×(2+1)+22=16; 2.80×8.5÷2=340(平方厘米) 提示:将四
n=3时,有直角三角形2×32 个,边数=2×3 边形各顶点与 M 点相连,把四边形分成8个直角
×(3+1)+32=33; 三角形,并且高都是8.5厘米,底的和即为四边形
猜想:对一般的n,共分为2×n2 个直角三角 的周长。
1 82

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
三、1.解:设原来一等奖平均分为x 分,二等奖平 (3)空心方阵人数:(6-2)×(6-2)=16(人)
均分为y 分。根据题意,得10x+20y=(x+3)×6 (4)中空方阵人数:144-16=128(人)
+(y+1)×24,x-y=10.5(分) 答:总人数是128人。
2.(290-250)÷0.05=800(千克),(290-0.3 [同步精练]
×800)÷(0.4-0.3)=500(千克) 1.(1)中实方阵总人数:10×10=100(人)
3.(112.5+112.5)÷(1+12-10)=75(千米/ (2)第三层每边人数:10-2×(3-1)=6(人)
时),75×(10-8)+112.5=262.5(千米)。 (3)空心方阵人数:(6-2)×(6-2)=16(人)
4.大卡车一次运5吨,耗油10千克,平均运1 (4)中空方阵人数:100-16=84(人)
吨耗油10÷5=2(千克);小卡车一次运2吨,耗油5 2.解法1:最外边一层棋子个数:(14-1)×4
千克,平均运1吨耗油5÷2=2.5(千克)。显然,应 =52(个),第二层棋子个数:(14-2-1)×4=44
该尽可能用大卡车。177÷5=35(辆)……2(吨), (个),第三层棋子个数:(12-2-1)×4=36(个),
余下的2吨正好用小卡车运。所以用35辆大卡车 摆这个方阵共用棋子:52+44+36=132(个)
和1辆小卡车运输时耗油最少。 解法2:还可以这样想:中空方阵棋子总个数=
5.(6,3) 提示:根据炮的位置先确定(0,0), (每边个数-层数)×层数×4进行计算。
再判断帅的位置。 (14-3)×3×4=132(个),答:摆这个方阵共
6.根据题意,作图如下: 如 需132个围棋子。
3.(1)最外层每边人数:48÷4+1=13人,(2)
果把爸爸每行800米,小刚所走的路程看作1份, 最内层每边人数:16÷4+1=5(人),(3)这个方阵
由图可以看出,400米是这样的2.5份。400÷2.5 的层数:(13-5)÷2+1=5(层),(4)中实方阵总人
=160(米),小刚速度:(800-160)÷10=64(米/ 数:13×13=169(人),(5)空心方阵人数:(5-2)×
分),爸爸速度:64×(800÷160)=320(米/分)。 (5-2)=9(人),(6)中空方阵人数:169-9=160
(人) 答:总人数是下 册 160
人。
4.解:①从已知条件中可以知道大三角形的边
长是小三角形边长的2倍,又知道每个小三角形的
第一讲 观察物体(三)(方阵问题) 边长上均匀栽9棵,则大三角形边上栽的棵数为9
×2-1=17(棵)。
例1 方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题 ②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵
中去掉一行、一列的人数是33人,则去掉的一行 花是相邻的两条边公有的,所以大三角形三条边上
(或一列)人数=(33+1)÷2=17(人)。方阵的总 共栽花:(17-1)×3=48(棵)。
人数为最外层每边人数的平方,所以总人数为17× ③再看图中阴影部分小三角形三个顶点正好
17=289(人)。 在大三角形的边上,在计算大三角形栽花棵数时已
[同步精练]
经计算过一次,所以小三角形每条边上栽花棵数
1.本题中去掉的人数=7×2-1=13(人),还 为:9-2=7(棵),中间小三角形三条边一共栽7×3
剩的人数=(7-1)×(7-1)=36(人),答:如果去 =21(棵),整个花坛共栽花48+21=69(棵)
掉一行一列,要去掉13名学生,还剩下36名学生。 :
答 大三角形边上共栽花48棵,整个花坛共栽
2.原题中去掉一行、一列的人数是19人,则去
花69棵。
掉的一行(或一列)人数=(19+1)÷2=10(人)。
方阵的总人数为最外层每边人数的平方,
所以总人 练 习 卷
数为10×10=100(人)。
3.本题中去掉的人数=8×2-1=15(人),还 1.因为10×10=100(枚),并且是实心的方
剩的人数=8×8-15=49(人),答:如果去掉一行 阵,所以最外层每边有10枚,最外层有(10-1)×4
一列,还剩下49名学生。 =36(枚)。
例2 解:这样想:把中空方阵的总人数看作中实方 2.(7-1)×4=24(面)
阵总人数减去空心方阵人数。 3.先去2行,共去掉20人,再去掉2列,共去
(1)中实方阵总人数:12×12=144(人) 掉16人,所以,一共去掉了36人。
(2)第四层每边人数:12-2×(4-1)=6(人) 4.一共有6×6=36(枚)棋子,最外层一共有6
