资源简介

2023年中考数学专题训练:二次函数与圆综合压轴题
1．如图①，已知抛物线的顶点为点P，与y轴交于点B．点A坐标为（3，2）．点M为抛物线上一动点，以点M为圆心，MA为半径的圆交x轴于C，D两点（点C在点D的左侧）．
（1）如图②，当点M与点B重合时，求CD的长；
（2）当点M在抛物线上运动时，CD的长度是否发生变化？若变化，求出CD关于点M横坐标x的函数关系式；若不发生变化，求出CD的长；
（3）当△ACP与△ADP相似时，求出点C的坐标．
2．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点为抛物线的顶点，为线段中点.
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）以抛物线的顶点为圆心，为半径作，点是圆上一动点，点为的中点（如图2）；
①当面积最大时，求的长度；
②若点为的中点，求点运动的路径长.
3．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．
4．二次函数．
(1)当时，函数图象与轴交于点、，与轴交于点．
①写出函数的一个性质；
②如图1，点是第四象限内函数图象上一动点，求出点坐标，使得的面积最大；
③如图2，点为第一象限内函数图象上一动点，过点作.轴，垂足为，的外接圆与交于点，求的长度；
(2)点、为函数图象上任意两点，且.若对于时，都有，求的取值范围．
5．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点A为，与y轴负半轴交于点，其对称轴是直线．
(1)求二次函数的解析式；
(2)圆为的外接圆，点E是延长线上一点，的平分线交圆于点D，连接，求的面积；
(3)在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得以P，C，B为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．
6．已知抛物线过点，顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示，以AB为直径作圆，记作⊙D．
(1)试判断点C与⊙D的位置关系；
(2)直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；
(3)在抛物线上是否存在一点E，能使四边形为平行四边形．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当为直角三角形时，求的值；
(3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度．
8．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点、、、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为．
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)求经过点的“蛋圆”切线的解析式．
(3)如果直线在线段上移动，交x轴于点，交抛物线于点，交于点．连接和后，是否存在这样的点，使点到的距离最大？若存在，请求出的值以及点的坐标，若不存在请说明理由．
9．如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求点P的坐标；
(3)若的外接圆恰好经过点A，求此时点C的坐标．
10．如图所示，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线对称轴上并且位于轴的下方，以点为圆心作过、两点的圆，恰好使得弧的长为周长的．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求的半径和圆心的坐标，并判断抛物线的顶点与的位置关系；
(3)在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为顶点P的坐标为，以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作的切线，切点为C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)请通过计算判断抛物线是否经过点C；
(3)设M，N分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的坐标．
12．抛物线（a＜0，h＞0）的图像与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点P，顶点为C，以AB为直径的圆恰过顶点C且与y轴的正半轴相交于点Q，
(1)求点A的坐标，并用h的代数式表示a；
(2)当点P是OQ的中点时，求直径AB的长；
(3)如图直线AM垂直AC交抛物线于点M，点T的坐标是（6，0），当以点A，T，C为顶点的三角形与△ABM相似时，求h的值．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．
(3)以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．
14．如图，圆心M（3，0），半径为5的⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C点，抛物线经过A、B、C三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求圆M上一动点P到该抛物线的顶点Q的距离的最小值？并求出此时P点的坐标．
（3）若OC的中点为F，请问抛物线上是否存在一点G，使得∠FBG＝45°，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
15．已知抛物线经过，，三个点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作的外接圆，为上方半圆上一点，当时，求的长；
（3）如图2，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，作轴的平行线，分别与线段、抛物线交于，两点（点与点，不重合），点为射线上一点，当与相似时，求的最大面积．
16．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，直线与该抛物线交于两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）P是直线下方抛物线上的一个动点，作于点H，求的最大值．
（3）以点C为圆心，1为半径作圆，上是否存在点D，使得是以为直角边的直角三角形？若存在直接写出点D的坐标；若不存在，则说明理由．
17．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+(k-1)x-k与直线y=kx+1交于A、B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+(k-1)x-k(k＞0)与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k使得直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，说明理由．
18．如图，已知二次函数（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
（3）设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．
试卷第8页，共9页
试卷第9页，共9页
参考答案：
1．（1） CD=4；（2）不发生变化，CD=4；（3）点C坐标为：（1,0），，
2．（1），；（3）①或；②.
3．（1）；（2）存在，；D(－4, )或（2，）；（3）最大值； 最小值
4．(1)①函数图象的顶点坐标为；②；③
(2)
5．(1)
(2)
(3)或
6．(1)点C在圆上，
(2)相切
(3)不存在
7．(1)；
(2)当为直角三角形时，的值为1或2或5；
(3)经过的路径长度为
8．(1)
(2)
(3)存在，，点的坐标为
9．(1)
(2)或
(3)
10．(1)
(2)2，，点在上
(3)存在，，，
11．(1)；
(2)见解析；
(3)M点坐标为：，N点坐标为：
12．(1)（－1，0）；
(2)
(3)，
13．(1)抛物线的解析式为yx2x﹣2
(2)PH最大
(3)存在，满足条件的点M的坐标为（，）或（1，﹣2）或（，2）或（，2）
14．（1）；（2）当时，的值取最小为；（3）存在，，
15．（1）；（2）；（3）．
16．（1）；（2）；（3）存在，点D的坐标为或或或
17．（1）A（-1，0），B（2，3）；（2）△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）；（3）存在，k=时，使得直线y=kx+1与以OC为直径的圆相切．
18．解：（1）∵，∴当y=0时，．
解得x1=﹣m，x2=3m．
∵m＞0，∴A、B两点的坐标分别是（﹣m，0），（3m，0）．
（2）∵A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，
∴，圆的半径为AB=2m．
∴OM=AM﹣OA=2m﹣m=m．
∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，﹣2m）．
∵二次函数（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），
∴﹣2m=﹣4m2，解得m1=，m2=0（舍去）．
∴二次函数的解析式为，即．
（3）如图，连接CM，
在Rt△OCM中，
∵∠COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，
∴．
∴CD=2OC=．
答案第2页，共3页
答案第3页，共3页

展开更多......

收起↑