资源简介 第六章 平面向量及其应用6.2平面向量的运算（1）求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图6.2-2，已知非零向量，在平面内取任意一点，作，则向量叫做与的和，记作，即.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.（2）如图6.2-4，以同一点为起点的两个已知向量，以为邻边作，则以为起点的向量（是的对角线）就是与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.（3）规定.（4）.当且仅当方向相同时等号成立.（5）.（6）与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.和互为相反向量..（7）零向量的相反向量仍是零向量.（8）.（9）如果互为相反向量，那么；向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法.（10）实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当时，.①；②；③；④；⑤.（11）向量的加、减、数乘统称为向量的线性运算，线性运算的结果仍是向量.（12）向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.（12）向量的数量积：已知两个非零向量，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.（13）当时，与同向；当时，与反向；当与的夹角是，与垂直，记作.（14）已知两个非零向量与，它们的夹角为，叫做向量与的数量积（或内积），记作.零向量与任一向量的数量积为0.（15）两个非零向量与，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量的投影向量.（16）数量积的性质：设与是非零向量，夹角为，是与方向相同的单位向量，则①；②；③当与同向时，；当与反向时，；或；④；⑤；；.6.2.1向量的加法运算如图，已知，求作.(1)；(2)【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】根据向量加法的三角形法则即可求解.（1）在平面内任取一点，如图所示作则.（2）在平面内任取一点，如图所示作则.如图所示，已知正方形的边长等于1，，，试作出下列向量并分别求出其长度..【答案】做图见解析，2.【解析】，又，∴延长AC到E，使|,则,且，所以如图，已知向量(1)求作(2)设，为单位向量，试探索的最大值．【答案】(1)作图见解析(2)3【解析】（1）在平面内任取一点O，作，，，，则（2）由向量三角不等式知，当且仅当同向时等号成立故的最大值为3已知用向量加法的三角形法则作出.(1)；(2).【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】(1)(2)请用平行四边形法则作出，.【答案】答案见解析【详解】在平面内任取一点，作，，，如图，以，为邻边作平行四边形，再以，为邻边作平行四边形，则，.如图，为边长为1的正六边形，为其几何中心.(1)化简；(2)化简；(3)化简；(4)求向量的模.【答案】(1)(2)(3)(4)2【解析】(1)解：根据向量的平行四边形法则得；(2)解：根据题意，，所以；(3)解：因为，所以；(4)解：因为，所以，所以如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由平面向量的运算法则，可得.故选：A.在中，是的中点，则等于（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】如图，作平行四边形，因为M是的中点，所以M也是的中点，则.故选：C.如图，在矩形中，为中点，那么（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为在矩形中，为中点，所以，所以，故选：A如图，正六边形中，（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】ABCDEF为正六边形，所以，，所以.故选：D.如图，等腰梯形中，，点为线段中点，点为线段的中点，则（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】连接，，点为线段中点，点为线段的中点，,又，.故选：B.已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：对于A，因为，,所以，故正确；对于B，因为,(为中点)，故错误；对于C，因为(为中点),(为中点),所以，故正确；对于D，因为，，所以，故正确.故选：B.已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】，显然当为斜边中点时，，此时最小为，即的最小值为.故选：A.化简等于（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】.故选:C.化简下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【详解】(1).(2).(3.向量“不共线”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当向量“，不共线”时，由向量三角形的性质可得“| +|<||+||”成立，即充分性成立，当“，方向相反”时，满足“| +| < ||+||”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，故向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的充分不必要条件.故选：A.（多选）已知，则的值可能为（ ）A．4 B．8C．10 D．12【答案】AD【详解】解：因为，所以，因为，所以方向相同或相反，当同向时，，当反向时，.故选：AD.一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置.【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处【详解】如图所示，设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即.在中，.在中，，，即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处.在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).【答案】【详解】如图所示，表示船速，表示水速，以、为邻边作，则表示船实际航行的方向.所以在中，.所以船实际行进的方向的正切值为.在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为中，可得,从而得，，即可得答案.【详解】解：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，则四边形为平行四边形.所以，，因为，于是，所以，，故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为.6.2.2向量的减法运算如图，已知向量不共线，求作向量．【答案】作图见解析，【详解】如图，在平面内任取一点O，作，．因为，即，所以．如图，已知向量和向量，用三角形法则作出.【答案】作图见解析【详解】解：作法：作向量，向量，则向量,如图所示，作向量，则如图，已知向量，求作向量：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【详解】(1)设，根据数乘的几何意义可得，如图,(2)根据向量的减法三角形法则可得，如图，(3)先做出，再由向量加法的三角形法则得到，如图，已知向量如图所示.（1）求作向量；（2）求作向量.【答案】作图见解析【详解】解：如图所示.（1） （2）如图，已知向量，求作下列向量：(1)；(2)．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【详解】(1)解：作，，则，则即为所求作的向量.(2)解：作，，则，则即为所求作的向量.已知在边长为2的等边中，向量满足，，则（ ）A．2 B．C． D．3【答案】C【详解】如图所示：设点是的中点，由题可知：.故选：C.在平行四边形中，，，则（ ）A． B．-C． D．