资源简介

第八章 立体几何初步
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1平面
（1）平面：向四周无限延展.
（2）基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，即“不共线的三点确定一个平面”.
点在直线上，记作；点在直线外，记作；点在平面内，记作；点在平面外，记作.
（3）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
且.
（4）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
且，且.
（5）推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
（1）空间中两条直线的位置关系：
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点
共面直线
平行直线：在同一平面内，没有公共点.
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
（2）空间中直线与平面的位置关系：
①直线在平面内——有无数个公共点；
②直线与平面相交——有且只有一个公共点；
③直线与平面平行——没用公共点.
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外.
（3）空间中平面与平面的位置关系：
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线.
下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定四个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
有下列三个判断，正确的个数为（ ）
①两条相交的直线确定一个平面；
②两条平行的直线确定一个平面；
③一条直线和直线外一点确定一个平面.
A．0 B．1
C．2 D．3
下列四个命题中的真命题是（ ）
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
下列说法中错误的是（ ）
A．经过两条平行直线，有且只有一个平面
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．平面与平面相交，它们只有有限个公共点
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
一条直线和直线外的三点所确定的平面有
（ ）
A．1个或3个
B．1个或4个
C．1个，3个或4个
D．1个，2个或4个
（多选）下列说法正确的是（ ）
A．梯形的四个顶点共面
B．三条平行直线共面
C．有三个公共点的两个平面重合
D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.
已知为平面，为点，为直
线，下列推理中错误的是（ ）
A．，则
B．，则直线，直线
C．，则
D．，且不共线，则重合
已知表示不同的点，表示直线，
表示不同的平面，则下列推理中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．，
已知平面与平面，都相交，则这三个平面可
能的交线有(　　)
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
（多选）若一条直线与两个平行平面中的一个
平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交
C．直线在平面内 D．相切
下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以
下判断：①与平行；②与是异面直线；③与垂直；④与是异面直线．则判断正确的个数是（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶
点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线与是异面直线的是（ ）
A．①④ B．②③
C．①② D．③④
若异面直线分别在平面内，且
，则直线（ ）
A．与直线都相交
B．至少与中的一条相交
C．至多与中的一条相交
D．与直线中的一条相交，与另一条平行
下列命题正确的为（ ）
A．两条直线确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点
D．若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线
（多选）下列四个命题中正确的是（ ）
A．若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面
B．若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面
C．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
D．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
在正方体中，分别为
上的点，且，求证：点三点共线.
如图，已知的三个顶点都不在平面
内，它的三边延长后分别交平面于点,求证：三点在同一条直线上．
如图所示，在四边形中，已知
，直线分别与平面相交于点．求证：四点共线．
如图，在空间四边形中，分别是和
上的点，分别是和上的点，若与相交于点.
求证：三条直线相交于同一点.
如图，在三棱柱中，
，．求证：直线相交于一点．
如图，已知平面，且.若梯形
中，，且.求证：共点（相交于一点）.
如图所示，在正方体中，
分别是的中点．
(1)求证：三线交于点；
(2)在（1）的结论中，是上一点，若交平面于点，求证：三点共线．
课后练习
下列命题：①书桌面是平面；②有一个平面的长是50m，宽为20m；③平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为______．
现有下列说法：①平静的太平洋是一个平面；②铺得很平的一张白纸是一个平面；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的面积可以等于.其中正确的说法个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
下列说法正确的序号有___________
①平面的厚度是5cm；②经过一条直线和一个点确定一个平面
③三条两两相交的直线一定在同一个平面内；
④直线l与平面有两个公共点的，则
下列命题中，正确的个数是（ ）．
①梯形的四个顶点在一个平面内；
②四条线段首尾相连构成平面图形；
③一条直线和一个点确定一个平面；
④两个不重合的平面若有公共点，则这些公共点都在一条直线上．
A． B．
C． D．
下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；
②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线，若与共面，与共面，则与共面；④若直线上有一点在平面外，则在平面外.其中错误命题的个数是（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
以下四个命题：①梯形一定是平面图形；②一点和一条直线可确定一个平面；③两两相交的三条直线可确定一个平面；④如果平面外有两点，它们到平面的距离都是，则直线平面．其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和该直线外一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两条直线确定一个平面
下列条件中不能确定一个平面的是（ ）
A．不共线三点 B．两条相交直线
C．两条平行直线 D．四边形
（多选）下列叙述中正确的是（ ）
A．三点能确定一个平面
B．若点且，则
C．若直线，则直线与直线能够确定一个平面
D．若点，且，则
“直线经过平面外一点”用符号表示为：______．
如果一条直线上的两点在平面上，那么直线在平面上的符号表示为______.
