资源简介 第六章 平面向量及其应用6.4.3余弦定理、正弦定理（1）余弦定理：，，.推论：;；.（2） 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.（3）正弦定理：（为外接圆半径）.（4）面积公式：.余弦定理已知中，角的对边分别是，且，，，则（ ）A． B．C．或 D．或设的内角的对边分别是.若，且，则（ ）A． B．2C． D．3在中，，，，则（ ）A． B．5C． D．6已知中，，则角等于（ ）A． B．C． D．在中，内角的对边长分别为，已知，且，则（ ）A．4 B．3C．2 D．1在中，若，则的度数为（ ）A． B．C． D．在中，角的对边分别为，若，则等于（ ）A． B．C．或 D．或在中，角的对边分别为，若，则等于（ ）A． B．C． D．在中，，则边所对的角等于（ ）A． B．C． D．已知的内角的对边分别是，则“”是“是钝角三角形”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件已知是钝角三角形，内角所对的边分别为，，，则最大边的取值范围是_________．（结果用区间表示）设的内角的对边分别为.已知，，要使为钝角三角形，则的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．在中，若，则该三角形一定是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．不能确定的三边长分别为，，，则的值为______.在中，，在边上，且，则_____．在中，若，则__________．在中，内角所对的边分别为，已知，，.(1)求；(2)求的值.已知是中的对边，，，．(1)求边长；(2)求的值．正弦定理在中，内角的对边分别为．已知，，，求．在中，，，，则角大小为（ ）A． B．C． D．在中，是所对的边，且，，，则角（ ）A． B．C．或 D．在中，若，则角为（ ）A． B．C． D．在中，，，则角的大小为（ ）A． B．C． D．在中，，则（ ）A． B．C． D．在 中，角所对的边分别为 ，若，则（ ）A． B．C． 或 D． 或 在中，若，则（ ）A． B．2C．3 D．已知中，，，，则的外接圆面积为___________.在中，角所对的边分别为．若，，，则角的大小为（ ）A． B．C． D．在中，内角所对的边分别为，若，，，则（ ）A．8 B．6C．5 D．3已知在中，，，，则_________ ．在中，，则角的大小为（ ）A． B．C． D．已知是面积为的等边三角形，点在线段的延长线上，若，则（ ）A． B．2C． D．3在中，是边上的一点，，，，则（ ）A．15° B．30°C．45° D．60°在中，角所对的边分别为，已知，则的面积为（ ）A． B．C． D．的内角的对边分别是，若，且的面积为，则（ ）A．1 B．2C．3 D．4在中，内角的对边分别为，若，，且的外接圆面积为，则的面积为（ ）A．24 B．25C．27 D．28已知分别为内角的对边，，则的面积为（ ）A．1 B．2C．1或7 D．2或14在中，角的对边分别为．若 ，则__________，__________．(多选)设的内角所对的边长分别为，和分别为的面积和外接圆半径．若，则选项中能使有两解的是（ ）A． B．C． D．在中，已知，则角的大小为（ ）A． B．C． D．在中，角的对边为,，，，则（ ）A． B．C． D．1在中，三个内角所对的边分别为，且，若，，则（ ）A．2 B．4C． D．8在中，角的对边分别为，若，则________________．在中，内角的对边分别为，且，，，则的面积为_______．在中角的对边分别为，且满足，则 .在中，内角所对的边分别为，若，则____________．已知中，角所对的边分别为.若，，则___________.在中，内角的对边分别为，且，则_______．在中，角所对的边分别是，已知.(1)求的值；(2)若，求的面积.在中，内角所对的边长分别为，且.(1)求；(2)若，求的面积.已知的内角的对边分别为，且．(1)求；(2)若，的面积为，求的周长．在中，内角所对应的边分别是，．(1)求角的大小；(2)若，，求．已知的内角所对边分别为，且.(1)求；(2)，求边长.实际应用一艘轮船从处沿正东方向航行10千米到达处，再从处沿北偏东30°的方向航行15千米到达处，则A之间的距离是（ ）A．千米 B．千米C．20千米 D．千米两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔和的距离为______．某渔船由于引擎故障滞留在海上的C位置，一艘快艇负责救援，快艇从A岛出发，沿南偏西30°行驶了300海里到达B位置，发现偏航后及时调整，沿北偏西30°行驶了100海里到达C位置，则A岛与渔船发生故障的C位置间距离为（ ）A．海里 B．海里C．海里 D．海里一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）A．2海里 B．3海里C．4海里 D．5海里如图，为了测量某障碍物两侧A，B两点间的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（ ）A． B．C． D．一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，1小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离约为（ ）A．海里 B．海里C．海里 D．海里一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ）A．