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第十讲 图形的运动(三)
●小●学●五●年●级
第十讲 图形的运动(三)
【知识概述】
图形的运动方式,主要是平移和旋转。
(1)在平面内,将一个图形上的所有点都按照某个方向作相等距离的移动,这样的图形运
动叫做图形的平移运动,简称平移。平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移,对应线段
相等,对应角相等,对应点所连的线段相等。
(2)在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋
转。旋转不改变图形的大小和形状,但改变图形的方向。经过旋转,图形上的每一点,都绕旋
转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转
角,对应点到旋转中心的距离相等。旋转作图关键有两点:①旋转方向;②旋转角度。
例题精学
例1 把图中的三角形ABC(可记为△ABC)向右平移6个格子,画出所得的△A'B'C'。
【思路点拨】 以前,我们所画的平移,原来图形的边线大多都在网格线上,只要把图形的边线
沿着网格线向某个方向移动。这里的△ABC 的三条边都不在边线上,那么平移时只要把三个
顶点向右平移6格,再连线成为△A'B'C'。
同步精练
1.画出花瓶向上平移4格后的图形,再画出它继续向左平移7格后的图形。
(第1题) (第2题)
2.画出三角形向右平移6格后的图形,再画出梯形向下平移5格后的图形。
3.分别画出将 向下平移5格、向右平移10格后得到的图形。
1 23
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例2 如图,经过平移,△ABC 的顶点A 移到了点D,请作出平移后的三角形。
【思路点拨】 因为A 与D 是对应点,而平移的对应点的连线段平行且相等,所以平移方向为
射线AD 的方向,平移距离为线段AD 的长。
作法:
1.分别过点B、C 沿AD 方向作线段BE、CF,使它们与AD 平行且长度相等。
2.顺次连结D、E、F,则△DEF 即为所求。
同步精练
1.如图,四边形ABCD 平移后得到四边形EFGH,填空(1)CD= ,(2)∠F=
,(3)HE= ,(4)∠D= ,(5)DH= 。
(第1题) (第2题)
2.如图,若线段CD 是由线段AB 平移而得到的,则线段CD、AB 关系是 。
3.如图,已知△ABC,画出△ABC 沿PQ 方向平移2cm后的△A'B'C'.
例3 如图,如果把钟表的指针看作三角形OAB,它绕O 点按顺时针方向旋转得到△OEF,在
这个旋转过程中:
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第十讲 图形的运动(三)
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(1)旋转中心是什么 旋转角是什么
(2)经过旋转,点A、B 分别移动到什么位置
【思路点拨】 (1)旋转中心是旋转时固定不动的点,图中旋转中心是O 点。旋转角是对应边
从原来的位置到现在的位置所经过的角度,图中∠AOE、∠BOF 都是旋转角。
(2)经过旋转,点A 和点B 分别移动到点E 和点F 的位置。
同步精练
1.如图所示,如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O 点按顺时针方向旋转得到四
边形DOEF。在这个旋转过程中:
(1)旋转中心是什么 旋转角是什么
(2)经过旋转,点A、B 分别移到什么位置
(3)AO 与DO 的长有什么关系 BO 与EO 呢
(4)∠AOD 与∠BOE 有什么大小关系
2.在正方形ABCD 中,∠1=∠2=30°,试把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°,观察整个图
形中角与角之间,线段与线段之间,存在哪些相等的关系 探索DE,BF,AF 之间的关系。
3.正方形ABCD 可以看成由三角形( )旋转而成的,其旋转中心为( )点,旋转角
度依次为( ),( ),( )。
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例4 如图,△ABC 绕C 点旋转后,顶点A 的对应点为点D,试确定顶点B 对应点的位置,以
及旋转后的三角形。
【思路点拨】 绕C 点旋转,A 点的对应点是D 点,那么旋转角就是∠ACD,根据对应点与旋
转中心所连线段的夹角等于旋转角,即∠BCB'=∠ACD,又由对应点到旋转中心的距离相
等,即CB=CB',就可确定B'的位置,如图所示。
(1)连结CD。
(2)以CB 为一边作∠BCE,使得∠BCE=∠ACD。
(3)在射线CE 上截取CB'=CB,则B'即为所求的B 的对应点。
同步精练
1.如图,四边形ABCD 是边长为1的正方形,△ABF 是△ADE 的旋转
图形。
(1)旋转中心是哪一点
(2)旋转了多少度
(3)如果连结EF,那么△AEF 是怎样的三角形
2.将一个等腰直角三角形ABC(如图∠A 是直角)绕着它的一个顶点B 沿逆时针方向旋
转,分别作出旋转下列角度后的图形。
(1)45° (2)90° (3)135° (4)180°
3.将下面的图案绕点O 沿顺时针方向旋转90度,作出旋转后的图形。
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一、选择。
1.如图,图中的阴影旋转一个角度后,能互相重合,这个角度可以是 ( )
A.30° B.45° C.120° D.90°
2.如图所示的图案中,图(2),(3),(4)与图(1)的关系为 ( )
A.平移 B.轴对称 C.平移且转移 D.其他
3.下列各图不能由旋转作出的是 ( )
A. B.
C. D.
4.下图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的,则每次旋转的度数可以是
( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
二、填空。
1.(1)图形1绕A 点( )旋转90°,到图形2。
(2)图形2绕A 点( )旋转90°,到图形3。
(3)图形4绕A 点顺时针旋转( )到图形2。
(4)图形3绕A 点顺时针旋转( )到图形1。
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2.
① ② ③
图形①是以点( )为中心旋转的;图形②是以点( )为中心旋转的;图形③是以点
( )为中心旋转的。
3.如图,△ABC 绕点C 旋转后得到△CDE,则∠A 的对应角是( ),∠B=( ),
AB=( ),AC=( )。
4.平移不改变图形的( ),只改变图形的位置。故此若将线段AB 向右平移3cm,得
到线段CD,如果AB=5cm,则CD=( )。
5.钟表的时针经过20分钟,旋转了( )度。
6.如图,这个图案是由一个( )经过( )变换得到的,每次旋转了( )度。
三、解决问题。
1.将下列图形向左平移6格并涂上颜色。
2.(1)画出图A 的另一半,使它成为一个轴对称图形。
(2)把图B 向右平移5格。
(3)把图C 绕O 点顺时针旋转90°。
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3.画出三角形AOB 绕O 点顺时针旋转90度后的图形。
4.如图,把一块砖ABCD 直立于地面上,然后将其轻轻推倒,在这个过程中A 点保持不
动,四边形ABCD 旋转到AD'C'B'位置。
(1)指出这个过程中的旋转中心,并说出旋转角度是多大。
(2)指出图中的对应线段。
5.利用旋转变换设计美丽的图案。
6.在图(2),(3)中,画出由图(1)所示的图形绕点P 逆时针方向旋转90°,180°后形成的
图形。
() () 1 2 (3)
7.本图案可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的 每次旋转了多少度
1 29参 考 答 案
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三、1.解:设原来一等奖平均分为x 分,二等奖平 (3)空心方阵人数:(6-2)×(6-2)=16(人)
均分为y 分。根据题意,得10x+20y=(x+3)×6 (4)中空方阵人数:144-16=128(人)
+(y+1)×24,x-y=10.5(分) 答:总人数是128人。
2.(290-250)÷0.05=800(千克),(290-0.3 [同步精练]
×800)÷(0.4-0.3)=500(千克) 1.(1)中实方阵总人数:10×10=100(人)
3.(112.5+112.5)÷(1+12-10)=75(千米/ (2)第三层每边人数:10-2×(3-1)=6(人)
时),75×(10-8)+112.5=262.5(千米)。 (3)空心方阵人数:(6-2)×(6-2)=16(人)
4.大卡车一次运5吨,耗油10千克,平均运1 (4)中空方阵人数:100-16=84(人)
吨耗油10÷5=2(千克);小卡车一次运2吨,耗油5 2.解法1:最外边一层棋子个数:(14-1)×4
千克,平均运1吨耗油5÷2=2.5(千克)。显然,应 =52(个),第二层棋子个数:(14-2-1)×4=44
该尽可能用大卡车。177÷5=35(辆)……2(吨), (个),第三层棋子个数:(12-2-1)×4=36(个),
余下的2吨正好用小卡车运。所以用35辆大卡车 摆这个方阵共用棋子:52+44+36=132(个)
和1辆小卡车运输时耗油最少。 解法2:还可以这样想:中空方阵棋子总个数=
5.(6,3) 提示:根据炮的位置先确定(0,0), (每边个数-层数)×层数×4进行计算。
再判断帅的位置。 (14-3)×3×4=132(个),答:摆这个方阵共
6.根据题意,作图如下: 如 需132个围棋子。
3.(1)最外层每边人数:48÷4+1=13人,(2)
果把爸爸每行800米,小刚所走的路程看作1份, 最内层每边人数:16÷4+1=5(人),(3)这个方阵
由图可以看出,400米是这样的2.5份。400÷2.5 的层数:(13-5)÷2+1=5(层),(4)中实方阵总人
=160(米),小刚速度:(800-160)÷10=64(米/ 数:13×13=169(人),(5)空心方阵人数:(5-2)×
分),爸爸速度:64×(800÷160)=320(米/分)。 (5-2)=9(人),(6)中空方阵人数:169-9=160
(人) 答:总人数是下 册 160
人。
4.解:①从已知条件中可以知道大三角形的边
长是小三角形边长的2倍,又知道每个小三角形的
第一讲 观察物体(三)(方阵问题) 边长上均匀栽9棵,则大三角形边上栽的棵数为9
×2-1=17(棵)。
例1 方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题 ②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵
中去掉一行、一列的人数是33人,则去掉的一行 花是相邻的两条边公有的,所以大三角形三条边上
(或一列)人数=(33+1)÷2=17(人)。方阵的总 共栽花:(17-1)×3=48(棵)。
人数为最外层每边人数的平方,所以总人数为17× ③再看图中阴影部分小三角形三个顶点正好
17=289(人)。 在大三角形的边上,在计算大三角形栽花棵数时已
[同步精练]
经计算过一次,所以小三角形每条边上栽花棵数
1.本题中去掉的人数=7×2-1=13(人),还 为:9-2=7(棵),中间小三角形三条边一共栽7×3
剩的人数=(7-1)×(7-1)=36(人),答:如果去 =21(棵),整个花坛共栽花48+21=69(棵)
掉一行一列,要去掉13名学生,还剩下36名学生。 :
答 大三角形边上共栽花48棵,整个花坛共栽
2.原题中去掉一行、一列的人数是19人,则去
花69棵。
掉的一行(或一列)人数=(19+1)÷2=10(人)。
方阵的总人数为最外层每边人数的平方,
所以总人 练 习 卷
数为10×10=100(人)。
3.本题中去掉的人数=8×2-1=15(人),还 1.因为10×10=100(枚),并且是实心的方
剩的人数=8×8-15=49(人),答:如果去掉一行 阵,所以最外层每边有10枚,最外层有(10-1)×4
一列,还剩下49名学生。 =36(枚)。
例2 解:这样想:把中空方阵的总人数看作中实方 2.(7-1)×4=24(面)
阵总人数减去空心方阵人数。 3.先去2行,共去掉20人,再去掉2列,共去
(1)中实方阵总人数:12×12=144(人) 掉16人,所以,一共去掉了36人。
(2)第四层每边人数:12-2×(4-1)=6(人) 4.一共有6×6=36(枚)棋子,最外层一共有6
1 83




