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广西南宁市宾阳县2023年中考一模数学试题
一、单选题
1．（2023·宾阳模拟） 2023的绝对值为（　　）
A．2023 B． C． D．
2．（2017·山东模拟）下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·西藏）我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.232×109 B．2.32×109 C．2.32×108 D．23.2×108
4．（2019九上·三门期末）将 向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·宾阳模拟）不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．下列成语所描述的事件是必然事件的是（　　）
A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．画饼充饥
7．（2020·中山模拟）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
8．（2023·宾阳模拟）下面计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·宾阳模拟）某校安排三辆车，组织九年级学生团员到“夕阳红”敬老院参加三月学雷锋活动，其中小王与小明都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小明同车的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（2019·重庆）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2017八下·下陆期中）如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（　　）
A． B． C． D．8
12．（2023·宾阳模拟）如图，点A、C为反比例函数图象上的点，过点A、C分别作轴，轴，垂足分别为B、D，连接、、，线段交于点E，点E恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为（　　）
A． B．8 C． D．
二、填空题
13．（2022·贺州）因式分解： 　 　.
14．（2023·宾阳模拟）若关于x的一元二次方程有相等的两个实数根，则a的值为　 　.
15．（2023·宾阳模拟）如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是　 　.
16．（2023·宾阳模拟）如图，是河堤横断面的迎水坡，其中河堤的高米，米，则斜坡的坡度（即的值）为　 　.
17．（2023·宾阳模拟）在平面直角坐标系中，记直线为l.点是直线l与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线l于点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形.则点的坐标是　 　.
三、解答题
18．（2023·宾阳模拟）计算：.
19．（2023·宾阳模拟）先化简，再求值：，其中.
20．（2023·宾阳模拟）如图，三个顶点的坐标分别为.
（ 1 ）请画出向下平移5个单位长度后得到的；
（ 2 ）请画出关于y轴对称的.
21．（2023·宾阳模拟）2023年是中国共产主义青年团建团101周年.某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，八，九年级各有400名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析.下面给出了部分信息：
a.八年级学生的成绩整理如下(单位：分)：57，67，69，75，75，75，77，77，78，78，80，80，80，80，86，86，88，88，89，96.
b.九年级成绩的频数分布直方图如下(数据分成四组：，，，)：
期中成绩在的数据如下(单位：分)：80、82、82、82、82、82、85、86、87、89；
c.两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
八年级 79.05 79 m
九年级 79.2 n 82
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m=　 　，n=　 　；
（2）若成绩达到80分及以上为优秀，估计九年级此次测试成绩优秀的总人数；
（3）哪个年级学生的整体成绩比较好？（至少从两个不同的角度说明合理性）
22．（2023·宾阳模拟）综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，D为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线，分别与边交于E，F两点，如图1所示.
（1）操作发现：如图2，当E，F分别是的中点时，试猜想线段与的数量关系是　 　；
（2）类比探究：如图3，当E，F不是的中点，但满足时，求证；
（3）拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点O重合，射线分别与交于E，F两点，且满足，请求出四边形的面积.
23．（2023·宾阳模拟）某文体店在开学来临之际购进A，B两类足球销售，已知每个A类足球的进价比B类足球的进价高元，用元购进的A类足球和用元购进的B类足球数量相等.
（1）求每个A类足球和B类足球的进价分别是多少元？
（2）该商店计划用元购进一批A类足球和B类足球，该文体店A类足球每个售价为元，B类足球每个售价元，设销售总利润为W元，若要求购进的A类足球数量不少于B类足球数量，问如何进货可使总利润W最大.
24．（2023·宾阳模拟）如图，直线l与相离，于点A，与相交于点P，.C是直线l上一点，连接并延长，交于点B，且.
（1）求证：是的切线；
（2）若，求线段的长.
25．（2023·宾阳模拟）二次函数的图象与x轴交于、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点，顶点为E.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接，连接.当，求点P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：，故A正确.
故答案为：A.