【答案】B【详解】如图，由题可知，是中点，是三等分点，所以，故选：B.在中，点在边上，．记，，则（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】如图，因为点在边上，，所以，故，又，所以，即．故选：B．.在中，已知是边上一点，且，则（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：，则有，可得．故选：C.在平行四边形中，为上任一点，则（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：，在平行四边形中，，所以，故选：B．在四边形中，，若，则四边形是（ ）A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不确定【答案】B【详解】解：在四边形ABCD中，因为，所以四边形ABCD为平行四边形，又，即，所以平行四边形ABCD为矩形，故选：B.在中，点是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，则（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】如图所示：.故选：B如图，中，，，点是的三等分点，则（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】故选：B.向量（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】,故选：B化简： （ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】故选：.①；②；③．其中正确的个数是（ ）A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【详解】对①，根据向量的加法运算法则可知，故①正确；对②，，故②正确；对③，，故③正确.故选：D化简所得的结果是（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】根据平面向量减法原则，，而，故.故选：C（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由向量的运算法则，可得．故选：A.下列化简结果错误的是（ ）A． B．C．D．【答案】D【详解】对A，原式，正确；对B，原式，正确；对C，原式，正确；对D，原式，错误.故选：D．已知向量，且不是方向相反的向量，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由已知必有，则所求的取值范围是．故选：B.若 ，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意知，且,当同向时，取得最小值，；当反向时，取得最大值，；当不共线时，取得最小值，，故 的取值范围是，故选：C若为相反向量，且，，则________，________.【答案】 【详解】因为、为相反向量，且，，则，，因此，，.故答案为：；.若互为相反向量，且，则 ， .【答案】 0 2【详解】若，互为相反向量，则＋＝，∴|＋|＝0；又＝－，∴||＝|－|＝1，∴|－|＝|＋(－)|＝2.故答案为：0；2.6.2.3向量的数乘运算的化简结果为（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意，.故选：B.等于（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】依题意得：，故选：B.化简______.【答案】【详解】.故答案为:.求__________．【答案】【详解】解：；故答案为：若，，则___________，___________，___________.【答案】 ； ； 【详解】因为，，所以，，.故答案为：，，如图所示，已知在中，是的边上的中点，则（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为是中点，所以故选：C．如图，在平行四边形中，是的中点，，则（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】.故选：C如图所示，在中，为的中点，则（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】∵在△ABC中，D为AB的中点，∴故选：A．设为所在平面内一点，且满足，则（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】∵，所以三点共线且.如图所示：∴，即.故选：A.在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，所以可得：．故选：B.已知向量是两个不共线的向量，与共线，则（ ）A．2 B．C． D．【答案】C【详解】因为与共线，所以，，所以，因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，故选：C．已知，则共线的三点为（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】不满足共线定理，A错误；不满足共线定理，B错误；，，不满足共线定理，C错误；，D正确.故选：D.已知为不共线的向量，且，，则（ ）A．共线 B．共线C．共线 D．共线【答案】B【详解】因为，，，所以，，因为，为不共线，所以为非零向量，若存在，使得，则，即，因为，不共线，所以，即，此方程组无解，故与不共线，所以不共线，故A不正确；因为，即与共线，又与有公共点，所以共线，故B正确；若存在，使得，则，即，因为，不共线，所以，即，此方程组无解，故与不共线，所以不共线，故C不正确；若存在，使得，则，即，因为，不共线，所以，即，此方程组无解，故与不共线，所以不共线，故D不正确.故选：B设向量不共线，向量与同方向，则实数的值为（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由向量共线定理得存在一个实数使成立，即则，解得或，又因为向量与同方向，所以，即，故选：.已知是平面内的一组基底，，，，若三点共线，则实数的值为（ ）A． B．0C．1 D．2【答案】A【详解】因为，，，所以，，又因为A，B，C三点共线，所以，即，所以，解得，故选：A在中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过的（ ）A．内心 B．外心C．重心 D．垂心【答案】A【详解】表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，故表示起点为，终点在的平分线上的向量，又，，与共起点，且为同向的向量，则点也在的角平分线上，故点的轨迹一定经过三角形的内心.故选：A.已知是所在平面上的一点，若，则点是的（ ）A．外心 B．内心C．重心 D．垂心【答案】C【详解】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)，∴，又，可得=-，∴=-，∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心.故选：C.已知是所在平面上一点，若，则是的（ ）A．重心 B．外心C．内心 D．垂心【答案】B【详解】因为，则，所以，是的外心.故选：B.已知是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）A．外心 B．重心C．垂心 D．内心【答案】B【详解】解：如图，取的中点，连接，则．又，，即．又，点在射线上．故的轨迹过的重心．故选：B．已知是平面上一个定点，是平面上三个不共线的点，动点满足条件，则点的轨迹一定通过的___________心.【答案】内【详解】分别表示方向的单位向量，令，，则，即.又，以为一组邻边作一个菱形，则点P在菱形的对角线上，所以点P在角平分线上所以动点P的轨迹一定通过的内心.故答案为：内（1）已知的外心为，且，则______．（2）已知的重心为，且，则______．（3）已知的重心为，且，为中点，则____．