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专题10：解三角形--2023年中考数学之解题方法突破训练
一、单选题
1．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度．
【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠DEF=,
∴,
由题可知，△DCE为直角三角形，
在Rt△DEC中，
即： ,
∴,
故选：C
【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．
2．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（ ）
A．米 B．3米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、EB，根据正切的定义求出DE，结合图形计算得到答案．
【详解】解：在中，，
（米，
在中，，
（米，
米，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则图中的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，是直角三角形，再利用，进而求出答案．
【详解】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q，
可得∠QMB=∠P，
∵PB′=，PQ=，B′Q=，
∴，
∴是直角三角形，
∴=．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出是直角三角形是解题关键．
4．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（　　）
A．60m B．40m C．30m D．60m
【答案】B
【分析】作AD⊥BC于D，由俯仰角得出∠ADB、∠CAD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值得出BD、CD的长，BC的长即可求出．
【详解】过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，
∴BD＝AD tan30°＝3010（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，
∴CD＝AD tan60°＝3030（m），∴BC＝BD+CD＝103040（m），
即这栋高楼高度是40m．
故选择：B．
【点睛】本题考查俯角与仰角的定义，要求学生能借助俯角与仰角构造直角三角形并会解直角三角形．
5．如图，港口在观测站的正东方向，，某船西东从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=1，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，则AB=AD=2．
【详解】如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=2，
∴AD=OA=1．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
∴BD=AD=1，
∴AB=AD=．
即该船航行的距离（即AB的长）为km．
故选：C．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（　　）米．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8
【答案】B
【分析】如图，作交的延长线于，延长交的延长线于，作于．设，在中，根据，构造方程解决问题即可．
【详解】解：如图，作DH⊥FC交FC的延长线于H，延长AB交CF的延长线于T，作DJ⊥AT于J．
由题意四边形EFTB、四边形DHTJ是矩形，
∴BT=EF=1.4米，JT=DH，
在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，=，
∴DH=1（米），CH=2.4（米），
∵∠ACT=45°，∠T=90°，
∴AT=TC，
设AT=TC=x．则DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米，
在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ==0.75，
∴=0.75，
解得x=2，
∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米），
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型．
7．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )
A． n mile B．60 n mile C．120 n mile D．n mile
【答案】D
【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【详解】过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD=，
∴CD=AC cos∠ACD=60×．
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD=30，
∴AB=AD+BD=30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．
故选D．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
8．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y=的图象上，作射线AB，交反比例函数图象于另一点M，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则CM的长度为（　　）
A．5 B．6 C．4 D．5
【答案】D
【分析】过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，根据直线AB的解析式为y=x+2，可得PF=，将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，构造△ADP≌△ADH，再设DE=x，则DH=DP=x+，FD=1+2-x=3-x，在Rt△PDF中，根据PF2+DF2=PD2，可得方程（）2+（3-x）2=（x+）2，解方程求得x=1，即可得D（1，0），再直线AD的解析式为y=3x-3，最后解方程组求得C点坐标．解方程组求得点M的坐标，再根据两点间的距离公式即可求得CM的长.
【详解】如图所示，过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，
根据点A（2，3）和点B（0，2），可得直线AB的解析式为y=x+2，点A在反比例函数y=的图象上，可得y=，
由A（2，3），可得OF=1，
当x=-1时，y=-+2=，即P（-1，），
∴PF=，
将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，则△ADP≌△ADH，
∴PD=HD，PG=EH=，
设DE=x，则DH=DP=x+，FD=1+2-x=3-x，
Rt△PDF中，PF2+DF2=PD2，
即（）2+（3-x）2=（x+）2，
解得x=1，
∴OD=2-1=1，即D（1，0），
根据点A（2，3）和点D（1，0），可得直线AD的解析式为y=3x-3，
解方程组 可得 或
∴C（-1，-6），
解方程组可得 或
∴M（-6，-1），
∴.
故选D.