【分析】正数的绝对值为其本身，据此解答.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意．
故选C．
【分析】根据中心对称图形的概念作答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：232000000＝2.32×108.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位得到的点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线的解析式为 。
故答案为：A。
【分析】找出原抛物线解析式的顶点坐标，根据点的坐标与平移的规律“横坐标，左减右加；纵坐标上加下减”得出平移后新抛物线的顶点坐标，根据平移不会改变抛物线的开口程度及开口方向故二次项的系数不变，从而即可得出平移后新抛物线的解析式。
5．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
故答案为：A.
【分析】根据移项、合并同类项的步骤可得不等式的解集，然后根据解集的表示方法进行判断.
6．【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A.水中捞月是不可能事件，A不符合题意；
B.守株待兔是随机事件，B不符合题意；
C.水涨船高是必然事件，C符合题意；
D.画饼充饥是不可能事件，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】必然事件：是一定发生的事件，根据定义一一分析即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，
∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，
∴∠3=55°，
∴∠2=∠3=55°，
故答案为：C．
【分析】求出∠3即可解决问题；
8．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. 2a a=a，故原选项计算错误，不符合题意；
B. ，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，故原选项计算错误，不符合题意；
D. (-a3)2=a6，故原选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断B；积的乘方，先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
9．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：设三辆车分别为A、B、C，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小王与小明同车的结果有3种，
∴小王与小明同车的概率是，
故答案为：B.
【分析】设三辆车分别为A、B、C，画出树状图，找出总情况数以及小王与小明同车的结果数，然后根据概率公式进行计算.
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，
依题意，得： .
故答案为：A.
【分析】设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则乙把其一半的钱给甲后，甲的钱数为(x+)，又此时甲的钱数是50，从而列出方程； 甲把其 的钱给乙后，乙的钱数为（y+）而此时乙的钱数也为50 ，从而列出方程，联立两方程即可。
11．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，
因为CD=6，E为CD中点，故ED=3，
又因为AE=AB=CD=6，
所以∠EAD=30°，
则∠FAE= （90°﹣30°）=30°，
设FE=x，则AF=2x，
在△AEF中，根据勾股定理，（2x）2=62+x2，
x2=12，x1=2 ，x2=﹣2 （舍去）．
AF=2 ×2=4 ．
故选：A．
【分析】先图形折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解．
12．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的图象；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点C的坐标为，则点，，，，
，
.
故答案为：A.
【分析】设C（m，），则E（m，），A（m，），根据三角形的面积公式可得S△AEC=BD·AE=k=6，求解可得k的值.
13．【答案】3(m+2)(m 2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=3(m2 4)=3(m+2)(m 2)；
故答案为：3(m+2)(m 2).
【分析】首先提取3，然后利用平方差公式进行分解.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得且，
解得.
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程有相等的两个实数根可得a-1≠0且△=0，代入求解可得a的值.
15．【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：，
，
∵是的直径，与相切于点A，
，
，
故答案为：.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ABC=50°，根据切线的性质可得∠OAP=90°，然后根据∠P=90°-∠AOP进行计算.
16．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵在，米，米
∴
∴.
故答案为.
【分析】利用勾股定理可求出BC的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
17．【答案】
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；探索图形规律
【解析】【解答】解：把代入直线，得：，
所以点的坐标是，
把代入直线，得：，
所以点的坐标是，
同理点的坐标是；点的坐标是；
由以上得出规律是的坐标为.
所以点的坐标是
故答案为：.
【分析】把x=0代入y=x+1中可求出y的值，得到点B1的坐标，同理可得点B2、B3、B4的坐标，进而推出点Bn的坐标，据此解答.
18．【答案】解：原式
.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】首先计算乘方，然后计算乘除法，再计算减法即可.
19．【答案】解：
=
=
=，
把代入上式，得：原式＝.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子进行分解，然后约分即可对原式进行化简，接下来将x的值代入进行计算.
20．【答案】解：（ 1 ）如图，即为所求.
（ 2 ）如图，即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）分别将点A、B、C向下平移5个单位长度得到点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此找出点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可.
21．【答案】（1）80；81
（2）解：由题意可得：（人），
答：估计九年级此次测试成绩优秀的总人数是220人.