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×4-4=20(枚)。 最小为358020。
5.(1)中实方阵总人数:16×16=256(人),(2) 3.30 90
第四层每边人数:16-2×(4-1)=10(人),(3)空 例2 末位是0,各位数字之和是3的整数倍,分别
心方阵人数:(10-2)×(10-2)=64(人),(4)中空 是7020,7320,7620,7920。
方阵人数:256-64=192(人)。 [同步精练]
6.(1)最外层每边共摆:48÷4+1=13(盆), 1.解:设这个三位数是ab5,根据能被9整除
(2)中实方阵总盆数:13×13=169(盆),(3)最内层 数的特征,a+b 的和应是多少 下面我们来分别
每边共摆24÷4+1=7(盆),(4)中空方阵总盆数: 讨论:当a+b=4时,a=4,b=0;a=3,b=1;a=
(7-2)×(7-2)=25(盆),(5)鲜花总数:169-25 2,b=2;a=1,b=3共4组。当a+b=13时,a=
=144(盆)。 9,b=4;a=8,b=5;a=7,b=6;a=4,b=9;a=5,
7.每边上的人数:100÷4+1=26(人)。方阵 b=8;a=6,b=7共6组。所以符合条件的共有4
中一共有:26×26=676(人)。 +6=10个。
8.增加后外层共有:(16+2-1)×4=68(个), 2.分析:由于要求被9整除,可只考虑数字和,
原来内层共有:(16-2-1)×4=52(个),需要增 又由于要求最小的,故从第二位起应尽量用最小的
加:68-52=16(个)。 数字排,并试验末位数字为哪个数时,六位数为9
的倍数。
第二讲 因数和倍数(数的整除特征)
解:一个以5为首位数的六位数5 ,
要想使它最小,只可能是501234(各位数字均不相
例1 解:(1)因为34□□能同时被2,3,4,5整除, 同)。但是501234的数字和5+0+1+2+3+4=
因此 只 要34□□能 同 时 被3,4,5整 除。由 于 15,并不是9的倍数,故只能将末位数字改为7,这
34□□能被5整除,所以个位数字只能是0或5,又 时,5+0+1+2+3+7=18是9的倍数,故501237
因为4不能整除34□5,所以个位必须是0,并且末 是9的倍数。
两位只能是00、20、40、60、80,又34□0能被3整 3.解:要使6a3b能同时被2,3,5整除,则b为
除,3+4+□+0=7+□能被3整除,所以十位数 零;又要使6a30能被3整除,a 必须满足各位数字
字只能是2或8。即3420,3480能同时被2、3、4、5 的和6+3+0+a 能被3整除,又知a 只能取0至9
整除。 这十个数字,所以a 只可取0,3,6,9。故满足条件
(2)因为24=3×8,3与8互质,7□36□被8整 的四位数有4个,即6030,6330,6630,6930。
除的条件是,7□36□的末三位数所组成的数36□ 例3 82
能被8整除,所以个位数字只能是0或8;当个位数 [同步精练]
字是0时,7□360能被3整除,7+□+3+6+0= 1.解:这个五位数可以表示成15400+10a+
16+□能被3整除,所以千位数字只能是2、5或8; b。因为此数是72的倍数,所以一定是8和9的倍
当个位数字是8时,7□368能被3整除,7+□+3 数。先考虑该数是8的倍数的情况,即15400+10a
+6+8=24+□能被3整除,所以千位数字只能是 +b是8的倍数,因为15400+8a 是8的倍数,所以
0、3、6或9。即所求的数为72360,75360,78360, 只要考虑2a+b是8的倍数;又因为原数是9的倍
70368,73368,76368,79368。 数,所以1+5+4+a+b 是9的倍数,即a+b+1
[同步精练] 是9的倍数。
1.因为要求所给的五位数必须含有约数5,所 当a=0,b=8时结果成立,即a 与b 的乘积
以个位上只能填0或5。 为0。
当个位上填0时,因为要求8□410能被3整 2.解:设这个四位数为xy12,则这个数减去7
除,即各个数位上的数字和能被3整除,而8+4+1 得xy05,减去8得xy04,减去9得xy03,它们分别
=13,所以千位上的数字只能取2,5,8。 能被7,8,9整除。
同样道理,当个位上填5时,因为8+4+1+5= 因为xy04能被8整除,由此得到y 是1,3,5,
18,所以千位数字可以取0,3,6,9。那所求的数为 7,9;又xy03能被9整除,得x+y+3能被9整除,
82410,85410,88410,80415,83415,86415,89415。 因此xy 等于51或33或15或87或69。
2.能被4、5整除,个位必须是0,且末两位为 在5112,3312,1512,8712,6912中仅有1512
20、40、60、80;又满足是3的倍数,且为最小,所以 能被7整除,即所求的四位数为1512。
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参 考 答 案
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3.解:三位数字互不相同,能组成的最大三位 156,516
数可能是987,984,981……,因为987=329×3,9 3.2376
用了两次,不合题意。984=328×3,8用了两次,也 4.75
不合题意。由981=327×3得第一个数是327,第 5.1202400 提示:先考虑能被25整除的十位
二个数为327×2=654,第三个数是327×3=981。 和个位上数的情况:00,25,50,75;再考虑能被8整
显然这是符合题意的一组解。即981-327=654。 除的末三位数情况:400,425,450,475,这4个数中
例4 剩下那箱货物是20千克。 只有400是8的倍数;最后考虑能被9整除的情况,
[同步精练] 因为2+0+2+4+0+0=8,所以最高位只能填1,
1.2021 提示:题中每次将一块纸剪成6块, 即此题答案为1202400。
实际只增加了5片,也就是说最后所得的纸片总数 二、1.因为9+1+5=15,15不能被9整除,而3×
应该是5的倍数加上原来的1块,即最后所得的纸 15能被9整除,所以只要把915连续写3次,即
片总数被5除余1,只有2021才符合此条件。 915915915必能被9整除,且这个数最小。
2.分析:把□67.9□元作为整数□6792分。 2.能被3整除,所以可取的三个数字分别是:
既然是72本练习本的总钱数,那就一定能被72整 0,1,2;0,2,4;0,2,7;1,4,7
除,又因为72=8×9,所以根据能被8和9整除的 于是有:(2×2×1)×3+3×2×1=18(个)
数的特征来思考。 3.从0,1,4,7,9中选出四个数字,使它们的和
□679□÷8,只要看79□,根据计算,不难得出 是3的倍数,这样的四位数只能由0,1,4,7或1,4,
个位上的□中应填2。 7,9组成。
而□6792÷9,根据(□+6+7+9+2)÷9的结 按从 小 到 大 顺 序 排 列 为:1047,1074,1407,
果为整数,不难得出最高位上的□中应填3。 1470,1479,1497
解:先把□67.9□元看作整数□679□分,再根 所以第五个四位数个位上应是9。
据能被8和9整除的数的特征来看,这样就不难解 4.是质数又是偶数的数只有2,所以个位是2,
决问题。 则千位是8,设百位数为a,十位数为b,则需满足
所以练习本的单价是:367.92÷72=5.11(元) ab为质数,ab2能被8整除,a+b+10的结果是9
答:练习本的单价是5.11元。 的倍数,ab只能是71,这个四位数是8712。
3.分析:根据圆珠笔与橡皮的单价,可以算出 5.设这样的四位数是□36□,其中最大数的千
圆珠笔、橡皮共需39×2+6×5=108(分),而3元8 位数字是9
,最小数的千位数字是1。根据能被2,3
,
角即380分减去108分等于272分,这是买9支铅 整除的数字特征 个位数字必须是偶数
,且数字和
笔、 , ,本练习本的价格,而 与 正好是 的倍数, 能被3整除 所以 这样的四位数中最大的是9366;3 9 3 3
最小的是 。这两个数的千位数字与个位数字
也就是说9支铅笔与3本练习本的总价钱应是3的 1362
之和等于
倍数(无论它们各自的单价是多少),而272不是3 9+6+1+2=18
。
, 。 6.算错了。因为 支铅笔的总钱数、的倍数 显然是售货员把账算错了 3 5支圆珠
: 笔的总钱数、 本笔记本的总钱数、 块橡皮的总解 2支圆珠笔和5块橡皮的总钱数:39×2+6 8 12
( ) 钱数都是4的倍数,而2元 角×5=108 分 5 =250
分不是4的
倍数,所以营业员算错了。
3元8角即380分,380-108=272(分)应是9
7.由题意知,去敬老院和车站的总人数是7的
支铅笔与3本练习本付的总价钱,因为9支铅笔与
倍数,(
, 5+7+9+10+11+13+14+17+23
)÷(6
3本练习本的总价钱必是3的倍数 而272不是3
+1)=109÷7=15……4;11÷7=1……4,即第5
的倍数,所以售货员把账给算错了。
组去部队。
答:售货员的账算错了,因为9支铅笔与3本
8.分析:因为所取的四个数是1~20中的四个
练习本的总价钱是3的倍数,而272不是3的倍数。
数,第二个数是第一个数的7倍,只有第一个数是
练 习 卷 1,第二个数是7;或第一个数是2,第二个数是14两
种可能。
一、1.(1)270,720,702 (2)270,720 (3)270, 第三个数比第二个数2倍少1,而14×2-1大
720,702,207 于20,可知第二个数不能是14。因此第二个数是
2.6 156,165,561,516,615,651 615,165 7,第一个数是1,从而第三个数是13。
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由第三个数比第四个数的3倍多1,推得第四 [同步精练]
个数是4。因此,第一、第二、第三、第四个数依次 1.(1) (2) (3) (4)
是:1,7,13,4。 2.偶数 偶数 奇数 奇数 偶数 偶数
解:这样可求出这四个数是1,7,13,4。 偶数
所对应的四个字组成的横批是: 3.最大数比最小数大2倍,且大2×(7-1)=
12,所以最小数为12÷2=6,这七个数为6,8,10,
12,14,16,18。
例2 解:根据奇、偶数的性质2,奇数个奇数的和
9.分析:六位数3ABABA 是6的倍数,即它 是奇数,所以5个奇数的和是奇数,是不可能选出5
能被6整除。因为6=2×3,2与3互质,所以,这个 个数的和是偶数的。
六位数能同时被2和3整除。要使这个六位数能 [同步精练]
被2整除,A 可取0,2,4,6,8五个数。因为3+A 1.每张纸的页码之和是奇数+偶数=奇数,25
+B+A+B+A=3×(A+1)+2B,所以,要使这 张纸的页码之和是奇数×奇数=奇数,所以不能。
个六位数能被3整除,B 可取0,3,6,9四个数。 2.因为和是偶数,所以奇数一定有偶数个,偶
解:符合条件的六位数有5×4=20(个)。 数最多有100÷2-2=48(个)。
10.分析:因为这个六位数能被105整除,而 3.设这个数为a,则a×(a+2)-a×(a-2)
105=3×5×7,3,5,7这三个数两两互质,所以,这 =300,4a=300,a=75。
个六位数能同时被3,5,7整除。根据能被5整除 例3 解:30到100中3的倍数是:30,33,36,39,
的数的特征,它的个位数可以是0或5。根据能被3 ……,99。
整除的数的特征,可知这个六位数有如下七种可 其中奇数有33,39,45,……,99。
能:199320,199350,199380,199305,199335, 奇数有(99-33)÷6+1=12(个),所以和是
199365,199395。而能被7整除的数的特征是:这 偶数。
个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数 [同步精练]
字所表示的数的差(以大减小)能被7整除。经试 1.分析:根据“奇数+奇数=偶数,奇数+偶数
算:395-199=196,196能被7整除。 =奇数”及第一、第二个数都是奇数,按照这列数的
解: 能被 整除,它的最后两位数 组成规律知,各数的奇偶性依次为:奇,奇,偶,奇,199395 105
, , , , ,……, ,
是 。 奇 偶 奇 奇 偶 即每三个数为一组 其中前95
: , 两个是奇数,后一个是偶数。11.分析 设这个六位数为12A34B 因为它是88
, 解:这列数的排列规律是每三个数为一组,其的倍数 而88=8×11,8与11互质,所以,这个六位数
, 。 中前两个是奇数,后一个是偶数。既是8的倍数 又是11的倍数 由12□34□能被8整
除, …… 。可知34B 能被8整除(一个数末三位组成的数能被 100÷3=33 1
, ), , 所以前 个数中有偶数 个,有奇数8整除 这个数就能被8整除 所以 B 是4。由能被 100 33 100-
11整除的数的特征(一个数奇数位数字之和与偶数 33=67
(个)。
2.不会,因为接下去的数是按“奇,奇,奇,偶,位数字之和的差能被11整除,这个数就能被11整
奇”的规律重复出现,), 所以不会出现两个8连在一除 可知奇数位数字之和与偶数位数字之和的差
起的情况。
(2+3+4)-(1+A+4)=4-A 能被11整除,则4
3.同奇或同偶的和是偶数。
-A=0,即A=4。
例4 解:不答相当于是扣:: 3-1=2
(分),
解 124344÷88=1413
答错相当于是扣:3+1=4(分),
答:这 个 六 位 数 是124344,它 除 以88的 商
所以全答对得:
。 50×3=150
(分),偶数150中
是1413
减去偶数,结果还是偶数。
第三讲 因数和倍数(奇数和偶数) [同步精练]
1.如果30道题都答对,共可得90分,是一个
例1 解:100÷2=50(个) 偶数。每答错一道题,就要相差4分,不管答错多
这个加法算式中有50个奇数,所以算式的结 少道题,4的倍数总是偶数。90减偶数,差仍然是
果是偶数。 一个偶数。
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参 考 答 案
●小●学●五●年●级
同理,每不答一道题,就相差2分,不管有多少 错的。第②种说法有可能对。
道题不答,2的倍数总是偶数,偶数加偶数之和为 4.只有三个乘数都是奇数,结果才是奇数,但
偶数。 根据题意,三个乘数至少有一个偶数,所以结果是
所以,全班每个同学的分数都是偶数。则全班 偶数。
同学的得分之和也一定是个偶数。 二、1.分析:因为不要求求出和是多少,只要求判
2.B 提示:对任意一个参赛的学生,无论他 断和的奇偶性,所以我们应该探究一下和的奇偶性
答题情况如何,每道题的得分、失分都是一个奇数, 与各加数的奇偶性有什么关系。不难发现,偶数+
20道题的总分是一个偶数。可见,每个参赛学生的 偶数=偶数,所以无论有多少个偶数,它们的和都
得分都是偶数。而偶数+偶数仍然是偶数,所以参 是偶数。但是,奇数+奇数=偶数,而奇数+偶数
加竞赛学生的总得分也是偶数。 =奇数,所以2个奇数的和是偶数,3个奇数的和是
3.分析:如果从3,5,7这三个数,按照任意擦 奇数,4个奇数的和是偶数,5个奇数的和是 奇
去一个换成其他两数之和的规则去检验看能否得 数,……一般地,奇数个奇数的和是奇数,偶数个奇
到46,74,120,显然不太容易。可以用整数的和与 数的和是偶数。
差的奇偶性来考虑。 由此知(1)的结果是偶数,(2)的结果的奇偶性
因为3,5,7是奇数,按照规则第一次换数后, 由加数的个数来确定。
将三个数的奇偶性改变为一偶两奇,这是因为奇+ 解:(1)2+4+6+…+200的各个加数全为偶
奇=偶,这时若再擦去的是偶数,换上去的数是另 数,所以2+4+6+…+200是偶数。
外两个奇数的和,仍是偶数,这三个数继续保持一 (2)1,2,3,4,…,199,200这些数是一奇一偶排
偶两奇的特点;若擦去的是奇数,换上去的数是一 列的,所以这200个数中有200÷2=100个奇数,
奇一偶的和,是奇数,这三个数继续保持一偶两奇 即1,3,5,…,199共100个奇数,100是偶数,故1+
的特点。也就是说,在第一次换数以后,以后的换 3+5+…+199是偶数。
数不论怎样进行,三个数的奇偶性将永远保持一偶 2.分析:因为只要求判断和的奇偶性,根据加
两奇。而46,74,120是三个偶数,这种情况永远不 法运算中奇偶性的规律知,不必求和,只需弄清加
会出现。 数中有多少个奇数即可。
解:因为3,5,7是奇数,按照规则第一次换数 解:1,2,3,4,…,300,301这些加数是一奇一偶
后,将三个数的奇偶性改变为一偶两奇,以后的换 排列的,所以其中共有300÷2=150(个)偶数,150
数不论怎样进行,三个数的奇偶性将永远是一偶两 +1=151(个)奇数。151是奇数,这说明所给加法
, ,奇 而46,74,120是三个偶数,所以原来写的三个 算式中共有奇数个奇数 所以和一定是奇数
。
,
自然数不可能是 ,,。 3.根据题目要求 我们首先必须知道这357 2024
个自然数中有多少个奇数和多少个偶数。根据“相
练 习 卷 连的两个自然数总是一奇一偶”可以知道这2024
个连续自然数中一共有2024÷2=1012(个)奇数和
一、1.因为加法和减法算式中至少各有1个偶数, 2024-1012=1012(个)偶数;其次,求出它们的和
乘法算式中至少有2个偶数,故这9个整数中至少 是奇数还是偶数。根据“偶数±偶数=偶数,奇数
有4个偶数。 ±奇数=偶数,偶数±奇数=奇数”这一性质,可以
2.21 13 提示:这五个数的中间数是85÷5 知道1012个奇数的和是偶数,1012个偶数的和是
=17,可知最大数是21,最小数是13。 偶数,偶数+偶数=偶数。所以任意取出连续的
3.② 提示:因为两个两位数的差是30,所以 2024个自然数,它们的和是偶数。
这两个两位数一定都是奇数,或都是偶数(因为只 4.这一题虽然没有出现“奇数”“偶数”,但是仍
有偶数-偶数=偶数、奇数-奇数=偶数),且偶数 然可以用奇偶性来解答。每场比赛一共有两个人
+偶数=偶数,奇数+奇数=偶数,所以第①种说 参加,所以不管有多少场比赛,参加人次一定是偶
法显然不对。因为差是30,所以它们的个位数字相 数。而根据题目要求,参加人次为35×3=105,为
同,那么相加一定是偶数;又差的十位数字是奇数, 奇数,所以35个小朋友举行乒乓球比赛不能让他
故两个两位数的十位数字一定是一奇一偶。通过 们每个人恰与其他三个人比赛一次。
以上分析,可得出:两个两位数的四个数字相加之 5.不能,1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
和肯定是奇数,而不是偶数,所以第③种说法也是 因为45是奇数,把其中任何一个数改变符号,结果
1 87