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，旋转的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是利用45°角，作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的性质及勾股定理列方程进行求解．
9．如图，小山岗的斜坡AC的坡角α=45°，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为（ ）.（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）
A．164m B．178m C．200m D．1618m
【答案】C
【详解】试题分析：首先在Rt△ABC中，根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在Rt△DBA中，用BA表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可．∵在Rt△ABC中，=tanα=1，∴BC=AB，∵在RtADB中，∴=tan26.6°=0.50，即：BD=2AB，∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB﹣AB=200，解得：AB=200米.
故选C．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
10．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）．
A． B．51 C． D．101
【答案】C
【详解】试题分析：设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．
解：设AG=x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠AEG=，
∴EG==x，
在Rt△ACG中，
∵tan∠ACG=，
∴CG==x，
∴x﹣x=100，
解得：x=50．
则AB=50+1（米）．
故选C．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
二、填空题
11．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号）
【答案】米
【分析】设，利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出和，然后求解即可．
【详解】解：设米
在中，，则
在中，，则
，即，解得
即米
故答案为米
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及特殊角的正切值．
12．如图，小明与小华利用三角板测量教学楼前雕塑AB的高度．小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°；小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°．已知CD为10米，则雕塑AB的高度是________．（，，结果精确到0.1米）．
【答案】6.8米
【分析】利用题目中的仰俯角将其转化为题目直角三角形的内角，分别在Rt△ACE中和Rt△BCE中求得AC和BE的长，两者相加即为雕塑的高．
【详解】解：过点C作CE⊥AB于E．
∵∠FDA=60°，∠ACE=30°
∴∠ADC=90°-60°=30°，∠ACD=90°-30°=60°，
∴∠CAD=180°-30°-60°=90°，
∵CD=10，
∴AC=CD=5．
在Rt△ACE中，
∵∠AEC=90°，∠ACE=30°，
∴AE=AC=，
∵cos∠ACE=，
∴CE=AC cos∠ACE=5×cos30°=，
在Rt△BCE中，
∵∠BCE=45°，
∴∠CBE=90°-∠BCE=45°，
∴∠BCE=∠CBE，
∴BE=CE=，
∴AB=AE+BE=（+）≈6.8（米）．
所以，雕塑AB的高度约为6.8米，
故答案为6.8米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此类题目的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识解答问题．
13．如图所示，为了测量出某学校教学大楼的高度，数学课外小组同学在处，测得教学大楼顶端处的仰角为45°；随后沿直线向前走了15米后到达处，在处测得处的仰角为30°，已知测量器高1米，则建筑物的高度约为______米．（参考数据：，，结果按四舍五入保留整数）
【答案】21
【分析】设AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15，根据利用特殊角三角函数值可得关于x的方程，解之可得答案．
【详解】解：由题意可得四边形FDCE，四边形ECBG，四边形FDBG均为矩形
设AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15，
在Rt△AFG中，
解得：
∴
故答案为：21
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．
14．如图，河宽CD为100米，在C处测得对岸A点在C点南偏西30°方向、对岸B点在C点南偏东45°方向，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）
【答案】100+100
【分析】根据正切的定义求出AD，根据等腰直角三角形的性质求出BD，进而得到AB的长．
【详解】在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
则AD＝CD×tan∠ACD＝100×＝100（米），
在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝100（米），
∴AB＝AD+BD＝（100+100）米，
故答案为：（100+100）．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用 方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表两个部件组成，垂直于地面的直杆叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离约为_______．（精确到；参考数据：）
【答案】10
【分析】分别在与中，运用正切函数解题，分别计算DC，BC的长，再求二者的差即可解题．
【详解】根据题意，在中，，
即
在中，，
即
即
故答案为：10
【点睛】本题考查解直角三角形，其中涉及锐角三角函数，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，又在河的另一岸边取两个点B、C，测得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的长为200米，则河的宽度为_________．（结果保留根号）
【答案】（+1）m
【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan30°==，进而得出答案．
【详解】过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠β=45°，∠ADC=90°，
∴AD=DC，
设AD=DC=xm，
则tan30°=，
解得：x=100（+1），
答：河的宽度为100（+1）m．
故答案是：100（+1）m．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用、特殊角的的三角函数值，正确得出AD=CD是解题关键．
17．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
【答案】20
【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．
【详解】如图，过点A作AC⊥BD，
依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)
∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°
∴AD=2AC=20 (海里)
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
18．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，）
【答案】20.8
【分析】证明△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，从而求得PD的长即可．
【详解】解：过P作PD⊥AB于D，
∵AB=24，
∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，
∴∠BPD=30°，
∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，
∴AB=BP=24，
在直角△PBD中，PD=BP sin∠PBD=24×=≈20.8.