（3）解：由统计图中的数据可得：
从平均数看：79.0579.2，即九年级的平均数大于八年级的平均数；
从中位数看：79，即九年级的中位数大于八年级的中位数；
从众数看：8082，九年级的众数大于八年级的众数；
所以九年级学生的整体成绩比较好.（任选两项进行比较均可得分）.
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）根据八年级学生的成绩可知，80出现了4次，出现的次数最多，
∴，
由题意可知，九年级的成绩中第10、11位数字分别为：80、82，
，
故答案为：80，81.
【分析】（1）找出出现次数最多的数据即为众数m的值，将数据按照由小到大的顺序进行排列，求出中间两个数据的平均数即为中位数n的值；
（2）利用成绩在80分以上的人数除以总人数，然后乘以400即可；
（3）根据平均数、中位数、众数的大小进行分析判断.
22．【答案】（1）相等
（2）证明：∵，
∵D是中点，
平分，
，
，
，
在，
；
（3）解：连接，
∵四边形是正方形，
，
在和中，
，
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）相等；
∵，D为的中点，
，，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴，
，
∴；
故答案为：相等；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，BD=CD，由中点的概念可得BE=AB，CF=AC，推出BE=CF，利用SAS证明△BDE≌△CDF，据此可得结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，由角平分线的概念可得∠BAD=∠DAC=45°，进而推出BD=AD，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（3）连接OD，由正方形的性质可得OD=OC，∠ODE=∠ACB=45°，利用SAS证明△ODE≌△OCF，得到S四边形OFCE=S△OCF+S△OCE=S△ODE+S△OCE=S△ODC结合三角形的面积公式进行计算.
23．【答案】（1）解：设每个A类足球的进价是x元，则每个B类足球的进价是元，
根据题意，得
解得：，
经检验，是分式方程的解，
，
答：每个A类足球和B类足球的进价分别是元、元；
（2）解：该商店计划用元购进一批A类足球和B类足球，设购进A类足球a个，则B类足球个，()，由题意得∶
，
∵
解得∶
，
随a的增大而减小，
∵，且a为整数，
当时，W取得最大值，
此时，，即购进A类足球个、B类足球个可使总利润W最大
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设每个A类足球的进价是x元，则每个B类足球的进价是(x-40)元，利用480元可以购买A类足球的个数为，利用240元可以购买B类足球的个数为，然后根据个数相同建立方程，求解即可；
（2）设购进A类足球a个，则B类足球(100-2a)个，根据个数×进价-4000=总利润可得W与a的关系式，根据购进的A类足球数量不少于B类足球数量可得a的范围，然后根据一次函数的性质进行解答.
24．【答案】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点O作于D，
∵，
∴设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴.
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OB，则OP=OB，由等腰三角形的性质以及对顶角的性质可得∠OBP=∠OPB=∠CPA，∠ACB=∠ABC，结合∠ACB+∠CPA=90°可得∠ABO=90°，据此证明；
（2）过点O作OD⊥BP于D，根据三角函数的概念可设AP=x，则AC=2x，OP=OB=5-x，利用勾股定理可得x的值，然后求出AP、AC、OP、CP的值，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△ACP∽△DOP，由相似三角形的性质可得PD的值，根据等腰三角形的性质可得BP=2PD，据此计算.
25．【答案】（1）解：把、代入，得：
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图①：
令，则，解得，
，
对称轴为x=，
设，
∵点C在线段的垂直平分线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得，
∴或.
（3）解：设交抛物线的对称轴于点M，如图②：
∵，
∴，
设，直线的解析式为，
将P坐标代人得：
∴，
∴直线的关系式：，
当时，
∴
∴，
∴ ，=
即：，
∴，
解得 (舍去)
当时，，
综上所述，满足条件的点P的坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将A（2，0）、C（0，3）代入y=ax2-2x+c中求出a、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）令y=0，求出x的值，可得点B的坐标，设D（4，n），根据垂直平分线的性质可得CB=CD，根据两点间距离公式可得CB2、CD2，然后根据CB=CD可得n的值，进而可得点D的坐标；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，易得E（4，-1），设P（n，n2-2n+3），利用待定系数法求出直线CP的解析式，令x=4，求出y的值，可得点M的坐标，根据题意结合三角形的面积公式可得n的值，据此可得点P的坐标.
