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2023年广东省广州市增城区中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 如图是年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 已知的半径为，当线段时，则点与的位置关系是( )
A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定
5. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6. 已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
7. 如图，菱形的对角线，相交于点，点为的中点，若，则菱形的边长是( )
A.
B.
C.
D.
8. 九章算术是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出七钱，那么多了十一钱；如果每人出五钱，那么少了十三钱问：共有几个人？”设有个人共同买兔，依题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
9. 如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为( )
A. B. C. D.
10. 如图，已知直线与轴交于点，点与点关于轴对称是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得连接，则线段的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，已知，，则的度数为______ ．
12. 分解因式： ．
13. 一只不透明的袋子中装有个黄球、个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出个球，摸到红球的概率为 ．
14. 已知圆锥的母线长为，底面圆半径为，则此圆锥的侧面积为______ ．
15. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好落在的边上，则的度数是______ ．
16. 如图，点在正方形外，连结、、，过点作的垂线交于点若，，则下列结论：
≌；
；
点到直线的距离为；
．
其中正确的结论是______ 填写所有正确结论的序号
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解不等式组：．
18. 本小题分
如图，点、在线段上，，，．
求证：≌．
19. 本小题分
已知．
化简；
若，求的值．
20. 本小题分
近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天名出行学生使用共享单车次数的情况，并整理成如下统计表．
使用次数
人数
这名出行学生使用共享单车次数的中位数是______ ，众数是______ ；
这天中，这名出行学生平均每人使用共享单车多少次？
21. 本小题分
如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点在反比例函数的图象上．
求反比例函数的表达式；
把向右平移个单位长度，对应得到，当这个函数图象经过边的中点时，求的值．
22. 本小题分
某地区为打造乡村振兴示范区，实行大面积机械化种植，今年共计种植某作物亩，预计租用台作物收割机在一天之内完成该作物的收割．已知可租用，两种型号的作物收割机，台型号收割机与台型号收割机一起工作天共收割该作物亩，台型号收割机和台型号收割机一起工作天共收割该作物亩，租用型号收割机的租金为每天元，租用型号收割机的租金为每天元．
两种型号收割机每台每天平均收割多少亩该作物？
设租用台型号的收割机，完成该作物的收割需要的总租金为元，一共有多少种租赁方案，并求出最少的总租金．
23. 本小题分
已知为的外接圆，的半径为．
如图，是的直径，点是的中点．
尺规作图：作的角平分线，交于点，连接保留作图痕迹，不写作法；
求的长度．
如图，是的非直径弦，点在上运动，，点在运动的过程中，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
24. 本小题分
在四边形中，，．
如图，已知，直接写出的度数；
如图，已知，，，连接，求的长度；
如图，已知，，请判断四边形的面积是否有最小值？如果有，请求出它的最小值；如果没有，请说明理由．
25. 本小题分
综合与探究
已知抛物线：．
当抛物线经过和两点时，求抛物线的函数表达式．
当时，无论为何值，直线与抛物线相交所得的线段点在点的左侧的长度始终不变，求的值和线段的长．
在的条件下，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，是否存在实数使得以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：实数的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义选择即可．
本题考查求一个数的倒数，掌握两个非零数相乘积为，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，，三个选项中的图形都找不到一条直线能够使直线两旁的部分重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能够找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴去进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键在于寻找出对称轴，使直线两旁的部分重合是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：在实数范围内有意义，
，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”解答即可．
本题考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式被开方数为非负数是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：，
点在圆外，
故选：．
根据点到圆心的距离大于半径即可求解．
