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2023年吉林大学附中中考数学二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是由个相同的正方体堆成的物体，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
2. 火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近时的距离约为千米将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 不等式组的解集表示正确的是( )
A. B. C. D. 或
4. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔的高度，信号塔对面有一座高米的瞭望塔，从瞭望塔顶部测得信号塔顶的仰角为，测得瞭望塔底与信号塔底之间的距离为米，设信号塔的高度为米，则下列关系式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，是的切线，点为切点，交于点，的延长线交于点，
点在优弧上，连接、、，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
7. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使∽，根据作图痕迹判断，正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系，等腰直角的顶点、均在函数的图象上，点在轴正半轴上，，若点的横坐标为，点的纵坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 因式分解：______．
10. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是______写出一个值即可
11. 有大小两种货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，则辆大货车与辆小货车一次可以运货______吨．
12. 如图，线段以为直径作半圆，再分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点则图中阴影部分的周长为______ ．
13. 如图，在正方形中，点、分别在边，上，与交于点若，，则的长是______．
14. 在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上若，则的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
16. 本小题分
一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母，，，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图或列表的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．
17. 本小题分
为坚决打好打赢长春疫情防控保卫战，长春市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数是原计划的倍，结果提前小时完成检测任务．求原计划每小时检测多少人？
18. 本小题分
图、那，图积是的间格，每个小正方形的顶点称为格点，顶点、、均在格点上，在图，图，图给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
网格中的度数是______ ；
在图中画出中边上的中数；
在图中确定一点，使得点在边上，且满足；
在图中画出，使得与是位似图形，且点为位似中心，点、分制在，边上，位似比为．
19. 本小题分
如图，在四边形中，，，平分交边
于点，连结．
求证：四边形是菱形．
连结，若，，则的长为______．
20. 本小题分
某校为了提高学生的科普知识，推出了特色科普项目直播课程科普云课堂，吸引了全校学生踊跃参与线上科普学习，广受好评为了解全校名学生观看科普直播课程的情况，该校采用抽样调查的方式来进行统计分析．
方案选择以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定名学生观看课程节数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取名男生观看课程节数以及在九年级中随机抽取名女生观看课程节数作为样本；
方案三：从全校名学生中按照学号随机抽取名学生的观看课程节数作为样本．
其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是______ 填写方案一”、“方案二”或“方案三”；
分析数据学校用合理的方式抽取了名学生，对他们观看课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
I.观看课程节数的节数分布表如表：
节数 频数 频率
总数
课程节数在这一组的数据是：
，；，，，，，，，，，，，．
请根据所给信息，解答下列问题：
______ ； ______ ；
随机抽取的名学生观看课程节数的中位数是______ ；
做出预估根据抽查结果，请估计该校名学生观看课程节数不少于次的人数．
21. 本小题分
甲、乙两地相用，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：
线段表示轿车在途中停留了______；
求线段对应的函数解析式；
甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶小时追上货车，求甲地与加油站之间的距离．
22. 本小题分
【感知】如图，中，，，易知不需要证明．
【探究】如图，四边形是一张边长为的正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，折痕交于点，求的度数和的长．
【拓展】若矩形纸片按如图所示的方式折叠，、两点恰好重合于一点如图，若，直接写出的长．
______
23. 本小题分
如图，在中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，过点作交折线、于点，连结将绕点逆时针旋转得到设点的运动时间为秒．
用含的代数式表示线段的长；
当点落在边上时，求的长；