1 / 1广西南宁市宾阳县2023年中考一模数学试题
一、单选题
1．（2023·宾阳模拟） 2023的绝对值为（　　）
A．2023 B． C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：，故A正确.
故答案为：A.
【分析】正数的绝对值为其本身，据此解答.
2．（2017·山东模拟）下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意．
故选C．
【分析】根据中心对称图形的概念作答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
3．（2022·西藏）我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.232×109 B．2.32×109 C．2.32×108 D．23.2×108
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：232000000＝2.32×108.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
4．（2019九上·三门期末）将 向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位得到的点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线的解析式为 。
故答案为：A。
【分析】找出原抛物线解析式的顶点坐标，根据点的坐标与平移的规律“横坐标，左减右加；纵坐标上加下减”得出平移后新抛物线的顶点坐标，根据平移不会改变抛物线的开口程度及开口方向故二次项的系数不变，从而即可得出平移后新抛物线的解析式。
5．（2023·宾阳模拟）不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
故答案为：A.
【分析】根据移项、合并同类项的步骤可得不等式的解集，然后根据解集的表示方法进行判断.
6．下列成语所描述的事件是必然事件的是（　　）
A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．画饼充饥
【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A.水中捞月是不可能事件，A不符合题意；
B.守株待兔是随机事件，B不符合题意；
C.水涨船高是必然事件，C符合题意；
D.画饼充饥是不可能事件，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】必然事件：是一定发生的事件，根据定义一一分析即可得出答案.
7．（2020·中山模拟）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，
∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，
∴∠3=55°，
∴∠2=∠3=55°，
故答案为：C．
【分析】求出∠3即可解决问题；
8．（2023·宾阳模拟）下面计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. 2a a=a，故原选项计算错误，不符合题意；
B. ，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，故原选项计算错误，不符合题意；
D. (-a3)2=a6，故原选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断B；积的乘方，先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
9．（2023·宾阳模拟）某校安排三辆车，组织九年级学生团员到“夕阳红”敬老院参加三月学雷锋活动，其中小王与小明都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小明同车的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：设三辆车分别为A、B、C，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小王与小明同车的结果有3种，
∴小王与小明同车的概率是，
故答案为：B.
【分析】设三辆车分别为A、B、C，画出树状图，找出总情况数以及小王与小明同车的结果数，然后根据概率公式进行计算.
10．（2019·重庆）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，
依题意，得： .
故答案为：A.
【分析】设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则乙把其一半的钱给甲后，甲的钱数为(x+)，又此时甲的钱数是50，从而列出方程； 甲把其 的钱给乙后，乙的钱数为（y+）而此时乙的钱数也为50 ，从而列出方程，联立两方程即可。
11．（2017八下·下陆期中）如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（　　）
A． B． C． D．8
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，
因为CD=6，E为CD中点，故ED=3，
又因为AE=AB=CD=6，
所以∠EAD=30°，
则∠FAE= （90°﹣30°）=30°，
设FE=x，则AF=2x，
在△AEF中，根据勾股定理，（2x）2=62+x2，
x2=12，x1=2 ，x2=﹣2 （舍去）．
AF=2 ×2=4 ．
故选：A．
【分析】先图形折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解．
12．（2023·宾阳模拟）如图，点A、C为反比例函数图象上的点，过点A、C分别作轴，轴，垂足分别为B、D，连接、、，线段交于点E，点E恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为（　　）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的图象；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点C的坐标为，则点，，，，
，
.
故答案为：A.
【分析】设C（m，），则E（m，），A（m，），根据三角形的面积公式可得S△AEC=BD·AE=k=6，求解可得k的值.
二、填空题
13．（2022·贺州）因式分解： 　 　.
【答案】3(m+2)(m 2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=3(m2 4)=3(m+2)(m 2)；
故答案为：3(m+2)(m 2).
【分析】首先提取3，然后利用平方差公式进行分解.
14．（2023·宾阳模拟）若关于x的一元二次方程有相等的两个实数根，则a的值为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得且，
解得.
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程有相等的两个实数根可得a-1≠0且△=0，代入求解可得a的值.