海里 B．海里C．海里 D．海里已知轮船和轮船同时从岛出发，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距（ ）．A． B．40C． D．海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（ ）A． B．C． D．释迦塔全称佛宫寺释迦塔 位于山西省朔州市应县城西北佛宫寺内，俗称应县木塔 建于辽清宁二年（宋至和三年公元1056年），金明昌六年（南宋庆元一年公元1195年）增修完毕，是世界上现存唯一最古老最高大之木塔，为了测量释迦塔的高度，某同学在点A处测得塔顶D的仰角为45°，然后沿点A向塔的正前方走了50到达点M处，此时测得塔顶D的仰角为75，据此可估计释迦塔的高度约为（ ）A．65.8 B．68.3C．68.9 D．69.1课后练习在中，内角所对的边分别是，若，则（ ）A． B．C． D．在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（ ）A． B．C． D．(多选)在中，若，，，则的值可以为（ ）A． B．C．2 D．4在中，，，，则______．在中，若，，，则___________．在中，，则___________.在中，角的对边分别为，若，且，则______．已知为的三边，，则______.已知锐角的内角的对边分别为，若，，则角___________.在中，已知，则____________．在中，若，则角（ ）A． B．C． D．中，，，，则角的大小是（ ）A． B．C． D．在中，角所对的边分别为，若，则（ ）A． B．C． D．在中，角的对边分别是，若，则 等于（ ）A． B．C． D．已知中，，则等于（ ）A．或 B．或C． D．已知中，，则（ ）A． B．或C． D．已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）A． B．C．6 D．中，，，，则（ ）A． B．2C． D．1在中，所对的边分别为，若，，，则（ ）A． B．C． D．或(多选)在中，已知，且，则角的值可能是（ ）A． B．C． D．(多选)设的内角的对边分别为.若，，则角可能为（ ）A． B．C． D．(多选)在中，角所对的边分别为，若，则等于（ ）A． B．C． D．已知中，，，，则（ ）A． B．C．或 D．或在中，，则的面积为_________.在中，若，则的面积为___________.在中，角的对边分别为，若满足：．(1)求的值；(2)若，，求的面积．在中，分别是内角的对边.已知(1)求角的大小；(2)若，求的面积.在中，．(1)求的值；(2)设，求的值．在中，角的对边分别为．已知，，．(1)求的值；(2)求的值．在中，角的对边分别为，且.(1)求角的值；(2)若，且的面积为，求.的内角的对边分别是.已知.(1)求角；(2)若，且的面积为，求的周长.在中，分别是角的对边，.(1)求；(2)若，且，求的面积．在锐角中，的对边分别，且．(1)求角的大小；(2)若，，求的面积．在中，角所对的边分别为，已知．(1)求的大小；(2)若，，为的中点，求的值．在中，角所对的边分别为，已知，，．(1)求的值；(2)求的面积．在中，．(1)求的值；(2)若，求．已知的内角的对边分别为，，，.(1)求角；(2)求的面积.在中，.(1)求的大小：(2)若，求的面积.已知在中，角所对的边分别为，，且的外接圆的直径为2.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的周长.已知的内角所对的边分别为，若，，且．(1)求；(2)求．在锐角中，角的对边分别为，已知，，.(1)求角的大小；(2)求边长.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度是60，则此时气球的高度等于（ ）A． B．C． D．一同学到东方神话主题乐园游玩时，想用所学数学知识测量乐园内某游乐设施的高度，选择点和勇闯玄甲城项目的顶部点C为测量观测点，从点测得M点的仰角，C点的俯角以及，从C点测得，点A，B，N共水平面，若勇闯玄甲城项目的高，则（ ）A． B．C． D．平凉大明宝塔为甘肃省重点文物保护单位．一九八六年，省政府拨款，对宝塔进行了维修和加固，铺了楼板，做了木梯，如今的宝塔，面目全新．游客可以由木梯盘旋而上至顶层，举目四望平凉城市风光．某学生为测量平凉大明宝塔的高度，如图，选取了与平凉大明宝塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则平凉大明宝塔的高度是（ ）A．25米 B．米C．30米 D．米如图，一栋建筑物AB的高为米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M（B、D、M三点共线）处测得楼顶A和塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高（单位：米）为（ ）A． B．30C． D．60圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD约为（ ） A．54m B．47mC．50m D．44m如图，小明同学为测量某建筑物的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上的点（，，三点共线）测得楼顶、建筑物顶部的仰角分别为和，在楼顶处测得建筑物顶部的仰角为，则小明测得建筑物的高度为（ ）（精确到）参考数据：，A． B．C． D．