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七年级竞赛卷
（第一章 平行线）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）如图所示，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
3．（4分）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是66°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B是（　　）
A．87° B．93° C．39° D．109°
4．（4分）某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3和l4相交，l1和l2相互平行且与l3、l4相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（　　）对．
A．4 B．8 C．12 D．16
5．（4分）如图，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，点C在AE上，点F在DG上．设与∠α相等的角的个数为m，与∠β互补的角的个数为n，若α≠β，则m+n的值是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（4分）如图，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，给出下列结论：①；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（4分）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为（　　）时，CD与AB平行．（　　）
A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒
8．（4分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（　　）
A．57° B．58° C．59° D．60°
9．（4分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠DAB，点E在线段BC上，DF平分∠EDC，交BC于点M，交AE延长线于点F，若∠C＝90°，∠AED+∠AEC＝180°，设∠AED＝x，∠FDC＝y，则x与y的数量关系是（　　）
A．x+y＝90° B．x+2y＝90° C．x＝4y D．x﹣y＝45°
10．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，CE平分∠BCD，∠CBF＝6∠EBF，AG∥CE，点H在直线CE上，满足∠FBH＝∠DAG，若∠DAG＝k∠EBH，则k＝（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）如图是一个长方形的工件（单位：mm），AB＝10，BC＝12，图中阴影曲折部分的宽度为1，顶端汇合的宽度是2，则图中阴影部分的面积是　 　mm2．
12．（4分）四条直线，每一条都与另外三条相交，且四条直线不相交于同一点，每条直线交另外两条直线，都能组成　 　组同位角，这个图形中共有　 　组同位角．
13．（4分）如图，直角三角形AOB的周长为98，在其内部有n个小直角三角形，则这n个小直角三角形的周长之和为　 　．
14．（4分）图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0°＜α＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR1重合，得折痕BR2，将纸条展开后继续折叠，使BM与BR2重合，得折痕BR3…依此类推，第n次折叠后，∠ARnN＝　 　（用含a和n的代数式表示）
15．（4分）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为　 　．
16．（4分）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝　 　度．
17．（4分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝　 　°．
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．（6分）如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另个角的4倍少30°，求这两个角．
19．（6分）如图，a∥b，根据以上结论，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝　 　（直接写出你的结论，无需说明理由）
20．（6分）如图，AB∥EF，∠C＝90°，试探究∠B、∠D、∠E三个角之间的关系．
21．（6分）已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，且∠1＝∠2，猜想∠BDE与∠C有怎样的大小关系？试说明理由．
22．（8分）如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点G，且B，G，C在一条直线上，若AF∥DE，∠B＝∠C+9°，∠D＝∠E＝105°．
（1）求∠F的度数．
（2）计算∠B﹣∠CGF的度数是 　 　．
（3）连接AD，当∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD．并说明理由，
23．（10分）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（2）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
24．（10分）如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像，称为“形BAMCD”．
（1）如图1，形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝　 　°；
（2）如图2，连接形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝α，试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质，结合图形求得平移后的图形，采用排除法判定正确选项．
【解答】解：观察可知，平移后的图形，上下火柴棒方向不变，位置改变；左右火柴棒，往中间移动，方向不变，位置改变．只有B符合．
故选：B．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、C、D．
2．（4分）如图所示，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】设点A到BC的距离为h，根据平移的性质用BC表示出AD、CE，然后根据三角形的面积公式与梯形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：设点A到BC的距离为h，则S△ABC＝BC h＝5，
∵平移的距离是BC的长的2倍，
∴AD＝2BC，CE＝BC，