15．（2023·宾阳模拟）如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是　 　.
【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：，
，
∵是的直径，与相切于点A，
，
，
故答案为：.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ABC=50°，根据切线的性质可得∠OAP=90°，然后根据∠P=90°-∠AOP进行计算.
16．（2023·宾阳模拟）如图，是河堤横断面的迎水坡，其中河堤的高米，米，则斜坡的坡度（即的值）为　 　.
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵在，米，米
∴
∴.
故答案为.
【分析】利用勾股定理可求出BC的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
17．（2023·宾阳模拟）在平面直角坐标系中，记直线为l.点是直线l与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线l于点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形.则点的坐标是　 　.
【答案】
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；探索图形规律
【解析】【解答】解：把代入直线，得：，
所以点的坐标是，
把代入直线，得：，
所以点的坐标是，
同理点的坐标是；点的坐标是；
由以上得出规律是的坐标为.
所以点的坐标是
故答案为：.
【分析】把x=0代入y=x+1中可求出y的值，得到点B1的坐标，同理可得点B2、B3、B4的坐标，进而推出点Bn的坐标，据此解答.
三、解答题
18．（2023·宾阳模拟）计算：.
【答案】解：原式
.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】首先计算乘方，然后计算乘除法，再计算减法即可.
19．（2023·宾阳模拟）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：
=
=
=，
把代入上式，得：原式＝.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子进行分解，然后约分即可对原式进行化简，接下来将x的值代入进行计算.
20．（2023·宾阳模拟）如图，三个顶点的坐标分别为.
（ 1 ）请画出向下平移5个单位长度后得到的；
（ 2 ）请画出关于y轴对称的.
【答案】解：（ 1 ）如图，即为所求.
（ 2 ）如图，即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）分别将点A、B、C向下平移5个单位长度得到点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此找出点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可.
21．（2023·宾阳模拟）2023年是中国共产主义青年团建团101周年.某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，八，九年级各有400名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析.下面给出了部分信息：
a.八年级学生的成绩整理如下(单位：分)：57，67，69，75，75，75，77，77，78，78，80，80，80，80，86，86，88，88，89，96.
b.九年级成绩的频数分布直方图如下(数据分成四组：，，，)：
期中成绩在的数据如下(单位：分)：80、82、82、82、82、82、85、86、87、89；
c.两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
八年级 79.05 79 m
九年级 79.2 n 82
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m=　 　，n=　 　；
（2）若成绩达到80分及以上为优秀，估计九年级此次测试成绩优秀的总人数；
（3）哪个年级学生的整体成绩比较好？（至少从两个不同的角度说明合理性）
【答案】（1）80；81
（2）解：由题意可得：（人），
答：估计九年级此次测试成绩优秀的总人数是220人.
（3）解：由统计图中的数据可得：
从平均数看：79.0579.2，即九年级的平均数大于八年级的平均数；
从中位数看：79，即九年级的中位数大于八年级的中位数；
从众数看：8082，九年级的众数大于八年级的众数；
所以九年级学生的整体成绩比较好.（任选两项进行比较均可得分）.
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）根据八年级学生的成绩可知，80出现了4次，出现的次数最多，
∴，
由题意可知，九年级的成绩中第10、11位数字分别为：80、82，
，
故答案为：80，81.
【分析】（1）找出出现次数最多的数据即为众数m的值，将数据按照由小到大的顺序进行排列，求出中间两个数据的平均数即为中位数n的值；
（2）利用成绩在80分以上的人数除以总人数，然后乘以400即可；
（3）根据平均数、中位数、众数的大小进行分析判断.
22．（2023·宾阳模拟）综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，D为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线，分别与边交于E，F两点，如图1所示.
（1）操作发现：如图2，当E，F分别是的中点时，试猜想线段与的数量关系是　 　；
（2）类比探究：如图3，当E，F不是的中点，但满足时，求证；
（3）拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点O重合，射线分别与交于E，F两点，且满足，请求出四边形的面积.
