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高中数学三角函数与解三角形练习题及答案
一、单选题
1．已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数的一个零点是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）
A．6m2 B．9m2 C．12m2 D．15m2
5．若，则的值为（ ）
A．3 B． C．－3 D．
6．若角的终边上一点的坐标为，则( )
A． B． C． D．
7．（ ）
A． B． C． D．
8．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该图象对应的函数解析式为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递减
二、填空题
11．已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是_______
12．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且若以点为圆心，为半径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为________.
13．已知函数的部分图象如下图所示，则满足不等式的解集为___________．
14．已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.
三、解答题
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)如图，若D为外一点，且，，，，求AC．
16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
17．在平面四边形中，，，．
(1)若，求；
(2)若的中点为，．求．
18．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
(1)求；
(2)若，是外的一点，且，，则当为多少时，平面四边形的面积最大，并求的最大值．
试卷第11页，共33页
试卷第11页，共33页
参考答案
1．B
【分析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，得到周期为，进而得到，再利用平移变换得到图象，然后根据图象关于y轴对称，求得解析式即可.
【详解】解：由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为，
所以，所以．
将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象．
因为得到的图象关于y轴对称，
所以，，即，．
又，
所以，
所以．
由得，，即．
故选：B．
2．D
【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】因为，所以.由，得.
当时，，又，则.
因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.
故选：D.
3．A
【分析】根据已知条件求出，再求出其正切值即可得解.
【详解】因为，，
所以，所以.
故选：A
4．B
【分析】根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答.
【详解】依题意，弦(m)，矢(m)，
则弧田面积=(m2)，
所以弧田面积约是9m2.
故选：B
5．A
【分析】根据凑角的思路可得，再用正切的两角和公式求解即可.
【详解】,
故选：A.
6．C
【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.
【详解】∵角的终边上一点的坐标为，它与原点的距离，
∴，
故选：C.
7．D
【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
8．A
【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域.
【详解】函数，
因为，
所以当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
故函数的值域为，
故选：A．
9．C
【分析】利用诱导公式将a、b、c对应角转化到正弦函数的一个单调区间内，进而比较函数值的大小即可.
【详解】，，
而，则，
所以.
故选：C
10．B
【分析】先依据图像求得函数的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间的说法.
【详解】由图象可知，即，所以，
又，可得，又因为所以，
所以，故A错误；
当时，.故B正确；
当时，，故C错误；
当时，则，函数不单调递减.故D错误．
故选：B
11．15
【分析】由题意可得是y＝f（x）图像的对称轴，而为f（x）的零点，从而可得 ，n∈Z，由在区间上有最小值无最大值，可得周期T≥（），从而可求得ω≤16，然后对ω＝15进行检验即可
【详解】由题意知函数为y＝f（x）图象的对称轴，
为f（x）的零点，∴ ，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间上有最小值无最大值，
∴周期T≥（），即，∴ω≤16．
∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），
在区间上，15x∈[，），此时f（x）在时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.
故答案为：15.
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图像和性质的应用，解题的关键是恒成立，得是y＝f（x）图像的对称轴，再结合为的零点，可得 ，n∈Z，考查分析问题的能力，属于较难题
12．
【分析】根据椭圆定义可知，根据圆与相切得，进而根据两个三角形中余弦值相等，即可列出关系式求解关系.
【详解】如图，过点P作PQ垂直直线x＝－c，垂足为Q，连接.由得，
所以，则，所以.在中，由余弦定理知，.因为，所以，则，所以.
故答案为:
13．
【分析】由图及五点作图法求得、、，再由及正弦函数性质求不等式解集.
【详解】由图知：，则，而，得：，
所以，则，
故，又得：，
所以，即，，
则，.
故答案为：
14．
【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值．
【详解】依题意，当时，y有最小值，即，
则，所以.
因为在区间上有最小值，无最大值，所以，
即，令，得.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式和正弦定理可得，进而得，从而得到；
（2）连接BD，由已知得，，可得，利用正弦定理可得，最后利用余弦定理求得．
【详解】（1）由，
得，
即，
由正弦定理，得，
整理，得，
∴，
又，∴，∴，
又，∴；
（2）连接BD，因为，，，
所以，，
所以，所以．
又，所以，
在中，由正弦定理可得，即，
所以．
在中，由余弦定理可得
，
所以．
16．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）设，利用已知条件及几何关系可得，在中利用正弦定理及商数关系得到关于的方程，即可求解；
（2）设，，利用几何关系求解的表达式，在中，利用余弦定理得到关于的方程，求解的值即可得出结论.
（1）
解：设，因为，所以，
又，所以，
在中，由正弦定理可得，所以
所以，即，
解得，
因为，所以，所以.
（2）
解：设，，
因为中，为中点，所以，，
作，则矩形中，，，
因为中，，所以，，
在中，由余弦定理可得，
即
整理得，即，
解得，即.
18．(1)
(2)时，S最大值为
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用两角和差公式进行化简即可.
（2）将四边形面积分成两个三角形面积和来解决，设，则利用x分别表示的面积，然后在中，利用余弦定理找到x与∠D的关系，最后构造函数利用函数值域来求最值.
(1)
在中，内角所对的边分别是，已知．
由正弦定理得：，又，
，
，，
，，．
(2)
，，是等边三角形，设，，
，，，，
由余弦定理得，
，
，，当，即时，
平面四边形的面积取最大值．
答案第11页，共22页
答案第11页，共22页

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