故答案为：20.8.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．
19．某拦水坝的横截面为梯形， 迎水坡的坡角为，且， 背水坡的坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽__________．
【答案】
【分析】添一条辅助线，作BFCD，AE=12m，根据，可得CF的长，根据背水坡AD的坡度，可得DE的长，且AB=EF，坝底CD=DE+EF+FC，可得出答案．
【详解】解：如图所示，添一条辅助线，作BFCD，
∵，且，而，∴m，
又∵背水坡AD的坡度，∴，故DE=30m，
且，坝底，
故答案为：49m．
【点睛】本题主要考查了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边∶斜边，掌握定义就不会算错．
20．如图，在一笔直的海岸线上有相距的两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是________．
【答案】
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案．
【详解】过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，
∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=4km，
在Rt△CBD中，
∴CD=BC sin60°()
∴船C到海岸线的距离是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用－方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．
21．如图，小明一家自驾到古镇游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向，则，两地的距离_______千米．
【答案】
【分析】过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．
【详解】解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD=AB sin∠BAD=（千米），
∵△BCD中，∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BD=（千米），
∴BC=BD=（千米）．
∴B，C两地的距离是千米．
故答案为：．
【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A（，0），B（0，2），点C在第一象限，∠ABC=135°，AC交轴于D，CD=3AD，反比例函数的图象经过点C，则的值为_______．
【答案】9
【分析】过点A作AH⊥CB的延长线于点H，得到AH=BH==，根据已知条件得到B，H，A，O四点共圆，连接OH，推出H在第二象限角平分线上，作HM⊥x轴于M，HN⊥y轴于N，根据全等三角形的性质得到AM=BN=，求得直线HB的解析式，于是得到结论．
【详解】解：∵点A（，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
∴；
如图，过点A作AH⊥CB的延长线于点H，
∵∠ABC=135°，
∴∠HBA=HAB=45°，
∴AH=BH==，
∵BH⊥AH，BO⊥AO，
∴B，H，A，O四点共圆，
连接OH，则∠BOH=∠BAH=45°，
∴H在第二象限角平分线上，
作HM⊥x轴于M，HN⊥y轴于N，
则四边形HMON是正方形，
∴HM=HN，
∵AH=BH，
∴Rt△HAM≌Rt△HBN，
∴AM=BN，
∵OM=ON，
∴AM=BN=，
∴H（，），
∴直线BH的解析式为y=x+2，
过C作CI⊥x轴于I，
∴OD∥CI，
∴，
∴OI=3AO=3，
把x=3代入y=x+2得y=3，
∴C点坐标为（3，3）．
∵点C在反比例函数的图像上，
∴；
故答案为：9.