【答案】（1）相等
（2）证明：∵，
∵D是中点，
平分，
，
，
，
在，
；
（3）解：连接，
∵四边形是正方形，
，
在和中，
，
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）相等；
∵，D为的中点，
，，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴，
，
∴；
故答案为：相等；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，BD=CD，由中点的概念可得BE=AB，CF=AC，推出BE=CF，利用SAS证明△BDE≌△CDF，据此可得结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，由角平分线的概念可得∠BAD=∠DAC=45°，进而推出BD=AD，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（3）连接OD，由正方形的性质可得OD=OC，∠ODE=∠ACB=45°，利用SAS证明△ODE≌△OCF，得到S四边形OFCE=S△OCF+S△OCE=S△ODE+S△OCE=S△ODC结合三角形的面积公式进行计算.
23．（2023·宾阳模拟）某文体店在开学来临之际购进A，B两类足球销售，已知每个A类足球的进价比B类足球的进价高元，用元购进的A类足球和用元购进的B类足球数量相等.
（1）求每个A类足球和B类足球的进价分别是多少元？
（2）该商店计划用元购进一批A类足球和B类足球，该文体店A类足球每个售价为元，B类足球每个售价元，设销售总利润为W元，若要求购进的A类足球数量不少于B类足球数量，问如何进货可使总利润W最大.
【答案】（1）解：设每个A类足球的进价是x元，则每个B类足球的进价是元，
根据题意，得
解得：，
经检验，是分式方程的解，
，
答：每个A类足球和B类足球的进价分别是元、元；
（2）解：该商店计划用元购进一批A类足球和B类足球，设购进A类足球a个，则B类足球个，()，由题意得∶
，
∵
解得∶
，
随a的增大而减小，
∵，且a为整数，
当时，W取得最大值，
此时，，即购进A类足球个、B类足球个可使总利润W最大
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设每个A类足球的进价是x元，则每个B类足球的进价是(x-40)元，利用480元可以购买A类足球的个数为，利用240元可以购买B类足球的个数为，然后根据个数相同建立方程，求解即可；
（2）设购进A类足球a个，则B类足球(100-2a)个，根据个数×进价-4000=总利润可得W与a的关系式，根据购进的A类足球数量不少于B类足球数量可得a的范围，然后根据一次函数的性质进行解答.
24．（2023·宾阳模拟）如图，直线l与相离，于点A，与相交于点P，.C是直线l上一点，连接并延长，交于点B，且.
（1）求证：是的切线；
（2）若，求线段的长.
【答案】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点O作于D，
∵，
∴设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴.
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OB，则OP=OB，由等腰三角形的性质以及对顶角的性质可得∠OBP=∠OPB=∠CPA，∠ACB=∠ABC，结合∠ACB+∠CPA=90°可得∠ABO=90°，据此证明；
（2）过点O作OD⊥BP于D，根据三角函数的概念可设AP=x，则AC=2x，OP=OB=5-x，利用勾股定理可得x的值，然后求出AP、AC、OP、CP的值，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△ACP∽△DOP，由相似三角形的性质可得PD的值，根据等腰三角形的性质可得BP=2PD，据此计算.
25．（2023·宾阳模拟）二次函数的图象与x轴交于、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点，顶点为E.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接，连接.当，求点P的坐标.
【答案】（1）解：把、代入，得：
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图①：
令，则，解得，
，
对称轴为x=，
设，
∵点C在线段的垂直平分线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得，
∴或.
（3）解：设交抛物线的对称轴于点M，如图②：
∵，
∴，
设，直线的解析式为，
将P坐标代人得：
∴，
∴直线的关系式：，
当时，
∴
∴，
∴ ，=
即：，
∴，
解得 (舍去)
当时，，
综上所述，满足条件的点P的坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将A（2，0）、C（0，3）代入y=ax2-2x+c中求出a、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）令y=0，求出x的值，可得点B的坐标，设D（4，n），根据垂直平分线的性质可得CB=CD，根据两点间距离公式可得CB2、CD2，然后根据CB=CD可得n的值，进而可得点D的坐标；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，易得E（4，-1），设P（n，n2-2n+3），利用待定系数法求出直线CP的解析式，令x=4，求出y的值，可得点M的坐标，根据题意结合三角形的面积公式可得n的值，据此可得点P的坐标.
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