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都将增大或减小这个数的两倍,所以改变符号之 2的倍数,即为偶数。
后,结果仍然是奇数,而26是偶数,所以不可能。 但6+5+6+4+3+2+5=31是个奇数,故知
6.不能,因为3,5,7都是奇数,而且5个奇数 统计员肯定统计错了。
的和还是奇数,不可能等于偶数22。 10.分析:设某个五位数为abcde,它改变数字
7.分析:此题初看似乎缺总人数,但解决问题 顺 序 得 到 新 的 五 位 数 是 a1b1c1d1e1。如 果
的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上,因此与总人 a b c d e
数无关。 +a1b1c1d1e1
: , 9 9 9 9 9解 由于是两人互送贺年卡 给每人分别标记
, 因为
, 最大只能是 ,所以 ,
送出贺年卡一次 那么贺年卡的总张数应能被 ee 9 e+e =18<192整 1 1
所以个位相加不可能进位,即 ,同理
除,所以贺年卡的总张数应是偶数。 e+e1=9 d+
,
送贺年卡的人可以分为两种: d1=9c+c1=9,b+b1=9,a+a1=9,又因为这两
: 个数只是五个数字调换顺序,因此 (一种是送出了偶数张贺年卡的人 他们送出贺 2× a+b+c+
) ( ) (
年卡总和为偶数。 d+e = a+b+c+d+e + a1+b1+c1+d1+
)
另一种是送出了奇数张贺年卡的人:他们送出 e1 =9+9+9+9+9=45。
显然2×(a+b+c+d+e)是偶数,而 是奇的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数-所有 45
数,因 为 奇 数 ≠ 偶 数,所 以 这 两 个 数 的 和 不 能送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶
。
数-偶数
是
=偶数。 99999
, : ,他们的总人数必须是偶数 才能使他们送出的 解 如果两数的和为99999 各位数相加必没有
贺年卡总数为偶数。 向前进位,又因为这两个五位数只是五个数字的顺
所以,送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。 序不同,因此这两个五位数的各位数字和一定是偶
8.分析:根据奇数与偶数的性质,看看这列数 数,而9+9+9+9+9=45是奇数,奇数≠偶数,所
各项奇偶性的变化规律,如果把这列数按奇数、偶 以这两个数的和不可能是99999。
数来分类,得到下面形式: 三、1.根据每个大盒子装12只零件,不管大盒子
奇,偶,奇,奇,…… 个数是奇数还是偶数,由12×偶=偶,12×奇=偶,
那么第五个数是奇数还是偶数呢 因为第四 可知大盒子所装零件总只数是偶数,根据99个零
个数的3倍减第三个数等于第五个数,由于第四个 件可知,小盒子所装零件总只数是奇数,且能被5
数是奇数,奇数的3倍是奇数,减去第三个数,根据 整除。
奇数减去奇数等于偶数,所以第五个数是偶数;同 这样,小盒子所装零件总只数的个位数必定是
理,偶数的3倍是偶数,偶数减去奇数是奇数,所以 5,则大盒子所装零件总只数的个位数必定是4,由
第六个数是奇数;同样可得出第七个数是奇数,第 2×2=4,2×7=14,那么大盒子个数是2个或7个
八个数是偶数;因此这列数的各项的奇偶性为:从 两种可能,相应小盒子个数是15或3个。
第二个数起,每三个数一组,每组中第一个数是偶 因为7+3=10(不合题意舍去),所以这个工人
数,后两个数是奇数。除第一个数外,以后每三个 用了2个大盒子,15个小盒子。
数一循环。 2.只有将一张牌翻动奇数次,才能使它的画面
因为2023-1=2022,2022÷3=674,所以第 由向上变为向下。要使5张牌的画面都向下,那么
2023个数是奇数。 每张牌都要翻动奇数次。5个奇数的和为奇数。所
解:根据奇数与偶数的性质,得出从第二个数 以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都
开始,每三个数一组,每组中先偶数,然后两个奇数 向下。而小明每次翻动4张,不管翻多少次,翻动
的规律循环排列。 的牌张数都是偶数。所以无论他翻动多少次,都不
因为2023-1=2022,2022÷3=674,所以第 能使5张牌画面都向下。
2023个数是奇数。 3.不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子,
9.甲、乙两个人比赛象棋,每下一盘,给甲要统 他总会放一个棋子回甲盒。所以他每拿一次,甲盒
计一次,给乙也要统计一次,统计次数之和是1+1 中的棋子数就减少一个。所以他拿180+181-1=
=2。 360(次)后,甲盒里只剩下一个棋子。
故知,不管是多少人参加象棋比赛,也不管比 如果他拿出的是两个黑子,那么甲盒中的黑子
赛了多少盘,所有参加比赛的人比赛盘数之和都是 数就减少两个。否则甲盒中的黑子数不变。就是
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参 考 答 案
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说,李平每次从甲盒中拿出的黑子数是偶数。由于 [同步精练]
181是奇数,奇数减偶数等于奇数。所以,甲盒中剩 1.[9,60]=180(分)=3(时)。答:下一次既响
余下的黑子数应是奇数,不大于1的奇数只有1,所 铃又亮灯是下午3时。
以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。 2.90÷2=45(段),90÷3=30(段),[2,3]=6
4.分析:按图给15个座位 (厘米),90÷6=15(段),45+30-15=60(段)。
黑白相间地涂上颜色。可以看 答:共可剪成60段。
出每个座位和它相邻的座位的 3.[200,300]=600(齿),600÷200=3(转),
颜色都不同。即染白色的相邻 600÷300=2(转),3-2=1(转),3×(15÷1)=45
的座位全是黑色,染黑色的相邻的座位全是白色。 (转),45-15=30(转)。答:大齿轮转了30转,小
要实现游戏规则,凡是坐在白色座位上的学生应换 齿轮转了45转。
到黑色座位上,凡坐在黑色座位上的人应换到白色 例4 10,6,15或10,12,15或10,18,15共3组。
座位上,只有当这两种颜色的座位数相同时,才能 [同步精练]
使这项游戏实现。但座位数是 , ,15,是一个奇数,那 1.31-1=3061-1=6076-1=75
,这个数
( 是 , , 的最大公因数,为 。么黑白两色的座位数必是一奇一偶 黑色座位是8 306075 15
, ), , 2.[6,7,8,9] ,个 白色座位是7个 不一样多 所以这项游戏不 =504504×20=10080
,504×
。 198=99792
,198-20+1=179。共有179个。
能实现
: , 3.60÷14=4
……4,60÷11=5……5,60÷9=
解 按图给15个座位黑白相间地涂上颜色 由
6……6。
于黑色座位是8个,白色座位是7个,所以坐在黑
色座位上的8个人按照游戏规则不可能坐到7个 练 习 卷
白色座位上,因此这项游戏不能实现。
1.[60,75,90]=900,(48,36,84)=12
第四讲 因数和倍数 2.(120,80)=40,(120÷40)×(80÷40)=3×
(最小公倍数与最大公因数一) 2=6(张)。答:至少能裁6张。
3.(27,18)=9(条)。答:至少要租9条船。
例1 (30,24,42)=6,(30+24+42)÷6=16(组)。 4.[20,15]=60(厘米),(60÷20)×(60÷15)
答:每组最多6人,一共可以分成16组。 =12(块)。答:至少要12块才能拼成一个实心的
[同步精练] 正方形。
1.180=22×32×5,840=23×3×5×7,150= 5.[6,4,7]=84(分)。答:84分钟后,三人又
2×3×52,(180,840,150)=2×3×5=30。 会在A 地相会。
2.(32,40,24)=8,(
32+40+24)÷8=12 6.96÷4+1=25(棵),[4,6]=12,96÷6-96
(组)。答:每组最多有8人,要编成12组。 ÷12=8(棵)。25+8=33(棵)。答:这条路上一共
3.(336,252,210)=42(份),336÷42=8(个), 需栽33棵树。
252÷42=6(个),210÷42=5(个)。答:最多可以 7.[4,5,7]=140(个),140-1=139(个)。答:
分成42份同样的礼物,在每份礼物中苹果有8个, 这箱鸡蛋至少有139个。
梨子有6个,橘子有5个。 8.[10,15]=30(人),30÷10=3(辆),30÷15
例2 [16,12]=48(厘米),(48÷16)×(48÷12)= =2(辆),(1+1)÷(3-2)=2,30×2=60(人)。
3×4=12(块)。答:至少需要12块。 答:这个班共有60人。
[同步精练] 9.[12,16,24,28]=336,336×3=1008,336×
1.[56,36,284]=35784 29=9744,29-3+1=27(个)。
2.[30,45,75]=450(秒)=7分30秒。答:三 答:共有27个。
人最少需要7分30秒才能再次同时在起点相会。 10.[3,5,7,11]=1155,1155×8=9240,这个
3.[18,24,12]=72,第一道工序要安排72÷ 四位数最大是9240。
18=4(人),第二道工序应安排72÷12=6(人),第 第五讲 因数和倍数
三道工序应安排72÷24=3(人)。 (最小公倍数与最大公因数二)
例3 [6,5,4,3,2]=60,60÷(7-1)=10(岁),10
×7=70(岁)。答:甲现在70岁,乙现在10岁。 例1 4×252÷28=36,答:另一个数是36。
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[同步精练] 2.15×180÷45=60,60-45=15,答:它们的
1.4×168÷24=28。答:另一个数是28。 差是15。
, 2.6435=3×3×5×11×13 最大的奇数是11 3.设两个数分别为15a、15b(a 与b 互质),
×13=143。 15a+15b=165,a+b=11,a=1,b=10;a=2,b=
例2 35-15=20或45-5=40,这两个数的差是 9;a=3,b=8;a=4,b=7;a=5,b=6。此题答案
20或40。 有5组,分别是15和150,30和135,45和120,60
[同步精练] 和105,75和90。
1.设这两个数为7a,7b(a 与b互质),7a+7b 4.这两个数的最大公因数是240÷60=4。这
=56,a+b=8,a=1,b=7或a=3,b=5。这两个 两个数是4和60或12和20。
数为7和49或21和35。
5.设这两个数是6a,6b(a 与b互质),6a×6b
2.设这两个数为31a,31b(a 与b 互质),31a 。
, , , , , =6×144 a×b=24
,a=1,b=24或a=3,b=8,
×31b=5766a×b=6a=1b=6或a=2b=3
这两个数是6和144或。 18
和48。
这两个数为31和186或62和93
, 这两个数是倍数关系,并且它们的和是 。3.设这两个数为7a7b(a 与b互质),7a+7b 6. 60
, , , , , 共有11组,分别是1和 , 和 , 和 , 和=70a+b=10a=1b=9或a=3b=77×9-7 592 583 574
×1=56,7×7-7×3=28,这两个数的差为56 56,5和55,6和54,10和50,12和48,15和45,20
或28。 和40,30和30。
例3 21+126=147或42+63=105,这两个数的 7.因为(60,84)=12,所以这两个自然数的最
和是147或105。 大公因数应是12的因数,这两个数是24和36。
[同步精练] 8.由题意知,a 有约数12,15,而12,15的最小
1.设这两个数为7a,7b(a 与b互质),7a+7b 公倍数是60,a,b,c的最小公倍数是120,所以a=
=77,7a×7b=7×210。化简得a+b=11,a×b= 120或60,当a=60时,因为120=60×2,所以b=
30,a=5,b=6,这两个数是35和42。 24,c=15;当a=120时,b=12,c=15。
2.设这两个数为12a,12b(a 与b 互质),12a 9.这两个数的最大公因数是3的因数,这两个
×12b=12×72,a×b=6,a=1,b=6或a=2,b= 数是15和12。
3,
这两个数是12和72或24和36。这两个数的和 10.a 是60与90的公因数,故a 是30的因
是84或60。 数;同理b是12的因数,c是18的因数。再由b与
3.设这两个数为18a,18b(a 与b 互质且a> c的最小公倍数是36知,b只能取12或4,c只能取
b),18a×18b=18×180,18a-18b=54,化简得a 18或9。又因a、b的最小公倍数为60,a、c的最小
×b=10,a-b=3,a=5,b=2,这两个数是90和 公倍数为90,则b36。所以,这两个数的和是126。 15,30;②b=4,c=18,则a=15,30;③b=4,c=9,
例4 24和30。 则a=30;④b=12,c=9,则a=10,30,共9组。
[同步精练]
1.252=2×2×7×9,252÷2=126=2×7×9, 第六讲 长方体和正方体
2×7=14,2×9=18,这两个数为18和14。 (巧算表面积)
2.设两个自然数为A、B,且A>B,m 是两个
数的最大公因数,a 与b 互质,A=a×m,B=b× 例1 解:25×20+(25×15+20×15)×2=1850
m,由题意知a×b×m-m=450,a×m-b×m= (平方厘米)
30,化简得(ab-1)×m=450,(a-b)×m=30,m 答:做这样一个鱼缸需要1850平方厘米的
是450和30的公因数,所以m 可能是1,2,3,5,6, 玻璃。
10,15,30,对 m 进行讨论,求得两数分别为41与 [同步精练]
11或65与35。 1.解:30×20+(30×10+20×10)×2=1600
3.它们的最大公因数是86和2的公因数。这 (平方厘米)=16平方分米
两个数为14和12。 答:做这个铁皮箱至少要用16平方分米铁皮。
2.解:42练 习 卷 ×4=64(平方分米)
答:这张商标纸的面积至少是64平方分米。
1.60×720÷180=240,答:另一个数是240。 3.解:50×25+(50×1.6+25×1.6)×2=
1 90