∴四边形ACED的面积＝（AD+CE） h＝（2BC+BC） h＝3×BC h＝3×5＝15．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质，三角形的面积，主要用了对应点间的距离等于平移的距离的性质．
3．（4分）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是66°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B是（　　）
A．87° B．93° C．39° D．109°
【分析】根据平行线的性质进行解答即可．
【解答】解：如图：过B作直线b平行于拐弯之前的道路a，由平行线的传递性得a∥b∥c，
∵a∥b，
∴∠A＝∠1＝66°，
∵b∥c，
∴∠2＝180°﹣∠C＝180°﹣153°＝27°，
∴∠ABC＝∠1+∠2＝66°+27°＝93°．
故选：B．
【点评】本题比较简单，应用的知识点为：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
4．（4分）某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3和l4相交，l1和l2相互平行且与l3、l4相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（　　）对．
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分l1、l2被l3所截，l1、l2被l4所截，l1、l3被l4所截，l2、l3被l4所截，l3、l4被l1所截，l3、l4被l2所截l1、l4被l3所截、l2、l4被l3所截来讨论．
【解答】解：l1、l2被l3所截，有两对同旁内角，其它同理，故一共有同旁内角2×8＝16对．
故选：D．
【点评】在较复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重复不遗漏．
5．（4分）如图，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，点C在AE上，点F在DG上．设与∠α相等的角的个数为m，与∠β互补的角的个数为n，若α≠β，则m+n的值是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设BA的延长线为AM，由AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，根据平行线的性质得到与∠α相等的角∠EFG、∠AEF、∠D、∠ACD、∠MAC，因为∠β+∠EFG＝180°，即可推出∠β互补的角的个数，即可求出答案．
【解答】解：设BA的延长线为AM，
∵AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，
∴∠a＝∠EFG＝∠AEF＝∠D＝∠ACD＝∠MAC，
∠β+∠EFG＝180°，
∴与∠β互补的角有∠α，∠EFG，∠AEF，∠D，∠ACD，∠MAC，
∴m＝5，n＝6，
∴m+n＝11．
故选：D．
【点评】本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握，题型较好，综合性较强．
6．（4分）如图，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，给出下列结论：①；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】因为AB//CD，所以∠BOC＝180°﹣α，所以∠ABO＝∠BOD＝α（两直线平行，内错角相等），因为OF⊥OE，得，所以∠POE＝90°﹣α，，即可解答．
【解答】解：∵AB//CD，
∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣α，
∴∠ABO＝∠BOD＝α，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴，
∴，
即OF平分∠BOD，
∵OP⊥CD，
∴∠POC＝90°，
∴，
∴∠POE＝∠BOF∠POB＝90°﹣∠BOD＝90°﹣α，，
所以④错误；
故答案为：C．
【点评】本题考查平行线的性质，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．
7．（4分）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为（　　）时，CD与AB平行．（　　）
A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒
【分析】分情况讨论：①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解答】解：如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，
即120°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得：t＝4；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠DCF＝360°﹣6t°﹣60°＝300°﹣6t°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得：t＝40，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∴∠DCF＝6t°﹣（180°﹣60°+180°）＝6t°﹣300°，∠BAC＝t°﹣100°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣100°，
解得：t＝40，
此时t＞50，
而40＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
8．（4分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（　　）
A．57° B．58° C．59° D．60°
【分析】根据平行线的性质得到∠DEG+∠AFH＝119°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，从而得到∠DEM与∠AFH的和．
利用两个平角求出∠FEM与∠EFM的和，最后根据三角形内角和等于180°即可求出答案．
【解答】解：∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
9．（4分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠DAB，点E在线段BC上，DF平分∠EDC，交BC于点M，交AE延长线于点F，若∠C＝90°，∠AED+∠AEC＝180°，设∠AED＝x，∠FDC＝y，则x与y的数量关系是（　　）
A．x+y＝90° B．x+2y＝90° C．x＝4y D．x﹣y＝45°
【分析】过点E作EH∥AB，交AD于点H，由平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，求出∠FDC＝∠AED﹣45°，即可得到答案．
【解答】解：如图所示，过点E作EH∥AB，交AD于点H，
∵EH∥AB，
