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第七章 复数
7.1复数的概念
（1）我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位.全体复数所构成的集合叫做复数集.复数通常用字母表示，即.其中与分别叫做复数的实部与虚部.
（2）与相等当且仅当且.
（3）对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫做虚数；当且时，它叫做纯虚数.
（3）实数集是复数的真子集，即.
实数（）
复数
虚数（当时为纯虚数）.
（4）复数可用点表示，建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
（5）复数的模或绝对值，记作或.即.
（6）当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.复数的共轭复数用表示，即如果，那么.
复数的虚部是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】复数的虚部是-1.
故选: A.
复数的实部是（ ）
A．2 B．
C． D．0
【答案】A
【详解】由题意，可得复数的实部是，
故选：A.
若复数的实部与虚部之和为0，
则的值为（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】A
【详解】由复数的实部与虚部之和为0，
得，即．
故选：A
已知的实部与虚部相等，
则实数（ ）
A．2 B．
C．3 D．
【答案】D
【详解】由题可知，
解得.
故选：D．
已知是虚数单位，则-的实部为（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】D
【详解】根据，可知其实部为.
故选：D．
若，其中，是虚数单位，则复
数的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，故，故复数的虚部为2
故选：D
已知，其中是实数，
是虚数单位，则（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【详解】由题意得，
所以，得，
所以.
故选：A
设，其中为实数，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，
故，解得，.
故选：A.
若为纯虚数，则实数的值为
（ ）
A．0 B．2
C． D．
【答案】C
【详解】令，得，时，，所以.
故选：C.
已知是虚数单位，则复数的虚部是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】复数的实部是1，虚部是.
故选：B
已知，若是纯虚数（是
虚数单位），则（ ）
A．或1 B．0
C． D．0或1
【答案】C
【详解】是纯虚数，
且，
解得，
故选：C
设，复数
，若为纯虚数，则（ ）
A．3或 B．3
C．或 D．
【答案】B
【详解】解：因为复数为纯虚数，
所以，解得.
故选：B
已知复数满足
，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不充要条件
【答案】C
【详解】当z为纯虚数时，即，故“”是“z为纯虚数”的充分必要条件．
故选：C．
已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的
点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】在复平面所对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
若复数，则在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】由于复数，则z在复平面内对应的点为，
该点在第四象限，
故选：D
在复平面内，复数对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
复数对应的点在第三象限内，
则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．无解
【答案】C
【详解】解：化简可得：复数，
因为其对应的点在第三象限内，所以，解得．
故选：C.
已知复数（其中为虚数单位）
在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得.
故选：D.
已知复数满足，则共轭复数在复平面内
对应的点在（ ）
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
【答案】A
【详解】由得，
其在复平面内对应的点为，在第四象限，
故选：A.
已知（虚数单位）， 则的共轭复
数的虚部为（ ）
A．2 B．
C．3 D．
【答案】C
【详解】由题设，故其虚部为3.
故选：C
设复数，则的共轭复数的虚部为
（ ）
A．1 B．-1
C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，所以虚部是.
故选：B
若复数满足，则复数的虚部为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设，则，
因为，则，所以，，解得，
因此，复数的虚部为.
故选：B.
若复数满足，则（ ）
A．1 B．5
C．7 D．25
【答案】B
【详解】因为复数满足，故，
故选：B
复数（为虚数单位），则（ ）
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【详解】由已知．
故选：D．
在复平面内，复数对应的点
位于第四象限，且，则（ ）
A． B．
C．2 D．
【答案】D
【详解】由复数的模的定义及，得，解得．
又在复平面内，复数z所对应的点位于第四象限，
∴，∴，
故选：D．
已知复数则，则正确的是（ ）
A． B．的实部为
C．的虚部为 D．的共轭复数为
【答案】D
【详解】，，A选项错误.
的实部为，虚部为，BC选项错误.
的共轭复数为，D选项正确.
故选：D
已知为虚数单位，复数且
，在复平面内的对应点位于第四象限，则的虚部为___________.
【答案】
【详解】，
，解得，
在复平面内的对应点位于第四象限，，.