根据图，填入相应的符号：
______平面；
______平面；
______平面．
点与直线和平面之间的位置关系
文字语言 符号语言
点A在直线l上（或直线l经过点A） ______
点A不在直线l上（或直线l不经过点A） ______
点A在平面上（或平面经过点A） ______
点A不在平面上（或平面不经过点A） ______
在空间中，下列说法：
（1）不相交的直线是平行直线；
（2）两个平面的交点个数只可能是1个或者无穷多个；
（3）四边相等的四边形是菱形；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等．
其中正确的序号是_____________．
异面直线指的是（ ）
A．两条不相交的直线
B．两条不平行的直线
C．不同在某个平面内的两条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
如图是一个空间四边形，判断下列两直线的关系：
（1）直线与直线的位置关系是______；
（2）直线与直线的位置关系是______；
（3）直线与直线的位置关系是______．
根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．
(1)，；
(2)，，；
(3)，，，．
（多选）若直线和是异面直线，平面，平面，，那么下列说法中不正确的有（ ）
A．l至少与和中的一条相交
B．l与和都相交
C．l至多与和中的一条相交
D．l与和都不相交
如图，已知，求证：直线共面．
如图，已知，，，，；求证：.
已知是空间五个点，且线段和两两相交，求证：这五个点在同一平面上．
如图，在正方体中，对角线与平面交于点，交于点为的中点，为的中点．求证：
(1)三点共线；
(2)三线共点．第八章 立体几何初步
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1平面
（1）平面：向四周无限延展.
（2）基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，即“不共线的三点确定一个平面”.
点在直线上，记作；点在直线外，记作；点在平面内，记作；点在平面外，记作.
（3）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
且.
（4）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
且，且.
（5）推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
（1）空间中两条直线的位置关系：
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点
共面直线
平行直线：在同一平面内，没有公共点.
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
（2）空间中直线与平面的位置关系：
①直线在平面内——有无数个公共点；
②直线与平面相交——有且只有一个公共点；
③直线与平面平行——没用公共点.
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外.
（3）空间中平面与平面的位置关系：
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线.
下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定四个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】D
【详解】
对于①，经过不共线的三点确定一个平面，故①不正确；
对于②，因为梯形的两底边平行，经过两条平行直线确定一个平面，故②正确；
对于③，当三条直线交于不同的三点时，三条直线只确定一个平面；当三条直线交于一点，时，三条直线最多确定三个平面，故③不正确；
对于④，当两个平面的三个公共点在一条直线上时，这两个平面相交于这条直线，不一定重合，故④不正确.
故正确命题的个数只有一个.
故选：D
有下列三个判断，正确的个数为（ ）
①两条相交的直线确定一个平面；
②两条平行的直线确定一个平面；
③一条直线和直线外一点确定一个平面.
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【详解】
①正确，如图（1）所示，l1∩l2＝P，分别在l1，l2上取点R，Q，则易知P、Q、R三点不共线，故三点必确定一个平面，故l1与l2必确定一个平面.②正确，如图（2），在l1上任取一点P，在l2上任取两点Q，R，显然P，Q，R三点不共线，故可确定一个平面，故②正确，同理可证③正确.
