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函数单调性深度学习进阶专题
一.知识点与方法归纳
1.函数单调性概念
一般地，设函数的定义域为，区间:
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
2.一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0的求解过程
（1）化正：将二次项系数化为正数（不等式性质）
（2）判根：判断对应方程是否有根，有根则进行第 3 步，无根则进行第 4 步.
（3）求根：求出对应方程的根（因式分解；求根公式）
（4）写解集：写出不等式的解集
3、单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）、，
（2）、，
（3）、，
（4）、，
4、双变量不等式与等式
一般地，已知函数，
1、不等关系
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
二、典例选讲
1.求函数的单调区间
例1．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
例2．已知函数，下列属于函数单调递减区间的是（ ）
A．（1，2] B．[-10，-4) C．(-4，0) D．(0，4)
【跟踪练习】
1．函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的递增区间是( )
A． B． C． D．
2.函数单调求参数范围
例1．已知为增函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例2．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪练习】
1．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数是定义在上的单调函数，且对定义域内的任意，均有，则（ ）
A． B． C． D．
3.判断、证明函数单调性
例1．已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求、的值；
(2)证明在上为减函数；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
10．已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，.
(1)判断的单调性并加以证明；
(2)若，解不等式.
【跟踪练习】
1．已知函数.
(1)利用单调性定义证明：在上是增函数；
(2)解不等式
2．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且．
(1)用定义证明在上是增函数；
(2)解不等式．函数单调性深度学习进阶专题
一.知识点与方法归纳
1.函数单调性概念
一般地，设函数的定义域为，区间:
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
2.一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0的求解过程
（1）化正：将二次项系数化为正数（不等式性质）
（2）判根：判断对应方程是否有根，有根则进行第 3 步，无根则进行第 4 步.
（3）求根：求出对应方程的根（因式分解；求根公式）
（4）写解集：写出不等式的解集
3、单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）、，
（2）、，
（3）、，
（4）、，
4、双变量不等式与等式
一般地，已知函数，
1、不等关系
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
二、典例选讲
1.求函数的单调区间
例1．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案.
【详解】由，则，，解得，即函数的定义域，
由题意，令，，则，
易知在其定义域上单调递减，要求函数的单调递减区间，需求在上二次函数的递增区间，
由，则在上二次函数的递增区间为，
故选：C.
例2．已知函数，下列属于函数单调递减区间的是（ ）
A．（1，2] B．[-10，-4) C．(-4，0) D．(0，4)
【分析】由定义法可求得函数的单调区间，进而得到结果.
【详解】函数定义域为，
在函数定义域内任取，
则
当时，
故函数在这个区间上单调递增，
同理当时，，
，函数也是单调递增的.
当时，
，故函数在这个区间上单调递减，
同理当时，
，故函数在这个区间上单调递减；
综上函数的单调增区间为,减区间为 ，
在某一个端点处的开闭不影响函数单调性，故选项中只要为单调减区间的子集即可；
故A正确.
【跟踪练习】
1．函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【详解】，画出函数图象，如图所示：
根据图象知：函数的单调减区间为.
故选：B.
2．函数的递增区间是( )
A． B． C． D．
【详解】由，得函数的定义域为．
令
，
对称轴方程为，拋物线开口向下，
函数的递增区间为，
又函数在定义域上单调递增，根据复合函数的单调性，可知函数的增区间为.
故选：．
2.函数单调求参数范围
例1．已知为增函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据分段函数为增函数，根据每一段都是增函数，且注意节点处的取值，列出不等式组，解之即可.
【详解】因为为增函数，
故，解得.
故选：.
例2．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出使得函数在区间上单调递减时的范围，结合充分性、必要性的定义即可得出答案.
【详解】由函数在区间上单调递减，
得在区间上单调递减，
所以，解得.
结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.
故选：C.
【跟踪练习】
1．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】依题意在上恒成立且，
又可看成的复合函数，单调递减，欲使是减函数，只需递增，.
故选：B
2．函数是定义在上的单调函数，且对定义域内的任意，均有，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，则，
而是定义在上的单调函数，故为常数，
所以且，故，
设，因均为上的增函数，
所以为上的增函数，
因为，故的解为，
所以，故，
故选：B.
3.判断、证明函数单调性
例1．已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求、的值；
(2)证明在上为减函数；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）由奇函数的性质可得，可求得的值，再利用奇函数的定义可求得的值；
（2）根据函数单调性的定义即可证明结论成立；
（3）利用函数的奇偶性和单调性将恒成立，转化为对任意的都成立，结合可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数在上为奇函数，则，解得，
由奇函数的定义可得，
所以，，即，则，可得.
（2）证明：由（1）得 ，
任取、，且，则，
则，
，即，所以函数在上为减函数.
（3）解：根据 （1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数.
不等式恒成立，
即恒成立，
也就是对任意的都成立，
即对任意的都成立，则，解得，
即的范围是.
10．已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，.
(1)判断的单调性并加以证明；
(2)若，解不等式.
【分析】（1）利用函数单调性定义即可证明在上为增函数；
（2）由题意可得，进而将不等式转化为，再利用函数为增函数即可列出关于x的不等式组，解之即可得到该不等式的解集.
【详解】（1）在上为增函数，
证明如下：任取且，则，
则.
又因为当时，，而，
所以，所以，
所以在上为增函数.
（2）由定义域可得，解得，
由已知可得，
所以，
所求不等式可转化为.
由在上为增函数可得，解得，
则不等式解集为.
【跟踪练习】
1．已知函数.
(1)利用单调性定义证明：在上是增函数；
(2)解不等式
【详解】（1）证明：任取，
，
因为，所以，，
故，
所以，即在上是增函数；
（2）今，则，
因为在上是增函数，所以，
解得：，即，解得，
故不等式得解集是.
2．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且．
(1)用定义证明在上是增函数；
(2)解不等式．
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以，经检验满足奇函数.
设，
则，
，，且，则，
则，即，
所以函数在上是增函数．
（2），，
是定义在上的增函数，
，得，
所以不等式的解集为．

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