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
1490(平方米) 答:它的表面积是200平方厘米。
答:抹水泥的部分是1490平方米。
例2 解法一:22×10=40(平方厘米) 练 习 卷
解法二:2×2=4(厘米) 一、1.56平方厘米 16厘米 2.25 15 375
(4×2+4×2+2×2)×2=40(平方厘米) 15 10 150 3.150 4.4 96 5.60 412
答:这个长方体的表面积是40平方厘米。 6.72平方分米 7.100 8.450 400 9.8
[同步精练]
384 10.8a+8b
1.解法一:32×10=90(平方厘米) 二、1. 2. 3. 4. 5.
解法二:3×2=6(厘米) 三、1.A 2.B 3.C 4.B
(6×3+6×3+3×3)×2=90(平方厘米) 四、1.解:4×2=8(米) 4÷2=2(米)
答:这个长方体的表面积是90平方厘米。 (8×4+8×2+4×2)×2=112( 平方米)
2.解:36×6×2-36×2=360(平方厘米) 答:这个长方体的表面积是112平方米。
答:长方体的表面积是360平方厘米。
2.解: 2 25×10+(25×3+10×3)×2-28=4323.解:3×2=18(平方厘米) (平方米)
答:表面积减少了18平方厘米。
答:要粉刷的面积是432平方米。
例3 解:(5×4+5×3+4×3)×2×2=188(平方
3.解:3分米=0.3米
厘米)
5×0.3×4×4×25=600(元)
188-5×4×2=148(平方厘米)
答:一共要600元。
答:这个长方体的表面积是148平方厘米。
解: (
[ ] 4. 2.5×1.2+ 2.5×0.8+1.2×0.8
)×2
同步精练
=8.92(平方分米)
1.解:(3×2+3×1+2×1)×2×2=44(平方
) 8.92×2=17.84
(平方分米)
厘米
( )
答:做一对这样的铁皮盒至少要17.84平方分
44-3×2×2=32 平方厘米
米的铁皮。
答:这个长方体的表面积是32平方厘米。
解: 分米
:( ) 5. 2 =0.2
米
2.解 5×2+5×1+2×1 ×2×2=68(平方
) 2.5×0.2×4×10=20
(平方米)
厘米
答:做( 10
个这样的烟囱管至少需要20平方米
68-2×1×2=64 平方厘米)
铁皮。
答:这个长方体的表面积是64平方厘米。
6.解:: ( ) 42×2+26×5=214
(平方厘米)
3.解 6×4×2-4×3×2=24 平方厘米
答:这个长方体的表面积是214平方厘米。
答:这个大长方体的表面积的最大值与最小值
7.解:0.8×0.4×2=0.64(平方米)
相差24平方厘米。
答:它的表面积最少增加0.64平方米。
例4 解:102×6+10×4×2+4×4×2=712(平方
) 8.
解:(25×20+25×5+20×5)×2×2-25×
厘米
20×2=1900(平方厘米)
答:这个立体图形的表面积是712平方厘米。
[ ]
答:至少需要1900平方厘米包装纸。
同步精练
9.解:朝上、朝下有小正方形12×2=24(个)
1.解:5×5×6+4×4×4=214(平方分米)
朝前、朝后有小正方形 (个)
答:
7×2=14
这个立体图形的表面积是214平方分米。
朝左、朝右有小正方形
: 、 ( ) 8×2=16
(个)
2.解 朝前 朝后有小正方形9×2=18 个
、 ( ) 1×1×
(24+14+16)=54(平方厘米)
朝上 朝下有小正方形9×2=18 个
答:它的表面积是
、 ( ) 54
平方厘米。
朝左 朝右有小正方形8×2=16 个
解:
( ) ( ) 10. 3×3×6+1×1×4×6=78
(平方厘米)
2×2× 18+18+16 =208 平方厘米
答:所得物体的表面积是78平方厘米。
答:它的表面积是208平方厘米。
3.解:朝上、朝下有小正方形9×2=18(个) 第七讲 长方体和正方体(巧算体积)
朝前、朝后有小正方形7×2=14(个)
朝左、朝右有小正方形9×2=18(个) 例1 解:144÷36=4(厘米)
2×2×(18+14+18)=200(平方厘米) 答:它的高是4厘米。
1 91

