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2023年春期高中一年级期中质量评估
数学
试
题
注意事项：
1,本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两邮分，考生做题时将答案答在答题
卡的指定位置上，在本试卷上答题无效，
2.答题前，考生务必先将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上，
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0,5毫米的黑色中性（签字）笔或碳
素笔书写，字体工整，笔迹清楚
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
第I卷
选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.)
1.sin
A-9
B-号
C.2
2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=30°，a=3,b=4,则满足条件的三角
形有
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
烂
3.若a为第三象限角且sin(π-a)=
号则cos(
-a)=
A.-5
B.-g
c
D.
45
4.下列说法正确的是
A.斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角
翻
B.若向量a,b满足|a>|b且a,b同向，则a>b
C.若P,A,B三点满足O驴=OA+3O克，则P,A,B三点共线
D.将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为号
5,将函数y=os(3x十p)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到的函数的图象关于原点
对称，则φ的一个可能值为
A.-
7π
12
B.-
c
π
D.12
高一数学第1页（共4页）
6.已知函数f(x)=Aan(ar十p)(w>0,p<空)，y=f(x)
的部分图象如右图，则爱)一
A.2+√3
B.√3
c-9
D.-√3
7.在△ABC中，AC=BC=1,∠C=90°.P为AB边上的动点，则PB·PC的取值范围是
A.[-]
B.[-g1]
c.[-42
D.[-82]
8.在锐角三角形ABC中，下列结论正确的是
A.cos(cosC)>cos(sinB)
B.cos(sinA)>cos(cosB)
C.cos(sinC)>cos(cosB)
D.cos(sinA)>cos(cosA)
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9.下列四个命题为真命题的是
A.若向量a,b,c,满足a∥b,b∥c,则a∥c
B.若向量a=(1,-3),b=(2,6),则a、b可作为平面向量的一组基
C若向量a=5,0)b=4,3),则a在b上的投影向最为(9，号)
D.若向量m,n满足m=2,n=3,m·n=3,则m十n=√7
10.已知函数f(x)=号(sinx十cosx)-合sinx-cosx,则下面结论正确的是
A.f(x)的对称轴为x=至十kπ，k∈乙
B.f(x)的最小正周期为2元
C.f)的最大值为号，最小值为-】
D.f(x)在[，]上单调递减
11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车
(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为
“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，
△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,
Sc,则SA·OA+Sg·O克+Sc·OC=0.设O是锐
B
角△ABC内的一点，∠BAC,∠ABC,∠ACB分别
是△ABC的三个内角，以下命题正确的有
A.若OA+2O克+3OC=0,则SA:Sg:Sc=1:2:3
高一数学第2页（共4页）2023年春期高中一年级期中质量评估
数学参考答案
一、本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．
1-4 DCBA 5-8 CCBA
二、本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的给 5分，部分选对的给 2分,有选错的给 0分.
9 BC 10 ABC 11 AD 12 BCD
三、本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分.第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.

13. .（答案不唯一. 2k ,k Z中任意一个均可） 14. 2.
3 3
15. 20.5 . 16. 垂（2分）；5（3分）.
四、解答题（本大题共 6小题，共 70 分.）
17、（本小题满分 10分）

（1）当 a与b 同向时，夹角为 0，

所以 a b a b cos0 2 3 1 6 . …………3分
a

当 与b 反向时，夹角为 ，

所以 a b a b cos 2 3 1 6 . …………6分
a

（2）当 与b 为60 时， a b a
b cos60 1 2 3 3 .
2

所以 (2a b ) (a b ) 2a 2 a b b 2 8 3 9 2 …………10分
18、（本小题满分 12分）
（1）补充表格：
x 3 0 2
2 2
x 3 5 7
8 8 8 8 8
Asin( x ) 0 2 0 2 0
…………3分（每空 1分）
由最大值为 2，最小值为 2 ，可知 A 2 .
1
T 1 2 5
又 ,故 2
2 2 8 8 2

再根据五点作图法，可得 2 ,得 ，
8 2 4




8 2
（也可以由 解方程求出 ， ）


5 3

8 2
故 f (x) 2 sin(2x ) . …………6分
4
5
（2）令 t 2x ，则 t , .
4 4 4
5
所以 f (x) m 有两个根，转化为 2 sin t m在 t , 上有两个根. 4 4
即 sin t
m
t , 5 在 上有两个根.2 4 4
由 y sin t t