【点睛】本题考查了四点共圆，解直角三角形，正方形的判定和性质，求函数的解析式，全等三角形的判断和性质，平行线分线段成比例，正确的作出辅助线，熟练掌握所学的知识进行解题是解决本题的关键．
23．如图，为了测量河对岸旗杆AB的高度，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进20m到达D处，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，则旗杆AB的高度为_______（精确到0.1m，参考数据：=1.414，=1.732）
【答案】27.3m
【分析】利用AB表示出BC，BD，根据BC减去BD等于20，即可求得AB长．
【详解】解：设AB=xm，
∵在点C处测得顶端A的仰角为30°，
∴AC=2xm，则BC=
∵在D点测得旗杆顶端A的仰角为45°，设AB=BD=xm，
∴CD=BC-BD
∴( -1)x=20．
解得：x==27.3（米）．
故答案为27.3 m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
24．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是_____米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）
【答案】74
【分析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．
【详解】如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，
∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，
∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，
∴AD＝CD，
∴52+x＝x，
∴x＝≈74（m），
故答案为74，
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
25．如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF=_____．
【答案】6．
【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△AMD≌△DFC，则DM=FC=2，由折叠和正形
的边长相等得：AE=AD，根据等腰三角形三线合一得：DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，设∠
MAD=α，则∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，可得∠PAM=45°，则△PAH是等腰直角三
角形，证明△PGE∽△AMD，列比例式得：GE=1，AM=2PG，设PG=x，则AM=2x，根据
AH=PH，得2x﹣1=2+x，求得x的值，即可解决问题；
【详解】过A作AM⊥DF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠FDC=90°，
∵∠ADF+∠MAD=90°，
∴∠FDC=∠MAD，
∵∠AMD=∠DFC=90°，
∴△AMD≌△DFC，
∴DM=FC=2，
由折叠得：AB=AE，BP=PE，
∵AB=AD，
∴AE=AD，
∴DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，
∵P是BC的中点，
∴PC=BC=AD=PE，
设∠MAD=α，则∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，
∴∠APE=90°﹣（45°﹣α）=45°+α，
∵∠EAM=∠DAM，∠BAP=∠PAE，
∴∠PAE+∠EAM=∠BAD=45°，
过P作PH⊥AM于H，过E作EG⊥PH于G，
∴△PAH是等腰直角三角形，
∴∠APH=45°，
∴∠HPE=α=∠MAD，
∵∠PGE=∠AMD=90°，
∴△PGE∽△AMD，
∴
∴
∴GE=1，AM=2PG，
设PG=x，则AM=2x，
∴AH=2x﹣1，
∵AH=PH，
∴2x﹣1=2+x，
x=3，
∴PG=3，AM=6，
∵△DAM≌△CDF，
∴DF=AM=6．
故答案为6.
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定
理、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定等知识，有难度，证明∠PAM=45°是关键，
设未知数，并确定其等量关系列方程解决问题．
三、解答题
26．如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：，，）
【答案】8.97km．
【分析】结合题意，根据直角三角形和特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．
【详解】延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：
∵灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号
∴
∵巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东方向上
∴
∵B处在A处的北偏东方向上
∴
∴,
由题意得：km
∴，
∴
∴(km)
∴巡逻船与渔船的距离约为8.97km．
【点睛】本题考查了方位角、直角三角形、三角函数的知识，解答本题的关键熟练掌握三角函数、方位角的性质，从而完成求解．
27．如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是侧面示意图，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，点C在MN上，且位于自动扶梯顶端B点的正上方，BC⊥MN．测得AB＝10米，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50°，点B的仰角为30°，求二楼的层高BC（结果保留根号）
（参考数据：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）
【答案】米
【分析】延长CB交PQ于点D，在Rt△ADB中，求出BD，AD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到．
【详解】解：延长CB交PQ于点D．
∵MN∥PQ，BC⊥MN，
∴BC⊥PQ．
在Rt△ABD中，∵AB＝10米，∠BAD＝30°，
∴（米），（米），
在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝50°，
∴（米），
∴（米）．
【点睛】本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
28．如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东60°的方向上.该货船航行30分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，
（1）求的度数；
（2）已知在岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.（参考：、）
【答案】（1）30°；（2）货船继续向正东方向行驶无触礁危险.
【分析】（1）在△ABP中，求出∠CAB、∠CBA的度数即可解决问题；
（2）作CD⊥AB于D．求出CD的值即可判定.
【详解】（1）∵，，
∴.
（2）过点作于，
由题意，，，
∴，
∴,
∴（海里）,
在中，,
∴,
∵.