同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
[同步精练] 答:王刚颈部以下的体积是144立方分米。
1.解:5×5=25(平方厘米)=0.25(平方分米) 3.解:60×20×4÷5=960(立方厘米)
2.5÷0.25=10(分米)=1(米) 答:每块铁块的体积是960立方厘米。
答:应截取的钢材长是1米。
2.解:200÷(5×5)=8(分米) 练 习 卷
答:水箱的高是8分米。 一、
1.1000 2.64立方厘米 3.27 4.9000
3.解:144÷(6×6)×2=8(分米) 5.27 6.1.5 7.72 8.12.5 9.75
答:这个油箱深8分米。 10.4米 11.30 12.120 30
例2 解:63÷9=24(分米) 二、1.C 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C
答:铸成的钢材长24分米。 三、解:23+5×5×2=58(立方厘米)
[同步精练] (
5×5+5×2+5×2)×2+22×4=106(平方
1.解:0.83÷0.16=3.2(米) 厘米)
答:锻成的钢材长3.2米。 答:这个零件的体积是58立方厘米,表面积是
2.解:103÷(2×2)=250(厘米)=25分米 106平方厘米。
答:这个长方体的长是25分米。 四、1.解:72÷(6×3)=4(厘米)
3.解:63÷(6×5)=7.2(分米) 答:高是4厘米。
6×5×(8.5-7.2)=39(立方分米)=39升 2.解:16平方分米=0.16平方米
答:水深是7.2分米,还应再倒39升水。 0.16×3×10=4.8(立方米)
例3 解:长方体盒子的长:40-5×2=30(厘米) 答:10根这样的木料的体积是4.8立方米。
长方体盒子的宽:30-5×2=20(厘米) 3.解:2.4×0.5×0.2=0.24(立方米)=
长方体盒子的容积:30×20×5=3000(立方厘 240升
米) 240÷15=16(分)
3000立方厘米=3立方分米 答:它的容积是240升,需要用16分钟才能注
答:这个盒子的容积是3立方分米。 满这个水槽。
[同步精练] 4.解:(7+6+5)×4÷12=6(厘米)
1.解:(20-5×2)×(15-5×2)×5=250(立 63=216(立方厘米)
方厘米)=250毫升 答:这个正方体的体积是216立方厘米。
答:这个盒子的容积是250毫升。 5.解:40÷4=10(厘米)
2.解:840÷[(26-3×2)×3]=14(厘米) 10×10×40=4000(立方厘米)=4升
14+3×2=20(厘米) 答:这个铁箱的容积是4升。
答:这块铁皮原来的宽是20厘米。 6.解:16÷[(3-1)×2]=4(平方米)
3.(1)解:9-3×2=3(分米) 33=27(立方分 4×(2×3)=24(立方米)
米) 答:原长方体的体积是24立方米。
答:这个铁皮盒的容积是27立方分米。
(2)解:32×5=45(平方分米)
解:
答:这个铁皮盒用铁皮45平方分米。 7.
(3)解:9×9=81(平方分米)
答:原来铁皮的面积是81平方分米。 焊接成的铁皮盒的底面是一个边长为20厘米
例4 解:3×3×3÷(15×12)=0.15(分米) 的正方形,高5厘米的长方体。
0.15分米=1.5厘米 20×20×5=2000(立方厘米)
答:水面升高了1.5厘米。 答:这个铁皮盒的最大容积是2000立方厘米。
[同步精练] 8.解:2分米=20厘米
1.解:200×(8-5)=600(立方厘米) 5升=5000立方厘米
答:这块石头的体积是600立方厘米。 20×20×15-5000=1000立方厘米
2.解:120×60×20=144000(立方厘米) 答:石头的体积是1000立方厘米。
144000立方厘米=144立方分米 9.解:10×10×15÷(25×10)=6(厘米)
1 92