下列四个命题中的真命题是（ ）
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
【答案】D
【详解】对于A，B，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故A，B错误，
对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误，
对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确，
故选：D
下列说法中错误的是（ ）
A．经过两条平行直线，有且只有一个平面
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．平面与平面相交，它们只有有限个公共点
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】C
【详解】对于A，由不在同一直线上的三个点确定唯一平面，故A正确；
对于B，由两条相交直线确定唯一平面，由题意，第三条直线与相交的两条直线分别相交于两个不同的点，根据直线上两个不同点在一个平面内，该直线也在平面内，故B正确；
对于C，由平面与平面相交，则两平面一定相交于一条直线，在该直线上存在无数个点，故C错误；
对于D，由平面相交公理，可得D正确.
故选：C.
一条直线和直线外的三点所确定的平面有
（ ）
A．1个或3个
B．1个或4个
C．1个，3个或4个
D．1个，2个或4个
【答案】C
【详解】若三点在同一条直线上， 且与已知直线平行或相交，即该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；
若三点中有两点的连线和已知直线平行时可确定3个平面；
若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面，
故选：C
（多选）下列说法正确的是（ ）
A．梯形的四个顶点共面
B．三条平行直线共面
C．有三个公共点的两个平面重合
D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.
【答案】AD
【详解】梯形是平面图形，四个顶点共面，A正确；三条平行直线可以确定1个或3个平面，B错误；若这三个点共线，则两个平面相交，故C错误；若三条直线交于一点，可以确定3个平面，若三条直线交于三点，可以确定1个平面，D正确.
故选：AD
已知为平面，为点，为直
线，下列推理中错误的是（ ）
A．，则
B．，则直线，直线
C．，则
D．，且不共线，则重合
【答案】C
【详解】对于A选项，，，，，由基本事实2可知，A对；
对于B选项，，，则直线，同理可知，直线，B对；
对于C选项，，，则为平面、的一个公共点，
但平面、相交于过点的一条直线，而不是点，C错；
对于D选项，、、，且、、不共线，则、、可确定平面，
同理可知，、、可确定平面，故、重合，D对.
故选：C.
已知表示不同的点，表示直线，
表示不同的平面，则下列推理中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．，
【答案】C
【详解】对于A，表示既在直线上，也在平面内，故，
故A正确.
对于B，表示既在平面内，也在平面内，
故，故B正确.
对于C，表示或有一个交点，若该交点为，则，故C错误.
对于D，表示有一个公共点，而表示或有一个交点，
故，故D正确.
故选：C.
已知平面与平面，都相交，则这三个平面可
能的交线有(　　)
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
【答案】D
【详解】由题意，当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；
当平面和平行时，它们的交线有2条；
当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线；
故选：D.
（多选）若一条直线与两个平行平面中的一个
平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交
C．直线在平面内 D．相切
【答案】AC
【详解】如图1所示，与平行，，而直线在平面内，
如图2所示，与平行，，而.
综上：若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平面内.
故选：AC
下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以
下判断：①与平行；②与是异面直线；③与垂直；④与是异面直线．则判断正确的个数是（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【详解】把平面展开图折起，得到如图所示的正方体,
则BF与DN是异面直线，故①错误；
CM与BN平行，故②错误；
由题可知，所以DF与BN垂直，故③正确；
AE与DN是异面直线，故④正确；
故正确个数为2．
故选：B.
