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4.2025年某省将实行“3+1+2”模式的新高考，其中“3”表示语文、数学和英语这三门必考科
2023年高三年级模拟考试（二）
日，“1”表示必须从物理和历史中选考一门科目，“2”表示要从化学、生物、政治和地理中选
数学试卷
考两门科目，为帮助甲、乙两名高一学生应对新高考，合理选择选考科目，将其高一年级的
成绩综合指标值（指标值满分为5分，分值越高成绩越优）整理得到如下的雷达图，则下列
(考试时间：下午3：00一5：00】
选择最合理的是
物理
注意事项：
A.选考科目甲应选物理、化学、历史
地理
化学
1.本试卷分第】卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
B.选考科目甲应选化学、历史、地理
2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。
3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
C.选考科目乙应选物理、政治、历史
历史
生物
如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
一甲
D.选考科目乙应选政治、历史、地理
4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
政治
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5.已知sina+cosa=y
,0第【卷
A.23
B.2v3
3
3
凌
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
c
D号
合题目要求的
6.已知等比数列{a,}的前n项和S.满足a1=S。+1(n∈N),则a5=
1.已知集合A={-2,-1,0,1,B={xy=V,则AnB=
3鄂
A.16
B.32
A.[0,1]
B.{0,1
C.81
D.243
C.[-2.+∞)
D.{-2,-1U[0,+∞)
7.已知圆C:x2+y2-2=0,过直线1：y=x+2上的动点M作圆C的切线，切点为W,则MW|
2.已知m<,则下列结论正确的是
的最小值是
B.1<1
A.2y2
B.2
A.m2n m
a.3v2
DV①4
C.2m<2"
D.Igm lgn
2
2
3.已知a=2,b=1,a与b的夹角为60°，则a-2b=
8.已知a=h3,b=V2lm2。
4·c=e,则下列结论正确的是
2e
A.2
B.V6
A.a>b>c
B.a>c>b
C.2v3
D.4
C.c>a>b
D.c>b>a
高三数学（二）第1页（共8页》
高三数学（二）第2页（共8页）太原市 2023 年高三年级模拟考试（二）
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题： B C A D B A D B
二、选择题: 9.A D 10.A B 11.B C 12.A C D
2
三、填空题： 13.1+ i 14.0 15. 16. 2
4
四、解答题：17.解：（1）设{an}的公比为 q(q > 0)，{bn}的公差为 d ，
ì1+ q 2 = 2 + 4d ,
由题意可得 í 解得 q = 3或 q = -1（舍去）， d = 2，
q + 2 = 1+ 2d，
\an = 3
n-1(n N * )，bn = 2n -1(n N
* )； ………5 分
（2）由（1）得 a = 3n-1n (n N
* )，bn = 2n -1(n N
* )，
选择条件①： cn = anb
*
n (n N )，则 c = (2n -1) ×3
n-1(n N *n )，
\Sn = c1 +c2 +c3 + +cn-1 +cn =1 1+3 3+5 3
2 + +(2n-3) 3n-2 +(2n-1) 3n-1，①
\3S =1 3+3 32 +5 33n + +(2n-3) 3
n-1+(2n-1) 3n，②
①-②得-2Sn =1+2 (3+3
2 +33 + +3n-1)-(2n-1) 3n，
\S = (n-1) 3n +1(n N*n ) . ………10 分
b 2n -1
选择条件②： c n * *n = (n N )，则 ca n
=
3n-1
(n N )，
n
\Sn = c1 +c2 +c + +c +c =1+
3+ 5 + + 2n-3+ 2n-13 n-1 n 2 n-2 n-1 ，①3 3 3 3
\1S = 1+ 3 + 5 + + 2n-3 2n-1n 2 3 n-1 + n ，②3 3 3 3 3 3
2S =1+2 (1+ 1 + 1 1 2n-1①-②得 + +
3 n 3 32 33 3n-1
)- ，
3n
\S =3-n+1 *n 3n-1