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
答:这时水的高度是6厘米。 [同步精练]
10.解:32÷4÷2=4(厘米)
1.(7+13)
1×5 5
÷(1+3)=5, = ,7-5=2,
4×4×(4+2)=96(立方厘米) 3×5 15
答:原来长方体的体积是96立方厘米。 15-13=2,这个数是2。
1 5 1 3 4
第八讲 分数的意义和性质 2. = , ,这个分数是 。3 15 5=15 15
(分数性质的应用) 3.设这个分数为b,由题意知b+16 3a a-166= ,4
例1 分母是91的真分数有90个。91=7×13,90 b+124 1
= ,化简求得( ), a=746
,b=419,这个分数
-6-12=72 个 分母是91的最简真分数有 a+340 2
72个。 是419。
[同步精练] 746
1.分母是51的真分数有50个,51=3×17,50 练 习 卷
-2-16=32(个),分母是51的最简真分数有
32个。
()1,2,3 51.1 ,
1
2. ,
3 ,4 ,5,7,12,15,20共 个。 301510 6
4201401058460352821 8 1 2 4 7
(
3.a=11 2
) , , ,
141311 8
8 8×2 16 16 (3)() , 84 64
提示:分母是85的真分数有84
例2 1 9=
原分数是
9×2=18 17 个,85=5×17,84-4-16=64(个),分母是85的
()8 8×3 24 242 9=9×3=
,原分数是 最简真分数有64个。
27 25
()42[同步精练] 4 提示:90÷( )
7×6 42
48 7+8 =6
,
8×6=
,原来
48
5×2 10
1. = 的分数是4227÷9 3 。48
( ) ,3×9 272.90÷ 3+7 =9 = ,原分数是
27。 5 1×4 4 5 5
7×9 63 63 (5) 提示: ,原分数是 。13 52÷5=10.4=13 13
2 3 58
3. = = ( ) ( ) 1×11 116 9 174 2.12-1 ÷ 2-1 =11, ,2×11=2211-1
例 , 2×9 18 , ,这个自然数是 。3 136-73=6363÷(9-2)=9, = ,73 =1022-12=10 109×9 81
2×5 10
-18=55,136-81=55。减去的数是55。 3.(9+16)÷(3+2)=5,3×5=
,
1510-9=1
,
[同步精练] 16-15=1,这个数是1。
1 1×5 5
1.(13-3)÷(3-1)=5, = = ,15- 4.(2+3) (
3×5 15
3 3×5 15 ÷ 4-3
)=5, ,原分数4×5=20
13=2,分子、分母应同时加上2。
是15。
2×5 10 17
2.(4+1)÷(3-2)=5, ,原分数3×5=15 3 9 27
5. = =
10 6 18 54是 。
11 6.a 可取的自然数共有14个,分别是0,4,6,
3.(1+1)÷(5-4)=2,
4×2 8
= ,原分数 10
,12,16,18,22,24,28,30,34,36,40。
5×2 10
9 第九讲 分数的意义和性质是 。
10 (分数大小的比较)
例 ( ) ( 4×7 284 64+55 ÷ 4+13)=7, ,13×7=9155-28 例 5 75 7 70 11 66 37 74 51 (1) = , , , ,
=27,91-64=27。这个数是27。 8 12012
=12020=12060=120 8
37 7 11
>60>12>20
1 93

同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
()30 60,15 60,20 60,12 60
。
2 = = = = ,
20 15 数是66或67
27 5413 5217 5111 5517>13 3 7 21 21
3. < ,即 < , 中填28。所30 12
>27>
65 ×7 195
11
[ 3同步精练] 以这个分数是 。
28
1.把分子统一成 再比,
6 5 10 15
30 17<13<23<33 练 习 卷
15
2.通分子再比, 最大。46
()37 23 29 59
72,因为通分子比较大小后,48 24 72
1.1 < <
3. < < < 20 12 15
<30
83 59 29 83 12 15 20
36 60 12 (2)11<13<17
41<67<13
487 73 73 219 487 3
例2 方法一:比倒数: 2. ,因为 ,而 ,490>74 74=222 490=1-490
77771的 倒 数 是 4 888831 , 的 倒 数 是 219 3 。 3 3 。所以487 219 48777775 77771 88887 ,即222=1-222 222>490 490>222 490
4
1 7388883 > 。74
因为 4 4 77771 88883177771>1
所以 1989 18
88883 77775<88887 3. 最大, 最小1990 19
方法二:先用这两个分数分别与1相减:
11
77771 4 88883 4 4.7个,分别是 ,
13,17,19,21,23,27。
1- = 1- = 4040404040404077775 77775 88887 88887
17171717
因为 4 4 ,所以77771 88883
5.4个,分别是 , , , 。30313233
77775>88887 77775<88887
111111110
[同步精练] 6. 的 倒 数 是
222222221
222222221 111111110 =
1.两个分数的分子都比分母小2,采取比倒数 1
2
或求与 的差再比较的方法进行。44443 555571 < 。 11111111044445 55559 444444443的倒数是888888887 1=2
2.利用比倒数求解,最大的是
1650,最小的 888888887 444444443 444444443
1653
11 因 为
1 1
2 ,所 以
是 。 111111110
> 2 444444443
14 111111110 444444443
7 41 239 99 17 <
3. < < < < 。 222222221 8888888875 29 169 70 12 7.5个,分别是9,10,11,12,13
例3 D

[同步精练] 8.这五个数的大小关系是
3 26
7>61>0.424>
1.C 11
2.a ,因为从小到大的第三个数是
11,说明另
26 26
根据3 9,4 12 103. = = ,可以找到 和
11,再 11
7 21 7 21 21 21 外两个数都比 小,那么从大到小排的第三个数是26

根据3 18= ,
4 24
= ,又可以找到
19等。 0.424。
7 42 7 42 42
x 4
9.因为[19,5,19]=95, < 58,59共8个数。
[同步精练] 为
5x 76 5
< < y,5x<76<5y。因为95 95 95 x<15.2,
1. 中填12。 所以x=15,y=16。
将题目改为1 17 132. < < , 中可填的整4 50
1 94

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
是旋转角。
第十讲 图形的运动(三) (2)经过旋转,点A 和点B 分别移动到点E 和
点F 的位置。例1
[同步精练]
1.旋转中心是O 点,旋转角是∠AOD。(2)
D,E (3)AO =DO,BO =EO (4)∠AOD
=∠BOE
2.∠1= ∠2= ∠FAB = ∠BAM =30°,
∠DAB=∠EAM,∠FAM =∠EAB,∠AED=
……,
[同步精练] ∠AMB AE =AM
,DE =MB ……,因 为
∠FAM=60°,∠AMB=∠AED=90°-30°=60°,
所以,三角形AMF 是等边三角形,AF=MF=BF
+MB=BF+DE。
1. 3.AOD,O,90°,180°,270°。
例4 (1)连结CD,(2)以CB 为一边作∠BCE,使
得∠BCE=∠ACD,(3)在射线 CE 上截取CB'
=CB。
[同步精练]
1.(1)A 点,(2)90°,(3)等腰直角三角形。
2. 2.(1) (2)
(3) (4)
3.
3.
例2
练 习 卷
一、1.C 2.D 3.D 4.C
二、1.(1)逆时针 (2)逆时针 (3)180° (4)180°
[ ] 同步精练 2.B A D 3.∠D ∠E DE CD
1.(1)GH,(2)∠B,(3)DA,(4)∠H,(5)
BF 4.形状、大小 5cm 5.10 6.长方形 旋转
2.平行且相等 60
三、1.
3.
例3 (1)旋转中心是旋转时固定不动的点,图中旋
转中心是O 点。旋转角是对应边从原来的位置到
现在的位置所经过的角度,图中∠AOE、∠BOF 都
1 95

同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+6-7+7-8+8-9+9-10+10-11
1
=1-
11
2.
10
=11
[同步精练]
1 1 1 1 1 1
1.3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9=
1 1 2
3-9=9
3. 2 2 2 2 2 1
2.2×4+4×6+6×8+8×10+10×12=2
1 5
-12=12
4.(1)旋转中心是A,旋转角度是90°,(2)对应 1 1 1 1 1 13.1 +2 +3
线段分别是:CD 与C'D',AB 与AB',AD 与AD', 20 30 42
+456+572+690+7
BC 与B'C'。 1 1
110+8 132
5.略
1 1
=(1+2+3+4+5+6+7+8)+ +
6. 4×5 5×6
1 1 1 1 1 1
+6×7+7×8+8×9+9×10+10×11+11×12
=36+ 1 1(1) (2) (3) 4-12
7.5次,60°。 1
=366
第十一讲 分数的加法和减法
例 1 2 3 20233 1 …2024+22024+32024+ +20232024
例 1 1 1 1 1 1 1 1 11 6=9+18=8+24=7+
( )
42=10+15 = 1 + 2023 × 2023 ÷ 2
[同步精练] (1+2023)×2023÷2+ 2024
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1.12=36+18=48+16=60+15=84+14 =1012×2023+2023÷2
1 1 1 1 1 1 =2048287.5
=156+13=30+20=28+21 [同步精练]
4 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1999
2. 1. + …15=15+5=60+4=10+6 2000 2000
+ 2000 + + 2000 =
(
1 1 1 1 1+1999)×1999÷2
3.6=36+18+12 2000
=1999÷2=999.5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 10 11 12 13例2 2+6+12+20+30+42+56+
2. + + …
72+90 55 55 55
+ +55-155-155-155-
1 (… 20 1+10
)×10÷2 (11+20)×10÷2
+ -155= 55 - 155 =110
1 1 1 1 1 1 55 155
=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+ 55
-155=0
1 1 1 1 1 1 1 1 13.1- - - - - =1-
7×8+8×9+9×10+10×11 10 100 1000 10000 100000
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.1-0.01-0.001-0.0001-0.00001=1-
=1-2+2-3+3-4+4-5+5-6 0.11111=0.88889
1 96

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
例 1 1 1 1 2 2
1 3 5 17 19
4 … …2+3+4+ +20 + 3+4+ + 5.23 + 23 + 23 + … + 23 + 23 =
2 3 3 … 3 … 18 18 19 (+ + + + + + + + = 1+19)×10÷2 10020 4 5 20 19 20 20 23 =23
1 1 2 1 2 3 1 2
2+ 3+ … 1 2 3 19 1 3 393 + 4+4+4 + + 19+19+ 6.30+ … …30+30+ +30-150-150- -150
3 … 18 1 2 3 … 19 1 2+ + + + + + + = + (1+19)×19÷2 (1+39)×20÷2 190 40019 19 20 20 20 20 2 2 = 30 - 150 =30-150=
3 (… 19 1+19
)×19÷2
+ + + = =95 950 400 500 102 2 2 150-150=150=3
[同步精练]
1 1 1 7 1
1 1 2 1 2 3 … 1 2
7. + +
1. + + + + + + + + + 2 4 8
=8=1-8
2 3 3 4 4 4 60 60 1 1 1 1 15 1
59 1 2 3 59 (… … 1+59
)×59÷2 + +
+ 2 4 8
+16=16=1-16
60=2+2+2+ +2= 2 1 1 1 1 1 31 1
=885 2+4+8+16+32=32=1-32
1
2. =1 1 1 1 1 1 1 1 11 2+4+8+16+32+64+128+256=1-
1 2 1 1 255
2+2+2=2 256=256
1 2 3 2 1
3+3+3+3+3=3
1 1 1 1 1
8.3×4+
…
4×5+5×6+ +2023×2024=3
依此类推 1 2 … 2023 2024
2024+2024+ +2024+2024+ 1 2021-2024=6072
2023 … 2 1
+ + ,2024 2024+2024=2024 9.A=1B
可能是1或2,C 可能是1或3。
原式=1+2+3+…+2024=(1+2024)× A+1 B+1 C+1 1。即1+1 B+1
2 + 3 + 4 =26 2 + 3
2024÷2=2049300
5 50 5 75 2 48 1 8 11 C+1 1 , , , , + =2 ,变式后得 ,可知 ,3.12=120 8=120 5=12015=12040= 4 6
4B+3C=7 B=1
。
33,7 35,2 7 5 11 1 5
C=1
= + 12024 120 5 24=12+40=15+8 10.分母是126的真分数有125个,它们的和
(
是 1+125
)×125÷2
练 习 卷 126 =125÷2=62.5
。
( ) 11 5 4 1 第十二讲 折线统计图1. 1 3 12 +4 9 +5 9 +6
12 =
11 1 + 5 4 例1 B312+612 49+59 =10+10=20 [同步精练]
( ) 3 132 6.35 - 4 + 1 - 2.25 = 1.C 2.D 3.B4 20 例2 A
13 36.35+120 - 44+2.25 =8-7=1 [同步精练]
1.B 2.D
1 1 1 1 1 1 1
2. = + = + + 例3 (1)六 四 (2)五 (3)小明的成绩处于上20 21 420 18 20 342 380
升趋势,比 较 稳 定,小 华 的 成 绩 时 好 时 坏,起 伏
5 1 1 1 1
3.18=9+6=4+36 较大。
3 1 1 [同步精练]
4.原式之和为1 ,所以去掉 和 20 12 15 1.(1)衬衫销量逐步下降。(2)500件 (3)因
1 97