【答案】 ; ; 【详解】（1）解：由题意得：如图过O作，垂足为，则是的中点，，又，（2）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成两部分，（3）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成两部分，故答案为：（1）（2）（3）已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由可得，即点P在线段BC上，且则与的面积之比等于故选：B已知点为内一点，且，则与的面积之比为（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】设AC的中点是M，BC的中点是N，由题有，即，，所以O在△ABC中位线MN上，且O为靠近N的三等分点，设S△ONC=k，则S△OMC=2k，S△OAC=4k，S△ABC=12k所以.故选：B.在中，为上的一点，且，，则（ ）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为在中，P为AB上的一点，且，所以，所以，因为，所以，，故选：A如图，在中，是中点，，则________．【答案】【详解】解：；又，根据平面向量基本定理得：，；．故答案为：．已知正方形中，是的中点，，则________【答案】【详解】解：令则，有∵，∴，∴ 解得：∴6.2.4向量的数量积已知向量，，若与的夹角为，则为（ ）A． B．C． D．1【答案】B【详解】因为向量，，若与的夹角为，所以，故选：B.已知平面向量的夹角为，且，则（ ）A．4 B．C．8 D．【答案】C【详解】因为平面向量的夹角为，且，所以，故选：C己知向量的夹角为，且满足，则____________.【答案】 1.【详解】因为向量的夹角为，且，所以.已知，与的夹角为60°，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）；（2）；（3）已知非零向量满足，，则______.【答案】【详解】∵，∴，即又，∴，解得.故答案为：已知，向量与的夹角为，则__________．【答案】【详解】因为，向量与的夹角为，所以，故答案为：设向量的夹角为，且，，则_________．【答案】【详解】解：因为向量、的夹角为，且，，所以，所以.故答案为：已知向量满足，则( )A．4 B．3C．2 D．0【答案】B【详解】﹒故选：B．已知向量满足，它们的夹角为，则（ ）A．2 B．4C．6 D．8【答案】C【详解】由题意，向量满足，它们的夹角为，则.故选：C.已知，，且向量与的夹角为，则______.【答案】-268【详解】.故答案为：已知平面向量的夹角为，且.若，则______.【答案】11【详解】因为平面向量，的夹角为，且，所以，因为，所以，所以，解得，故答案为：11.已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．【答案】2【详解】因为，所以，即.又，,与的夹角为，则，所以．故答案为：2.若单位向量满足，且，则实数的值为___________.【答案】6【详解】因为，所以，因为，所以，即，又是单位向量，所以，即.故答案为：已知向量满足，，且的夹角为．若，求实数的值；【答案】【详解】解：因为，所以，所以，解得．设平面向量均为单位向量，则“”是“”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】因为，所以“”是“”的充分必要条件，故选：C.若非零向量满足，，则向量夹角的大小为（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，解得，因为，所以.故选：C.已知向量，且，则两向量的夹角的大小为（ ）A．30° B．60°C．120° D．150°【答案】C【详解】解：设向量的夹角为，则，因为，所以.故选：C若向量满足，，，则与的夹角为（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由已知得，，，，所以.故选：C．已知向量满足，则向量与所成的夹角为（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意得，，解得，所以，因为，所以向量与所成的夹角为，故选:B．已知是单位向量，且，则与的夹角为（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：因为是单位向量，所以，又因为，所以，即，所以，又，所以与的夹角为.故选：D.已知平面向量满足，，则（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以，又，所以，所以，故B，C，D错误.故选：A.若单位向量满足，则的夹角为（ ）A． B．C． D．0【答案】B【详解】原式两边平方得，解得，即。故选：B．已知非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以，所以，由得，所以，设向量与的夹角为，则，又，所以．故选：B.已知两个单位向量的夹角为，则与的夹角为（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】，，设与的夹角为，则，又，则与的夹角为.故选：A.已知向量满足，则( )A． B．C． D．【答案】D【详解】，，，．，∴．故选：D．平面上不共线的向量，其夹角两两相等，且，则与的夹角为（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为平面上不共线的向量，，，其夹角两两相等，所以向量，，间的夹角均为，不妨设所以，，所以，因为，所以，即与的夹角为.故选：A已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意知，可得，又由，可得，则，即，即，所以，当且仅当时，等号成立，所以向量与夹角的最大值是.故选：B.若两个非零向量满足，则与的夹角___________.【答案】【详解】设向量与的夹角为，若，则，变形得 ，所以 且 ，则 ，故 ，又 ，则.故答案为:.设向量，满足，，与的夹角为，则（ ）A． B．C．4 D．【答案】A【详解】解：因为，，与的夹角为，所以，所以，所以．故选：A．已知向量满足，，且的夹角为30°，则（ ）A． B．7C． D．3【答案】C【详解】由题意得：，所以.故选：C已知向量与的夹角为，，，则___________.【答案】【详解】解：因为向量与的夹角为，，，所以，所以故答案为：已知平面向量与的夹角为，且，则 .【答案】2【详解】因为平面向量与的夹角为，且，，所以，所以.故答案为：2.已知向量满足，且，则_____.【答案】1【详解】因为，所以，，则．故答案为：1.已知向量是非零向量，是单位向量，的夹角为，且，则（ ）A． B．C．1 D．2【答案】A【详解】因为，所以，即，因为是单位向量，的夹角为，所以，因为向量是非零向量，所以，故选：A已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】在方向上的投影向量为故选：C.已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为是单位向量，所以，故，由得，即，则，即，得，设与的夹角为，则在方向上的投影向量为.故选：B.已知平面向量，满足，，与的夹角为，在方向上的投影向量为（ ）A． B．C． D．1【答案】C【详解】由在方向上的投影向量为.故选：C已知是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量，所以，且，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是（ ）A． B．3C． D．1【答案】D【详解】由，，，，，，解得，所以向量在向量方向上的投影为，故选：D.已知向量满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】依题意，，向量在向量方向上的投影向量为．故选：A平面中两个向量满足，，则在方向上的投影向量为（ ）A．2 B．C． D．-2【答案】B【详解】由题意得：，故在方向上的投影向量为 ，故选：B已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）A．4 B．8C． D．【答案】C【详解】由得，根据在方向上的投影向量为，可知在方向上的投影为，故根据数量积的几何意义，等于与在方向上的投影的乘积，故，故选：C已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）A．12 B．8C．-8 D．2【答案】A【详解】在方向上投影向量为，，.故选：A设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）A．2 B．C． D．【答案】B【详解】解：因为在方向上的投影向量为，所以，所以，因为与垂直，所以，即，解得.故选：B.