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考点 9 平面解析几何
【易错点分析】
1.已知直线的倾斜角为 ( 90 ) ，则直线的斜率为 k tan .
2. y y经过两点 P1 (x1 ，y1 )，P2 (x2 ，y2 )(x1 x2 ) 的直线的斜率公式 k 2 1 .x2 x1
3.两条直线平行与垂直的判定：设两条直线 l1 ，l2 的斜率分别为 k1 ，k 2 .
（1） l1 l2 k1 k2 ；（2） l1 l2 k1k2 1 .
4.直线的方程：
（1）点斜式： y y0 k (x x0 ) .
（2）斜截式： y kx b .
3 y y x x（ ）两点式： 1 1 .
y2 y1 x2 x1
x y
（4）截距式： 1(a 0,b 0) .
a b
（5）一般式： Ax By C 0 (A，B 不同时为 0) .
5.直线的交点坐标与距离公式
A1x B1y C1 0
①一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 ，若方程组有唯一解，则
A2x B2 y C2 0
两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线
平行.
②两点 P1 (x1 ，y1 )，P2 (x2 ，y2 ) 间的距离公式 | P1P2 | (x2 x1)
2 (y2 y1)
2 .
特别地，原点O(0，0) 与任一点 P(x，y) 的距离 | OP | x2 y2 .
③点到直线的距离：点 P0 ( x0 ，y0 ) 到直线 l : Ax By C 0
| Ax By C |
的距离 d 0 0 .
A2 B 2
④ 两 条 平 行 直 线 间 的 距 离 ： 若 直 线 l1 ，l2 的 方 程 分 别 为 l1 : Ax By C1 0 ，
l2 : Ax By C 0
| C C |
2 ，则两平行线的距离 d 2 1 .
A2 B 2
6.圆心为 A(a，b) ，半径为 r 的圆的标准方程： ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 .
7.圆的一般方程： x 2 y 2 D x Ey F 0( D 2 E 2 4 F 0) .
8.判断直线与圆的位置关系的方法：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）： 0 相交， 0
相离， 0 相切.
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径r的大小）：设圆心到直线的距离为d，则
d r 相交，d r 相离，d r 相切.
9.圆与圆的位置关系
设圆O1 半径为 r1，圆O2 半径为 r2 .
圆心距与两圆半径的关系 两圆的位置关系
| O1O2 | | r1 r2 | 内含
| O1O2 | | r1 r2 | 内切
| r1 r2 O1O2 r1 r2 | 相交
| O1O2 | | r1 r2 | 外切
| O1O2 | | r1 r2 | 外离
10.椭圆：
（1）定义：平面内与两个定点 F1 ，F2 的距离的和等于常数（大于 | F1F2 |）的点的轨迹叫做椭
圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
（2）标准方程：
x2 y2
①中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 2 2 1 (a b 0) ；a b
y2 x2
②中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为 2 2 1 (a b 0) .a b
（3）焦点三角形