所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
29．如图，数学课外兴趣小组的同学们站在建筑物对面的观测点处（其底部与建筑物底部在同一水平面上），由观测点测得该建筑物楼顶上面的旗杆顶端的仰角为、底端的仰角为，已知他们所在观测点与地面的高度为以及旗杆的高度为.求观测点底部与建筑物的距离以及建筑物的高度.
（参考数据：，，，，，）
【答案】观测点底部与建筑物的距离为和建筑物的高度为.
【分析】作如图辅助线，
设.在中，利用正切求得.在中，通过解直角三角形，可得，.再通过，列出等式，解得x,再进行计算即可得到答案.
【详解】过点作，垂足为点.
设.在中，，∴.
∵，∴.
在中，，∴.
∵，∴.
∵，∴，解得，即，，
∴.
答：观测点底部与建筑物的距离为和建筑物的高度为.
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．
30．九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB=38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数．
（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度．
（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）．
备用数据：．
【答案】（1）76°；（2）3.8米；（3）5.7米．
【详解】试题分析：（1）根据∠α=2∠CDB即可得出答案.
（2）设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，过点E作EH⊥BF，垂足为点H，根据EH=2MN即可求出E点离地面FB的高度；
（3）延长AE，交PB于点C，设AE=x，则AC=x+3.8，CQ=x﹣0.2，根据，得出，求出x即可．
试题解析：解：（1）∵BD=BC，∴∠CDB=∠DCB.
∴∠α=2∠CDB=2×38°=76°．
（2）如答图1，设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，过点E作EH⊥BF，垂足为点H，
∵MN∥AH，MN=1.9，∴EH=2MN=3.8（米）.
∴E点离地面FB的高度是3.8米．
（3）如答图2，延长AE，交PB于点C，
设AE=x，则AC=x+3.8，
∵∠APB=45°，∴PC=AC=x+3.8.
∵PQ=4，∴CQ=x+3.8﹣4=x﹣0.2.
∵，
∴，解得.
∴AE≈5.7（米）．
答；旗杆AE的高度是5.7米．
考点：1.解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值．
31．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
(1)求点B到AD的距离；
(2)求塔高CD（结果用根号表示）．
【答案】(1)B到AD的距离为20m；
(2)塔高CD为（10+10）m．
【分析】（1）过点B作BE⊥AD于点E，然后根据AB=40m，∠A=30°，可求得点B到AD的距离．
（2）先求出∠EBD的度数，然后求出AD的长度，然后根据∠A=30°即可求出CD的高度．
【详解】（1）解：过点B作BE⊥AD于点E，
∵AB=40m，∠A=30°，
∴BE=AB=20m，
即点B到AD的距离为20m．
（2）解：在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，
∴∠ABE=60°．
∵∠DBC=75°，
∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°．
∴DE=EB=20m．
又∵m，
∴AD=AE+EB=20+20=20（+1）．
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴DC=AD=10+10．
答：塔高CD为（10+10）m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题）、勾股定理、锐角三角函数定义以及特殊角的三角函数值，利用数形相结合是解题的关键．
32．如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）．
【答案】2600米．
【分析】作于，由从而求出．
【详解】解：作于，依题意，
则
即
∴点深度．
答：海底点处距离海面的深度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形．
33．如图，甲建筑物的高AB为40m，AB⊥BC，DC⊥BC，某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动，从B点测得D点的仰角为60°，从A点测得D点的仰角为45°．求乙建筑物的高DC．
【答案】乙建筑物的高DC为（60+20）m．
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，可得四边形ABCE为矩形，根据∠DAE=45°，可得AE=ED，设AE=DE=xm，则BC=xm，在Rt△BCD中，利用仰角为60°，可得CD=BC tan60°，列方程求出x的值，继而可求得CD的高度．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴四边形ABCE为矩形，