已知向量满足， 且向量在向量上的投影向量为， 则的模为____________．【答案】【详解】解：因为向量在向量上的投影向量为，所以，即，解得故答案为：已知，若向量在向量上的投影向量为，则______.【答案】2【详解】设，的夹角为，则，因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以.故答案为：2.已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则__________.【答案】【详解】解：设向量的夹角为，因为向量在向量上的投影向量为，所以，又，解得：，因为，所以.故答案为：.若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（ ）A． B．C．2 D．4【答案】C【详解】，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为故选：C已知向量满足，其中是单位向量，则在上的投影为（ ）A．1 B．C． D．【答案】A【详解】∵，，∴，∴，∴在方向上的投影的数量是.故选：A已知向量和的夹角为，，则在上投影的数量为（ ）A．1 B．2C． D．【答案】A【详解】根据向量在向量上投影可知，在上投影的数量为．故选：A向量在向量方向上的数量投影为，且，则______．【答案】【详解】根据题意，设与的夹角为，则在向量方向上的数量投影为，即，所以．故答案为：.已知与的夹角为.(1)求；(2)求在上的投影向量的模长.【答案】(1)；(2).【详解】(1).(2)因为，所以在上的投影向量的模长为.课后练习6.2.1已知向量如图，求作.【答案】答案见解析【详解】在平面内任取一点O，作，如图，则由向量加法的三角形法则，得.如图，已知正方形的边长等于1，，，，试作向量:（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【详解】(1)在正方形ABCD中，.连接BD，箭头指向B，则即为.(2)过B作BF∥AC，交DC的延长线于F，连接AF，则四边形ABFC为平行四边形，故.在△ADF中，，故即为所求.已知，用向量减法作出.(1)(2)【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】可以把 看做 ，依题意作图即可；(1)依题意作上图，其中 ；(2)依题意作上图，其中 ；如图，已知向量和向量，用三角形法则作出.【答案】答案见解析.【详解】作法：作向量＝，向量＝，则向量＝－；作向量＝，则＝－＋.如图，已知向量不共线，作向量．【答案】答案见详解.【详解】由向量加法的三角形法则，++如图，如图所示，试分别作出向量．【答案】答案见解析【详解】如图，以为邻边作平行四边形，根据平行四边形法则，可知就是．以为邻边作平行四边形，根据平行四边形法则，可知就是．所以，.已知向量如图，求作向量.【答案】答案见解析【详解】在平面内任意取一点O，作，则.如图，已知向量，求作和向量.【答案】答案见解析【详解】三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图（1）在平面内任取一点O，作，；（2）作平行四边形AOBC，则；（3）再作向量；（4）作平行四边形，则＝，即即为所求.如图，已知向量.(1)求作.(2)设，为单位向量，试探索的最大值.【答案】(1)答案见解析(2)3【详解】(1)（1）在平面内任取一点O，作，，，，则.(2)（2）在平面内任取一点O，作，则，因为为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，即O，A，B1三点共线时，最大，最大值是3.6.2.2如图，已知为两个非零向量．(1)求作向量及；(2)向量成什么位置关系时，？（不要求证明）【答案】(1)作图见解析；(2)，相互垂直.【详解】(1)将向量，的起点平移到重合的位置，再由向量加减法的平行四边形法则可得、，如下图示：(2)要使，由（1）所得图知：平行四边形的两条对角线相等，所以，当平行四边形为矩形时成立，故，相互垂直.如图，为内一点，.求作：(1)；(2).【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】(1)设是的中点，连接并延长，使.+-.(2)--=-（+）.如图，已知向量，求作向量．【答案】见解析【详解】由向量减法的三角形法则，令,则,令,所以.如下图中即为.已知是所在平面内一点，且，那么（ ）A．点在的内部B．点在的边上C．点在边所在的直线上D．点在的外部【答案】D【详解】因为，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在的外部．故选：D如图，在平行四边形中，（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意得，.故选：B.如图，四边形是平行四边形，则（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意得，，所以.故选：D.（多选）已知点分别是的边的中点，则下列等式中正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】对于A,，故A正确；对于B,，故B正确；对于C,因为D，E，F分别是的边，，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，即，故C正确；对于D,因为F为的中点，所以，所以，故D错误．故选:ABC．如图，分别是梯形的边的中点，化简下列各式：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【详解】（1）；（2）.下列向量运算结果错误的是（ ）A． B．C．= D．【答案】A【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D正确；故选：A在中，分别是的中点，则___________.【答案】【详解】利用三角形中位线定理知，所以.故答案为：如图，是两条对角线的交点，则下列等式成立的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【详解】由向量减法的运算可得，又因为四边形为平行四边形，所以.故选：D.如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，D错.故选：C.如图，等于（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由图可知.故选：C.如图，已知平行四边形的对角线和相交于，且 ， ，则可以表示为（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】在平行四边形ABCD中，依题意，，而，所以.故选：D如图，在中，，，用表示向量，．【答案】，【详解】解：在中，，，所以，已知四边形是边长为的正方形，求：(1)；(2)【答案】(1)(2)2【详解】利用向量的加减法法则化简向量即可解决问题.（1）四边形是边长为的正方形，（2）在平行四边形中，等于（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：.故选：D.如图所示，梯形中，，且，分别是和的中点，若，试用表示.【答案】，，【详解】如图所示，连接，因为，且，分别是和的中点，则四边形是平行四边形，所以，，.如图，在中，是的中点．设，，试用表示．【答案】【详解】根据向量的加法，减法及数乘运算法则可得：如图所示，解答下列各题：(1)用表示；(2)用表示；(3)用表示；(4)用表示.【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．已知四边形是边长为2的正方形，求：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】(1)如图：(2)如图，根据图示填空：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______；（5）______．【答案】 【详解】解：由平面向量的加法和减法法则得：（1）在中，，即 ；（2）在中，，即；（3）在四边形ABCD中，，即；（4）在五边形ABCDE中，，即；（5）在四边形ABCD中，，即，所以.（多选）如图，分别是的边的中点，则等于（ ）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】解：因为D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，所以,且，，且，所以，，所以，故选：BCD.