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD为（ ）A．米 B．米C．米 D．米今年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度 AB（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ.测得PQ的高度约为25米，并从P点测得A点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点、P点的仰角分别为75°和30°（其中B，M，Q三点共线）.则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为（ ）（参考数据：，，）A．59 B．60C．65 D．68魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，若，，，，则海岛的高（ ）A．20 B．16C．27 D．9第六章 平面向量及其应用6.4.3余弦定理、正弦定理（1）余弦定理：，，.推论：;；.（2） 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.（3）正弦定理：（为外接圆半径）.（4）面积公式：.余弦定理已知中，角的对边分别是，且，，，则（ ）A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】在中，，，，由余弦定理得，，即，解得或，故选：C设的内角的对边分别是.若，且，则（ ）A． B．2C． D．3【答案】B【详解】由余弦定理得，，即有，解得或，又，∴.故选：B在中，，，，则（ ）A． B．5C． D．6【答案】B【详解】解：在中，由余弦定理得，代入数据得，因为，解得，故选：B已知中，，则角等于（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由中，可得 ,由于 ,故 ,故选：A在中，内角的对边长分别为，已知，且，则（ ）A．4 B．3C．2 D．1【答案】A【详解】，即为3ccosA＝acosC，即有3ca，即有a2﹣c2b2，又a2﹣c2＝2b，则2bb2，解得b＝4．故选：A．在中，若，则的度数为（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，所以由余弦定理得，因为，所以，故选：C在中，角的对边分别为，若，则等于（ ）A． B．C．或 D．或【答案】B【详解】解：因为，所以，又，所以．故选：B在中，角的对边分别为，若，则等于（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以．故选：B在中，，则边所对的角等于（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，所以，即 ，即 ，所以 .故选：B已知的内角的对边分别是，则“”是“是钝角三角形”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】 ，由余弦定理得：，即 为钝角，故充分性成立，若钝角三角形中 为钝角，则 为锐角， ，即有 ，故必要性不成立.故选：A.已知是钝角三角形，内角所对的边分别为，，，则最大边的取值范围是_________．（结果用区间表示）【答案】（5，7）【详解】因为是钝角三角形，最大边为，所以角为钝角，在中，由余弦定理可得：，可得，又因为，所以，所以最大边的取值范围是：，故答案为：.设的内角的对边分别为.已知，，要使为钝角三角形，则的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．【答案】（填也对，答案不唯一）【详解】首先由，，构成三角形有，若为钝角所对边，有，，若为钝角所对边，有，，由，不可能为钝角所对边，综上，的取值范围是,由题意，取整数值，故的大小可取或.故答案为：（填也对，答案不唯一）.在中，若，则该三角形一定是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．不能确定【答案】A【详解】因为，所以由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以为等腰三角形，故选：A的三边长分别为，，，则的值为______.【答案】19【详解】由题意可得： ,故,故答案为：19在中，，在边上，且，则_____．【答案】【详解】在中，,，则 ,即,解得 , (舍去)，由可得 ,故 ,故 ,故答案为：在中，若，则__________．【答案】3或【详解】因为C是三角形的内角，且，所以．当时，由余弦定理得 则同理，当时，得故答案为:或．在中，内角所对的边分别为，已知，，.(1)求；(2)求的值.【答案】(1)8(2)【详解】（1）解：∵，，∴，由，解得或（舍去），∴，∴.（2）解：由余弦定理可得，∴，∴.已知是中的对边，，，．(1)求边长；(2)求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由余弦定理得，，即，整理得，解得；（2）在中，由余弦定理得，得，．，又，，所以，易得，，所以，所以．正弦定理在中，内角的对边分别为．已知，，，求．【答案】或【详解】由正弦定理得：，，，，或.在中，，，，则角大小为（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：由正弦定理，得，解得：，又，，故选A.在中，是所对的边，且，，，则角（ ）A． B．C．或 D．【答案】A【详解】，，，由正弦定理可得，则，，.