本题考查了点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离大于半径时点在圆外，等于半径时点在圆上，小于半径时点在圆内是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，故此选项正确；
B.与无法合并，故此选项错误；
C.，故此选项错误；
D.与无法合并，故此选项错误．
故选：．
直接利用分式的加减运算法则以及二次根式的加减运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了分式的加减运算法则以及二次根式的加减运算，正确掌握分式的加减运算法则是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：将，代入，
得：，，
．
故选：．
将，代入，求出和的值作比较即可．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，
点为的中点，，
，
故选：．
根据菱形的性质得出对角线互相垂直，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出菱形边长．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：根据每人出七钱，那么多了十一钱，
可得买兔所需的钱为，
根据每人出五钱，那么少了十三钱，
可得买兔所需的钱为，
，
故选：．
根据买兔所需的钱建立等量关系列出方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是找等量关系，列出方程．
9.【答案】
【解析】解：正方形内接于，边上的高，
．
，，
∽，∽，
，．
设正方形边长为，则，
，，
．
又，
，即，
解得：，
正方形的边长为．
故选：．
根据正方形及三角形高的定义易得∽，∽，再根据对应线段成比例可得，设正方形边长为，则，从而可求出最后根据，可列出关于的方程，解出的值即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．
10.【答案】
【解析】解：如图，设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点．
对于，令，则，
．
令，则，
．
，．
，
，
的中点为，
，
，
为等边三角形，
，
．
由旋转的性质可知，，
，即，
≌，
．
为定点，为定值，
当在直线上运动时，点也在定直线上运动，
当点与点重合时，最短．
点与点关于轴对称，
，
．
，
，即的最小值为．
故选：．
设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点．根据直线解析式求出点和点的坐标，然后再证明为等边三角形．再结合旋转的性质和等边三角形的性质，并利用证明≌，得出由为定点，为定值，即说明当在直线上运动时，点也在定直线上运动，即得出当点与点重合时，最短．结合轴对称的性质可求出，进而可利用锐角三角函数求出，即的最小值为．
本题考查旋转的性质、轴对称的性质，三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形以及一次函数等知识点，解题的关键是确定点在定直线上，通过垂线段最短的性质求的最小值．
11.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
根据两直线平行，同位角相等解答即可．
本题考查平行线的性质．掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：．
直接提公因式法：观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
本题考查了提公因式法因式分解的运用．
13.【答案】
【解析】解：一只不透明的袋子中装有个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出个球，则摸出红球的概率为：．
故答案为：．
由一只不透明的袋子中装有个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】
【解析】解：此圆锥的侧面积为．
故答案为：．
根据圆锥的侧面积公式求解即可．
本题考查求圆锥的计算．掌握求圆锥的侧面积公式为底面圆的半径，为母线长是解题关键．
15.【答案】或
【解析】解：分类讨论：当点在边上时，如图，
，，
，
将绕点顺时针旋转得到，
；
当点在边上时，如图，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
综上可知，的度数是或，
故答案为：或．
分两种情况：当点在边上时和当点在边上时，由旋转的性质及三角形内角和定理即可求出答案．
本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
又，
≌，故正确；
，
，，
，即，故正确；
过点作，交的延长线于，则的长即点到直线的距离，
，，
，，
在中，，，
，
，，
，
，
故正确；
连接，
，
故正确；
综上，正确结论的序号是，
故答案为：．
利用正方形和，证得，利用即可证≌，得到，结合三角形的外角的性质，即可证得，过作，交的延长线于，利用勾股定理求得、，结合是等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理可求，连接，求出的面积，即可求得面积．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形．
17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
该不等式组的解集为．
【解析】分别解每个不等式，再求出公共解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是掌握解不等式的方法以及求公共解集的方法，口诀为：“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”．
18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌．
【解析】先利用两直线平行，内错角相等求出，再利用“”即可求证．
本题考查了平行线的性质和利用“”判定两个三角形全等的知识，解题关键是掌握全等三角形的判定条件．
19.【答案】解：
；
原式
．
【解析】根据整式的混合运算法则计算即可化简；
将化简后的式子变形为，再将整体代入求值即可．