中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形，若，则______.【答案】【详解】在中，设，，则，所以，所以.故答案为：计算：_________．【答案】【详解】.故答案为：.化简（1）（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1）方法一(统一成加法)：方法二(利用)：（2）．（3）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】(1).(2).化简.(1)；(2).【答案】(1)；(2).【详解】(1)；(2)化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】(1).(2).化简：(1)；(2).【答案】(1)(2)【详解】（1）解：；（2）解：.计算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【详解】（1）原式=.（2）原式=.化简下列各式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【详解】（1）；（2）向量可以写成：①；②；③；④.其中正确的是________(填序号).【答案】①④【详解】①；②；③；④；故答案为：①④（多选）化简以下各式，结果为的有（ ）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D不正确.故选：ABC.（多选）下列各式中能化简为的有（ ）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】对于A：，故A 错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确.故选：BCD6.2.3已知向量，则___________．【答案】【详解】根据向量的运算法则，可得.故答案为：.已知，，，则等于（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】.故选：A.＝_______．【答案】【详解】根据向量的运算法则，可得：.故答案为：.___________.【答案】【详解】.故答案为：化简：________.【答案】【详解】故答案为：化简：___________.【答案】【详解】解：，，，故答案为：化简：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）原式.（2）原式，.若为已知向量，且，则_____________.【答案】【详解】∵，∴，化简得，∴.故答案为：.在中，是边上的中点，则（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为是边上的中点，所以，故选：C如图，设是线段的三等分点（点靠近点），则下列说法正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】根据题意，，又与方向相同，∴，故A错误；，又与方向相反，∴，故B正确；，又与方向相反，∴，故C错误；，又与方向相反，∴，故D错误.故选：B.如图，平行四边形的对角线交于，若，，用表示为( )A． B．C． D．【答案】D【详解】．故选：D．在中，若分别为的中点，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为是的中点，所以.因为是的中点，所以.所以，故选：C.在梯形中，，则（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意得．故选：B.正方形中， 点是的中点， 点是 的一个三等分点， 那么 （ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：∵点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，∴．故选：D．如图，已知分别是矩形的边的中点，与交于点，若，用表示________.【答案】【详解】.故答案为：(多选)在中，，则（ ）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】.故选：ABD(多选)在中，，记，则下列结论中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】AC【详解】解：因为，，所以，所以，.故选：AC.(多选)在等边中，与交于点，则下列结论中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】AC【详解】解：因为，所以，故选项A正确；因为，所以，故选项B错误；由于B，E，F三点共线，所以．又，从而解得故选项C正确；，故选项D错误．故选：AC已知的重心为，经过点的直线交于，交于，若，，则________.【答案】3【详解】如图，设F为BC的中点，则，又，，则，又G，D，E三点共线，∴，即.故答案为：3.已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的______心．【答案】重【详解】解：设为的中点，则，则，即，，，三点共线，又因为为的中点，所以是边的中线，所以点的轨迹一定通过的重心．故答案为：重．(多选)在中，D分别是边的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】解：如图：对于选项A，，即选项A错误；对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确；对于选项C，，即选项C正确；对于选项D，，即，即选项D正确，故选：BCD．在中，点满足，若存在点，使得，且，则______．【答案】【详解】，∴，，可得，∵∴则.故答案为：.已知不共线，，并且共线，则________.【答案】-2.【详解】∵共线，∴存在实数，使得，即，又，不共线，∴，解得．故答案为：．已知与共线，且不共线，则的值为_____．【答案】6【详解】由于与共线，不共线，所以.故答案为：设是两个不共线的向量，已知，若三点共线，求的值为__________．【答案】【详解】由A、B、D三点共线，可得，又，则，又、不共线，则，解得.故答案为：.已知，，求证三点共线．【答案】证明见解析【详解】证明：因为，，所以，所以，又与有一个公共点P，所以，，三点共线.已知，，求证：与共线.【答案】证明见解析【详解】∵，即，∴.已知不共线，向量，，且，求的值．【答案】【详解】，存在唯一的实数，使得，即已知.其中与不共线且三点共线，求的值.【答案】.【详解】由B，C，D三点共线，得，又，所以，，所以，即，所以，解得.两个非零向量不共线．(1)若，求证：三点共线；(2)求实数使与共线．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】(1)证明：因为，所以，则，所以共线，两个向量有公共点，所以A、B、D三点共线.(2)若与共线，则存在实数，使得，所以，所以.若，则________．【答案】【详解】由可得，即,可得，则，故答案为：6.2.4若非零向量满足，则与夹角的余弦值为________．【答案】【详解】因为，所以，所以，设与夹角为θ．所以．故答案为：已知且， 则的夹角是_____．【答案】【详解】∵且，∴，即，∴此时夹角为锐角，∴的夹角是.故答案为：已知向量是单位向量，且，则向量与的夹角是（ ）A．30° B．60°C．90° D．120°【答案】B【详解】由可得，又，则，则，又，则向量与的夹角是60°.故选：B.已知向量满足，，，则向量夹角的大小等于（ ）A．30° B．45°C．60° D．120°【答案】A【详解】设向量向量，的夹角为，由，得，即，因为，，所以，解得，又因为，所以，即向量，的夹角的大小为30°．故选：A．设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由得，代入得，又故夹角为．故选：C已知非零向量满足，且，则向量夹角的大小为（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为，所以，所以，又，所以.故选：C.若非零向量满足，，则向量与的夹角为（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】设向量与的夹角为（），因为，所以，所以，得，因为非零向量，满足，所以，因为，所以，故选：C已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值为___________.