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第七章 随机变量及其分布
7.5 正态分布
学案
一、学习目标
1. 通过误差模型，了解正态曲线、正态分布的概念；
2. 通过借助具体实例的频率分布直方图，了解正态分布的特征及曲线表示的含义；
3. 了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题.
2、 基础梳理
1.连续型随机变量：有些问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
2.正态分布：我们称，，为参数)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布.
3.正态曲线的特点：
（1）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（2）曲线在处达到峰值；
（3）当无限增大时，曲线无限接近x轴.
4.若，则.
5.原则：在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则.
三、巩固练习
1.设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.对任意正数t，
D.对任意正数t，
2.已知随机变量，且，则( )
A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.9
3.已知随机变量且，则( )
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
4.已知随机变量X服从正态分布，且，则( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
5.设随机变量，已知，则( )
A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975
6.（多选）已知甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.乙类水果质量的均值比甲类水果质量的均值小
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量分布更集中
C.甲类水果质量的均值比乙类水果质量的均值小
D.乙类水果的质量比甲类水果的质量分布更集中
7. （多选）已知随机变量X服从正态分布,则下列结论正确的是( )
(若随机变量Y服从正态分布,则,,)
A. B. C. D.
8. （多选）设随机变量，其中，则下列等式成立的有( )
A. B.
C. D.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由正态密度曲线的性质可知，
、的密度曲线分别关于、对称，
因此结合所给图像可得，
；
又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，
所以，；
故A、B错误.
由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数t，
.故C正确，D错误.故选：C.
2.答案：A
解析：因为，所以，所以，故选A.
3.答案：D
解析：由正态分布性质知，所以
.
4.答案：D
解析：∵随机变量X服从正态分布，
∴正态曲线关于直线对称，又，
，故选D.
5.答案：C
解析：本题考查服从标准正态分布的随机变量的概率计算.
，选C.
6.答案：BC
解析：由图像可知，甲类水果质量的均值，乙类水果质量的均值，且，则B,C正确，A,D不正确.故选BC.
7.答案：ABC
解析：随机变量X服从正态分布，
正态曲线关于直线对称，
根据题意可得，，，
，故C正确；
,
故D错误.易知A,B都正确.故选ABC.
8.答案：AC
解析：∵随机变量X服从正态分布，
∴正态曲线关于直线对称，
∵，
∴根据正态曲线的对称性可得，所以A正确；
，所以B错误；
，所以C正确；
或，所以D错误.故选AC.
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