∴∠3＝∠5，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝90°
∴∠B＝90°，
∴∠5+∠AEB＝90°，
∴∠3＝∠5＝90°﹣∠AEB，
∵EH∥AB，AB∥CD，
∴CD∥EH，
∴∠4＝∠EDC，
∵DF平分∠EDC，
∴，
∵∠AED+∠AEC＝180°，∠AEB+∠AEC＝180°，
∴∠AED＝∠AEB，
∴∠3＝90°﹣∠AED，
∴∠4＝∠AED﹣∠3＝∠AED﹣（90°﹣∠AED）＝2∠AED﹣90°，
∴，
∵∠AED＝x，∠FDC＝y，
∴y＝x﹣45°，
∴x﹣y＝45°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的相关性质和角平分线的定义．
10．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，CE平分∠BCD，∠CBF＝6∠EBF，AG∥CE，点H在直线CE上，满足∠FBH＝∠DAG，若∠DAG＝k∠EBH，则k＝（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
【分析】分两种情形：如图，当点H在点F的上方时，当点H在点F的下方时，分别求解即可．
【解答】解：如图，当点H在点F的上方时，设∠DAG＝x，
∵CD∥AB，∠DAB＝90°，
∴∠D＝90°，∠DGA＝90°﹣x，
∵AG∥CE，
∴∠DCE＝∠CEB＝90°﹣x，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE＝∠ECB＝90°﹣x，
∴∠EBC＝2x，
∵∠CBF＝4∠EBF，
∴∠EBF＝x，∠FBC＝x，
∵∠FBH＝∠DAG＝x，
∴∠EBH＝x+x＝x，
∵∠DAG＝k∠EBH，
∴x＝k x，
∴k＝，
当点H在点F的下方时，同法可得∠EBH＝x﹣x＝x，
∵∠DAG＝k∠EBH，
∴x＝k x，
∴k＝，
故选：D．
【点评】本题考查直角梯形的性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）如图是一个长方形的工件（单位：mm），AB＝10，BC＝12，图中阴影曲折部分的宽度为1，顶端汇合的宽度是2，则图中阴影部分的面积是　30　mm2．
【分析】把竖直方向的阴影部分向右平移可得到两条宽的为1的长方形，水平方向的阴影部分向下平移可得到一条宽度为1的长方形，竖直方向和水平方向重叠部分为边长为1的两个小正方形，然后根据长方形的面积公式和正方形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：由平移可得阴影部分的面积等于两条长为AB，宽为1的长方形和一条长为BC，宽为1的长方形，重叠了两个边长为1的正方形，
所以，阴影部分面积＝2×10×1+12×1﹣2×12
＝20+12﹣2
＝30mm2．
故答案为：30．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，观察出平移后的阴影部分的面积表示是解题的关键，要注意有两个重叠部分的小正方形，这也是本题容易出错的地方．
12．（4分）四条直线，每一条都与另外三条相交，且四条直线不相交于同一点，每条直线交另外两条直线，都能组成　4　组同位角，这个图形中共有　48　组同位角．
【分析】每条直线都与另3条直线相交，有3个交点．每2个交点决定一条线段，共有3条线段.4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4＝12条线段．每条线段各有4组同位角，可知同位角的总组数．
【解答】解：∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，
∴共有3×4＝12条线段．
又∵每条线段各有4组同位角，
∴共有同位角12×4＝48组．
故每条直线交另外两条直线，都能组成4组同位角．这个图形中共有48组同位角．
故答案为：4，48．
【点评】本题考查了同位角的定义．注意在截线的同旁找同位角．要结合图形，熟记同位角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有4组同位角．
13．（4分）如图，直角三角形AOB的周长为98，在其内部有n个小直角三角形，则这n个小直角三角形的周长之和为　98　．
【分析】小直角三角形与AO平行的边的和等于AO，与BO平行的边的和等于BO，则小直角三角形的周长等于直角△ABO的周长，据此即可求解．
【解答】解：如图所示：
过小直角三角形的直角定点作AO，BO的平行线，
所得四边形都是矩形．
则小直角三角形的与AO平行的边的和等于AO，与BO平行的边的和等于BO．
因此小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长．
故这n个小直角三角形的周长为98．
故答案为：98．
【点评】本题主要考查了平移和矩形的性质，正确理解小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长是解题的关键．
14．（4分）图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0°＜α＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR1重合，得折痕BR2，将纸条展开后继续折叠，使BM与BR2重合，得折痕BR3…依此类推，第n次折叠后，∠ARnN＝　180°﹣　（用含a和n的代数式表示）
【分析】由折叠的性质折叠n次可得∠Rn﹣1RnB，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案．
【解答】解：由折叠的性质折叠n次可得∠RnBnRn+1＝＝
在四边形内有四边形的内角和为360°知：∠BRnN＝360＝180
∴∠ARnN＝∠BRnN﹣∠Rn﹣1RnB＝180°﹣﹣＝180°﹣．
故答案为：180°﹣．
【点评】此题考查的是折叠，掌握其性质是解决此题关键．
15．（4分）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为　40°或140°　．
【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；
②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．
【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1与∠2位置如图2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
综合所述：∠2的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．
16．（4分）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝　155　度．
【分析】利用角的和差关系及对折后对应角的特点，先用含∠DEF的代数式表示出∠A′EF，再用含∠A″EF、∠DEF表示出∠A′ED，最后根据∠A′EF＝∠AEF得关于∠DEF的方程，先求出∠DEF，再求出∠CFE．
【解答】解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，
∴∠A′EF＝∠AEF．
∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，