同步奥数培优
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为十二月冬天到了,人们都要穿棉衣了。
2.(1)22.5 (2)4.5 (3)2.25
3.(1)实线表示A 市,虚线表示B 市。(2)3
月最接近;4月相差最大。(3)略
例4
某商店8~12月份衬衫和羊毛衫两种商品销售情
况统计图
(2)①最高气温都出现在7月和8月;最低气
温都出现在1月 ②2月 31℃ ③北方甲市:
30℃,-18℃;南方乙市:38℃,5℃。
练 习 卷
1.D 2.C 3.C 4.C 5.B
(1)8,12。 (2)8月过后要逐渐减少衬衫的进货
量,要增加羊毛衫的进货量。
[同步精练]
6.(1)
1.上林村小学五(4)班学生家庭拥有电话、电
脑情况统计图
(2)2018年 (3)国内邮票从2017年到2018
(1) 年下降,2018年以后上升;国外邮票,从2017年开
始逐渐下降。
第十三讲 数学广角———找次品
(最大最小问题)
(2)2019年和2020年 [例题精学]
(3)2020年和2021年 例1 可以把这7瓶药片分成2瓶、2瓶和3瓶,先
(4)人们的生活水平越来越好 称2瓶的,如果天平平衡,次品在3瓶中,就继续把
2.(1) 3瓶分成三份,然后就可以一次找到次品了;如果在
称2瓶的时候,天平不平衡,就把轻的一端的2瓶
分成两份继续称一次就能找到次品。所以最少称2
次就能找到次品。
[同步精练]
1.第一次分成3份,每份4个,第二次分成3
份,分别是2个、1个、1个,第三次把() , , 2
个分成2份,
2 像图中虚线这样 先找到影长8米 再找相
每份1个。
对应横轴上的数据,大约2.8米。 2.两次。
3.北方甲市和南方乙市2022年各月平均气温 3.两次。
统计图 例2 一共有81粒珍珠,先分成三份,每份27粒。
1 98

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
第一次用天平称其中的两份,如果平衡,次品在第 375(分),375÷4=93.75(分)。375-94-93-92
三份中,如果不平衡,次品在天平轻的一端;将含有 =96(分)。
次品的一份再平均分成三份,每份9粒。第二次用
天平称其中的两份,如果平衡,次品在第三份中,如 练 习 卷
果不平衡,次品在天平轻的一端;继续将含有次品
1.4次,2次 2.三份 3.3次 4.3次
的一份平均分成三份,每份3粒,第三次用天平称 5.1+2+3+4+5=15(次) 6.分成14千克,14
其中的两份,如果平衡,次品在第三份中,如果不平 千克,14.5千克,最重的是14.5千克 7.49-37
衡,次品在天平轻的一端;最后将含有次品的一份 =12,15-12=3,(12-3)÷2=4.5张,所以甲至少
再平均分成三份,每份1粒,第四次用天平称,就能 需要5票 8.110-19-18-17-16-15-14=11
找到次品。 (分)
[同步精练]
1.第一次把1000箱分成三份(333、333、334), 第十四讲 数学广角(行程中的追及问题)
第二次把333箱(或334箱)分成三份(111、111、
例
), ( 、 、 ), 1 30÷60=0.5
(小时),60×0.5÷(84-60)=
111 第三次把111箱分成三份 373737 第四
30÷24=1.25(小时)=1小时15分。答:1小时15
次把37箱分成三份(13、12、12),第五次把12箱 分钟能追上。
(或13箱)分成三份(4、4、4),所以至少称七次就能 [同步精练]
找到这箱次品。 1.65×20÷(75-65)=1300÷10=130(分)。
2.能,第一次把200枚分成三份(66、66、68), 答:130分钟能追上。
第二次把66枚(或68枚)分成三份(22、22、22)或 2.18×1.5÷(45-18)=27÷27=1(小时),45
(23、23、22),第三次把22枚(或23枚)分成三份 ×1=45(千米)。答:摩托车行了45千米。
(、 77、8)或(8、8、7),第四次把7枚(或8枚)分成三 3.扬扬要比宁宁多跑一圈才能追上。300÷(6
份(2、2、3)或(3、3、2),第五次就能找到次品。 -4)=150(秒)。6×150=900(米),4×150=600
3.6次 (米)。答:扬扬跑了900米,宁宁跑了600米。
例3 这里的“最多”是“最不凑巧”的意思,因为在 例2 40×[35×(3-1)÷(40-35)]=560(千米)。
最不凑巧的情况下试的次数才最多。开第1把锁, 答:两地之间的路程是560千米。
最多要试3次,如果3把钥匙都试过了,第4把就不 [同步精练]
必再试了,一定能打开这把锁。同样道理,可知开 1.解:设队伍长x 米。x÷(150-60)+x÷
第2把、第3把、第4把锁分别要试2次、1次和0 (150+60)=10,解得x=630。答:队伍长630米。
次,所以一共要试3+2+1+0=6(次)。 2.(82-64)×1000×(2÷60)=600(米)。答:
[同步精练] 在吉普车赶上卡车之前2分钟,两车相距600米。
1.1+2+…+7+8=36(次) 2.10 3.1+2 3.30×(1+0.5)÷(50-30)=2.25(小时),50
… (千米)。答: 、 两地的路程是+ +14+15=120,1+2+3+4+5+…+16= ×2.25=112.5 A B
136,所以最多可以分成15份。 112.5
千米。
, 例3 180×2÷
(90-60)=12(分),60×12+180=
例4 除了其中1人得65分 其余5位同学的总得
( )。 900
(米)。答:他们家距学校900米。
分是91×6-65=481 分 第3名的得分尽可能 [同步精练]
低,那么其他4个同学的成绩就要尽可能的高。由 1.160×2÷(80-60)=16(分),80×16-160
于这6个人的得分各不相同,所以假定第一名得 =1120(米)。答:他们家离学校有1120米远。
100分,第二名得99分,第四、五名的得分尽可能和 2.(80+60)×3=420(米),420÷(80-60)=
第三名接近。所以第三、四、五名的平均分为(91× 21(分),80×(21+3)=1920(米),60×(21+3)=
6-65-100-99)÷3=94(分),第三名的得分为 1440(米)。答:追上小英时,小红行了1920米,小
95分。 英行了1440米。
[同步精练] 3.8×3=24(步),5×4=20(步),24÷20=
1.25×4-17-18-19=46岁 2.总钱数为 1.2,这说明猎狗的速度是兔子的1.2倍。15×
56元,56÷5=11.2(元),其余四人最多可捐9+10 [1.2÷(1.2-1)]=90(米)。答:猎狗至少要跑90
+11+12=42(元),所以捐款最多的人至少捐了56 米才能追上野兔。
-42=14(元)。 3.其余4人共得5×90-75= 例4 5×2÷(18-8)=1(千米/时),5+1=6(千
1 99

