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10.5 用二元一次方程组解决问题
第10章 二元一次方程组
逐点
学练
本节小结
作业提升
本节要点
1
学习流程
2
列二元一次方程组解应用题
列二元一次方程组解应用题的常见题型
建立二元一次方程组的模型对实际问题进行判断或方案设计
知识点
列二元一次方程组解应用题
1
1.基本思想方法
(1)列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程，它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的相等关系并列出方程组.
(2)一般情况下，设几个未知数就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等.
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特别解读：
1. 一般设几个未知数就列几个方程.
2. 设未知数和写答案时，都要写清楚单位名称.
2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤
(1)审：审清题意，找出已知量、未知量及相等关系；
(2)设： 直接或间接设出未知数；
(3)列：根据相等关系列出方程组；
(4)解：解这个方程组，求出未知数的值；
(5)检：检验所求的未知数的值是否为所列方程组的解，是否符合实际问题；
(6)答：写出答案(包括单位名称).
例 1
某船的载重为300 吨，容积为1 200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6 立方米，乙种货物每吨体积为2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？
解题秘方：分析题目中的已知量和未知量，找准题目中的相等关系，列出方程组解决问题.
已知量：(1)甲种货物每吨体积为6 立方米；(2)乙种货物每吨体积为2 立方米；(3)船的载重为300 吨；(4)船的容积为1 200 立方米.
未知量：甲、乙两种货物应各装多少吨. 若分别用x、y 表示它们的吨数，则甲种货物的体积为6x立方米，乙种货物的体积为2y立方米.
相等关系：“要充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“甲、乙两种货物的总质量等于船的载重”且“甲、乙两种货物的总体积等于船的容积”，即：
解法提醒：
●列方程组解应用题的关键是准确地找出题中的相等关系，并正确地列出方程组.
●找相等关系的方法：
(1)抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等；
(2)根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找相等关系；
(3)挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；
(4)借助列表格、画线段示意图等方法找相等关系.
解：设甲种货物应装x 吨，乙种货物应装y 吨.
由题意，得 x+y=300，解得 x=150，
6x+2y=1 200. y=150.
答：甲、乙两种货物应各装150 吨.
知识点
列二元一次方程组解应用题的常见题型
2
根据在实际问题中相等关系的不同类型，归纳出应用题几种常见的题型：
(1)和、差、倍、分问题；(2)数字问题；
(3)配套问题；(4)销售问题；
(5)行程问题；(6)百分比问题；
(7)年龄问题；(8)图形面积问题.
特别提醒：
●不同类型的问题中都有各自的代表性词语，如配套问题中的“配套”，销售问题中的“ 售价”“标价”“折扣”等等.
●不同类型的问题中都有不同的相等关系.
例2
某厂生产甲、乙两种产品，生产1 个甲种产品需要用时2 分钟、耗材30 克；生产1 个乙种产品需要用时3 分钟、耗材40 克．如果生产甲种产品和生产乙种产品共用时小时、耗材11 千克，那么甲、乙两种产品各生产了多少个？
解题秘方：紧扣“生产甲、乙两种产品”之间的数量关系，利用“共用时小时、耗材11千克”的两个相等关系建立关于x、y 的二元一次方程组．
方法点拨：
设未知数时， 一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等.
解和、差、倍、分问题的应用题时，要抓住题中反映数量关系的关键字：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等，明确各种反映数量关系的关键字的含义.
解：设甲种产品生产了x 个，乙种产品生产了y 个．
根据题意，得 2x+3y= ×60，
30x+40y=11×1 000.
解得 x=100，
y=200.
答：甲种产品生产了100 个，乙种产品生产了200 个．
例 3
有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又知原百位数字的9 倍比原三位数去掉百位数字后的两位数小3，求原三位数.
解题秘方：设出数位上的数字，利用数位上的数字表示出数，根据题目中的数量关系列出方程组.
解法提醒：
一个三位数的表示方法：
当它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c 时，这个三位数可表示为100a+10b+c. 注意最高位上的数字不能为0.
解：设原百位数字为x，原三位数去掉百位数字后的两位数为y.
由题意，得 9x=y-3， 解得 x=4，
10y+x=100x+y-45. y=39.
4×100+39=439.
答：原三位数为439.
例4
某服装厂准备生产一批秋装，已知每2 m 的某种布料可做衣身3 个或衣袖5 只，现计划用132 m 这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少米布料做衣身和衣袖，才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
解题秘方：紧扣配套规则列方程，如本题衣身与衣袖的比是1 ∶ 2.
