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第16章分式 知识考点复习指导
一.分式的定义：
［知识点解析］注:A÷B=A×1/B =A×B-1= A?B-1。有时把 写成负指数即A?B-1,只是在形式上有所不同,而本质里没有区别.
［方法指导］：是不是分式的关键在，分母是不是有表示未知数的字母。
［例题解析］在代数式、、、、、、中，分式有（ ）.
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
［详解］：分式的定义中分母一定要有未知字母，和是分式，故选择C。
［注意］：是常数，不是未知字母。
［精典练习］：
二. 分式的意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。
［知识点解析］：分母为0，分式无意义；分式有意义，分母不为0
［方法指导］：分母的含义是分数线下边的整个式子。
［例题解析］例 当取何值时，下列分式有意义？
　　（1）； （2）；
［详解］：（1）要使有意义， （2）要使有意义，
［注意］：分式有意义只须分母不为0，与分子无关。
［精典练习］：1.使式子有意义的x的取值范围为（ D ）.
A、x＞0 B、x≠1 C、x≠－1 D、x≠±1
2、同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（ D ）

3. 1. 分式，当时有意义； 参考答案：
4.下列分式，当x=－3时，无意义的是（ D ）
A B C D
三.分式值为0的条件
［知识点解析］：在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分数值为0。
［方法指导］：分母的含义是分数线下边的整个式子。
［例题解析］例 当取何值时，下列分式的值为零？
　　（1）； （2）；
［详解］：(1) (2)
［注意］：(2)中的使分母为0，应该舍去。
［精典练习］：1.当时，分式的值为零 参考答案：
2.当时，分式的值为零 参考答案：
3.当时，分式的值为零 参考答案：不存在
4.当式子的值为零时，x的值是（ B ）
A、6 B、-5 C、-1或5 D、-5或5
四. 分式的基本性质和约分
1.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分．
［知识点解析］：约分前必须保证分子分母都完全分解因式，就是分子分母全是因式的乘积。约分就是分子分母同时除以相同的因式。
约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去.
［方法指导］：1. 公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.
2.若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式
［例题解析］例：约分
［详解］：＝＝.　　
［注意］：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.
［精典练习］：1.下列约分，结果正确的是（　D　）
A. B. C. D.
2. 计算的结果是-----------------------------------------------（ A ）
A B C D
五.最简分式和最简公分母:
［知识点解析］：一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.
［方法指导］：1.最简分式的分子分母不能再同时整除一个式子或字母、数字。
2.最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积.
［例题解析］：例1.求分式的（最简）公分母。
［详解］：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂y4，再取字母z。所以三个分式的公分母为12x3y4z。
例2. 求分式与的最简公分母。
［详解］：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即
4x—2x2= —2x（x-2），x2—4=（x+2）（x—2），
把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即
2x（x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。
［注意］：找最简公分母的步骤：
1．取各分式的分母中系数最小公倍数；
2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母
［精典练习］分式、、的最简公分母为（ D ）.
（A） （B） （C） （D）
六..通分
［知识点解析］：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分.
［方法指导］：先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.
［例题解析］：若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（　　）
　　A、不变　　　B、是原来的3倍　　　C、是原来的　　D、是原来的
七 分式的四则运算
［知识点解析］：1.同分母分式加减法则:分母不变,将分子相加减.2.异分母分式加减法则:通分后,再按照同分母分式的加减法法则计算.3.分式的乘法法则:用分子的积作分子,分母的积作分母.4.分式的除法法则:把除式变为其倒数再与被除式相乘.
［方法指导］：注意一定要按运算顺序运算。
［例题解析］：例1.计算：.
［详解］：解法1：原式=.
解法2：原式=.
［注意］：异分母分式的加减法可用通分后再加减；若能先约分的，则先化简，一般可起到简便运算的效果．
例2.化简：
［详解］：解法1：原式
　　
　　解法2：原式
［注意］：本题可按运算顺序先算括号再乘除后加减；或利用乘法分配率起到简便运算功效．
例3.先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a值代入求值.
［详解］：原式．
　　且，若则原式.
［注意］：若原题改为先化简代数式，然后选取一个你喜欢的a的值代入求值．则化简得原式，但仍然要考虑使原式有意义，即且．
例4.先化简,再求值:,其中,.
［详解］：原式
　　当，时，原式.
［注意］：分式的除法没有分配律，避免出现原式的错误
例5.已知实数满足，求的值．
［详解］：化简得原式由知，；
［注意］：整体代入，起到降次化简的显著效果．
［精典练习］
1. 计算：
参考答案：（1） ＝
＝ ＝ （2）－
＝ ＝ ＝ ＝4
2.计算：＋；
参考答案：＋ ＝ ＝
3.计算
参考答案：原式=
4.计算：
分析：应先算括号里的
5.
本题应采用逐步通分的方法依次进行。
6.
7.
分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分
8.