将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶
点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线与是异面直线的是（ ）
A．①④ B．②③
C．①② D．③④
【答案】A
【详解】①对应图1，是平面外一点，在平面内，且不在直线上，因此与是异面直线，①正确；
②对应图2，重合，与是相交直线，②错；
③对应图3，由于由中位线定理得，都与棱平等，从而，③错；
④与图1类似得与是异面直线，④正确．
故选：A．
若异面直线分别在平面内，且
，则直线（ ）
A．与直线都相交
B．至少与中的一条相交
C．至多与中的一条相交
D．与直线中的一条相交，与另一条平行
【答案】B
【详解】异面直线分别在平面，内，且，则直线l不能与都不相交，
假设直线与直线都不相交，因，则，又，则，
因此与是异面直线矛盾，所以直线至少与中的一条相交，B正确；
如图1，直线可以与直线都相交，C，D错误；如图2，直线可以与直线中的一条相交，与另一条平行，A错误.
下列命题正确的为（ ）
A．两条直线确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点
D．若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线
【答案】D
【详解】选项A：两条直线的关系可以分为相交、平行、异面，两条异面直线不能确定一个平面，A错误.
选项B：当点在直线上时，则不能确定一个平面，B错误.
选项C：直线和平面的关系分为线在面内、线面平行、线面相交，当线面相交时，有一个公共点，C错误.
选项D：两条直线的关系可以分为相交、平行、异面，若两条直线没有公共点，则这两条直线是平行直线或异面直线，D正确.
故选：D.
（多选）下列四个命题中正确的是（ ）
A．若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面
B．若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面
C．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
D．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
【答案】ABC
【详解】公理2的推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，选项A正确；
公理2的推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面，选项B正确；
空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则由公理2的推论1：直线与直线外一点确定一个平面，这空间四点共面，所以选项C正确；
若两条直线没有公共点，可以互相平行，不一定是异面直线，选项D错误.
故选：ABC
在正方体中，分别为
上的点，且，求证：点三点共线.
【答案】证明见解析
【详解】
如图所示：
因为，且平面，
所以平面，
同理平面，从而点在两个平面的交线上，
因为平面平面，
所以成立，即证：点三点共线.
如图，已知的三个顶点都不在平面
内，它的三边延长后分别交平面于点,求证：三点在同一条直线上．
【答案】证明见解析
【详解】证明：由已知的延长线交平面于点，
根据公理3，平面与平面必相交于一条直线，设为直线l，
因为直线，所以平面，
又因为，所以平面，所以是平面与平面的公共点．
因为平面，所以．
同理可得：且．
所以三点在同一条直线上．
如图所示，在四边形中，已知
，直线分别与平面相交于点．求证：四点共线．
【答案】见解析
【详解】
证明：∵，∴，确定一个平面．
又∵，，∴，，
即为平面与的一个公共点．
同理可证，，均为平面与的公共点．
∵两个平面有公共点，∴它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
如图，在空间四边形中，分别是和
上的点，分别是和上的点，若与相交于点.
求证：三条直线相交于同一点.
【答案】证明见解析
【详解】因为EH与FG相交于点K，
所以K∈EH，
因为EH 平面ABD，
所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，
而平面ABD∩平面CBD＝BD，
因此K∈BD，
所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
如图，在三棱柱中，
，．求证：直线相交于一点．
【答案】证明见解析
【详解】如图，连接PQ．
由，，得，且．
又，
∴，且，
∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交．设交点为R，则，．
又平面，且平面，
∴平面，且平面，
∴R在平面与平面的交线上，即，
∴直线，BP，CQ相交于一点．
如图，已知平面，且.若梯形
中，，且.求证：共点（相交于一点）.
【答案】证明见解析.
【详解】
因为梯形中，，所以是梯形的两腰.
所以直线必相交于一点.
设直线直线.
又因为，所以.
所以.
又因为，所以，
即共点（相交于一点）.