①P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点， F1 ，F2 为椭圆的两焦点，则 S
2
△PF F b tan ，1 2 2
其中 为 F1 PF2 .
②P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点， F1 ，F2 为椭圆的两焦点，则△PF1F2 的周长为
2(a c) .
③过焦点 F1 的弦 AB 与椭圆另一个焦点 F2 构成的△ ABF2 的周长为 4a .
（4）椭圆的方程与简单几何性质
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
x2 y2 y2 x2
标准方程 2 2 1 (a b 0) 2 2 1 (a b 0)a b a b
一般方程 Ax 2 By 2 1( A 0, B 0, A B )
焦点坐标 F1 ( c, 0), F2 (c, 0) F1 (0, c), F2 (0, c)
A1 ( a , 0), A2 (a , 0) A1 (0, a ), A2 (0, a )
顶点坐标
B1 (0, b), B2 (0, b) B1 ( b , 0), B2 (b , 0)
范围 | x | a,| y | b | x | b,| y | a
长轴长 | A1 A2 | 2a
短轴长 | B1B2 | 2b
焦距 | F1 F2 | 2c
2
e c b 1 2 (0 e 1)，
离心率 a a
越接近于 1，椭圆越扁；越接近于 0，椭圆越圆
11.双曲线：
（1）定义：平面内与两个定点 F1 ，F2 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 | F1F2 |）的点
的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
（2）标准方程：
x2 y2
①中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 1(a 0,b 0) ；
a2 b2
y2 x2
②中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 2 2 1(a 0,b 0) .a b
（3）焦点三角形
①P 为双曲线上的点， F1 ，F2 为双曲线的两个焦点，且 F1PF2 ，则
b2S△F c | y | .1PF2 ptan
2
②过焦点 F1 的直线与双曲线的一支交于 A，B 两点，则 A，B 与另一个焦点 F2 构成的△ ABF2
的周长为 4a 2 | AB | .
③若 P 是双曲线右支上一点， F1 ，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则 | PF1 |min a c ，
| PF2 |min c a .
x2 y2
④P 是双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 右支上不同于实轴端点的任意一点， F1 ，F2 分别为双a b
曲线的左、右焦点， I为△PF1F2 内切圆的圆心，则圆心 I的横坐标恒为定值 a.
（4）双曲线的几何性质
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
x2 y2 2 2
标准方程 2 2 1(a 0,b 0)
y x
2 2 1(a 0,b 0)a b a b
焦点坐标 F1 ( c, 0), F2 (c, 0) F1 (0, c), F2 (0, c)
顶点坐标 A1 ( a , 0), A2 (a , 0) A1 (0, a ), A2 (0, a )
范围 | x | a | y | a
对称性 关于 x 轴、y 轴对称，关于原点对称
实、虚轴长 实轴长为 2a，虚轴长为 2b
离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 e
c

a
b
渐近线方程 y x y
a
x
a b
12.抛物线：
（1）定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经过点 F）的距离相等的点的轨迹叫
做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
（2）标准方程：
①焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y 2 mx(m 0) ；
②焦点在 y 轴上的抛物线的方程为 x 2 ny (n 0) .
（3）抛物线的几何性质
标准方程 y 2 2 px ( p 0) y 2 2 px ( p 0) x 2 2 py ( p 0) x 2 2 py ( p 0)
范围 x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0
x p p p准线 x y y
p

2 2 2 2
p p p p
焦点 ( ,0) ( ,0) (0, ) (0, )
2 2 2 2
对称性 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称
顶点 (0,0)
离心率 e 1
p p p p
焦半径长 x0 x2 0
y0 y 2 2 0 2
焦点弦长 x0 x1 p (x0 x1 ) p y0 y1 p ( y0 y1 ) p
1.已知直线 l1 : ax 4 y 2 0 与直线 l2 : 2 x 5 y b 0 互相垂直，垂足为 1, c ，则a b c的
值为( )
A.20 B.-4 C.0 D.24
2.已知圆M :x2 y2 2ay 0 a 0 截直线 x y 0 所得线段的长度是 2 2 ，则圆 M 与圆
N : x 1 2 y 1 2 1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
2 2
3. x y已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲a b
线交于 A, B 两点.设 A, B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 1 和 d 2 ，且 d1 d 2 6 ，则
双曲线的方程为( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 2 2A. 1 B. 1 C. 1 D. x y 1
4 12 12 4 3 9 9 3
4.已知抛物线C : y 2 4 x 的焦点为 F，过点 F 分别作两条直线 l1 , l2 ，直线 l1与抛物线 C 交于
A、B 两点，直线 l2与抛物线 C 交于 D、E 两点，若 l1与l2的斜率的平方和为 1，则 AB DE
的最小值为( )
A.16 B.20 C.24 D.32
x2 y2 AF5. 2椭圆 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，左顶点为 A， 9，点a b AF1

P 5 5

,2 在椭圆上，则椭圆的四个顶点围成的四边形的内切圆面积为( )
3
A. 32π 125π 225πB. C. D. 256π
9 34
6. 2 2已知抛物线C : y 2 2 px ( p 0) 的焦点为 F，经过点 P p , 0

