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2022-2023学年福建省福州市鼓楼区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）
1．（4分）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A．，2 B．5，12，13 C．3，4，5 D．1，1，2
3．（4分）矩形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．邻边相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C．（2）2＝16 D．
5．（4分）关于函数y＝﹣2x，下列结论中正确的是（　　）
A．函数图象经过点（1，2）
B．函数图象经过第二、第四象限
C．y随x的增大而增大
D．不论x取何值，总有y＞0
6．（4分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．32
7．（4分）如图，字母B所代表的正方形的面积是（　　）
A．12 cm2 B．15 cm2 C．144 cm2 D．306 cm2
8．（4分）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（　　）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣11 D．无法确定
9．（4分）在同一条道路上，甲车从A地到B地匀速出发，乙车从B地到A地匀速出发，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（　　）
A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/小时
C．乙出发0.9小时后两车相遇
D．乙到A地比甲到B地早小时
10．（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB＝4，△DOE的面积为5，则AE的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（4分）将函数y＝3x的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 　 　．
13．（4分） ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC＝8，AC＝6，BD＝12，则△AOD的周长为 　 　．
14．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，若，则AB2+BC2+AC2＝　 　．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝13，BC＝15，CF＝10，则BE的为 　 　．
16．（4分）如图，点A（3，0）在x轴上，直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段OC，BC上的动点，则PD+DA的最小值为 　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，在 ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且BF＝DE，求证：四边形AFCE是平行四边形．
19．（8分）如图，在正方形ABCD中，正方形的边长为4a，E是BC的中点，F是CD上一点，且，判断△AEF的形状并说明理由．
20．（8分）已知，，求代数式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2+xy+y2．
21．（8分）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.5万元，且用1150万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共950套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨20%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）作∠DAC的平分线AM；作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E．
（2）连接AE、CF，判断四边形AECF的形状并加以证明．
23．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴和y轴相交于C、A（0，6）两点，且与正比例函数y2＝﹣2x的图象交于点B（﹣2，m）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）点D是一次函数y1图象上一点，若S△OCD＝2S△OCB，求点D的坐标．
24．（12分）已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．
（1）求证：CF＝CP；
（2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（3）求证：CP﹣BM＝2FN．
25．（14分）如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
2022-2023学年福建省福州市鼓楼区八年级（下）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）
1．（4分）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据函数定义，对于自变量x取值范围内的每一个取值，都有唯一的函数值y与之对应，
体现在图象上，作x轴的垂线，这条直线与图象最多有一个交点，
选项B、C、D是函数的图象，均不符合题意，
只有选项A中的图象不是函数图象，故符合题意．
故选：A．
2．（4分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A．，2 B．5，12，13 C．3，4，5 D．1，1，2
【解答】解：A．∵12+（）2＝22，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．52+122＝132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵32+42＝52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵12+12≠22，
∴以1，1，2为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（4分）矩形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．邻边相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
【解答】解：A、矩形、正方形的对角线均相等且互相平分，故A选项符合题意；
B、正方形的邻边相等，矩形的邻边不一定相等，故B选项不符合题意；
C、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，故C选项不符合题意；
D、正方形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分对角，故D选项不符合题意．
故选：A．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C．（2）2＝16 D．
【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意；
2×3＝6，故B正确，符合题意；
（2）2＝8，故C错误，不符合题意；