当点在内部时，求的取值范围．
当线段将的面积分成：的两部分时，直接写出的值为______ ．
24. 本小题分
在平面直角坐标系中，函数为常数的图象记为．
设，当经过点时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．
判断图象与轴公共点的个数，并说明理由．
当时，图象的最高点与最低点纵坐标之差为，求的取值范围．
线段的端点坐标分别为、，当图象与轴有两个公共点时，设其分别为点、点点在点左侧，直接写出四边形周长的最小值及此时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：这个组合体的三视图如下：
故选：．
画出该组合体的三视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
故选：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：根据图形可以得到：
；
所以：，，都是错误的；
故选：．
利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，
则米，米，
米，
米，
在中，，
，
故选：．
过点作，垂足为，米，米，从而求出米，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：连接，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，由切线的性质得出，求出的度数，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理可得出答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：当是的垂线时，∽．
，
，
，
，
，
∽．
根据作图痕迹可知，
选项中，是的平分线，不与垂直，不符合题意；
选项中，是边上的中线，不与垂直，不符合题意；
选项中，是的垂线，符合题意；
选项中，，不与垂直，不符合题意．
故选：．
若∽，可得，即是的垂线，根据作图痕迹判断即可．
本题考查尺规作图、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：作轴，轴于点，，
把代入得，
点坐标为，
把代入代入得，
点坐标为，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
≌，
，，
，
即，
解得，
故选：．
作轴，轴于点，，用含代数式表示点，坐标，通过求解．
本题考查反比例函数与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握反比例函数与等腰直角三角形的性质．
9.【答案】
【解析】首先提公因式，再利用平方差进行二次分解．
解：原式．
故答案为：．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，得，
解得，
，
的值可以为，
故答案为：．
根据一元二次方程根的情况，可得，解出的取值范围，即可进行判断．
本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：设辆大货车一次可以运货吨，辆小货车一次可以运货吨，
根据题意得：
得：
再除以得：
故答案为：．
本题考查得是二元一次方程得应用，审题、列方程是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
阴影部分的周长为弧，弧和半圆的和．
本题考查了弧长公式：，也考查了等边三角形的判定与性质，难度适中．
13.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，．
，
．
即．
在与中，
．
≌．
．
．
．
．
．
在中，
．
，
．
故答案为：．
利用正方形的性质证明≌，得到，再根据等量代换求出，最后利用根据，求出的长．
本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，其中利用等积式求线段的长是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：将代入得，
将代入得，
将代入得，
，
，
，
将代入得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由抛物线经过可得，分别将，，代入解析式，根据及的取值范围求解．
本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
15.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【解析】先用单项式乘多项式法则，平方差公式及合并同类项法则化简，再把的值代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握单项式乘多项式法则，平方差公式及合并同类项法则，把所求式子化简．
16.【答案】解：列表得：

由列表可知可能出现的结果共种，其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数有种，
所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．
【解析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
列表得出所有等可能的情况数，再找出两次摸出的小球所标字母相同的情况数，即可求出其概率．
17.【答案】解：设原计划每小时检测人，则实际上每小时检测人，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每小时检测人．
【解析】设原计划每小时检测人，则实际上每小时检测人，利用检测时间检测总人数每小时检测人数，结合实际比原计划提前小时完成检测任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图：
，，，
，
故答案为：；
在图中，中线即为所求；
在图中，点即为所求；
在图中，即为所求．
根据等腰直角三角形的性质解答即可；
根据网格即可在图中画出中边上的中线；
根据网格即可在图中确定一点，使得点在边上，且满足；
根据网格即可在图中画出，使得与是位似图形，且点为位似中心，点、分别在、边上，位似比为．
本题考查了作图位似变换，解决本题的关键是掌握位似变换．
19.【答案】
【解析】证明：平分，
，
，
．