如图所示，在正方体中，
分别是的中点．
(1)求证：三线交于点；
(2)在（1）的结论中，是上一点，若交平面于点，求证：三点共线．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【详解】（1）
证明：连接，，
正方体中，E，F分别是的中点，
∴且，
∵且，
∴且，
∴EC与相交，设交点为P，
∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；
又∵，平面，∴平面，
∴P为两平面的公共点，
∵平面平面，∴，
∴三线交于点P；
（2）
在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H，
则FH平面，∴平面，又平面ABCD，
∴平面平面ABCD，
同理，平面平面ABCD，
平面平面ABCD，
∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，
∴P，E，H三点共线．
课后练习
下列命题：①书桌面是平面；②有一个平面的长是50m，宽为20m；③平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为______．
【答案】1
【详解】平面是无限延展的，没有长度、厚度，通常用平行四边形表示平面，但平面不是平行四边形．题中只有③正确．
故答案为：1．
现有下列说法：①平静的太平洋是一个平面；②铺得很平的一张白纸是一个平面；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的面积可以等于.其中正确的说法个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A
【详解】在立体几何中，平面是无限延展的，所以，①②④错误；
通常我们画一个平行四边形来表示平面，但并不说明平面就是平行四边形，③错；
故选：A.
下列说法正确的序号有___________
①平面的厚度是5cm；②经过一条直线和一个点确定一个平面
③三条两两相交的直线一定在同一个平面内；
④直线l与平面有两个公共点的，则
【答案】④
【详解】由平面的概念知平面无宽窄，无厚度，故①错误；根据经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面知②错误；当三条直线交于一点时，可不在同一平面内，故③错误；根据如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内知④正确.
故答案为：④
下列命题中，正确的个数是（ ）．
①梯形的四个顶点在一个平面内；
②四条线段首尾相连构成平面图形；
③一条直线和一个点确定一个平面；
④两个不重合的平面若有公共点，则这些公共点都在一条直线上．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
①中，梯形是平面图形，故①正确；
②中，四条线段首尾相连构成空间四边形，②错误；
③中，点在直线上时可确定无数个平面，③错误；
④中，两个不重合的面要么平行，要么相交，④正确．
故选．
下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；
②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线，若与共面，与共面，则与共面；④若直线上有一点在平面外，则在平面外.其中错误命题的个数是（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【详解】
在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；
在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，
若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；
在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，
如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；
在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确.
故选：C
以下四个命题：①梯形一定是平面图形；②一点和一条直线可确定一个平面；③两两相交的三条直线可确定一个平面；④如果平面外有两点，它们到平面的距离都是，则直线平面．其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【详解】
解：对于①，梯形一定是平面图形，是真命题；
对于②，当这一点在这一条直线上时，不能确定一个平面，是假命题；
对于③，两两相交，且交于一点的三条直线不一定能确定一个平面，是假命题；
对于④，如果平面外有两点A，B位于平面两侧时，不满足，是假命题．
故正确的命题个数为1个.
故选：B
下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和该直线外一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两条直线确定一个平面
【答案】B
【详解】不共线的三点确定一个平面，A错误；
易知B正确；
空间四边形无法确定一个平面，C错误；
两条相交直线或平行直线确定一个平面，D错误.
故选：B.
下列条件中不能确定一个平面的是（ ）
A．不共线三点 B．两条相交直线
C．两条平行直线 D．四边形
【答案】D
【详解】A、B、C：由共面公理，三个不共线的点可以确定一平面、两条相交直线或平行直线都可以确定一个平面；
D：四边形有平面四边形和空间四边形，故不一定能确定一个平面.
故选：D
（多选）下列叙述中正确的是（ ）
A．三点能确定一个平面
B．若点且，则
C．若直线，则直线与直线能够确定一个平面
D．若点，且，则
【答案】BCD
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B，若点且，则由公理二知，故B正确；
对于C，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确；
对于D，若点，且，则由公理一知l α，D正确.
故选：BCD．
“直线经过平面外一点”用符号表示为：______．
【答案】，
【详解】“直线经过平面外一点”用符号表示为，
故答案为: ，
如果一条直线上的两点在平面上，那么直线在平面上的符号表示为______.