【答案】【详解】因为，所以，展开整理化简得：.所以.即与的夹角的余弦值为.故答案为：.已知向满足，，则_____________.【答案】【详解】由题意，向量满足且，可得，解得，即.故答案为：.设向量满足与的夹角为，则___________.【答案】【详解】由已知得，，故答案为：已知向量满足，，．(1)求；(2)若，求实数的值．【答案】(1)6(2)或2【详解】（（1）．所以；（2）由题意可得：，即，∴，解得：或2，所以实数k的值是-1或2.已知，则向量在方向上的投影向量为（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】设与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为.故选：A已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】在上的投影向量是：.故选：A已知非零向量与满足，且(1)若，求向量的夹角.(2)在（1）的条件下，求的值.【答案】(1)(2)1【详解】（1）解：因为，所以，又，，所以，，因为，所以；（2），已知向量，若，(1)求与的夹角；(2)求；(3)当为何值时，向量与向量互相垂直？【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：因为，，所以，又因，所以；（2）解：；（3）解：当向量与向量互相垂直时，，即，即，解得.已知，与的夹角是.(1)求的值及的值；(2)当为何值时，？【答案】(1)，；(2).【详解】（1）∵，与的夹角是，∴，；（2）由题意，，即，解得，即时，.已知，且向量的夹角是．(1)若，求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)7【详解】(1)∵，且向量的夹角是，．，，，即，解得．(2)，已知向量与向量的夹角为，且，.(1)求的值；(2)求向量在向量上的投影向量.【答案】(1)(2)【详解】(1).(2)由投影向量的定义得：，.已知向量与的夹角为，且，．(1)求，；(2)若与共线，求.【答案】(1)，(2)【详解】(1)，．(2)若与共线，则存在，使得即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以．已知向量与，其中，，且与的夹角.(1)求；(2)求向量在方向上的投影数量.【答案】(1)(2)【详解】(1)，.(2)向量在方向上的投影数量为.已知两个单位向量与的夹角为60°.(1)求；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【详解】(1)因为两个单位向量与的夹角为60°所以所以(2)因为，所以已知向量满足，，且与的夹角为．(1)求；(2)若与相互垂直，求实数的值．【答案】(1)(2)【详解】(1)解：因为，，且与的夹角为，所以，则；(2)解：因为与相互垂直，所以，即，即，解得.已知是夹角为60°的单位向量，设.(1)求；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】(1)由向量，为夹角为60°的单位向量，可得，.所以.(2)∵，∴，∴.当且仅当时等号成立，∴的最小值为.已知是夹角为的两个单位向量，.(1)求的值.(2)求与的夹角的大小.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知:所以（2）由题意知,所以与的夹角为.若，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为（ ）A． B．48C． D．【答案】C【详解】解：，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为：．故选：C．已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：由定义可得向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量为．故选：D．已知平面向量的夹角为，若，则的值为（ ）A． B．5C． D．【答案】D【详解】由两边平方得，，，解得.故选：D已知向量不共线，则“”是“夹角为锐角”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】设，夹角为，由得，由于，不共线，则，均为非零向量，且夹角不为0和，因此,进而，而若“，夹角为锐角”，不一定能满足，因此不一定相等，故“”是“，夹角为锐角”的充分不必要条件，故选：A已知向量的夹角的余弦值为，且，则（ ）A．-34 B．-32C．32 D．34【答案】A【详解】，故选:A．已知向量均为单位向量，且，则（ ）A．2 B．C．4 D．【答案】B【详解】解：因为向量均为单位向量，且，所以，，所以，故选：B.已知为单位向量，与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为为单位向量，与的夹角为，所以在方向上的投影为，故选：B已知单位向量的夹角为，与垂直，则 ______【答案】【详解】，与垂直，则，．故答案为：．非零向量满足，，则___________.【答案】【详解】解：因为，所以，即，所以，所以.故答案为：已知，且在方向上的投影是，则___________.【答案】12【详解】由于在方向上的投影是，所以.故答案为：已知向量满足，且与的夹角为60°，则__________，________.【答案】 【详解】因为，与的夹角为60°，所以，所以，，所以，故答案为：；第六章 平面向量及其应用6.2平面向量的运算（1）求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图6.2-2，已知非零向量，在平面内取任意一点，作，则向量叫做与的和，记作，即.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.（2）如图6.2-4，以同一点为起点的两个已知向量，以为邻边作，则以为起点的向量（是的对角线）就是与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.（3）规定.（4）.当且仅当方向相同时等号成立.（5）.（6）与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.和互为相反向量..（7）零向量的相反向量仍是零向量.（8）.（9）如果互为相反向量，那么；向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法.（10）实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当时，.①；②；③；④；⑤.（11）向量的加、减、数乘统称为向量的线性运算，线性运算的结果仍是向量.（12）向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.（12）向量的数量积：已知两个非零向量，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.（13）当时，与同向；当时，与反向；当与的夹角是，与垂直，记作.（14）已知两个非零向量与，它们的夹角为，叫做向量与的数量积（或内积），记作.零向量与任一向量的数量积为0.（15）两个非零向量与，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量的投影向量.（16）数量积的性质：设与是非零向量，夹角为，是与方向相同的单位向量，则①；②；③当与同向时，；当与反向时，；或；④；⑤；；.6.2.1向量的加法运算如图，已知，求作.(1)；(2)如图所示，已知正方形的边长等于1，，，试作出下列向量并分别求出其长度..如图，已知向量(1)求作(2)设，为单位向量，试探索的最大值．已知用向量加法的三角形法则作出.(1)；(2).请用平行四边形法则作出，.如图，为边长为1的正六边形，为其几何中心.(1)化简；(2)化简；(3)化简；(4)求向量的模.如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）A． B．C． D．在中，是的中点，则等于（ ）A． B．C． D．如图，在矩形中，为中点，那么（ ）A． B．C． D．如图，正六边形中，（ ）A． B．C． D．如图，等腰梯形中，，点为线段中点，点为线段的中点，则（ ）A．B．C．D．