＝2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
5．（4分）关于函数y＝﹣2x，下列结论中正确的是（　　）
A．函数图象经过点（1，2）
B．函数图象经过第二、第四象限
C．y随x的增大而增大
D．不论x取何值，总有y＞0
【解答】解：A．当x＝1时，y＝﹣2×1＝﹣2，﹣2≠2，
∴函数y＝﹣2x的图象不经过点（1，2），选项A不符合题意；
B．∵k＝﹣2＜0，
∴函数y＝﹣2x的图象经过第二、四象限，选项B符合题意；
C．∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，选项C不符合题意；
D．当x＞0时，y＝﹣2x＜0，选项D不符合题意．
故选：B．
6．（4分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．32
【解答】解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，EF＝2，
∴BC＝2EF＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
故选：A．
7．（4分）如图，字母B所代表的正方形的面积是（　　）
A．12 cm2 B．15 cm2 C．144 cm2 D．306 cm2
【解答】解：如图，∵a2+b2＝c2，
而a2＝81，c2＝225，
∴b2＝225﹣81＝144，
∴字母B所代表的正方形的面积为144cm2．
故选：C．
8．（4分）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（　　）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣11 D．无法确定
【解答】解：根据图示，可得4＜a＜8，
∴a﹣2＞0，a﹣9＜0，
∴
＝a﹣2+（9﹣a）
＝a﹣2+9﹣a
＝7．
故选：A．
9．（4分）在同一条道路上，甲车从A地到B地匀速出发，乙车从B地到A地匀速出发，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（　　）
A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/小时
C．乙出发0.9小时后两车相遇
D．乙到A地比甲到B地早小时
【解答】解：由图可知，
乙先出发的时间为0.5h．
故选项A说法正确，不符合题意；
乙的速度为（100﹣70）÷0.5＝60（千米/小时），
则乙从B地到A地的时间为：100÷60＝（小时），
则甲车的速度为：100÷（1.75﹣0.5）＝80（千米/小时）．
故选项B说法正确，不符合题意；
甲出发0.5小时后行驶距离为40km，
乙车行驶的距离为60km，
40+60＝100，故两车相遇，
此时乙出发时间为：0.5+0.5＝1（小时）．
故选项C说法错误，符合题意；
乙到A地比甲到B地早1.75﹣＝（小时）．
故选项D说法正确，不符合题意．
故选：C．
10．（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB＝4，△DOE的面积为5，则AE的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：如图，连接BE，
由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，S△BOE＝S△DOE＝5，
∴S△BDE＝2S△BOE＝10．
∴DE AB＝10，
∵AB＝4，
∴DE＝5，
∴BE＝5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝3．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥4　．
【解答】解：依题意有x﹣4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
12．（4分）将函数y＝3x的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 　y＝3x﹣2　．
【解答】解：将函数y＝3x的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是y＝3x﹣2，
故答案为：y＝3x﹣2．
13．（4分） ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC＝8，AC＝6，BD＝12，则△AOD的周长为 　17　．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC＝8，AC＝6，BD＝12，
∴AD＝BC＝8，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝6，
∴△AOD的周长为：AO+DO+AD＝3+6+8＝17．
故答案为：17．
14．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，若，则AB2+BC2+AC2＝　6　．
【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴AB2+BC2+AC2＝2AB2＝2×（）2＝6，
故答案为：6．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝13，BC＝15，CF＝10，则BE的为 　24　．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝13，AD∥BC，AD＝BC＝15，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝13，
同理DF＝CD，
∴AE＝DF，
即AE﹣EF＝DF﹣EF，
∴AF＝DE，
∵AB＝13，BC＝15，
∴DE＝AD﹣AE＝15﹣13＝2，
∴EF＝DF﹣DE＝13﹣2＝11．
∵EF∥CB，
∴△EFG∽△BCG，
∴，
∴CG＝CF＝，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠CBG＝∠ABC，∠BCG＝∠BCD，
∴∠GBC+∠GCB＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∴BG＝＝＝，
∴BE＝GB＝24．
故答案为：24．
16．（4分）如图，点A（3，0）在x轴上，直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段OC，BC上的动点，则PD+DA的最小值为 　5　．
【解答】解：作点A关于y轴的对称点E，过点E作EH⊥BC于点H，交y轴于点D′，连接D′A，D′P，连接CE，如图所示：
则PD+DA的最小值即为EH的长度，
∵点A（3，0）在x轴上，
∴点E坐标为（﹣3，0），
∵直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于B，C两点，
令x＝0，则y＝7，
∴点C坐标为（0，7），
令y＝0，则x＝7，
∴点B坐标为（7，0），
∴BE＝7+3＝10，OC＝7，BC＝＝，
∵，
∴10×7＝EH，
∴EH＝，
∴PD+DA的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（8分）计算：．
【解答】解：原式＝1+﹣2+﹣1
＝0．
18．（8分）如图，在 ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且BF＝DE，求证：四边形AFCE是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BF＝DE，
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
19．（8分）如图，在正方形ABCD中，正方形的边长为4a，E是BC的中点，F是CD上一点，且，判断△AEF的形状并说明理由．