故答案为：.
课后练习
已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数（ ）
A．-1或6 B．2或3
C．2 D．6
【答案】A
【详解】因复数为纯虚数，则，解得或，
所以实数m的值是-1或6.
故选：A
复数（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B．6
C．3 D．
【答案】B
【详解】因为复数（i为虚数单位）
所以其虚部为6.
故选：B.
已知复数满足，则的虚部是（ ）
A． B．4
C． D．
【答案】A
【详解】因为复数满足，
所以复数的虚部为.故B，C，D错误.
故选：A.
若复数是纯虚数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为复数是纯虚数，则，解得.
故选：A.
复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选：B.
已知复数，则复数在复平面内对应点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】依题意，对应复平面的点是，在第一象限.
故选：A
已知为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1 B．
C．1或 D．或0
【答案】A
【详解】因为是纯虚数，所以，解得.
故选：A.
若复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为
B．的共轭复数为
C．在复平面内对应的点在第三象限
D．
【答案】D
【详解】因为则，故D对，B错，的虚部是1，对应的点为，在第二象限，故A,C错误.
故选：D
已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，所以，所以的虚部为；
故选：B
已知复数，则复数的实部为___________.
【答案】
【详解】解：
所以复数的实部为；
故答案为：
若复数是纯虚数，则实数的值为_____________．
【答案】4
【详解】,
∵复数是纯虚数，
∴，∴，
故答案为：4
复数的模为，则实数________
【答案】或.
【详解】，
，
解得或.
故答案为：或.
已知复数为纯虚数，则______.
【答案】4
【详解】因为复数z为纯虚数，则，解得.
所以，
所以.
故答案为：4.
若是纯虚数，则复数的实部与虚部的和是______________．
【答案】
【详解】解：因为z是纯虚数，所以,解得，
从而复数z的实部与虚部分别是0和，其和是．
故答案为：-2.
已知复数的实部大于虚部，则的取值范围为________．
【答案】
【详解】由已知可得，即，
解得或．
因此，的取值范围是．
故答案为：．
复数的虚部的平方是_________________．
【答案】1
【详解】解：复数的虚部为，则其平方为1．
故答案为：1.
设，若是纯虚数，则________．
【答案】
【详解】因为是纯虚数，
所以，解得．
故答案为：.
已知为虚数单位．若复数为纯虚数，则实数______．
【答案】或
【详解】因为复数为纯虚数，则，解得或.
故答案为：或.
设，且，则________．
【答案】
【详解】由题意知：，解得：，.
故答案为：.
已知复数．
(1)若是纯虚数，求实数的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围．
【答案】(1)m=0
(2)（0，1）
【详解】
（1）
若复数是纯虚数，则，解得或且，，所以.
（2）
复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，故的取值范围为.
已知复数，其中为虚数单位.若满足下列条件，求实数的值：
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)在复平面内对应的点在直线上.
【答案】(1)；
(2)；
(3)或.
【详解】
（1）
为实数，，解得：；
（2）
为纯虚数，；
（3）
在复平面内对应的点在直线上，
或.
已知复数，为虚数单位，．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面上表示复数的点位于第二象限，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
因为复数z为纯虚数，所以，解得m=5.
（2）
因为在复平面上表示的点位于第二象限，所以，
解得3已知复数．
(1)当复数是纯虚数时，求实数的值；
(2)若复数对应的点在直线上，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
由题意有即，解得，
所以当时，复数z纯虚数．
（2）
由题意复数z对应的点在直线上，
则有，解得，
所以当时，复数z对应的点在上．
设复数，其中，当取何值时，
(1)；
(2)是纯虚数；
(3)是零．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【详解】（1）
若，则，解得：或.
（2）
若是纯虚数，则，解得：.
（3）
若是零，则，解得：.
（1）已知复数的实部为3，模为5，求复数；
（2）实数取什么值时，复数是①实数；②虚数；③纯虚数？
【答案】（1）或；（2）①；②；③.
【详解】（1）由已知得，
，
解得，
则或.