9. 先化简，然后选择一个合适的你最喜欢的的值，代入求值．
解：原式．
依题意，只要就行，如，原式．
10. 若实数a、b满足：，则的值为_________ ．
11. 先化简，再求值：已知的值．
八 分式方程
［知识点解析］：分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
［方法指导］：.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)
［例题解析］：例1解方程.
［详解］：去分母，得x―3－(4－x)＝－1．去括号、整理，得2 x＝6
　　解得x＝3，
　　检验：当x＝3时，.
　　所以，x＝3是原方程的解．
　　例2、（扬州市）若方程有增根，则它的增根是（　　）
　　A．0　　　B．1　　　C．－1　　　D．1和－1
［详解］：B.
［注意］：分式方程有增根，求未知字母的值的一般步骤：1、先把分式方程化为整式方程；2、找出使分母值为零的未知数的值；3、把找出的未知数的值代入整式方程，求出未知字母的值．
　　例3、（梅州市）解方程：.
［详解］：解法1：原方程可化为：， ∴
　　解得：，经检验可知，的原方程的解．
　　解法2：设，则原方程化为：,∴(y+2)(y－1)=0.
　　∴y=－2或y=1.
　　当y=－2时，，解得: ；当y=1时，，方程无解.
　　经检验可知，是原方程的解．
［注意］：换元法也是解分式方程的常用方法．
　　例4、（青岛市）为响应承办“绿色奥运”的号召，某中学初三、2班计划组织部分同学义务植树180棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？
［详解］：设原计划有x人参加植树活动，则实际有1.5x人参加植树活动．
　　由题意得：
　　去分母，整理得：3x＝90
　　x＝30.
　　经检验；x＝30是原方程的解
　　
　　答：实际有45人参加了植树活动．
［注意］：列分式方程解应用题应相应地增加检验的过程．
例5. 解方程
［详解］：解法一：方程的两边都乘以，约去分母，得.
解这个整式方程，得.
检验：当时，，所以2是增根，原方程无解.
解法二：∵，
∴，
∴，
∴-1＝-3.
∴原方程无解.
解法三：∵，
∴，
∴，
∴，
∴0＝-2.
∴原方程无解.
［精典练习］
1. 某煤厂原计划天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为------------------------------------------------------------------------（ D ）
A B C D
2 A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。
参考答案：设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，根据题意得
解之得x=9
经检验x=9是原方程的解
当x=9时，2x=18，5x=45
答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时
3. 购一年期债券，到期后本利只获2700元，如果债券年利率12.5%，&127;那么利息是多少元?
参考答案：(1)设利息为x元，则本金为(2700-x)元，依题意列分式方程为：
??????????????????? ?
??????? 解此方程得 x=300?
??????? 经检验x=300为原方程的根?
答：利息为300元。 合作交流解法，学以致用。
4.一组学生乘汽车去春游，预计共需车费120元，后来人数增加了，费用仍不变，这样每人少摊3元，原来这组学生的人数是多少个？
本题是策略问题，应让学生合作交流解法。注意分类讨论思想。合作交流解法
5.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书。施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元, 乙工程队工程款1.1万元。工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
6.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，
这个八年级的学生总数在什么范围内？
（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
7. 轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相同，已知水流速度是每小时3千米，求轮船在静水中的速度。
8. 某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3天，现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？
九．零指数幂与负指数幂
［知识点解析］：掌握两个法则以及会用科学计数法表示绝对值较小的数
［方法指导］：科学计数法就是把一个数表示成的形式，其中当时，的相反数等于小数点向右移的位数，或的左边第1个有效数字前所有零的个数（包括小数点前面的那个零）．
［例题解析］　例1、（青岛市）下列运算正确的是　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
　　A.　B.　C.　　D.
［详解］：D.
　　例2、（浙江省湖州市）.
［详解］：原式=3.
　　例3、（浙江省绍兴市2005年）实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球，它的直径约为0.00000156m，则这个数用科学记数法表示是　　　　　　　　　　　（　　）
　　（A）　　　　（B）　　　（C）　　　（D）
［详解］：C
［注意］：任何不等于零的数的零次幂都等于1.
［精典练习］：
1计算：
（1）810÷810；　　（2）10-2；　　（3）
参考答案：（1）1 （2） 0.01 （3） 0.1
2.计算：
（1）（-0.1）0；（2）；（3）2-2；（4）.
参考答案：（1） 1 （2） 1 （3）0.25 （4） 4
3.计算：
；
参考答案： 200 －0.5
4.计算
（1）
（2）
（3）计算：16÷（—2）3—（）-1+（-1）0
参考答案：（1） （2）1 （3）－4
5.用小数表示下列各数：
（1）10-1；　　　　（2）2.1×10-5.
参考答案：（1） 0.1 （2） 0.000021
6.用小数表示下列各数：
（1）-10-1×（-2） （2）（8×10）÷（-2×10）
参考答案：（1）0.2 （2）-0.04

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