技巧点拨：
解决配套问题的技巧：
制作的工件由若干种零件组成，如果a个甲零件和b 个乙零件配成一套，那么甲零件的个数∶乙零件的个数=
a ∶ b，即b× 甲零件的个数=a×乙零件的个数.
解：设设用x m 布料做衣身，用y m 布料做衣袖，才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
根据题意，得 x+y=132， 解得 x=60，
x×2= y. y=72.
答：用60 m 布料做衣身，用72 m 布料做衣袖，才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
例 5
某商场购进甲、乙两种商品后，甲种商品加价50%、乙种商品加价40% 作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲种商品打八折销售，乙种商品打八五折销售. 某顾客购买甲、乙两种商品各1 件，共付款538 元，已知商场共盈利88 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元.
方法点拨：
销售问题中进价、利润、售价、标价、折扣等之间的关系：
利润= 售价- 进价；售价= 标价× 折扣；
售价= 进价+ 利润；利润率= ×100%.
解题秘方：紧扣销售问题中每个量的意义，及各个量之间的相等关系列出方程组，解决问题.
解：设甲种商品的进价是x 元，乙种商品的进价是y 元.
根据题意，得 x+y+88=538，
x(1+50%)×80%+y(1+40%)×85%=538.
化简，得 x+y=450， 解得 x=250，
1.2x+1.19y=538. y=200.
答：甲种商品的进价是250 元，乙种商品的进价是200 元.
例6
张明沿公路匀速前进，每隔4 min 就迎面开来一辆公共汽车，每隔6 min 就有一辆公共汽车从背后超过他. 假定所有的公共汽车匀速行驶且速度相同，迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1 200 m，求张明前进的速度和公共汽车的速度.
解题秘方：分析相遇或追及问题中两者运动的路程与相隔路程之间的关系，列出方程组，解决问题.
方法点拨：
1. “相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离.
2. “同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.
3. 行程问题可以通过画线段示意图描述相等关系.
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解：设张明前进的速度是x m/min，公共汽车的速度是
y m/min.
由题意，得 4x+4y=1 200，解这个方程组，得 x=50，
6y-6x=1 200. y=250.
答：张明前进的速度是50 m/min，公共汽车的速度是
250 m/min .
例 7
某人骑自行车从A 地出发去B 地，先以每小时12 km 的速度下坡，再以每小时9 km 的速度在平路上行驶至B 地，共用时55 min；回来时他以每小时8 km 的速度通过平路后，再以每小时4 km的速度上坡至A 地，共用时1.5 h. 求A、B 两地之间的路程是多少千米.
特别提醒：
解本题的关键是弄清从A地到B地的下坡路程， 在从B地到A地时变为上坡路程，以时间为相等关系建立方程组.
解题秘方：解决上、下坡路程的往返问题时，虽然往返的路程不变，但速度发生了改变. 根据时间总量列出方程组解决问题.
解：设从A地到B地的下坡路程为x km，平路路程为y km.
由题意，得 + = ，解得 x=3，
+ =1.5. y=6.
x+y=3+6=9.
答：A，B 两地之间的路程是9 km.
例8
A，B 两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流的速度.
解题秘方：本题的关键是找到各速度之间的关系：顺速= 静速+ 水速，逆速= 静速- 水速，再结合公式“路程= 速度× 时间”列出方程组.
解法提醒：
列表描述相等关系：
设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流的速度为
y km/h，列表如下：
路程 速度 时间
顺水 140 km (x＋y) km/h 7 h
逆水 140 km (x－y) km/h 10 h
解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流的速度为y km/h.
由题意，得 7(x+y)=140，解得 x=17，
10(x-y)=140. y=3.
答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流的速度为
3 km/h.
例 9
在当地农业技术部门的指导下，李明家增加了种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收. 如图10.5-1 是李明和他的爸爸、妈妈的一段对话.
请你用学过的知识帮助李明算出他家今年种植菠萝收入了多少元.(收入- 投资= 净赚)
解题秘方：紧扣今年与去年的收入和投资之间的数量关系，其中增长率揭示了这个数量关系.
方法点拨：
在此类相等关系比较复杂的题目中，仅靠想象寻找相等关系、列方程组时，难免会出现顾此失彼的错误，如果能借助于表格分析，将会帮助我们理清解题思路，列出便于解题的方程组.
投资/元 收入/元 利润/元
去年 y x 8 000
今年 (1+10%)y (1+35%)x 11 800
解：设李明家去年种植菠萝的收入为x 元，投资为y 元.