故选：A.在中，若，则角为（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，又所以，∴，又，∴．故选：B在中，，，则角的大小为（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由正弦定理，得，又，所以，故选：A.在中，，则（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由三角形内角和：根据正弦定理：，又则：故选：C在 中，角所对的边分别为 ，若，则（ ）A． B．C． 或 D． 或 【答案】D【详解】因为在 中，，由正弦定理得，可得，又由，所以或，当时，可得；当时，可得，故选：D.在中，若，则（ ）A． B．2C．3 D．【答案】B【详解】因为，所以；因为，所以.故选：B.已知中，，，，则的外接圆面积为___________.【答案】【详解】解：根据题意，由余弦定理可得，该的外接圆的半径为r，则由正弦定理得：.故答案为：.在中，角所对的边分别为．若，，，则角的大小为（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】，所以，又，所以，又，，所以，解得，因为，，所以，.故选：A.在中，内角所对的边分别为，若，，，则（ ）A．8 B．6C．5 D．3【答案】C【详解】在中，，∵，∴，由正弦定理得，故选：C．已知在中，，，，则_________ ．【答案】14【详解】∵在中，，，∴，，∴，∴，∴．故答案为：14在中，，则角的大小为（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，得，故．又正弦定理得，，解得，故或.又因为所以，故，则．故选：A．已知是面积为的等边三角形，点在线段的延长线上，若，则（ ）A． B．2C． D．3【答案】C【详解】设的边长为，则，解得，在中，，，，由正弦定理得，即，解得．故选：C.在中，是边上的一点，，，，则（ ）A．15° B．30°C．45° D．60°【答案】B【详解】如图所示,在中，，，所以，由正弦定理知，设，，所以设，在中，由正弦定理得：，即，解得.故选：B.在中，角所对的边分别为，已知，则的面积为（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，，所以，所以．故选：A．的内角的对边分别是，若，且的面积为，则（ ）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【详解】因为，所以，解得.故选：C在中，内角的对边分别为，若，，且的外接圆面积为，则的面积为（ ）A．24 B．25C．27 D．28【答案】D【详解】易知的外接圆半径.由可得，所以，，由，结合正弦定理可得，所以.故选：D已知分别为内角的对边，，则的面积为（ ）A．1 B．2C．1或7 D．2或14【答案】C【详解】由可得，因为，所以或，∴或，∴,或．故选：C.在中，角的对边分别为．若 ，则__________，__________．【答案】 ， ．【详解】试题分析：由正弦定理得因为所以所以由三角形面积公式所以故答案为，．(多选)设的内角所对的边长分别为，和分别为的面积和外接圆半径．若，则选项中能使有两解的是（ ）A． B．C． D．【答案】AD【详解】对于A，由， ，由于 且，因此有两个解；对于B，由， 则由正弦定理得，且，因此只能是锐角，故只有一组解；对于C，由，得，故只有一解；对于D，由得，所以或 ，由于，所以，由选项A可知有两解.故选：AD在中，已知，则角的大小为（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：在中，已知，，设，，，，由余弦定理得：，因为为三角形内角，则，故选：C．在中，角的对边为,，，，则（ ）A． B．C． D．1【答案】D【详解】∵，故选：D.在中，三个内角所对的边分别为，且，若，，则（ ）A．2 B．4C． D．8【答案】A【详解】由正弦定理，及，得，又，所以，整理得，所以，又，所以．由余弦定理，得，则．故选：A．在中，角的对边分别为，若，则________________．【答案】【详解】，由正弦定理化简得，而，而，解得，而，则，故答案为：在中，内角的对边分别为，且，，，则的面积为_______．【答案】【详解】解：解法1：，又，∴，∴，∵，∴，∴，又，∴，∵，∴，．故答案为：在中角的对边分别为，且满足，则 .【答案】【详解】由，可得,因为 ，故，,则 ，故答案为：在中，内角所对的边分别为，若，则____________．【答案】【详解】∵，则∴，即解得∴，则故答案为：.已知中，角所对的边分别为.若，，则___________.【答案】【详解】由正弦定理可得，故，故，整理得到，而，故，所以，故，解得或，若，则，故同为钝角，这与矛盾，故.故答案为：.在中，内角的对边分别为，且，则_______．【答案】【详解】由正弦定理，①，又，代入式①得：，∴，∵，∴，，故，又，∴．故答案为：在中，角所对的边分别是，已知.(1)求的值；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）由于， ，则 ． 因为由正弦定理知 ，则 , 因为， ，所以， ,故 ；（2）因为，，由余弦定理，得 ，即 ，解得（负值舍去），而，所以的面积.在中，内角所对的边长分别为，且.(1)求；(2)若，求的面积.【答案】(1)；(2).【详解】（1）由，故由正弦定理知：，所以.因为，所以A为锐角，故；（2）由（1）及余弦定理知：，故，故.由，所以，所以的面积.已知的内角的对边分别为，且．