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极坐标
1.极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点，叫做极点，自极点引一条射线，叫做极轴；
设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为.有序对叫做点的极坐标，记为.一般地，不作特殊说明时，我们认为，可以取任意实数.
*特别是如果点位于轴下方，则点有两种表示方法，分别是和，如下图：
此时，也就是说的正负与选取的角度有关。若角度选择其本身的补角，则对应的。
** 同时强调一点，极坐标与直角坐标系是两个完全不同的坐标系，使用极坐标解题，必须把所有的直线或曲线方程都转化为极坐标的形式。
2.极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ). 极坐标与直角坐标的互化公式.为：
,或
3.常见曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
圆心为，半径为r的圆
圆心为，半径为r的圆
过极点，倾斜角为α的直线 或
过点，与极轴垂直的直线
过点，与极轴平行的直线
极坐标方程的应用（考查主要围绕距离，少数围绕角度）
首先我们看一下在直角坐标系中，求，
而如果在极坐标系中求解
相比较发现极坐标在求解相交弦的过程中比较简便，只要求出两个交点的极坐标就行。结合极坐标的几何意义，。
总结：所以当直线过原点，同时与曲线相交时，联立直线与曲线的极坐标方程，就可以求出交点的极坐标，也就可以求出的长度。而且极坐标与直角坐标属于不同的坐标系，不能混用，所以极坐标求解题目的过程只能联立两个曲线的极坐标方程求交点的极坐标表示。
例1：在直角坐标系中，已知曲线的方程为.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设射线与曲线和曲线依次相交于、两点，求长.
变式1-1：在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程是，直线与曲线C交于O、P两点，与直线交于点Q，求线段PQ的长．
例2：如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（，），C（，），D（2，π），弧，，所在圆的圆心分别是（1，0），（1，），（1，π），曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧．
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标．
例3：如图，在极坐标系中，已知点，曲线是以极点为圆心，以为半径的半圆，曲线是过极点且与曲线相切于点的圆.
（1）分别写出曲线，的极坐标方程；
（2）直线（，）与曲线，分别相交于点，（异于极点），求面积的最大值.
变式3-1在平面直角坐标系中，直线的方程为，曲线经过伸缩变换后得到曲线.以点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；
(2)设射线与直线和曲线分别交于点，求的最大值.
例4：
的值（结果比较复杂，写出计算过程即可）
变式4-1：在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为，现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程和一个参数方程；
（2）设、是圆上两个动点，且满足，求的最大值.
（3）设、是圆上两个动点，且满足，求
参数方程
首先我们强调一个重点，参数方程不同于极坐标，参数方程是属于直角坐标方程中的一种，也是与有关的一种方程.如下图，所以参数方程也可以和直角坐标方程进行联立求交点。
1.参数方程的概念
其中
2.常见曲线的参数方程
（1）直线的参数方程
过定点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）．
（2）圆的参数方程
圆心为点，半径为的圆的参数方程为（为参数）．
（3）圆锥曲线的参数方程
椭圆的参数方程为（为参数）．
双曲线的参数方程为（为参数）．
抛物线的参数方程为（为参数）．
参数方程与直角坐标方程的互化
消
1. 2. 3. 4.
消
1. 2. 3.
参数方程的应用
求相交弦的长度（的应用），为定点，
例1：已知曲线C1：，C2：
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线交曲线C1于A，B两点，求|AB|的值．
变式1-1已知曲线C的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为
(1)判断直线与曲线C的位置关系，并说明理由；
(2)若直线和曲线C相交于A，B两点，且，求直线的斜率．
变式1-2：在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，已知过点的直线的参数方程为：，直线与曲线C分别交于M，N两点．
(1)写出曲线C和直线的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求的值．
求点到直线的距离的最大值（的应用）:
坐标系与参数方程题型通常有计算距离最值，面积最值，线段比值最值等最值问题，考虑到能出现最值都是要出现三角函数，极坐标中的θ几何意义为极角，圆中的几何意义为圆心角，圆锥曲线中θ的几何意义为离心角，虽然几何意义不同，但可根据合理的使用极坐标或者参数坐标设点引入，从而代入化简得到关于三角函数的两种常见最值模型，一个是用辅助角公式归一得到的，其最值为;另一个是关于或者的二次函数型或，根据二次函数模型求取最值.