（2）①当，即时，复数为实数；
②当，即时，复数为虚数；
③当时，即时，复数为纯虚数.第七章 复数
7.1复数的概念
（1）我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位.全体复数所构成的集合叫做复数集.复数通常用字母表示，即.其中与分别叫做复数的实部与虚部.
（2）与相等当且仅当且.
（3）对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫做虚数；当且时，它叫做纯虚数.
（3）实数集是复数的真子集，即.
实数（）
复数
虚数（当时为纯虚数）.
（4）复数可用点表示，建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
（5）复数的模或绝对值，记作或.即.
（6）当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.复数的共轭复数用表示，即如果，那么.
复数的虚部是（ ）
A． B．
C． D．
复数的实部是（ ）
A．2 B．
C． D．0
若复数的实部与虚部之和为0，
则的值为（ ）
A．2 B．
C． D．
已知的实部与虚部相等，
则实数（ ）
A．2 B．
C．3 D．
已知是虚数单位，则-的实部为（ ）
A． B．
C． D．2
若，其中，是虚数单位，则复
数的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
已知，其中是实数，
是虚数单位，则（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
设，其中为实数，则
（ ）
A． B．
C． D．
若为纯虚数，则实数的值为
（ ）
A．0 B．2
C． D．
已知是虚数单位，则复数的虚部是
（ ）
A． B．
C． D．
已知，若是纯虚数（是
虚数单位），则（ ）
A．或1 B．0
C． D．0或1
设，复数
，若为纯虚数，则（ ）
A．3或 B．3
C．或 D．
已知复数满足
，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不充要条件
已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的
点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
若复数，则在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
在复平面内，复数对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
复数对应的点在第三象限内，
则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．无解
已知复数（其中为虚数单位）
在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
已知复数满足，则共轭复数在复平面内
对应的点在（ ）
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
已知（虚数单位）， 则的共轭复
数的虚部为（ ）
A．2 B．
C．3 D．
设复数，则的共轭复数的虚部为
（ ）
A．1 B．-1
C． D．
若复数满足，则复数的虚部为
（ ）
A． B．
C． D．
若复数满足，则（ ）
A．1 B．5
C．7 D．25
复数（为虚数单位），则（ ）
A．1 B．
C． D．
在复平面内，复数对应的点
位于第四象限，且，则（ ）
A． B．
C．2 D．
已知复数则，则正确的是（ ）
A． B．的实部为
C．的虚部为 D．的共轭复数为
已知为虚数单位，复数且
，在复平面内的对应点位于第四象限，则的虚部为___________.
课后练习
已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数（ ）
A．-1或6 B．2或3
C．2 D．6
复数（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B．6
C．3 D．
已知复数满足，则的虚部是（ ）
A． B．4
C． D．
若复数是纯虚数，则（ ）
A． B．
C． D．
复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
已知复数，则复数在复平面内对应点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
已知为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1 B．
C．1或 D．或0
若复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为
B．的共轭复数为
C．在复平面内对应的点在第三象限
D．
已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（ ）
A．2 B．
C． D．
已知复数，则复数的实部为___________.
若复数是纯虚数，则实数的值为_____________．
复数的模为，则实数________
已知复数为纯虚数，则______.
若是纯虚数，则复数的实部与虚部的和是______________．
已知复数的实部大于虚部，则的取值范围为________．
复数的虚部的平方是_________________．
设，若是纯虚数，则________．
已知为虚数单位．若复数为纯虚数，则实数______．
设，且，则________．
已知复数．
(1)若是纯虚数，求实数的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围．
已知复数，其中为虚数单位.若满足下列条件，求实数的值：
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)在复平面内对应的点在直线上.
已知复数，为虚数单位，．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面上表示复数的点位于第二象限，求的取值范围．
已知复数．
(1)当复数是纯虚数时，求实数的值；
(2)若复数对应的点在直线上，求实数的值．
设复数，其中，当取何值时，
(1)；
(2)是纯虚数；
(3)是零．
（1）已知复数的实部为3，模为5，求复数；
（2）实数取什么值时，复数是①实数；②虚数；③纯虚数？

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