(n N ) . ………10 分
cosC - 3 sin B = a
2 - c2
18.解：（1） ，\2ab cosC + c2 - a2 = 2 3 ab sin B，
3 2ab 3
由余弦定理 a2 + b2 - c2 = 2ab cosC 2 3可得b = a sin B，
3
a = b由正弦定理 可得 sin A = 3 ， 0 < A < p ，\ A = 60°； ………6 分
sin A sin B 2 2
（2）由（1）得 A = 60°，\ DAB = DAC = 30°，
SDABC = SDABD + SDACD，\
1 bc sin A = 1 | AD | (b sin BAD + c sin CAD)，
2 2
| AD|= 3 3 ，\2bc=3(b+c) 6 bc，\bc 9（当且仅当b=c=3时等号成立） ,…9 分
2
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = b2 + c2 - bc bc 9，\a 3，
\ ABC 2R = a = 2 3△ 外接圆的直径 a 2 3 ，\R 3 ，
sin A 3
当且仅当 a = b = c = 3时，△ ABC外接圆的面积取最小值pR 2 = 3p . ………12 分
19 解：（1）由题意得这四款车性能评分的平均数为 (1 7+2 9+3 16+4 13+5 5) 1 =3；
50
其第90 4 + 5百分位数为 = 4.5； ………4 分
2
（2）由题意得
汽车款式
汽车性能 基础版 豪华版 合计
一般 20 12 32
优秀 5 13 18
合计 25 25 50
零假设为H 0：汽车性能与款式无关，
c 2 = 50 (20 13-12 5)
2 50
根据列联表中的数据，经计算得到 = 5.556> 3.841= x
32 18 25 25 9 0.05
，
根据小概率值a = 0.05的独立性检验，推断H 0不成立，即认为汽车性能与款式有关，此推
断犯错误的概率不超过0.05；
5 3
汽车性能一般中基础版和豪华版的频率分别为 和 ，性能优秀中基础版和豪华版的频率分
8 8
5 13
别为 和 ，根据频率稳定于概率的原理，可以认为性能优秀时豪华版的概率大. …9 分
18 18
（3）由题意可得 X 服从超几何分布，且 N =12，M = 4， n = 3，
P(X = k) = C
kC3-k
X 4的分布列为 4 83 ，k =0 ,1,2 ,3,E(X)=3 =1. ………12 分C12 12
20 解：（1）取 BC的中点 F ，连接DF ,C1F，记 B1C C1F = G ，
D是 AB的中点，\DF // AC， B1C ^ AC，\B1C ^ DF ，
在矩形BB1CC
CF 2
1 中， tan FC1C = = ，tan BCB1 =
BB1 = 2 ，\ FC1C = BCB，CC1 2 BC 2
1
\ CFC1 + BCB1 = CFC1 + FC1C = 90°，\ CGF = 90°，\B1C ^ C1F ，
C1F DF = F，\B1C ^ 平面 A1DFC1，\B1C ^ A1D； ………6 分
（2）由 AC ^平面BB1C1C得 AC ^ BC ， AC ^ CC1，由矩形
BB1C1C得BC ^CC1，以点C为原点，CA，CB，CC1所在的
直线分别为 x轴， y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 BC= 2 ， C1E=lC1A1(0 l 1) ， 则 C(0,0,0) ， D(1,1,0) ，
B1(0,2, 2)，E(2l,0, 2)，
ì
设m = (x1, y1, z1)
m ^ CD ,
是平面 B1CD的一个法向量，则

í
m ^ CB1，
ìx
\ 1
+ y1 = 0, z = 2 ìx1 =1,í 令 1 ，则 í ，\m = (1,-1, 2)， ………8 分
2y1 + 2z1 = 0， y1 = -1，
ì
设 n = (x2 , y2 , z2 )是平面 B1DE的一个法向量，则
n ^ B1D,
í
n ^ B1E，
ì
\ x2 - y2 - 2z = 0,
2 2l \n = ( 2 , 2lí 2 令 z2 = 2，则 x2 = ， y2 = ， , 2)，
2lx2 - 2y 1- l 1- l 1- l 1- l2 = 0，
\| cos < m,n >|=| m ×n | = 2(2 - l) = 3 ，\l = 1 或l = 3（舍去），
|m || n | 3l2 - 4l +12 3 3
\ C1E = 1 . ………12分
C1A1 3
16 9
21.解：（1）由题意得 - =1，\16b2 2 2 2
a 2 b2
- 9a = a b ，
b b
不妨设直线 l1的方程为 y = x，则直线 l1 的方程为 y -3 = (x-4)， \M (4-
3a ,0)，