例2：在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)求和的直角坐标方程；
(2)求上的点到距离的最小值.
变式2-1：在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）若a＝﹣1，求C与的交点坐标；
（2）若C上的点到距离的最大值为，求a．
极坐标参数方程的综合应用
例3：已知曲线C的参数方程为，直线l的极坐标方程为。
求曲线C的极坐标与直线的直角坐标方程；
若直线与曲线C相交于A，B两点，且，求
例4：已知曲线，曲线的极坐标方程为。
求曲线的极坐标方程，曲线的直角坐标方程。
（2）设点M的极坐标为,射线与曲线分别交于两点（异于极点），当时，求线段的长。极坐标
例1：（1）；；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）利用，，，代入即可求解.
（2）射线与曲线和曲线联立，求出、即可求解.
【详解】
（1）当以原点为极点，轴的正半轴为极轴时，为极角时，
根据直角坐标与极坐标互化公式，
则有，，，
∴的普通方程为，
等价于极坐标方程为，
即曲线的极坐标方程为，
又曲线的极坐标方程为，
整理为，进而化为，
∴曲线的直角坐标方程简化为，
（2）∵射线与曲线和曲线依次相交于、两点，
由题意作出图象，即，
（射线为）结合图象知或，
∵在上，则，
即得，，，
故或.
变式1-1：
例2：【答案】解：（1）由题设得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝﹣2cosθ，
则M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，（0≤θ），M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，（θ），
M3的极坐标方程为ρ＝﹣2cosθ，（θ≤π），
（2）设P（ρ，θ），由题设及（1）值，
若0≤θ，由2cosθ得cosθ，得θ，
若θ，由2sinθ得sinθ，得θ或，
若θ≤π，由﹣2cosθ得cosθ，得θ，
综上P的极坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
例3：
变式3-1：(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合直角坐标与极坐标互化即可求解的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）将曲线转化为极坐标方程，结合极径的几何意义可求的最大值.
(1)
由可得，又对曲线，则，即，所以直线的极坐标方程为，曲线的普通方程为；
(2)
直线极坐标方程整理得，即，曲线：变形得，即，，
由题可知，，
则，
，当且仅当，即，当时，的最大值为.
例4：
变式4-1：（1），；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得圆的方程为，然后根据直角坐标方程和极坐标方程的互化公式可求得其极坐标方程，利用普通方程与参数方程的关系可得其参数方程，
（2）设，，，则可得，再利用正弦函数的性质可出其最大值
【详解】
（1）圆的圆心为，半径为，
所以圆的方程为，
根据转换为极坐标方程为，
的参数方程为（为参数）；
（2）设，，，
故
由于，所以，
当，即时，取到最大值.
参数方程
例1：
变式1-1：
解：(1)∵ρ＝2cos θ－4sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ－4ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x－4y，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝5.
∵直线l过点(1，－1)，且该点与圆心间的距离为<，
∴直线l与曲线C相交．
变式1-2：
(1)y2＝2ax，y＝x－2.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，
代入y2＝2ax，得到t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，
∵|MN|2＝|PM|·|PN|，
∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，
即a2＋3a－4＝0.解得a＝1或a＝－4(舍去)．
例2：
【答案】解：（1）由（t为参数），得，
两式平方相加，得（x≠﹣1），
∴C的直角坐标方程为（x≠﹣1），
由2ρcosθρsinθ+11＝0，得．
即直线l的直角坐标方程为得；
（2）设与直线平行的直线方程为，
联立，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．
由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．
∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．
变式2-1：
【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：y2＝1；
a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3＝0；
联立方程，
解得或，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（，）．
（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4＝0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
d，φ满足tanφ，且的d的最大值为．
①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，
|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17
解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．
②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时
|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|5﹣a﹣4|＝17，
解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．
例3：
例4：

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