【答案】
【详解】如果一条直线l上的两点在平面α上，那么直线l在平面α上的符号表示为：，
故答案为：
根据图，填入相应的符号：
______平面；
______平面；
______平面．
【答案】
【详解】略
点与直线和平面之间的位置关系
文字语言 符号语言
点A在直线l上（或直线l经过点A） ______
点A不在直线l上（或直线l不经过点A） ______
点A在平面上（或平面经过点A） ______
点A不在平面上（或平面不经过点A） ______
【答案】
【详解】略
在空间中，下列说法：
（1）不相交的直线是平行直线；
（2）两个平面的交点个数只可能是1个或者无穷多个；
（3）四边相等的四边形是菱形；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等．
其中正确的序号是_____________．
【答案】（4）
【详解】对于（1），在空间不相交的直线是平行直线或异面直线，故错误；
对于（2），两个平面有一个公共点，一定会交于过此点的一条直线，故错误；
对于（3），把一个菱形沿对角线翻折后成一空间四边形，其两组对边相等，
四边也相等，但它是空间四边形，不是菱形，故错误；
对于（4），两条对角线互相平分时，一定相交，所以四边形是平面图形，
对角线互相平分的平面四边形是平行四边形，故正确；
对于（5），若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故错误；
故答案为：（4）
异面直线指的是（ ）
A．两条不相交的直线
B．两条不平行的直线
C．不同在某个平面内的两条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
【答案】D
【详解】由异面直线定义知：异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.
故选：D.
如图是一个空间四边形，判断下列两直线的关系：
（1）直线与直线的位置关系是______；
（2）直线与直线的位置关系是______；
（3）直线与直线的位置关系是______．
【答案】 异面 异面 异面
【详解】略
根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．
(1)，；
(2)，，；
(3)，，，．
【答案】(1)详情见解析
(2)详情见解析
(3)详情见解析
【详解】（1）（2）（3）根据空间中点、线、面的位置关系画出图形.
（1）
解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示：
（2）
解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示：
．
（3）
解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示：
（多选）若直线和是异面直线，平面，平面，，那么下列说法中不正确的有（ ）
A．l至少与和中的一条相交
B．l与和都相交
C．l至多与和中的一条相交
D．l与和都不相交
【答案】BCD
【详解】对于A． “l至少与和中的一条相交”正确，假如l与、都不相交；
∵l与、都共面；
∴l与、都平行；
∴与平行，所以与共面，这样便不符合已知的与异面；
∴该选项正确．
对于B．l可以与和中的一条相交，如图：
∴该选项错误；
对于CD．l可以和和都相交，如下图：
，
∴CD错误；
故选：BCD．
如图，已知，求证：直线共面．
【答案】证明见解析.
【详解】因点，则由点D和直线l确定一个平面，有，而，则，
显然，于是，同理，，即直线都在平面内，
所以直线共面.
如图，已知，，，，；求证：.
【答案】证明见解析
【详解】证明:因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，
所以直线a β，点P∈β.
因为P∈b，b α，所以P∈α.
又因为a α，，所以α与β重合，所以PQ α.
已知是空间五个点，且线段和两两相交，求证：这五个点在同一平面上．
【答案】证明见解析
【详解】证明：设，，
∵，∴，确定一个平面．
∵，∴，同理．
∴直线即直线，∴，．
∴，，，，这五个点在同一平面上．
如图，在正方体中，对角线与平面交于点，交于点为的中点，为的中点．求证：
(1)三点共线；
(2)三线共点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
∵平面，∴，平面；
又∵平面，∴平面；
∵、交于点M，∴，；
又平面，平面，
∴平面，平面；
又平面，平面；
∴、、三点在平面与平面的交线上，
∴、、三点共线；
（2）
∵平面平面，
设与交于一点P，则：，平面，
∴平面，同理，平面，
∴平面平面，
∴直线、、三线交于一点P，即三线共点.

展开更多......

收起↑