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形．
解：如图，连接交于，
，
，
由可知，四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
故答案为：．
证，得，则，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
连接交于，由等腰三角形的性质得，再由菱形的性质得，，，然后由锐角三角函数定义得，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】方案三
【解析】解：【方案选择】抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是方案三，
故答案为：方案三；
【分析数据】，
；
故答案为：，；
节数在这一组的数据是：

随机抽取的名学生观看直播课节数的中位数是，
故答案为：；
【做出预估】人，
答：估计该校名学生观看课程节数不少于次的人数大约有人．
【方案选择】根据抽样调查的样本要具有广泛性和代表性可得抽样调查方案；
【分析数据】根据频数分布表即可求出、；
根据中位数的定义解答即可；
【做出预估】利用样本估计总体的方法即可估计该校学生中观看网络直播课节数不低于次的人数．
本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
21.【答案】
【解析】解：线段表示轿车在途中停留了，
故答案为：；
设线段对应的函数解析式是，
将，代入得：
，
解得，
答：线段对应的函数解析式是；
货车匀速行驶，速度为，
线段函数表达式是，
由得：，即时，轿车追上货车，
轿车到达加油站时，，
在中，令，得，
甲地与加油站之间的距离是．
观察图象直接可得轿车在途中停留了；
设线段对应的函数解析式是，将，代入得线段对应的函数解析式是；
货车匀速行驶，速度为，由得时，轿车追上货车，故轿车到达加油站时，，即得，从而知甲地与加油站之间的距离是
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，列出函数关系式．
22.【答案】
【解析】解：【探究】、分别为、的中点，
垂直平分，
，
沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，
，，，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
，
；
【拓展】、两点恰好重合于一点，
，，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
【探究】根据，，可知，从而得出的度数，再根据角所对的直角边是斜边的一半可得的长，从而得出答案；
【拓展】由折叠知，则，设，则，根据，求出和的长，再说明是等边三角形，求出的长即可解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握含角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
23.【答案】或
【解析】解：如图中，当点在线段上时，，
在中，，，
，
，
，
解得：，；
，
，
．
如图中，当点在线段上时，．
，
，
综上所述，；
如图中，当点落在上时，，
，
，
解得，，
时，点落在上，此时；
故AD的长为．
如图中，当点落在边上时，，
，
解得，．
观察图象可知当时，点落在内部；
如图中，当的面积时，
则有，，
负根已经舍去．
当四边形的面积时，的面积，
则有，
舍去不合题意负根已经舍去，
如图中，当的面积时，
则有，，
或舍去，
故答案为：或．
分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在线段上时，分别求解即可；
如图中，当点落在上时，，根据，构建方程求解即可；
求出点落在上时，的值，即可判断；
分两种情形：如图中，当的面积的面积时，如图中，当的面积的面积时，分别构建方程求解．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24.【答案】解：经过点
，
解得：或．
，
．
此函数的表达式为．
，
此函数图象的顶点坐标为；
图象与轴公共点的个数为两个，理由：
令，则，
，
方程由两个不相等的实数根，
即抛物线图象与轴有两个公共点；
，
抛物线的顶点为．
当时，由于，则，
当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为，
由题意得：，
解得：，均不符合题意，舍去；
当时，则，且，
当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为，
由题意得：，符合题意，
当时符合题意；
时，，
当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为，
由题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
综上，的取值范围为：；
令，则，
解得：或，
点在点左侧，
，．
．
如图，，
当四边形的周长最小时，即最小．
将点向左平移四个单位得到，
则，，
，
四边形为平行四边形，
，
．
作点关于轴的对称点，连接，则，
由将军饮马模型可知：此时，取得最小值为．
，
四边形的周长的最小值为：；
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
此时，
，
．
四边形周长的最小值为，此时的值为．
【解析】利用待定系数法和配方法解答即可；
令，则，利用一元二次方程的判别式大于解答即可；
利用分类讨论的思想方法分三种情形，利用函数的图象的性质分别求得二次函数的最大与最小值，依据题意列出等式解答即可；
利用勾股定理求得线段的长，利用，的坐标得到的长，则当取得最小值时，四边形的周长最小，将点向左平移四个单位得到，作点关于轴的对称点，连接，利用将军饮马模型即可求得的最小值；利用勾股定理计算得到，则四边形周长的最小值可求，利用待定系数法求得的解析式，令即可求得点坐标，则值可求．
本题主要考查了二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，一元二次方程的判别式，抛物线与轴的交点，轴对称的性质，函数的极值，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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