a a b
2
N (0,3+ 4b ) \|OM | × |ON |=| (4 - 3a )(3+ 4b ) | =| 16b - 9a
2
同理可得 ， |= ab = 2 3 ，
a b a ab
ì 16b2 -9a2 =a2b2, ì a2 =4, x2 y 2
由í 可得í \双曲线C的方程为 - =1； ………4 分
ab=2 3
2
b =3, 4 3
（2）由（1）得 A1(-2,0)， A2 (2,0)， F ( 7 ,0)，
设P(x1, y1)，Q(x2 , y2)，直线 PQ的方程为 x=my+ 7(m ±
2 3)，
3
ìx=mx+ 7,
-6 7m 9
由íx2 y2 得 (3m
2 -4)y2 +6 7my+9=0 ,\y1+ y2 = 2 ，y3m -4 1
y2 = , ……6 分
- =1 3m
2-4
4 3
直线 A1P y =
y
的方程为 1 (x+2) y，直线 A2Q的方程为 y = 2 (x-2)， ……8 分x1 +2 x2 -2
联立直线 A1P与 A2Q的方程，可得点G的横坐标为
x = 2(x1 + 2)y2 + 2(x2 - 2)y1 = 2[(x1y2 + x2 y1) + 2(y2 - y1)]，
(x1 + 2)y2 - (x2 - 2)y1 x1y2 - x2 y1 + 2(y1 + y2 )
x1y2 - x2y1 +2(y2 + y1) = (my1 + 7)y2 - (my2 + 7)y1 +2(y1 + y2)
= 7(y2 - y1)+2(y1 + y2) = (2+ 7)(y2 + y1)-2 7y1 =-2 7[
(6+3 7)m + y ]，
3m2 -4 1
x1y2 + x2y1 +2(y2 - y1) = x1y2 + x2y1 +2(y1 + y2)-4y1
= (my1 + 7)y2 + (my2 + 7)y1 +2(y1 + y2)-4y1 = 2my1y2 - (2+ 7)(y1 + y2)-4y1
= -4[(6+3 7)m + y ]，\x = 4 7 ；
3m2 -4 1 7
\ 4 7点G 在定直线 x = 上. ………12 分
7
22.解：（1）由题意得 f (x) = (mx +m -1)e x，\ f (1) = (2m -1)e， f (1) = (m -1)e + n，
\ f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为 y - f (1) = f (1)(x -1)，即 y = (2m -1)ex + n -me，
ì2m-1=1, ìm=1,
\í \í \ f (x) = (x -1)e x + 2，
n-me=2-e, n=2,
\ f (x) = xe x ， x R，令 f (x)<0，则 x<0；令 f (x)>0，则 x>0，
\ f (x)在 (- ,0]上单减，且1 f (x) < 2；在 (0,+ )上单增，且 f (x) >1，
\ f (x)的值域为[1,+ )； ………4 分
x
（2）①由题意得 g (x) = xe 2 ，x -1，令 g (x)<0，则 x<-1或-10，则 x>0，(x+1)
\ g(x)在 (- ,-1)和 (-1,0)上单减，在 (0,+ )上单增，
当 x < -1时， g(x)的值域为 (- ,0)；当-1< x < 0时， g(x)的值域为 (1,+ )；
当 x > 0时， g(x)的值域为 (1,+ )，\-1< c < 0 < d ，
令G(x) = g(x)- g(-x)，-1< x<0，则G (x) = g (x)+ g (-x) = x [e2x - (1+ xx 2 )
2 ]，
e (x +1) 1- x
令T (x) = (1- x)e x - (1+ x)，-1< x < 0，则T (x) = -xe x -1，T (x) = -(x +1)e x < 0，
\T (x) < T (-1) = 1 -1< 0，\T (x) > T (0) = 0，\(1- x)e x > (1+ x)，\ex > 1+ x > 0，
e 1- x
\G (x) < 0，\G(x) >G(0) = 0，\g(x) > g(-x)，\g(d ) = g(c) > g(-c)，
\d > -c，\c + d > 0； ………8 分
②由（1）得 f (x)在 (- ,0]上单减，且1 f (x) < 2；在 (0,+ )上单增，且 f (x) (1,+ )，
设 f (a) = f (b) = m，则 a < 0 < b <1，且1 f (x) = 2 - 1 ，\ f (-c) = 2 - 1 = 2 - 1 < m = f (b)，
g(-x) g(c) m
\-c < b，\b + c > 0 . ………12 分
注：以上各题其它解法请酌情赋分.

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