(1)求；(2)若，的面积为，求的周长．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以即，所以，因为，所以，所以即；（2）因为的面积为，，由三角形的面积公式得，化简得，又根据余弦定理得，所以，所以，所以，故的周长为.在中，内角所对应的边分别是，．(1)求角的大小；(2)若，，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，即，因为，所以，所以．因为，所以，所以，又，所以．（2）解：因为，，所以，则．因为，所以.已知的内角所对边分别为，且.(1)求；(2)，求边长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由可得，即，所以由正弦定理可得，所以，因为，所以；（2）∵，∴即，所以，∴，所以实际应用一艘轮船从处沿正东方向航行10千米到达处，再从处沿北偏东30°的方向航行15千米到达处，则A之间的距离是（ ）A．千米 B．千米C．20千米 D．千米【答案】D【详解】在中，千米，千米，，则由余弦定理可得，则千米．故选：D.两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔和的距离为______．【答案】7【详解】根据题意作出如图的方位图，则在△ABC中，由余弦定理，有：所以故答案为：7某渔船由于引擎故障滞留在海上的C位置，一艘快艇负责救援，快艇从A岛出发，沿南偏西30°行驶了300海里到达B位置，发现偏航后及时调整，沿北偏西30°行驶了100海里到达C位置，则A岛与渔船发生故障的C位置间距离为（ ）A．海里 B．海里C．海里 D．海里【答案】A【详解】如图，由已知，，所以，又,所以，又，,由余弦定理可得，所以（海里）故选：A.一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）A．2海里 B．3海里C．4海里 D．5海里【答案】A【详解】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，由题意知，，．由余弦定理得，所以，化简得，解得或（舍去），所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，故选：A如图，为了测量某障碍物两侧A，B两点间的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由余弦定理知，所以只要测量出，且这三个数据便于测量．故选：C一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，1小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离约为（ ）A．海里 B．海里C．海里 D．海里【答案】C【详解】由题设，，且海里，在△中，则海里.故选：C一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ）A．海里 B．海里C．海里 D．海里【答案】C【详解】解：如图，作出，由题意可知，海里，，则，因为，所以海里，即B，C两点间的距离是海里.故选：C.已知轮船和轮船同时从岛出发，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距（ ）．A． B．40C． D．【答案】B【详解】解：由图所示：由题意可知：，，，由正弦定理可知：，所以，所以，即此时，两船相距；故选：B海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意知，由，所以．故选：D.释迦塔全称佛宫寺释迦塔 位于山西省朔州市应县城西北佛宫寺内，俗称应县木塔 建于辽清宁二年（宋至和三年公元1056年），金明昌六年（南宋庆元一年公元1195年）增修完毕，是世界上现存唯一最古老最高大之木塔，为了测量释迦塔的高度，某同学在点A处测得塔顶D的仰角为45°，然后沿点A向塔的正前方走了50到达点M处，此时测得塔顶D的仰角为75，据此可估计释迦塔的高度约为（ ）A．65.8 B．68.3C．68.9 D．69.1【答案】B【详解】根据题意，将实际问题抽象成数学模型，如图所示，因为，所以，在中，由正弦定理可知，即解得.在中，.所以释迦塔的高度约为，故选：B.课后练习在中，内角所对的边分别是，若，则（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以由余弦定理可得，整理得；解得.故选：D.在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：因为，所以由余弦定理可得，因为，所以，故选：D.(多选)在中，若，，，则的值可以为（ ）A． B．C．2 D．4【答案】AB【详解】解：根据，得，即，解得或，故选：AB.在中，，，，则______．【答案】3【详解】由余弦定理可得，，即，解得或(舍去).故答案为：3在中，若，，，则___________．【答案】【详解】由余弦定理得，所以.故答案为：.在中，，则___________.【答案】【详解】由已知得.由余弦定理得，所以.故答案为：在中，角的对边分别为，若，且，则______．【答案】【详解】由余弦定理可得，化简得，则，又，所以，故答案为：．已知为的三边，，则______.【答案】0【详解】，则，故.故答案为：0.已知锐角的内角的对边分别为，若，，则角___________.【答案】【详解】解：，，，整理可得即，所以，，，故答案为：在中，已知，则____________．