同步奥数培优
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米/时)。4×2÷(6-4)=4(小时),8+4=12(时)。 例2 (75+15)×2=180(台),(180+20)×2=400
答:小霞追上小丽是中午12时。 (台)。答:店里原有彩色电视机400台。
[同步精练] [同步精练]
1.[800×(6+2)-1000×6]÷2=200(米/ 1.(15+8)×2=46(棵),(46-8)×2=76(棵)。
分),[800×(6+2)+200×2]÷(6+2+2)=680 答:这批树有76棵。
(米)。答:慢车的速度是每分680米。 2.(40×2+40)×2+40=280(元)。答:聪聪
2.(1200+800)÷(1200-800)=5,(800×5- 原有280元压岁钱。
800)÷10=320(米),320÷5=64(米)。答:爸爸每 3.(8+2)×2=20(千米),(20+3)×2=46(千
分行320米,小明每分行64米。 米),(46+4)×2=100(千米)。答:甲、乙两地相距
3.乙的速度为10÷5×6÷3=4(米/秒),甲的 100千米。
速度为10÷5+4=6(米/秒)。 例3 480÷(3+1)×3=360(吨),360-90=270
(吨),270+140=410(吨),480-410=70(吨)。
练 习 卷 答:A 仓库中原有410吨,B 仓库中原有70吨。
( ) ( ) ( )。 [同步精练]1.6× 18÷60 ÷ 15-6 ×60=12 分钟
: , 。 1.60-45=15(头),(369+15) ( )答 经过12分钟 弟弟可以追上哥哥 ÷ 2+1 =128
2.30×(12÷60)÷(40-30)=0.6( ),
(头),
小时 40 128+45=173
(头),369-173=196(头)。
×0.6=24(千米)。 :
答:甲奶牛场原有
答 仓库到王村的路程有24 196
头,乙奶牛场原有173头。
千米。 2.135÷(1.5+1)+36-45=45(个),135-45
(个)。答:甲 师 傅 做 了 个,乙 师 傅 做 了
3.150×12÷(240-150)=20(天)。答:好马 =90 45
个。
20天可以追上劣马。 90
(块)。甲有:
4.(100+80)×5=900(米),900÷(100-80) 3.100÷4=25 25-3+13=35
( ), ( ) ( )。 : (块),乙有: (块),丙有:=45 分钟 100× 5+45 =5000 米 答 小玲 25-13+10=22 25-10+8
。 =23(块),丁有:追上小平时一共行了5000米 25+3-8=20
(块)。
,
5.12×30÷(12-9)=120(分钟),9×120= 例4 甲原有30枚 乙原有17枚
,丙原有9枚,丁
1080(千米)。答:甲、乙两地相距
。
1080千米。 原有8枚
[ ]
6.4×(40-28)=48(千米),48÷28≈1.7(小 同步精练
时)。答:汽车比摩托车大约早出发1.7小时。 1. 操作次数 袋中球数(个)
7.450÷(3-1.5)+450÷(1.5+3)=400 初始状态 (18-1)×2=34
(秒)。答:这位战士往返共用400秒。 第1次操作后 (10-1)×2=18
8.(20.4-4×0.5)÷(4+1.2+4)=2(小时),
第 次操作后 ( )
4×(2+0.5)÷(2-1.5)=20( / )。 :
2 6-1 ×2=10
千米 时 答 张明
骑车每小时行20千米。 第3次操作后 (4-1)×2=6
9.把乙每分钟步行的速度看作“1”,(1+10)× 第4次操作后 (3-1)×2=4
10÷(3-1)=55(分钟)。答:甲追上乙需要55 第5次操作后 3
分钟。
答:袋中原有34个球。(注:从下向上填表)
10.乙再跑10米时丙跑的路程:10×(60-20) 2.
÷(60-10)=8(米),20-8=12(米)。答:乙到终 变动情况 第一堆 第二堆 第三堆
点时将比丙领先12米。 初始状态 8+14=22 28÷2=14 12
第一次
第十五讲 数学广角(还原问题) 8 16+12=28 24÷2=12变化后
例1 (57÷3+12-3)÷7=4。答:这个数是4。 第二次 16÷2=8 16 16+8=24
[ ] 变化后同步精练
1.(8÷8+5)×9-6=48。答:这个数是48。 第三次 16 16 16
2.(50÷25+23)×4-25=75(岁)。答:爷爷 变化后
今年75岁。 第一堆原有22个,第二堆原有14个,第三堆
3.88-(9-6)+(70-10)=145。答:正确的 原有12个。
结果是145。 3.设最后三人各有a 枚邮票,列表如下:
2 00

参 考 答 案
●小●学●五●年●级
变动次数 第三次后 第二次后 第一次后 初始情况 第三次
16 16 16
变化后
甲的邮票数 a 1 1 12a 4a 2a 答:甲、乙、丙原来各有球26个、14个、8个。
乙的邮票数 a 1 a 72a
9.
8a
丙的邮票数 a 2a 7 134a 8a
因为邮票数为整数,所以a 应为8的倍数,且
为最小的一个,a 为8,甲原有4枚,乙原有7枚,丙
原有13枚。三人至少共有24枚邮票。
答:财迷原有31个铜板。
练 习 卷 10. 甲 乙 丙
1.(5×5+5)÷5-5=1。答:这个数是1。 丙给甲、乙之后 27 27 27
2.(100÷10+15)×4-12=88(岁)。答:这位 乙给甲、丙之后 9 9 63
老爷爷现在有88岁。 甲给乙、丙之后 3 57 21
3.甲有:120÷3+3=43(本),乙有:120÷3-3 开始 55 19 7
+5=42(本),丙有:120÷3-5=35(本)。 答:甲最初有55元,乙有19元,丙有7元。
4.(26-2)÷2=12(块),26-(12+5)=9
(块),(26-9×2)×2=16(块)。答:最初弟弟准备 第十六讲 容斥原理
搬16块。
例
[( ) ] ( )。 1 24+36-8=52
(人)或24-8+36=52(人)
5. 20-2 ×2+2 ×2=76 个 答:筐中原
或36-8+24=52(人)。
有苹果76个。 答:至少做对1题的有52人。
6. 原有桃数 (46+1)×2=94(个) [同步精练]
第1天吃后 (22+1)×2=46(个) 1.12+17-6=23(人)。答:共有23人。
第2天吃后 (10+1)×2=22(个) 2.30+26-12=44(人)。答:五(1)班共有学
生 人。
第3天吃后 (
44
4+1)×2=10(个)
3.30+36-10=56(人)。答:有女工56人。
第4天吃后 (1+1)×2=4(个) 例2 10×5+40-60=30(平方厘米)。答:两张纸
第5天吃后 1个 片重合部分的面积是30平方厘米。
答:原有桃子94个。 [同步精练]
7. 1.30+35-50=15(人)。答:两个组都参加的变动情况 甲 桶 乙 桶
有15人。
初始情况 18+12=30 ④ 36÷2=18 ③ 2.10×8+5×5-3×4÷2=99(平方厘米)。
甲倒入乙后 24÷2=12 ① 24+12=36 ② 答:这两个图形盖住的桌面的面积是99平方厘米。
乙倒入甲后 24 24 3.女生有42-20=22(人),女生中的少先队
答:甲桶原有30千克,乙桶原有18千克。 员有22-4=18(人),男生中的少先队员有33-18
8. =15
(人)。答:男生中有15人是少先队员。
变动
甲 乙 丙 例3 设三种报纸都订的有a 人,只同时订数学、语
情况
文报的有(10-a)人,只同时订数学、科技报的有
初始
4+14+8=26 28÷2=14 16÷2=8 (12-a)人,只同时订语文、科技报的有(12-a)人,
状态
只订数学报一种的有28-(10-a)-(12-a)-a
第一次
8÷2=4 8+4+16=28 32÷2=16 =6+a;只订语文报一种的有41-(10-a)-(12
变化后 -a)-a=19+a;只订科技报一种的有20-(12-
第二次
16÷2=8 16÷2=8 16+8+8=32 a)-(12-a)-a=a-4。
变化后 列方程:(a+6)+(19+a)+(a-4)+(10-
2 01

同步奥数培优
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a)+(12-a)+(12-a)+a=64,得a=9或64- 骑自行车的有32人。
[(28+41+20)-(10+12+12)]=9 5.设竖长方形的宽为x 厘米,横长方形的宽
答:三种报纸都订的有9人。 为y 厘米,列出不定方程为:7x+5y=43,当x=4,
[同步精练] y=3时,7×4+5×3=43,两个长方形重叠部分的
1.38+40+42-7-8-9+3=99(平方厘米)。 面积为:4×3=12(平方厘米)。答:两个长方形重
答:图形覆盖的总面积是99平方厘米。 叠部分的面积为12平方厘米。
2.不会游泳、不会骑自行车和不会打乒乓球的 6.62+34-11=85(人),100-85=15(人)。
人分别是21、15和8人,故至少有一项不会的最多 答:这两个频道都没有看过的有15人。
有21+15+8=44(人),三项都会的至少有48-44 7.画展的总幅数为:(22+18+20)÷2=30
=4(人)。答:至少有一项不会的最多有44人,三 (幅),六年级参展的幅数为:30-18=12(幅),五年
项都会的至少有4人。 级参展的幅数为:30-20=10(幅)。其他年级共展
3.借文艺书、故事书、科技书共有20+25+30 出:30-12-10=8(幅),答:其他年级共展出8幅。
=75(人),其中借文艺书和故事书的重复了9人, 8.17+14-4=27(人),46-27=19(人)。答:
借文艺书和科技书的重复了11人,借故事书和科 两样都不会的有19人。
技书的重复了10人,三种书都借的重复了1人,所 9.45+10+10+12-25-20-30=2(人)。
以五(1)班共有学生:20+25+30-9-11-10+1 答:三个班都报名的有2人。
=46(人)。答:五(1)班有学生46人。 10.1000÷3=333……1,1000÷5=200,1000
例4 10000÷5=2000,10000÷7=1428……4, ÷7=142……6,1000÷(3×5)=66……10,1000÷
10000÷35=285……25,2000+1428-285=3143 (3×7)=47……13,1000÷(5×7)=28……20,
(个)。答:1~10000的自然数中,能被5或7整除 1000÷(3×5×7)=9……55,333+200+142-(66
的数有3143个。 +47+28)+9=543,1000-543=457(个)。答:有
[同步精练] 457个数不能被3,5,7中任何一个数整除。
1.1000÷5=200,1000÷9=111……1,1000÷
45=22……10,200+111-22=289(个)。答:有 综合调研卷
289个。
一、
, …… , 1.34.56
提示:两次运用乘法分配律。
2.100÷2=50100÷3=33 1100÷6=
…… , 2.
(1900+1949)×50÷2=96225
16 450+33-16=67(个)。答:这样的数有
1 2 3 4 5 6 7 8 9
67个。 3. 4.22 5.2
3.105=3×5×7,105÷3=35,105÷5=21, 8 2 6 5 4 3 9 1 7
105÷7=15,105÷(3×5)=7,105÷(3×7)=5, ×3×5+1=31 6.9 7.15 8.105 9.9 17
105÷(5×7)=3,105÷105=1,105-[(35+21+ 10.(12+13+15+17+19+20)×2÷3÷4=16
15)-(7+5+3)+1]=48(个)。答:这样的最简真 11.4.4
分数有48个。 二、1.从结果出发,还原倒推甲港原有小船63只,
乙港原有小船33只。
练 习 卷 2.3次。
3.每次相遇时甲小虫所走的路程都是相同的,
1.(56+54-82)÷2=14(岁)或(56+54+82) 所以,长+宽-32=32+长-16=宽+16+16,解
÷2-82=14(岁)。答:小华今年14岁。 得AB=64厘米。
2.32+24-20=36(人),46-36=10(人)。 4.(1)10+5+2.5+1.25+0.625+0.625=20
答:两题都没有做对的有10人。 (克)
3.AB+BC=10,BC+AC=13,AC+AB= (2)取100名也要准备20克。
11,AB 的长为:(10+13+11)÷2-13=4(千米), 5.51分钟
BC 长为(10+13+11)÷2-11=6(千米),AC 长 6.(1+39)×39÷2=780(本),3121÷780=
为(10+13+11)÷2-10=7(千米)。答:A、B 之 4……1,所以至少有5名学生得到的书一样多。
间最短,为4千米。 7.设乙、丙经过x 小时相遇。(15+20)x=( 5
4.会游泳的有:7×(48÷12)=28(人);两样都 +20)(x+1),解得x=2.5,(15+20)×2.5=87.5
会的有:48÷4=12(人);单会游泳的有:28-12= (千米)。
16(人),会骑自行车的有:48-16=32(人)。答:会
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