已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）A．B．C．D．已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（ ）A． B．C． D．化简等于（ ）A． B．C． D．化简下列各式：(1)；(2)；(3)．向量“不共线”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（多选）已知，则的值可能为（ ）A．4 B．8C．10 D．12一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置.在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？6.2.2向量的减法运算如图，已知向量不共线，求作向量．如图，已知向量和向量，用三角形法则作出.如图，已知向量，求作向量：(1)；(2)；(3)．已知向量如图所示.（1）求作向量；（2）求作向量.如图，已知向量，求作下列向量：(1)；(2)．已知在边长为2的等边中，向量满足，，则（ ）A．2 B．C． D．3在平行四边形中，，，则（ ）A． B．-C． D．在中，点在边上，．记，，则（ ）A． B．C． D．在中，已知是边上一点，且，则（ ）A． B．C． D．在平行四边形中，为上任一点，则（ ）A． B．C． D．在四边形中，，若，则四边形是（ ）A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不确定在中，点是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，则（ ）A． B．C． D．如图，中，，，点是的三等分点，则（ ）A． B．C． D．向量（ ）A． B．C． D．化简： （ ）A． B．C． D．①；②；③．其中正确的个数是（ ）A．0 B．1C．2 D．3化简所得的结果是（ ）A． B．C． D．（ ）A． B．C． D．下列化简结果错误的是（ ）A． B．C．D．已知向量，且不是方向相反的向量，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．若 ，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．若为相反向量，且，，则________，________.若互为相反向量，且，则 ， .6.2.3向量的数乘运算的化简结果为（ ）A． B．C． D．等于（ ）A． B．C． D．化简______.求__________．若，，则___________，___________，___________.如图所示，已知在中，是的边上的中点，则（ ）A． B．C． D．如图，在平行四边形中，是的中点，，则（ ）A． B．C． D．如图所示，在中，为的中点，则（ ）A． B．C． D．设为所在平面内一点，且满足，则（ ）A． B．C． D．在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（ ）A． B．C． D．已知向量是两个不共线的向量，与共线，则（ ）A．2 B．C． D．已知，则共线的三点为（ ）A． B．C． D．已知为不共线的向量，且，，则（ ）A．共线 B．共线C．共线 D．共线设向量不共线，向量与同方向，则实数的值为（ ）A． B．C． D．已知是平面内的一组基底，，，，若三点共线，则实数的值为（ ）A． B．0C．1 D．2在中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过的（ ）A．内心 B．外心C．重心 D．垂心已知是所在平面上的一点，若，则点是的（ ）A．外心 B．内心C．重心 D．垂心已知是所在平面上一点，若，则是的（ ）A．重心 B．外心C．内心 D．垂心已知是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）A．外心 B．重心C．垂心 D．内心已知是平面上一个定点，是平面上三个不共线的点，动点满足条件，则点的轨迹一定通过的___________心.（1）已知的外心为，且，则______．（2）已知的重心为，且，则______．（3）已知的重心为，且，为中点，则____．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ）A． B．C． D．已知点为内一点，且，则与的面积之比为（ ）A． B．C． D．在中，为上的一点，且，，则（ ）A．B．C．D．如图，在中，是中点，，则________．已知正方形中，是的中点，，则________6.2.4向量的数量积已知向量，，若与的夹角为，则为（ ）A． B．C． D．1已知平面向量的夹角为，且，则（ ）A．4 B．C．8 D．己知向量的夹角为，且满足，则____________.已知，与的夹角为60°，求：(1)；(2)；(3).已知非零向量满足，，则______.已知，向量与的夹角为，则__________．设向量的夹角为，且，，则_________．已知向量满足，则( )A．4 B．3C．2 D．0已知向量满足，它们的夹角为，则（ ）A．2 B．4C．6 D．8已知，，且向量与的夹角为，则______.已知平面向量的夹角为，且.若，则______.已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．若单位向量满足，且，则实数的值为___________.已知向量满足，，且的夹角为．若，求实数的值；设平面向量均为单位向量，则“”是“”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件若非零向量满足，，则向量夹角的大小为（ ）A． B．C． D．已知向量，且，则两向量的夹角的大小为（ ）A．30° B．60°C．120° D．150°若向量满足，，，则与的夹角为（ ）A． B．C． D．已知向量满足，则向量与所成的夹角为（ ）A． B．C． D．已知是单位向量，且，则与的夹角为（ ）A． B．C． D．已知平面向量满足，，则（ ）A． B．C． D．若单位向量满足，则的夹角为（ ）A． B．C． D．0已知非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）A． B．C． D．已知两个单位向量的夹角为，则与的夹角为（ ）A． B．C． D．已知向量满足，则( )A． B．C． D．平面上不共线的向量，其夹角两两相等，且，则与的夹角为（ ）A． B．C． D．已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（ ）A． B．C． D．若两个非零向量满足，则与的夹角___________.设向量，满足，，与的夹角为，则（ ）A． B．C．4 D．已知向量满足，，且的夹角为30°，则（ ）A． B．7C． D．3已知向量与的夹角为，，，则___________.已知平面向量与的夹角为，且，则 .已知向量满足，且，则_____.已知向量是非零向量，是单位向量，的夹角为，且，则（ ）A． B．C．1 D．2已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）A． B．C． D．已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）A． B．C． D．已知平面向量，满足，，与的夹角为，在方向上的投影向量为（ ）A． B．C． D．1已知是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）A． B．C． D．已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是（ ）A． B．3C． D．1已知向量满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）A． B．C． D．平面中两个向量满足，，则在方向上的投影向量为（ ）A．2 B．C． D．-2已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）A．4 B．8C． D．已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）A．12 B．8C．-8 D．2设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）A．2 B．C． D．已知向量满足， 且向量在向量上的投影向量为， 则的模为____________．