且斜率为 的直线 l 与抛
2 3
物线 C 交于 A，B 两点，若 | AF | 2 | BF | ，且 S 2 ，则 p ( )BOF 2
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知圆C1 :(x 3)
2 (y 1)2 4，直线 l :14x 8 y 31 0 ，则圆 C1关于直线 l 对称的圆 C2
的标准方程为__________________.
2
8. y已知直线 l : x y m 0 与双曲线 x2 1交于不同的两点 A，B.若线段 AB 的中点在圆
2
x 2 y 2 5 上，则 m 的值是___________.
x2 y 29.过椭圆 1 上一点 P 分别向圆C1 : ( x 3) 2 y 2 4 和圆C : ( x 3) 22 y 2 1作切线，36 27
切点分别为 M，N，则 | PM |2 2 | PN |2 的最小值为________.
10.已知抛物线C : x 2 2 px 经过点 (2, 1)．
(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程.
(2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M , N 直线
y 1分别交直线OM ,ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定
点．
答案以及解析
1.答案：B
a 2 a 2
解析：直线 l1 的斜率为 ，直线 l2 的斜率为 ，由两直线互相垂直，可知 = 1，4 5 4 5
解得 a 10，所以直线 l1 的方程为 5x 2 y 1 0 .将 1, c 代入直线 l1 的方程，得5 2c 1 0，
解得 c 2，将 1, 2 代入直线 l2 的方程，得 2 10 b 0，解得b 12，所以
a b c 10 12 2 4 .故选 B.
2.答案：B
解析：将圆 M 的方程化为 x 2 ( y a ) 2 a 2 (a 0) ， 圆心为 M (0,a)，半径为 r1 a ，圆
M | a |心 到直线 x y 0 的距离为 a2 2 ， a 2 ，即 M (0,2) .又圆 N 的圆心为 N (1,1)，
2
半径为 r2 1， | MN | 1
2 (1 2)2 2 ， r1 r2 | MN | r1 r2 ，圆 M 与圆 N 相交.
3.答案：C
b2 b2
解析：通解 因为直线 AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取 A c, ， B c, ，取双
a a
bc b2 2
曲线的一条渐近线为直线 bx ay 0 ，由点到直线的距离公式，可得 d bc b1 ，
a2 b2 c
bc b2
d bc b
2 2 2
2 .
bc b bc b
因为 d1 d 2 6 ，所以 6 ，所以 2b 6，得b 3.
a2 b2 c c c
x2 y2 c 2 2
因为双曲线 2 2 1(a 0,b
a b
0) 的离心率为 2，所以 2 ，所以 4，所以
a b a a2
a2 9 x2 2
4，解得 a2 y2 3，所以双曲线的方程为 1，故选 C.a 3 9
优解 由 d1 d 2 6 ，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3，所以b 3.因为双曲线
x2 y2 c 2 2 2
2 2 1(a 0,b 0) 的离心率为 2
a b a 9
，所以 2 ，所以 2 4，所以 2 4，解得a b a a a
2 2
a2 3 x y，所以双曲线的方程为 1，故选 C.
3 9
4.答案：C
解析：易知直线 l1 , l2 的斜率存在，且都不为零，设 A x1 , x 2 ， B x2 , y 2 ， D x3 , y3 ，
y2 4x
E x4 , y 4 ，直线 l1 的方程为 y k1 x 1 ，联立方程 ，得
y k1 x 1
k2x2 2k2 4 x k2 2 0，所以 x x 2k 2 41 1 1 ，同理直线 l2 与抛物线的交点坐标满足1 2 k 22
2k 2x x 2 4 ，由抛物线的定义可知3 4 k 22
2k 2 4 2k 2AB DE x 4 4 4 1 x2 x x 2 p 1 2 4 8 ，又 k
2 k 21 2 1 ，所以3 4 k 2 k 2 k 2 k 21 2 1 2
4 4 4 4 2 2 4k 2 4k 2 4k 2 4k 2
k 2

k 2
k 2 k 2 k
2 1 2 1 2 2
1 k2 8 2 2 8 2 2 2 16 (当且仅当 k1 k 2 时取
1 2 1 2 k1 k2 k1 k2
4 4
等号)，所以
2 2 8 16 8 24，所以 AB DE 的最小值为24，故选 C.k1 k2
5.答案：C
AF2 a c
解析：因为 9，所以 9，所以 4a 5c .因为 a2 b2 c2，所以 9a 2 25b2 .因为
AF1 a c
2
5 5