∴CE=AB=40m，
∵∠DAE=45°，
∴AE=ED，
设AE=DE=xm，则BC=xm，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC=60°，
∴CD=BC tan60°，
即40+x=x，
解得：x=20（+1），
则CD的高度为：x+40=60+20（m）．
答：乙建筑物的高DC为（60+20）m．
34．云洞岩被誉为“闽南第一洞天”风景文化名山，是国家级旅游景区．某校数学兴趣小组为测量山高，在山脚处测得山顶的仰角为，沿着坡角为的山坡前进米到达处，在处测得山顶的仰角为，求山的高度．（结果保留三个有效数字）（已知，）
【答案】山的高度为米．
【分析】解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过D作DF⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为F、E，根据已知条件求出DF，再根据余弦求出AF，从而得出EC的值，设DE为x米，则FC=x米，在Rt△DEB中，根据正切求出BE的长，从而得出AC=AF+FC=100x，BC=BE+EC=100+x，求出x的值，最后再根据BC=BE+EC，即可得出答案．
【详解】
解：如图，过D作DF⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为F、E，
在Rt△AFD中，AD=200米，∠DAF=30°，
∴DF= AD=100米，
∴AF=AD cos30°=100米，
又∵∠C=90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴EC=DF=100米，
设DE为x米，则FC=x米，
在Rt△DEB中，
∵∠BDE=60°，
∴BE=DE tan60°=x，
∵∠BAC=45°，∠C=90°，∠ABC=45°，
∴AC=BC，而AC=AF+FC=100x，
BC=BE+EC=100+x，
∴100+x=x+100，
∴（-1）x=100（-1），
∴x=100（米），
∴BC=BE+EC=100+100≈273（米），
答：山的高度BC为273米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
35．如图是宁夏沙坡头的沙丘滑沙场景．已知滑沙斜坡AC的坡度是tanα=，在与滑沙坡底C距离20米的D处，测得坡顶A的仰角为26.6°，且点D、C、B在同一直线上，求滑坡的高AB．（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．
【答案】滑坡的高AB为30米．
【分析】设米，在直角三角形ABD与直角三角形ABC中，利用锐角三角函数表示出BD与BC，由列出方程，求出方程的解得到x的值即可．
【详解】设米，
在中，，即，
在中，，即，
由，得到，
解得：，
则滑坡的高AB为30米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，以及坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
36．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为10m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
【答案】广告牌CD的高为（5﹣3.5）m．
【分析】在Rt△CDG和Rt△CEG中，求出公共边CG的长度，然后可求得DE=CG+GF.
【详解】解：∵AB=10m，
∴DE=DG+EG=10m，
在Rt△CEG中，
∵∠CEG=45°，
∴EG=CG，
在Rt△CDG中，
∵∠CDG=30°，∠DCG=60°，
∴DG=CG tan60°，
则DE=CG tan60°+CG=10m．
即DE=CG+CG=10．
∴CG=5﹣5．
由题意知：GF=1.5m
∴CF=CG+GF=5﹣5+1.5=5﹣3.5
答：广告牌CD的高为（5﹣3.5）m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
37．如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
【答案】山顶A到地面BC的高度AC是米.
【分析】作DH⊥BC于H．设AE=x．在Rt△ABC中，根据tan∠ABC=，构建方程即可解决问题即可.
【详解】作DH⊥BC于H，设AE=x，
∵DH：BH=1：3，
在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，
∴DH=60，BH=180，
在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∵又HC=ED，EC=DH，
∴HC=x，EC=60，
在Rt△ABC中，tan33°=，
∴x=，
∴AC=AE+EC=+60=，
答：山顶A到地面BC的高度AC是米.
【点睛】本题考查解直角三角形——仰角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，熟练应用数形结合思想与方程思想解答问题是关键.