在 ,
5 2 m
的图像和性质可得： 1 , 4 4 2 2
所以1 m 2
故实数 m的取值范围为 1, 2 …………12分
（其他解法酌情给分）
19、（本小题满分 12分）
r
（1）因为 a 1,2cos x ，
r
所以 a 1 2cos x 2 1 4cos2 x .
因为 cos x 1，所以0 cos2 x 1
所以1 1 4cos2 x 5
r
所以 a 1, 5 …………6分
r r
（2）因为 a 1,2cos x ，b sin x, cos x ，
r r 2
所以 a b sin x 2cos2 x 2 2sin2 x sin x 2 sin x
1 17

4 8
2
r r
sin x 1 17所以当 时 a b取得最大值 …………12分4 8
20、（本小题满分 12分）
（1）∵ a 3,b 5,c 7 ∴角 C最大.
2 2 2 2 2 2
由余弦定理得： cos C a b c 3 5 7 1 .
2ab 2 3 5 2
又角 C为 ABC内角，
2
∴ C 3 .
…………4分
(2)在 ABC
1
中， S ac sin B
2
2 2 2
∵ sin 2 B cos2 B 1,且cosB a c b
2ac
∴
1 1 1 a 2 c2 2S ac sin B ac 1- cos 2B ac 1- ( b )2
2 2 2 2ac
1 a2 c2 b2
a2 2 2

c ( ) ，即证. …………10分4 2
当 a 3,b 5,c 7时，
1 2 2 a2 c2 b2 2 1 2a c ( ) = 32 72 (3 7
2 52 2 75 9 15 3
S= 4
)2 4 2
，
16 4
即 ABC 15 3面积为 . …………12分
4
21、（本小题满分 12分）
r ur
1 r ur（ ）因为 e b,c ， f sinC, sin B ， e / / f ,
所以b sin B c sinC .
b
由正弦定理可得b c
c
，所以
2R 2R b
2 c2
所以 ABC为等腰三角形. …………4分
r ur r ur
（2）因为 e b,c ， g c a,b a ， e g，
3
所以 b,c c a,b a 2bc a b c 0 . …………6分
因为 a 2，所以bc b c .

因为 a 2, A 2 2，由余弦定理可得： 4 b c 2bccos
…………8分
3 3
解得：b c 2 . …………10分
ABC S 1 bc sin A 1 3所以 的面积 ABC 4 3 . …………12分2 2 2
22、（本小题满分 12分）
（1）选择①②：
因为函数 f x 的图象过点 0,2 2 ，
所以 f 0 2cos 2 2 2 2，解得 cos ，因为0 ，所以 ，
2 2 4
1 1
因为函数 f x 的图象关于点 , 2 对称，则 k k Z ，
2 2 4 2
可得 2k k Z ，因为0 2，所以 k 0， 2 ，2
所以 f x 2cos x

2 . …………6分
2 4
选择①③：
若函数 f x 的图象过点 0,2 2 ，
所以 f 0 2cos 2 2 2 2，解得 cos ，因为0 ，所以 ，
2 2 4
因为函数 f x 相邻两个对称轴之间距离为 2，
T
2 2 4 所以 ，所以T 4， ，解得： 2 ，2
所以 f x 2cos x

2 . …………6分
2 4
选择②③：
因为函数 f x 相邻两个对称轴之间距离为 2，
T 2
所以 2，所以T 4， 4，解得： 2 ，2
1 1
若函数 f x 的图象关于点 , 2 对称，则 k k Z ，
2 2 2 2

可得 k k Z ，因为0 ，所以 k 0， ，
4 2 4
4
所以 f x 2cos x 2 . …………
2 4 6分
a 2,0 2a 3 5 , 3 （2）当 时，
2
，
2 2
x 5 , 3 x , x 令 ，则 ，记 m，
2 2 2 4 2 4
m 3 3 则 1 2a

a , ，m2 a

2
, ，
2 4 2 4 4 4
f 3 因为 2a f (a)，2 y 2cosm 2在m , 轴对称

所以 m1 m2 ，即 a a ，2 4
a 1 2
所以 1 a 2 2 ，即12a 28a 15 0， 2a 3 6a 5 0，
2 4
3 5
解得： a .
2 6
3 5
所以实数 a的范围是： , . …………
2 6 12分
5

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