1 83



同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
第六讲 简易方程(解方程一)
【知识概述】
含有未知数的等式叫做方程;使方程左右两边相等的未知数的解的值,叫做方程的解。
把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。
移项时要注意:把未知项放在同一边,把常数项放在另一边;移项要改变符号。如在等号
的左边是“+”号,移到等号的右边要变成“-”号;在等号的左边是“-”号,移到等号的右边就
要变成“+”号。
我们已经学习了解方程的基本方法,这一讲我们研究解稍复杂一点的方程。
例题精学
例1 填空。
(1)如果5x-2=8,那么5x= ;
(2)如果3+3x=12,那么3x= ;
(3)如果7x=6x+4,那么 = 。
【思路点拨】 根据加减法各部分之间的关系进行移项。第(1)题,把5x 看作被减数,根据“被
减数=差+减数”得出5x=8+2;第(2)题,把3x 看作是一个加数,根据“一个加数=和-另一
个加数”得出3x=12-3;第(3)题,把7x 看作和,6x 是一个加数,根据“一个加数=和-另一
个加数”得出7x-6x=4。
注意:一般情况下,把未知项的式子放在等号的左边,常数项放在等号的右边。
同步精练
1.如果x-7=5,那么x= 。
2.如果5x+2=8,那么5x= 。
3.如果6x=3x+3,那么 = 。
例2 在等号的两边填上合适的数或式子。
(1)14x-12=7x+23 (2)3x+4x-6=36-5x (3)7×(x-8)=31+4x
14x- =23+ 3x+4x+ =36+ 7x- =
= = 7x- =
x= x= =
x= x= x=
x=
【思路点拨】 根据例1中移项的方法进行解答。第(1)题先移项:14x-7x=23+12,7x=35,
x=35÷7,x=5;第(2)题的方法同第(1)题;第(3)题等号的左边有括号,先去括号,计算等号
左边的式子7×(x-8)=7x-56,然后方法同前两题。
22
第六讲 简易方程(解方程一)
●小●学●五●年●级
同步精练
在等号的两边填上合适的数或式子。
1.15x-10=8x+11 2.5x+6x-6=36-3x 3.9×(x-4)=45+6x
15x- =11+ 5x+6x+ =36+ 9x- =
= = 9x- =
x= x= =
x= x= x=
x=
例3 解方程。
(1)21.5+8×4x=28.7 (2)37x=7.5+12x (3)23x-21=49+3x
【思路点拨】 解方程的方法同例2。注意:解方程时不要忘记写“解:”。
同步精练
1.26-3.5×4=2.5x 2.3.4x-9.8=1.4x+9 3.0.72×3+4x=3.06+3x
例4 解方程。
(1)(x-4)×9=(4-x)×7 (2)1.8×(3x-2.5)-3.8x=1.54
【思路点拨】 方程的两边都含有未知数和常数项,而且又带有括号,要先根据乘法分配律去掉
括号,然后再把含有未知数的项移到方程的一边,不含未知数的项(常数项)移到方程的另
一边。
同步精练
1.5x+3×(x-2)=15.6
2.7×(x-6)+3x=4×(2x+5)
3.8.4x-2.8x+6=80.8-1.2x
23
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
练 习 卷
1. 判断下面的移项是否正确。
(1)由6+y=8,得到y=8+6。 ( )
(2)由9x=8+6x,得到9x-6x=8。 ( )
(3)由2y-2=y+3,得到2y-y=3+2。 ( )
2. 解方程。
0.25x-2.6=5.65 0.125×(x+3)=1
2.5×4+2.5x=18 5x+2=7x-8
2x+20=4x-24 6×(x-1)=7×(x-3)
(2x+3)×2=5x-4 (x+0.25)×80=100x
54+48x=18x+60 5+3x=17.6-x
32x-7x=6.56+8.6x 8x÷(1.8+3)=1.5
24×(1.72+5.6x)=148.8 2(2-x)+3(4x-2)=7(x+4)
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第六讲 简易方程(解方程一)
●小●学●五●年●级
2(x-2)+3(2x-1)=9(x-1)
10×(2-x)-9×(2-x)-8×(2-x)-7×(2-x)=56
3. 列方程解答下列各题。
(1)一个数与2.8的差乘3,积是9.6,这个数是多少
(2)一个数的6倍加上这个数的3倍,和是3.6,求这个数。
(3)甲、乙、丙三个数之和是117,乙比丙的2倍少4,甲比丙的3倍多7,甲、乙、丙三个数各
是多少
4. 解答下列各题。
(1)mx+6=14的解是x=2,求m2-1的值。
(2)
1
bx-1=2的解是x= ,求b22 -1
的值。
(3)□表示相同的数,□÷3×9-(5×□-3×□)=1,求□表示的数。
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