【答案】3或1【详解】在中， ，由余弦定理得，所以，得．由，得或所以或1．故答案为：或1．在中，若，则角（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由，可得所以，又所以故选：B中，，，，则角的大小是（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：∵在中,,,,∴由余弦定理得：,∵,则.故选：A.在中，角所对的边分别为，若，则（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】在中，因为，由正弦定理得： ，解得：.因为，所以，所以.故选：D在中，角的对边分别是，若，则 等于（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：在中，．由正弦定理可知，所以，故．故选：D.已知中，，则等于（ ）A．或 B．或C． D．【答案】A【详解】解：中，因为，所以，因为，所以，又，所以或.故选：A.已知中，，则（ ）A． B．或C． D．【答案】C【详解】因为，所以，解得，而，所以，所以．故选：C．已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）A． B．C．6 D．【答案】A【详解】由正弦定理，整理得故选：A．中，，，，则（ ）A． B．2C． D．1【答案】B【详解】因为，，所以由正弦定理知：，所以.故选：B在中，所对的边分别为，若，，，则（ ）A． B．C． D．或【答案】B【详解】根据题意，由正弦定理，可得:，解得，故可得或，由，可得，故.故选:B.(多选)在中，已知，且，则角的值可能是（ ）A． B．C． D．【答案】CD【详解】由正弦定理可得，即又，所以因为，所以或.所以或故选：CD(多选)设的内角的对边分别为.若，，则角可能为（ ）A． B．C． D．【答案】BD【详解】解：正弦定理得，又，，，，则，，故或，或故选：BD．(多选)在中，角所对的边分别为，若，则等于（ ）A． B．C． D．【答案】CD【详解】因为，由正弦定理，可得，又，所以或．故选：CD.已知中，，，，则（ ）A． B．C．或 D．或【答案】A【详解】根据正弦定理，得，故，因为，所以或，又因为，所以，故.故选：A.在中，，则的面积为_________.【答案】【详解】由三角形面积公式得,故答案为：在中，若，则的面积为___________.【答案】3【详解】因为在中，，，所以，故.故答案为：3.在中，角的对边分别为，若满足：．(1)求的值；(2)若，，求的面积．【答案】(1)；(2)或.【详解】（1），则，所以.（2）由，且，则，设，则所以或，又，当时；当时.在中，分别是内角的对边.已知(1)求角的大小；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由正弦定理得.因为，所以，化简得，即，因为，所以.（2）由（1），又，由余弦定理，所以，所以.在中，．(1)求的值；(2)设，求的值．【答案】(1)(2)6【详解】（1）由和，得，故，即．又因为，所以．（2）由题意可知，C为钝角，A，B均为锐角，又∵，∴，则中，，由正弦定理可得：，.在中，角的对边分别为．已知，，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为，，，，所以，即，解得：；（2）因为，而，所以，又，所以．在中，角的对边分别为，且.(1)求角的值；(2)若，且的面积为，求.【答案】(1)；(2)．【详解】（1），，，，，，所以；（2）由题意，，由（1）， ，即，又，所以，由（是外接圆半径），得，，所以由，得．的内角的对边分别是.已知.(1)求角；(2)若，且的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，因为，所以.（2）因为的面积为，所以，解得，由余弦定理得，解得，所以的周长为.在中，分别是角的对边，.(1)求；(2)若，且，求的面积．【答案】(1)；(2).【详解】（1）在中，，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得，而，所以.（2）在中，由及正弦定理得：，即，由（1）得：，因此，所以的面积是.在锐角中，的对边分别，且．(1)求角的大小；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理得．因为，故，又△ABC是锐角三角形，所以；（2）由余弦定理得:，解得：或（舍去）．故．在中，角所对的边分别为，已知．(1)求的大小；(2)若，，为的中点，求的值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由正弦定理边角关系，可得，则，而，且，故.（2）由（1）知：，即，又，在△中，.在中，角所对的边分别为，已知，，．(1)求的值；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以由正弦定理知，，又由，故，所以，故．（2）由知，，，记的面积为，因为，所以，故的面积为．在中，．(1)求的值；(2)若，求．【答案】(1)；(2)或.【详解】（1）因为，所以，由余弦定理得：.（2）因为a=8，b=7，所以，解得：或5，经检验，均满足要求，因为，所以，当时，；当时，，综上：或.已知的内角的对边分别为，，，.(1)求角；(2)求的面积.【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为，所以由余弦定理可知：；（2）由正弦定理可知：，，，.在中，.