本题考查整式的化简，代数式求值．掌握整式的混合运算法则和整体代入的思想是解题关键．
20.【答案】
【解析】解：这名出行学生使用共享单车次数的中位数是次，众数为，
故答案为：，；
这名出行学生平均每人使用共享单车次．
根据中位数的概念求解可得；
利用加权平均数的概念列式计算可得；
本题考查了中位数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．
21.【答案】解：过点作于点，
是等边三角形，
，，
，
，
，．
把点代入，得．
反比例函数的解析式为；
点，
的中点的坐标为，
的中点的纵坐标为，
把代入得，；
解得，
，
的值为．
【解析】过点作于点，根据等边三角形的性质得出点坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；
求得的中点坐标，即可求得边的中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点横坐标，再根据平移的法则得出的值即可．
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握直角三角形、等边三角形的性质以及平移的性质是解题的关键．
22.【答案】解：设型号收割机每台每天平均收割亩该作物，型号收割机每台每天平均收割亩该作物，
依题意得：，
解得：．
答：型号收割机每台每天平均收割亩该作物，型号收割机每台每天平均收割亩该作物．
设租用台型号的收割机，则租用台型号的收割机，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为，，，，
共有种租赁方案．
完成该作物的收割需要的总租金为元，且租用型号收割机的租金为每天元，租用型号收割机的租金为每天元，
．
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值元．
答：一共有种租赁方案，最少的总租金为元．
【解析】设型号收割机每台每天平均收割亩该作物，型号收割机每台每天平均收割亩该作物，根据“台型号收割机与台型号收割机一起工作天共收割该作物亩，台型号收割机和台型号收割机一起工作天共收割该作物亩”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设租用台型号的收割机，则租用台型号的收割机，根据租用的台收割机一天收割的该作物不少于亩，即可得出关于的一元一次不等式，结合为整数，即可得出共有种租赁方案，利用总租金每台收割机每天的租金租用数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
23.【答案】解：如图，即为所作图形；
点是的中点，
．
是的平分线，
．
是的直径，
经过圆心，
．
的半径为，
，
；
点在运动过程中，四边形的面积存在最大值．
理由：如图，连接，过点作于点，交于点，过点作．
，
，，
．
四边形为内接四边形，
，
为等边三角形．
，
为直径，是的中点．
，
．
为等边三角形，
和边上的高都为定值，
当最大时，最大，此时点与点重合，
当点为中点时，最大，此时为直径，
，如图．
的半径为，
．
，
，
，
．
，，，
≌，
，
，
点在运动过程中，四边形的面积存在最大值，最大值为．
【解析】根据角平分线的作图方法画出，在连接即可；由点是的中点，得出根据等腰三角形的性质得出结合是的直径，即得出经过圆心，即，最后根据勾股定理求解即可．
连接，过点作于点，交于点，过点作由题意易证为等边三角形．根据，即得出为直径，是的中点．根据为等边三角形，可得出和边上的高都为定值，再根据，即得出当最大时，最大，此时点与点重合，即当点为中点时，最大，此时为直径，得出此时易求出，结合勾股定理和含度角的直角三角形的性质得出，，进而可求出，又易证≌，得出，从而可求出，即点在运动过程中，四边形的面积存在最大值，最大值为．
本题考查作图角平分线，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，综合性强．正确作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键．
24.【答案】解：，，，
；
如图，将绕点逆时针旋转得到．
，，，．
，
，即，
是等边三角形，
．
，
，
，
；
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．
由同理可证为等边三角形，
，
当面积最大时，四边形的面积最小．
，，
，
．
，
点在定圆上运动，如图，则当、、共线时，的面积最大，此时，设交于，
．
，
．
在上取点，使得，如图，则是等腰直角三角形．
设，则，
，
解得：，
．
，
，即四边形的面积最小值为．
【解析】根据四边形的内角和定理求解即可；
将绕点逆时针旋转得到即得出，，，，从而可证是等边三角形，即得出再结合可得出，进而可求出，最后根据勾股定理求解即可；
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接易证为等边三角形．根据，即得出当面积最大时，四边形的面积最小．又可求，结合，即说明点在定圆上运动，则当、、共线时，的面积最大，此时，设交于，，进而可求在上取点，使得，则是等腰直角三角形．设，则，即可列出关于的等式，解出的值，结合三角形的面积公式和等边三角形的面积公式求解即可．
本题考查四边形的内角和，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质，垂径定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．
25.【答案】解：将和两点代入抛物线：得，
，解得，
抛物线的函数表达式为：；
由，
，，
，
线段的长度不变，
，
解得，
；
存在实数使得以点，，，为顶点的四边形为正方形，理由如下：
，
，
设抛物线上任意一点，则点关于对称的点的坐标为，
，
抛物线的解析式为，
，
轴，轴，
、为正方形的对角线，
，
，
解得．
【解析】利用待定系数法即可求抛物线的函数表达式；
由，根据根与系数的关系可得，，则，再由题意可得，求出的值即可求；
先求出，抛物线的解析式为，再求出，由于轴，轴，可知、为正方形的对角线，则，求出的值即可．
本题是二次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象及性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
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