38．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）
【答案】标语牌CD的长为6.3m．
【详解】分析：如图作AE⊥BD于E．分别求出BE、DE，可得BD的长，再根据CD=BD-BC计算即可；
详解：如图作AE⊥BD于E．
在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，
∴BE=AB=5（m），AE=5（m），
在Rt△ADE中，DE=AE tan42°=7.79（m），
∴BD=DE+BE=12.79（m），
∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3（m），
答：标语牌CD的长为6.3m．
点睛：本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
39．位于河南省郑州市的炎黄二帝巨型塑像，是为代表中华民族之创始、之和谐、之统一．塑像由山体CD和头像AD两部分组成．某数学兴趣小组在塑像前50米处的B处测得山体D处的仰角为45°，头像A处的仰角为70.5°，求头像AD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）
【答案】头像AD的高度约为91.2米．
【详解】分析：在Rt△ABC中，根据AC=BCtan∠ABC求得AC的长，在Rt△DBC中，由∠DBC=45°知DC=BC=50，根据AD=AC-DC可得答案．
详解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=70.5°，
∴AC=BCtan∠ABC=50tan70.5°≈50×2.824≈141.2，
在Rt△DBC中，∵∠DBC=45°，
∴DC=BC=50，
则AD=AC-DC≈141.2-50=91.2，
答：头像AD的高度约为91.2米．
点睛：本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及其应用．
40．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东66.1°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．参考数据：sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，tan64°≈2.26，取1.414．
【答案】BP的长为154海里，BA的长为158海里．
【分析】如图作PC⊥AB于C．在Rt△APC中，求出PC、AC的长，在Rt△PCB中求出PB的长，从而可解决问题．
【详解】解：如图作PC⊥AB于C．
由题意∠A=66.1°，∠B=45°，PA=120，
在Rt△APC中，sinA=，cosA=，
∴PC=PA sinA=120 sin66.1°，
AC=PA cosA=120 cos66.1°，
在Rt△PCB中，∵∠B=45°，
∴PC=BC，
∴PB=≈154．
∴AB=AC+BC=120 cos66.1°+120 sin66.1°
≈120×0.41+120×0.91
≈158．
答：BP的长为154海里和BA的长为158海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
41．吉林省广播电视塔（简称“吉塔”）是我省目前最高的人工建筑，也是俯瞰长春市美景的最佳去处．某科技兴趣小组利用无人机搭载测量仪器测量“吉塔”的高度．已知如图将无人机置于距离“吉塔”水平距离138米的点C处，则从无人机上观测塔尖的仰角恰为30°，观测塔基座中心点的俯角恰为45°．求“吉塔”的高度．（注：≈1.73，结果保留整数）
【答案】218米
【详解】试题分析：分别利用正切定义求AH,BH,最后求和.
试题解析：
解：如图，根据题意，有∠ACH=30°，∠HCB=45°，CH=138米，
在Rt△ACH中，∵tan∠ACH=，
∴tan30°=，
∴AH=138×=46≈79.58，
在Rt△BCD中，∵∠DCB=45°，CD=138，
∴BH=CH=138米，
∴AB=AH+BH≈79.58+138≈218．
答：“吉塔”的高度约为218米．
42．如图，身高1.6米的小明为了测量学校旗杆AB的高度，在平地上C处测得旗杆高度顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进3米到达D处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，求旗杆AB的高度（）
【答案】旗杆AB的高度为5.65米
【详解】试题分析：在Rt△FGA中，设AG=FG=x米，根据=tan30°，求出AG的长，加上BG的长即为旗杆高度．
试题解析：如图，在Rt△FGA中，
设AG=FG=x米，
在Rt△AEG中，=tan30°，
解得，x==4.05米，
∴AB=1.6+4.05=5.65米．
答：旗杆AB的高度为5.65米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
43．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30 ，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45 ，请计算旗杆AB的高度(结果保留根号)．
【答案】旗杆AB的高度是（8+8）米．
【分析】根据锐角三角函数可得（CD+DB）×=BD×1，解得BD，从而可以求得AB的高度．
【详解】，解：由题意可得，
CD=16米，
∵AB=CB tan30°，AB=BD tan45°，
∴CB tan30°=BD tan45°，
∴（CD+DB）×=BD×1，
解得BD=8+8，
∴AB=BD tan45°=（8+8）米，
即旗杆AB的高度是（8+8）米．
44．如图，小明要测量塔CD的高度.他先在A处仰望塔顶，测得∠A = 30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得∠DBC = 60°.求该塔的高度．（结果保留根号）
【答案】该塔高为25m．
【分析】从题意可知AB=BD=50m，至B处，测得仰角为60°，sin60°=．可求出塔高．
【详解】解：∵∠DAB=30°，∠DBC=60°，
∴∠DAB=∠BDA=30°，