∴∠A′ED＝∠A″ED．
∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，
∴∠A′ED＝105°+∠DEF．
∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠DEF＝25°．
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝25°．
∴∠CFE＝180°﹣∠EFB
＝180°﹣25°
＝155°．
故答案为：155．
【点评】本题考查了图形的折叠及平行线的性质，掌握“折叠后重合的两个图形全等”、“两直线平行，内错角相等”及角的和差关系是解决本题的关键．
17．（4分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝　15　°．
【分析】由折叠可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，由三角形的内角和定理结合平行线的性质可求解∠A'EF＝115°，过B'作B'M∥AD，则∠DGB'＝∠GB'M，结合平行线的性质易求∠DGB'＝40°，即可得A'GE＝40°，由直角三角形的性质可求解∠HEG＝50°，进而可求解．
【解答】解：由折叠可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，
∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∠1＝50°，
∴∠BFE＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE＝180°，
∴∠AEF＝115°，
∴∠A'EF＝115°，
过B'作B'M∥AD，则∠DGB'＝∠GB'M，
∵AD∥BC，
∴∠MB'F＝∠1，
∴∠1+∠DGB'＝∠GB'F＝90°，
∴∠DGB'＝90°﹣50°＝40°，
∴∠A'GE＝∠DGB'＝40°，
∵∠A'＝90°，
∴∠HEG＝∠A'EG＝90°﹣40°＝50°，
∴∠A'EH＝2×50°＝100°，
∴∠FEH＝∠A'EF﹣∠A'EH＝115°﹣100°＝15°．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．（6分）如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另个角的4倍少30°，求这两个角．
【分析】设其中另一个角为x，则其中一个角为4x﹣30°，分两种情况讨论①两角相等，②两角互补，根据此关系分别列出方程，即可求得答案．
【解答】解：设其中另一个角为x，则有
①两角互补，
4x﹣30+x＝180°，
解得；x＝42；
②两角相等，
4x﹣30＝x，
解得：x＝10，
所以求的两个角的大小分别是否138°、42°或者10°、10°．
【点评】本题考查了平行线的性质，难度不大，关键是运用方程思想解题．
19．（6分）（1）如图1，a∥b，则∠1+∠2＝　180°　
（2）如图2，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝　360°　，并说明理由
（3）如图3，a∥b，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　540°　
（4）如图4，a∥b，根据以上结论，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝　（n﹣1） 180°　（直接写出你的结论，无需说明理由）
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（2）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（3）过∠2、∠3的顶点作a的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（4）过∠2、∠3…的顶点作a的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【解答】解：（1）∵a∥b，
∴∠1+∠2＝180°；
（2）过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠1+∠AEF＝180°，
∠CEF+∠3＝180°，
∴∠1+∠AEF+∠CEF+∠3＝180°+180°，
即∠1+∠2+∠3＝360°；
（3）如图，过∠2、∠3的顶点作a的平行线，
则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°；
（4）如图，过∠2、∠3…的顶点作a的平行线，
则∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1） 180°．
故答案为：180°；360°；540°；（n﹣1） 180°．
【点评】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，过拐点作平行线是解题的关键，也是本题的难点．
20．（6分）如图，AB∥EF，∠C＝90°，试探究∠B、∠D、∠E三个角之间的关系．
【分析】将线段CD向两方延长，分别交AB、EF于点M、N．先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠BMN＝90°﹣∠B，∠MNE＝∠CDE﹣∠E，再由两直线平行，内错角相等得出∠BMN＝∠MNE，即可求解．
【解答】解：将线段CD向两方延长，分别交AB、EF于点M、N．
则∠BMN＝90°﹣∠B，∠MNE＝∠CDE﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴∠BMN＝∠MNE，
∴90°﹣∠B＝∠CDE﹣∠E，
即∠B+∠CDE﹣∠E＝90°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质及平行线的性质，难度中等，关键是由两直线平行，内错角相等得出∠BMN＝∠MNE．
21．（6分）已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，且∠1＝∠2，猜想∠BDE与∠C有怎样的大小关系？试说明理由．
【分析】根据平行线的判定定理易证AD∥FG，又由平行线的性质、已知条件，利用等量代换推知∠DAC＝∠2，则ED∥AC，所以由“两直线平行，同位角相等”证得结论．
【解答】解：∠BDE＝∠C，理由如下：
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠ADC＝∠FGC＝90°，
∴AD∥FG，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠2，∠DAC＝∠2，
∴ED∥AC，
∴∠BDE＝∠C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
22．（8分）如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点G，且B，G，C在一条直线上，若AF∥DE，∠B＝∠C+9°，∠D＝∠E＝105°．
（1）求∠F的度数．
（2）计算∠B﹣∠CGF的度数是 　115°　．
（3）连接AD，当∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD．并说明理由，