(1)求的大小：(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，因为，所以，由上式可知，所以，因为，所以，（2）因为,所以，所以由正弦定理得，，所以，得，因为，，所以，所以，所以已知在中，角所对的边分别为，，且的外接圆的直径为2.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的周长.【答案】(1)(2).【详解】（1）由题意知，所以，即，解得（舍去）或，又，所以.（2）由题意及正弦定理得，所以，因为的面积，所以，由余弦定理得，所以，所以的周长为.已知的内角所对的边分别为，若，，且．(1)求；(2)求．【答案】(1)；(2)或．【详解】（1）由正弦定理得：，∴，即，解得；（2）∵，∴，∴，由余弦定理得：，∴，即，解得：或．在锐角中，角的对边分别为，已知，，.(1)求角的大小；(2)求边长.【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由得，即，因为，所以，因为是锐角三角形，所以；（2）在中，由余弦定理得，即，解得或，当时，因为，所以角B为钝角，不符合题意，舍去；当时，因为，且，，所以，，所以为锐角三角形，符合题意，所以.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度是60，则此时气球的高度等于（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：在中，，则,,因为，所以，所以气球的高度为.故选：B.一同学到东方神话主题乐园游玩时，想用所学数学知识测量乐园内某游乐设施的高度，选择点和勇闯玄甲城项目的顶部点C为测量观测点，从点测得M点的仰角，C点的俯角以及，从C点测得，点A，B，N共水平面，若勇闯玄甲城项目的高，则（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：因为在中，，，所以，，又因为在中，，，所以,由正弦定理可得，所以m,又因为在中，，所以m.故选：D.平凉大明宝塔为甘肃省重点文物保护单位．一九八六年，省政府拨款，对宝塔进行了维修和加固，铺了楼板，做了木梯，如今的宝塔，面目全新．游客可以由木梯盘旋而上至顶层，举目四望平凉城市风光．某学生为测量平凉大明宝塔的高度，如图，选取了与平凉大明宝塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则平凉大明宝塔的高度是（ ）A．25米 B．米C．30米 D．米【答案】C【详解】在中，，，在中，，，在中，由余弦定理得，即，解得米.故选：C.如图，一栋建筑物AB的高为米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M（B、D、M三点共线）处测得楼顶A和塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高（单位：米）为（ ）A． B．30C． D．60【答案】C【详解】依题意，，在中，，在中，，，由正弦定理得：，在中，（米），所以通信塔CD的高为米.故选：C圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD约为（ ） A．54m B．47mC．50m D．44m【答案】A【详解】由题可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.故选：A.如图，小明同学为测量某建筑物的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上的点（，，三点共线）测得楼顶、建筑物顶部的仰角分别为和，在楼顶处测得建筑物顶部的仰角为，则小明测得建筑物的高度为（ ）（精确到）参考数据：，A． B．C． D．【答案】D【详解】在直角三角形中，，在三角形中，，，由正弦定理得.在直角三角形中，.故选：D岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD为（ ）A．米 B．米C．米 D．米【答案】B【详解】解：因为，，所以，所以为等腰三角形，所以米，在中，，所以米.故选：B.今年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度 AB（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ.测得PQ的高度约为25米，并从P点测得A点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点、P点的仰角分别为75°和30°（其中B，M，Q三点共线）.则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为（ ）（参考数据：，，）A．59 B．60C．65 D．68【答案】A【详解】如图所示：由题意得：，在中，，在中，由正弦定理得，所以，在中， ，所以，所以赛道造型最高点A距离地面的高度约59.故选：A.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，若，，，，则海岛的高（ ）A．20 B．16C．27 D．9【答案】A【详解】由平面相似知识可知，，，所以，解得，从而．故选：A． 展开更多...... 收起↑ 资源列表 6.4平面向量的应用--原卷版.docx 6.4平面向量的应用--解析版.docx
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