由题意，得 x-y=8 000，
(1+35%)x-(1+10%)y=11 800.
解这个方程组，得 x=12 000，
y=4 000.
所以(1+35%)x=1.35×12 000=16 200.
答：李明家今年种植菠萝收入了16 200 元.
例10
父亲给儿子出了一道题，要儿子算出答案：有一对母女，5 年前母亲的年龄是女儿年龄的15 倍，15 年后，母亲的年龄比女儿年龄的2 倍多6 岁，求现在这对母女的年龄分别是多少.
解题秘方：分别设出现在这对母女的年龄，再用它们分别表示出5年前这对母女的年龄和15年后这对母女的年龄，则根据“5年前，母亲的年龄是女儿年龄的15倍”和“15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2 倍多6 岁”，可列出方程组.
方法技巧：
解答年龄问题的关键是年龄差不变及增长岁数相同. 解答时要以列表作为建模策略，分析问题中所蕴涵的数量关系，具体如下表：
母亲 女儿
现在的年龄/ 岁 x y
5 年前的年龄/ 岁 x-5 y-5
15 年后的年龄/ 岁 x+15 y+15
解：设现在这对母女的年龄分别是x 岁和y 岁.
由题意，得 x-5=15(y-5)， 解得 x=35，
x+15=2(y+15)+6. y=7.
答：现在这对母女的年龄分别是35 岁和7 岁.
例 11
小敏做拼图游戏时，把8 个一样大小的小长方形拼成
一个大的长方形，如图10.5-2 所示. 小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图10.5-3 所示的大正方形，不过中间留下了一个边长为2 cm 的小正方形的空白，你能算出小长方形的长和宽各是多少吗？
解题秘方：根据拼图方式列出小长方形的长和宽之间的数量关系.
思路点拨：
在图10.5-2 中大长方形的长有两种表示形式，一种是5 个小长方形的宽的和，另一种是3 个小长方形的长的和；在图10.5-3 中大正方形的边长也有两种表示形式，一种是1 个小长方形的长和2 个小长方形的宽的和，另一种从中间看为2 个小长方形的长和小正方形的边长的和，由此可设未知数并列出方程组求解.
解：设小长方形的长是x cm，宽是y cm.
由题意，得 3x=5y，① 整理得 3x-5y=0，③
2x+2=x+2y. ② x-2y=-2. ④
③ - ④ ×3，得y=6. 将y=6 代入④，得x=10.
所以原方程组的解是 x=10，
y=6.
答：小长方形的长是10 cm，宽是6 cm.
也可写为x+2=2y
知识点
建立二元一次方程组的模型对实际问题进行判断或方案设计
3
建立二元一次方程组的模型就是为了解决实际问题. 对某个问题要进行判断或设计方案时，关键之处在于：
(1)要分析解决此问题时需要解决哪几个未知量，然后根据需要设未知数；
(2)看方程组的解是否符合实际问题的限制条件.
特别提醒：
设计方案问题应从不同的角度去考虑，先考虑多种可能的方案，最后根据结果合理地选择方案.
例12
某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1 000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达4 500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至7 500 元. 当地一家公司收获这种蔬菜共140 吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16 吨；如果进行精加工，每天可加工6 吨，但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司制定了三种加工方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，并将没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：对部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15 天内完成.
你认为哪种方案获利最多？为什么？
解法提醒：
解决优化方案问题，首先要列举出所有可能的方案，再按题中的要求分别求出每种方案的具体结果，从中选择最优方案.
▲ ▲
▲
解题秘方：分别求出三种方案的利润，进行比较，求利润时，找出与利润相关的未知量去设未知数.
解：方案三.
理由：方案一：将蔬菜全部进行粗加工，易知15 天内能全部加工完，获利为4 500×140=630 000(元).
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，即
精加工的质量为6×15=90(吨).
获利为7 500×90+1 000×(140-90)=725 000(元).
方案三：设对x 吨蔬菜进行精加工，y 吨蔬菜进行粗加工.
由题意，得 x+y=140，解得 x=60，
+ =15. y=80.
所以获利为7 500×60+4 500×80=810 000(元).
因为630 000 ＜ 725 000 ＜ 810 000，
所以方案三获利最多.
用二元一次方程组解决问题
实
际
问
题
建模
设列
数学问题
(列二元一
次方程组)
数学问题的
解(二元一次
方程组的解)
检验
请完成教材课后习题
作业提升

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