P 5 5
3 2
点 ,2
2
在椭圆上，所以

2 2 1，所以125b
2 36a 2 9a 2b2 ，解得
3 a b
a 2 25, b 2 9 .因为 a 0,b 0 ，所以 a 5, b 3 .设椭圆的顶点腰的四边形的内切圆半径为 r，
2
1 1 15 225π
所以 5 3 52 32 r ，解得 r 15 ，所以所求圆的面积为 π ，故选
2 2 34 34

34
C.
6.答案：B
p
解析：抛物线 C 的准线方程为 l : x ，直线 l 的方程为 y 2 2 p x .如图，过点 A，2 3 2
B 分别作 AM l 于点 M， BN l 于点 N，则 BN //AM .由 | AF | 2 | BF | 得 | AM | 2 | BN |，
1
点 B 为 AP 的中点.又因为 O 为 PF 的中点，连接 OB，则 | OB∣ | AF |，所以 | OB | | BF |，
2
p x pB 2 p故点 的横坐标为 ，将 代入抛物线 y 2 2 px 得 y ，故点 B 的坐标为
4 4 2
p 2 p , S 1 | OF | 2 p 1 p 2 p 2 ，由 ，解得 p 2 ，故选 B.
4 2
BOF
2 2 2 2 2 2
7. (x 4)2答案： (y 5)2 4
7 2
解析：设圆 C2的圆心坐标为（m,n）.因为直线 l 的斜率 k ，圆C1 :(x 3) (y 1)
2 4的
4
n 1 4

圆心坐标为（-3 1 ， ），半径 r 2，所以由对称性知 m 3 7 ，解得
14 3 m 8 1 n 31 0
2 2
m 4 2
.所以圆 C2的标准方程为 (x 4) (y 5)
2 4
n 5 .
8.答案： 1
x y m 0
解析：由 y 2 消去 y，得 x
2 2mx m2 2 0 . 4m2 4m2 8 8m2 8 0 .设
x 2 1
2
A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ，则 x1 x2 2m ， y1 y2 x1 x2 2m 4m ，∴线段 AB 的中点坐标为
(m, 2m) .又∵点 (m, 2m) 在圆 x 2 y 2 5 上，∴ 5m2 5，∴ m 1.
9.答案：90
a 6,b 3 3, c a2 2解析：由已知可得 b 3, C1( 3,0),C2(3,0)为椭圆的两个焦点，
| PM |2 2 | PN |2 PC 21 4 2 PC 22 1 PC 21 2 PC 22 6 .根据椭圆定义得
PC1 PC 2 2a 12 .设 PC2 t ，则 a c t a c，即3 t 9，
| PM |2 2 | PN |2 (12 t ) 2 2t 2 6 3t 2 24t 138 3(t 4) 2 90, 当 t 4时，
| PM |2 2 | PN |2 取到最小值 90.
10.答案：（1）由抛物线C : x 2 2 py 经过点（2，-1），得 p 2 .
所以抛物线 C 的方程为 x 2 4 y ，
其准线方程为 y 1 .
（2）抛物线 C 的焦点为 F (0, 1) .
设直线 l 的方程为 y kx 1(k 0) .
y kx 1
由 2x2 4y ，得 x 4kx 4 0 .
设 M x1 , y1 , N x 2 , y 2 ，则 x1 x2 4 .
直线 OM y的方程为 y 1 x .
x1
令 y 1，得点 A 的横坐标 x xA 1 .y1
x
同理得点 B 的横坐标 xB 2 .y2
uuur x uuur x
设点 D（0，n），则 DA 1 , 1 n ， DB 2 , 1 n ，
y1 y2
uuur uuur
DA DB x 1x2 (n 1)2
y1 y2
x
1
x2 (n 1)2
x21 x
2
2
4 4
16
(n 1)2
x1x2
4 (n 1) 2 .
uuur uuur
令 D A D B 0 ，即 4 (n 1) 2 0 ，得 n 1或 n 3.
综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点（0，1）和（0，-3）.

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