【分析】（1）根据平行线的判定和性质解答即可；
（2）延长DC交AF于K，进而解答即可；
（3）根据平行线的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）∵AF∥DE，
∴∠F+∠E＝180°，
∴∠F＝180°﹣105°＝75°；
（2）延长DC交AF于K，
可得：∠B﹣∠CGF＝∠C+10°﹣∠CGF＝∠GKC+10°＝∠D+9°＝114°，
故答案为：114°；
（3）当∠ADE+∠CGF＝180°时，BC∥AD，
∵AF∥DE，
∴∠GAD+∠ADE＝180°，∠ADE+∠CGF＝180°，
∴∠GAD＝∠CGF，
∴BC∥AD．
【点评】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
23．（10分）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【分析】（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，可得∠ACB＝∠CED，所以AC∥DF，可得∠A＝∠DFB，又∠A＝∠D，进而可得结论；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EM∥HN∥CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数；
（3）如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数．
【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，
∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，
∴∠ACB＝∠CED，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠A＝∠D，
∴∠DFB＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG＝ABE，
∵AB∥HN，
∴∠2＝∠ABG，
∵CF∥HN，
∴∠2+∠β＝∠3，
∴ABE+∠β＝∠3，
∵DH平分∠EDF，
∴∠3＝EDF，
∴ABE+∠β＝EDF，
∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE），
∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，
设∠DEB＝∠α，
∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，
∵∠DEB比∠DHB大60°，
∴∠α﹣60°＝∠β，
∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）
解得∠α＝100°
∴∠DEB的度数为100°；
（3）∠PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠EBM＝∠MBK＝EBK，
∠CDN＝∠EDN＝CDE，
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES＝∠CDE，
∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，
∠G＝∠PBK，
由（2）可知：∠DEB＝100°，
∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，
∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN＝∠G，
∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE，
∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK
＝∠EBK﹣CDE
＝（∠EBK﹣∠CDE）
＝80°
＝40°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
24．（10分）如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像，称为“形BAMCD”．
（1）如图1，形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝　60　°；
（2）如图2，连接形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝α，试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系．
【分析】（1）过M作MN∥AB，利用平行线的性质计算可求求解；
（2）过A点作AP∥CD交BD于点P，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得∠BAP＝20°，结合（1）的结论可求解；
（3）可分两种情况：当D，C位于AM两侧时，当D，C位于AM同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解．
【解答】解：（1）过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠AMN＝∠A，∠MCD＝∠C，
∴∠A+∠C＝∠AMN+∠MCD＝∠AMC＝60°，
故答案为：60°；
（2）∠BAM+∠MCD＝α+20°．
理由：过A点作AP∥CD交BD于点P，
∴∠APB＝∠D，
∵∠BAP+∠APB+∠B＝180°，∠B+∠D＝160°，
∴∠BAP＝180°﹣160°＝20°，
由（1）可得∠AMC＝∠PAM+∠MCD，
∵∠AMC＝α，
∴∠PAM+∠MCD＝α，
∴∠BAM+∠MCD＝α+20°；
（3）如图，当D，C位于AM两侧时，
∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，
∴∠CDM﹣∠ABD＝20°，
∵∠AMQ＝∠B+∠BAM，∠CMQ＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α，
∴α＝∠AMQ﹣∠CMQ＝∠B+∠BAM﹣（∠MCD+∠CDM）＝∠BAM﹣∠MCD﹣20°，
即∠BAM﹣∠MCD＝α+20°；
当A，C，M三点共线时，∠AMC＝α＝0°，
∴∠BAM﹣∠MCD＝20°；
当D，C位于AM同侧时，
∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，
∴∠CDM﹣∠ABD＝20°，
∵∠AMO＝∠B+∠BAM，∠CMO＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α，
∴α＝∠CMO﹣∠AMO＝∠MCD+∠CDM﹣（∠B+∠BAM）＝∠MCD﹣∠BAM+20°，
即∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．
综上，∠BAM﹣∠MCD＝α+20°或∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
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