【解答】解：△AEF为直角三角形．理由如下：
∵，，
∴CF＝CD，
∵四边形ABCD为正方形，且边长为4a，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵E是BC的中点，且CF＝CD，
∴BE＝CE＝2a，CF＝a，DF＝3a，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
AE2＝AB2+BE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2，
同理，在Rt△EFC，Rt△ADF中，可得
EF2＝CE2+CF2＝（2a）2+a2＝5a2，
AF2＝AD2+DF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2，
∴AE2+EF2＝AF2，
∴△AEF为直角三角形．
20．（8分）已知，，求代数式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2+xy+y2．
【解答】解：∵，，
∴xy＝（1﹣）（1+）＝﹣1，
x+y＝1﹣+1+＝2，
x﹣y＝1﹣﹣1﹣＝﹣2，
（1）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×（﹣2）＝﹣4；
（2）x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝22﹣（﹣1）＝4+1＝5．
21．（8分）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.5万元，且用1150万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共950套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨20%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
【解答】解：（1）设今年每套A型一体机的价格是x万元，每套B型一体机的价格是y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：今年每套A型一体机的价格是1.5万元，每套B型一体机的价格是2万元；
（2）设购买m套A型一体机，则购买（950﹣m）套B型一体机，
根据题意得：2（950﹣m）≥1.5×（1+20%）m，
解得：m≤500．
设该市明年需要投入采购资金为w万元，则w＝1.5×（1+20%）+2（950﹣m），
即w＝﹣0.2m+1900，
∵﹣0.2＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤500，且m为正整数，
∴当m＝500时，w取得最小值，最小值＝﹣0.2×500+1900＝1800．
答：该市明年至少需要投入1800万元才能完成采购计划．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）作∠DAC的平分线AM；作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E．
（2）连接AE、CF，判断四边形AECF的形状并加以证明．
【解答】解：（1）如图，射线AM，直线EF即为所求作．
（2）结论：四边形AECF是菱形．
理由：∵EF垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，FA＝FC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AM平分∠DAC，
∴∠DAM＝∠CAM，
∵∠DAC＝∠B+∠ACB，
∴∠CAM＝∠ACB，
∴AM∥BC，
∴∠AFE＝∠FEC，
∵EA＝EC，EF⊥AC，
∴∠AEF＝∠FEC，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝FC＝CE，
∴四边形AECF是菱形．
23．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴和y轴相交于C、A（0，6）两点，且与正比例函数y2＝﹣2x的图象交于点B（﹣2，m）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）点D是一次函数y1图象上一点，若S△OCD＝2S△OCB，求点D的坐标．
【解答】解：（1）把B（﹣2，m）代入y＝﹣2x中得m＝4，
∴B（﹣2，4），
把A（0，6）、B（﹣2，4）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式y＝x+6；
（2）观察图象可知，当y1＞y2时，x＞﹣2；
（3）由S△OCD＝OC yD＝×OC×|yD|，S△OCB＝×OC×4，
∵S△OCD＝2S△OCB，
∴|yD|＝8，
∴yD＝±8，
代入y＝x+6得x＝2或x＝﹣14，
∴D点的坐标为（2，8）或（﹣14，﹣8）．
24．（12分）已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．
（1）求证：CF＝CP；
（2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（3）求证：CP﹣BM＝2FN．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠ACD＝45°，
∵CP⊥CF，
∴∠FCP＝90°＝∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCP，
∵CD＝CB，∠CBF＝∠CDP＝90°，
∴△CDP≌△CBF（ASA），
∴CF＝CP；
（2）∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF＝22.5°，
∴∠BFC＝67.5°，
∵△CDP≌△CBF，
∴∠P＝∠BFC＝67.5°，且∠CAP＝45°，
∴∠ACP＝∠P＝67.5°，
∴AC＝AP，
∵AC＝AB＝4，
∴S△ACP＝AP×CD＝8；
（3）在CN上截取NH＝FN，连接BH，
∵△CDP≌△CBF，
∴CP＝CF，
∵FN＝NH，且BN⊥FH，
∴BH＝BF，
∴∠BFH＝∠BHF＝67.5°，
∴∠FBN＝∠HBN＝∠BCH＝22.5°，
∴∠HBC＝∠BAM＝45°，
∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCH，
∴△AMB≌△BHC（ASA），
∴CH＝BM，
∴CF＝BM+2FN，
∴CP﹣BM＝2FN．
25．（14分）如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
【解答】解：（1）在中，令x＝0得y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）①设M（m，0），
∵PQ⊥x轴，
∴P（m，m+2），Q（m，﹣m+2），
∴PQ＝|m+2+m﹣2|＝|m|，
∴S△PQB＝×|m|×|m|＝，
解得m＝±，
∴M的坐标为（，0）或（﹣，0）；
②∵点M在线段AC上运动，
∴﹣4≤m≤4，
当点M在线段AO上时，如图：
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°，
∴∠MBC＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
∴MC2＝（4﹣m）2，BM2＝m2+4，BC2＝20，
∴m2+4+20＝（4﹣m）2，
解得m＝﹣1，
∴P（﹣1，）；
当点M在线段OC上时，如图：
同理可得P（1，），
综上所述：点P的坐标为（﹣1，）或（1，）．

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