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第二十二章 四边形
22.2.1平行四边形的判定
冀教版（2022）
八 年 级下 册
教学
过程
B
C
A
D
平行四边形的定义是什么
两组对边分别平行的四边形为平行四边形。
平行四边形的两组对边平行且相等.
平行四边形的两组对角相等,邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形有什么性质呢
复习归纳
一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：
“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度
量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.”
情境导入
如何说明左图是平行四边形呢
1
知识点
由两组对边分别平行判定平行四边形
反过来，∵ ∴四边形ABCD是平行四边形.
AB∥CD
AD∥BC
复习归纳
平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法：
AB∥CD
AD∥BC
∵四边形ABCD是平行四边形. ∴
例1 如图，在 ABCD中，∠1＝∠2.求证：四边形BEDF是平行四边形．
导引：由定义知需证：DE∥BF及DF∥BE，其中DE∥BF可由 ABCD的性质得出，而DF∥BE可通过同位角相等推出．
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB(平行四边形的两组对边分别平行)，
∴DE∥BF，∴∠1＝∠DFA.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DFA，∴DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．
小试牛刀
2
知识点
由一组对边平行且相等判定平行四边形
小明用下列方法得到一个四边形ABCD.
画两条互相平行的直线，在这两条直线上分别截取线段AB=CD，连接AD，BC，得四边形ABCD.
(1)将线段AB沿BC方向平行移动，线段AB与CD能不能重
合？你认为这样得到的四边形ABCD是不是平行四边形？
(2)由此，你发现了什么结果？与大家交流.
我们发现：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
如图，连接BD.
在△ABD和△CDB中，
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD.
∵AD=CB，BD=DB，∴△ABD≌△CDB.
∴∠ABD=∠CDB. ∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
由上面的证明你得到了什么结 论？
判定定理1：
∵AD∥BC，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
符号语言：
例2 已知：如图，在 ABCD中，E为BA延长线上一点，F为DC延长上一点，且AE=CF，连接 BF，DE.求证：四边形BFDE是平行四边形.
运用新知
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
又∵AE=CF，
∴BE=BE+AE=DC+CF=DF.
且BE∥DF.
∴四边形BFDE是平行四边形．
当已知条件中有一组对边平行时，常常利用三角
形全等证明这组对边相等或利用平行线的判定证明另
一组对边平行，从而判定这个四边形是平行四边形．
我的
小收获
3
知识点
平行线之间的距离
距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离.在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条平行线之间的距离.
定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
要点精析
(1)点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度；
(2)三种距离之间的区别与联系如下表：
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线间的距离
区别 连接两点的线段的长度 直线外一点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的垂线段的长度
联系 最后都归结为两点间的线段的长度
3
知识点
平行线之间的距离
已知：如图，EF∥MN，A，B为直线EF上任意两点，AD丄MN，垂足为D，BC丄MN，垂足为C.
求证：AD=BC.
例3 求证：平行线间的距离处处相等.
证明：∵ AD丄MN，BC丄MN，
∴AD∥BC.
又∵EF∥MN，∴四边形ADCB为平行四边形
. ∴AD=BC.
下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(　　)　
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD D．两组对角分别相等
1
B
课堂检测
在四边形ABCD中，AD＝BC，若四边形ABCD是平行四边形，则还应满足(　　)
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠D＝180°
2
C
如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，若要使四边形AFCE是平行四边形，可以添加的条件是(　　)
①AF＝CF；②AE＝CE； ③BF＝DE；④AF∥CE
A．①或② B．②或③ C．③或④　 D．①或③
3
C
4
如图，在 ABCD中，延长AB到点E，延长CD到点F，使BE=DF. 猜想线段AC与EF之间的关系，并证明自己的猜想.
知识拓展
1.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，DC=EF，∠EFB=60°.求证：四边形EDCF是平行四边形.
解：∵ △ABC是等边三角形
∴∠B=∠EFB=60°
∴EF∥BC
∵DC=EF
CD=EF,CD∥EF
∴四边形EDCF是平行四边形
2 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD，交BD于点E，CF⊥BC，交BD于点F，且AE=CF.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
解：∵CF⊥BC，AE⊥AD
∴AE∥CF
∴∠AEF=∠CFE
∵ AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB
AE=CF
∴ΔADE≌ΔCBF ∴AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形
课堂
小结
平行
四边
形的
判定
方法
求证：平行线间的距离处处相等（梳理证明过程）
（梳理性作业）
喜迎二十大，学校要美化校园，综合实践课上老师要求同学们设计楼梯栏杆，已知立柱高100厘米，下面需要加三个等距且与扶手平行的横档，请你帮着设计.
（实践性作业）
已知：四边形ABCD是平行四边形，E为直线AC上一点，在直线AC上再找一点F，使四边形BEDF是平行四边形，点F如何找？请说明理由.
（拓展性作业）
感谢聆听

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