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7.4.2 超几何分布
1. 二项分布：
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p).
若X~B(n, p)，则有
2.二项分布的均值与方差
复习引入
问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
探究
探究新知
追问2：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布
追问1：如果采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？
采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X~B(4, 0.08).
采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.
解：由题意可知，X可能的取值为0, 1, 2, 3, 4.
超几何分布
探究新知
思考：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从什么分布？如何求X的分布列？
X 0 1 2 3 4
P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002
计算的具体结果(精确到0.00001)如下表所示：
可根据古典概型求X的分布列.
由古典概型的知识，得X的分布列为
X
P
一般地, 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为
超几何分布:
其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N, m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
概念形成
超几何分布
1.公式中个字母的含义
N—总体中的个体总数
M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)
n—样本容量
k—样本中的特殊个体数(如次品数)
3.求分布列时也可以直接利用组合数的意义列式计算
2.“由较明显的两部分组成”： 如“男生、女生”， “正品、次品”;
解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数，则X服从超几何分布，且N＝50, M＝1, n＝5.
例1 从50 名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
容易发现，每个人被抽到的概率都是 . 这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程.
典例分析
因此甲被选中的概率为
解：设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为
例2 一批零件共有30个，其中有3个不合格. 随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.
∴至少有1件不合格的概率为
典例分析
1. 一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.
解：设抽出的2罐中有奖券的罐数为X，则X服从超几何分布，且N=24，M=4,n=2.从而抽取2罐中有奖券的概率为
小试牛刀
2. 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班. 假设每名候选人都有相同的机会被选到, 求甲班恰有2名同学被选到的概率.
解：设选到的4人中甲班同学的人数为X，则X服从超几何分布，且N=12，M=4,n=4.从而甲班恰有2人被选到的概率为
设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机抽取 n 件产品中的次品数.
思考：服从超几何分布的随机变量的均值是什么
探究
探究新知
令 ，则 p 是 N 件产品的次品率，而 是抽取的 n 件产品的次品率.
我们猜想
下面对均值进行证明.
探究新知
证明：令m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}.
由随机变量的定义：
当m>0时，
当m=0时，类似可以证明结论依然成立.
若随机变量X服从超几何分布，则有
解：(1) 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B(20, 0.4)，X的分布列为
例3 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60 个白球，从中随机地摸出20个球作为样本. 用X表示样本中黄球的个数.
(1) 分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
(2) 分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.
对于不放回摸球, 各次试验的结果不独立, X服从超几何分布, X的分布列为
典例分析
(2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001), 如下表所示.
样本中黄球的比例 是一个随机变量, 根据表中数据计算得
因此, 在相同的误差限制下, 采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
不放回摸球:
有放回摸球:
两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布，虽然这两种分布有相等的均值(都是8)，但从两种分布的概率分布图(如下图)看，超几何分布更集中在均值附近.
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同. 对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.
辨析概念
超几何分布 二项分布
试验类型 抽样 抽样
试验种数 有 种物品 有 种结果
总体个数 个 个
随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算
联系 当 时，超几何分布 二项分布 不放回
放回
两
两
有限
无限
古典概型
独立重复试验
总体N很大
近似
超几何分布与二项分布的联系与区别：
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
1. 超几何分布
若随机变量X服从超几何分布，则有
2. 超几何分布的均值
课堂小结

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