已知，若向量在向量上的投影向量为，则______.已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则__________.若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（ ）A． B．C．2 D．4已知向量满足，其中是单位向量，则在上的投影为（ ）A．1 B．C． D．已知向量和的夹角为，，则在上投影的数量为（ ）A．1 B．2C． D．向量在向量方向上的数量投影为，且，则______．已知与的夹角为.(1)求；(2)求在上的投影向量的模长.课后练习6.2.1已知向量如图，求作.如图，已知正方形的边长等于1，，，，试作向量:（1）；（2）.已知，用向量减法作出.(1)(2)如图，已知向量和向量，用三角形法则作出.如图，已知向量不共线，作向量．如图所示，试分别作出向量．已知向量如图，求作向量.如图，已知向量，求作和向量.如图，已知向量.(1)求作.(2)设，为单位向量，试探索的最大值.6.2.2如图，已知为两个非零向量．(1)求作向量及；(2)向量成什么位置关系时，？（不要求证明）如图，为内一点，.求作：(1)；(2).如图，已知向量，求作向量．已知是所在平面内一点，且，那么（ ）A．点在的内部B．点在的边上C．点在边所在的直线上D．点在的外部如图，在平行四边形中，（ ）A． B．C． D．如图，四边形是平行四边形，则（ ）A． B．C． D．（多选）已知点分别是的边的中点，则下列等式中正确的是（ ）A．B．C．D．如图，分别是梯形的边的中点，化简下列各式：(1)；(2).下列向量运算结果错误的是（ ）A． B．C．= D．在中，分别是的中点，则___________.如图，是两条对角线的交点，则下列等式成立的是（ ）A．B．C．D．如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．如图，等于（ ）A． B．C． D．如图，已知平行四边形的对角线和相交于，且 ， ，则可以表示为（ ）A． B．C． D．如图，在中，，，用表示向量，．已知四边形是边长为的正方形，求：(1)；(2)在平行四边形中，等于（ ）A． B．C． D．如图所示，梯形中，，且，分别是和的中点，若，试用表示.如图，在中，是的中点．设，，试用表示．如图所示，解答下列各题：(1)用表示；(2)用表示；(3)用表示；(4)用表示.已知四边形是边长为2的正方形，求：(1)；(2)．如图，根据图示填空：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______；（5）______．（多选）如图，分别是的边的中点，则等于（ ）A． B．C． D．中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形，若，则______.计算：_________．化简（1）（2）；（3）．计算：(1)；(2)．化简.(1)；(2).化简：(1)；(2)．化简：(1)；(2).计算：(1)；(2).化简下列各式：(1)；(2).向量可以写成：①；②；③；④.其中正确的是________(填序号).（多选）化简以下各式，结果为的有（ ）A．B．C．D．（多选）下列各式中能化简为的有（ ）A．B．C．D．6.2.3已知向量，则___________．已知，，，则等于（ ）A． B．C． D．＝_______．___________.化简：________.化简：___________.化简：（1）；（2）.若为已知向量，且，则_____________.在中，是边上的中点，则（ ）A． B．C． D．如图，设是线段的三等分点（点靠近点），则下列说法正确的是（ ）A． B．C． D．如图，平行四边形的对角线交于，若，，用表示为( )A． B．C． D．在中，若分别为的中点，则（ ）A． B． C． D．在梯形中，，则（ ）A． B．C． D．正方形中， 点是的中点， 点是 的一个三等分点， 那么 （ ）A． B．C． D．如图，已知分别是矩形的边的中点，与交于点，若，用表示________.(多选)在中，，则（ ）A． B．C． D．(多选)在中，，记，则下列结论中正确的是（ ）A． B．C． D．(多选)在等边中，与交于点，则下列结论中正确的是（ ）A． B．C． D．已知的重心为，经过点的直线交于，交于，若，，则________.已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的______心．(多选)在中，D分别是边的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（ ）A． B．C． D．在中，点满足，若存在点，使得，且，则______．已知不共线，，并且共线，则________.已知与共线，且不共线，则的值为_____．设是两个不共线的向量，已知，若三点共线，求的值为__________．已知，，求证三点共线．已知，，求证：与共线.已知不共线，向量，，且，求的值．已知.其中与不共线且三点共线，求的值.两个非零向量不共线．(1)若，求证：三点共线；(2)求实数使与共线．若，则________．6.2.4若非零向量满足，则与夹角的余弦值为________．已知且， 则的夹角是_____．已知向量是单位向量，且，则向量与的夹角是（ ）A．30° B．60°C．90° D．120°已知向量满足，，，则向量夹角的大小等于（ ）A．30° B．45°C．60° D．120°设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）A． B．C． D．已知非零向量满足，且，则向量夹角的大小为（ ）A． B．C． D．若非零向量满足，，则向量与的夹角为（ ）A． B．C． D．已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值为___________.已知向满足，，则_____________.设向量满足与的夹角为，则___________.【已知向量满足，，．(1)求；(2)若，求实数的值．已知，则向量在方向上的投影向量为（ ）A． B．C． D．已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）A． B．C． D．已知非零向量与满足，且(1)若，求向量的夹角.(2)在（1）的条件下，求的值.已知向量，若，(1)求与的夹角；(2)求；(3)当为何值时，向量与向量互相垂直？已知，与的夹角是.(1)求的值及的值；(2)当为何值时，？已知，且向量的夹角是．(1)若，求的值；(2)求的值．已知向量与向量的夹角为，且，.(1)求的值；(2)求向量在向量上的投影向量.已知向量与的夹角为，且，．(1)求，；(2)若与共线，求.已知向量与，其中，，且与的夹角.(1)求；(2)求向量在方向上的投影数量.已知两个单位向量与的夹角为60°.(1)求；(2)求向量与夹角的余弦值.已知向量满足，，且与的夹角为．(1)求；(2)若与相互垂直，求实数的值．已知是夹角为60°的单位向量，设.(1)求；(2)求的最小值.已知是夹角为的两个单位向量，.(1)求的值.(2)求与的夹角的大小.若，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为（ ）A． B．48C． D．已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为（ ）A． B．C． D．已知平面向量的夹角为，若，则的值为（ ）A． B．5C． D．已知向量不共线，则“”是“夹角为锐角”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件已知向量的夹角的余弦值为，且，则（ ）A．-34 B．-32C．32 D．34已知向量均为单位向量，且，则（ ）A．2 B．C．4 D．已知为单位向量，与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）A． B．C． D．已知单位向量的夹角为，与垂直，则 ______非零向量满足，，则___________.已知，且在方向上的投影是，则___________.已知向量满足，且与的夹角为60°，则__________，________. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 6.2平面向量的运算--解析版.docx 6.2平面向量的运算-原卷版.docx
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