∴BD=AB=50m．
∴DC=BD sin60°=50×=25（m），
答：该塔高为25m．
45．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．
【答案】．
【分析】首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30×，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解．
【详解】过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里．在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，∴tan∠PAC=，∴CP=AP tan∠PAC=．在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，∴BP=AP=x．∵PC+BP=BC=30×，∴，解得，∴PB=，∴航行时间：÷30=（小时）．
答：该渔船从B处开始航行小时，离观测点A的距离最近．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
46．如图，某学校在“国学经典”中新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑3米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．(最后结果精确到0．1米，参考数据：)
【答案】1.2米
【详解】试题分析：根据锐角三角函数，在Rt△DEB中，求得DE的长，在Rt△CEB中，求得CE的长，再根据CD=DE-CE即可求出塑像CD的高度．
试题解析：解：在Rt△DEB中，DE=BE tan45°=2．7米，
在Rt△CEB中，CE=BE tan30°=0．9米，
则CD=DE-CE=2．7-0．9≈1．2米．
故塑像CD的高度大约为1．2米．
考点：解直角三角形的应用．
47．钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．
（参考数据：cos59°≈0．52，sin46°≈0．72）
【答案】乙．
【详解】试题分析：作CD⊥AB于点D，由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°，设CD的长为a海里，分别在Rt△ACD中，和在Rt△BCD中，用a表示出AC和BC，然后除以速度即可求得时间，比较即可确定答案．
试题解析：如图，作CD⊥AB于点D，
由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°，
设CD的长为a海里，
∵在Rt△ACD中，
，
∴AC=；
∵在Rt△BCD中，
，
∴BC=；
∵其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，
∴1．92a÷20=0．096a．1．39a÷18=0．077a，
∵a＞0，
∴0．096a＞0．077a，
∴乙先到达．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
48．如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？（结果精确到1米．参考数据：sin32°＝0．5299，cos32°＝0．8480）
【答案】138m
【分析】过点C作CD⊥AB，根据题意求出CD和BD的长度，然后根据Rt△ACD的性质求出AD的长度，然后根据AB=AD+DB求出AB的长度．
【详解】解：过点C作正北线交AB于点D． ∵BC=100m，
∴在Rt△CBD中，BD=BC sin32°=100×0．5299=52．99（m）．
DC=BC cos∠DCB=100 cos32°=100×0．8480=84．80（m）．
在Rt△ADC中，tan∠ACD=． AD=CD tan∠ACD=84．80×tan45°=84．80（m）．
AB=AD+DB=84．80+52．99≈138（m）．
考点：三角函数的应用．
49．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处G （点G 在DE上）距D点3米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
【答案】(1)能看到；(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞9.5米.
【分析】(1)根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG=90°﹣53°=37°，在△DFG中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG>3，则看不见老鼠，若DG≤3，则可以看见老鼠；
(2)根据(1)求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据=sin∠ACG =sin37°，即可求出CG的长度.
【详解】(1)能看到；
由题意得，∠DFG=90°-53°=37°，
则=tan∠DFG，
∵DF=4米，
∴DG=4×tan37°≈4×0.75=3(米)，
故能看到这只老鼠；
(2)由(1)得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7(米)，
又=sin∠ACG=sin37°，
则CG==9.5(米)，
答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞约9.5米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段.
50．我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC．(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.5，≈1.73)
【答案】工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米.
【分析】在Rt△BAE中，根据BE=162米，∠BAE=68°，解直角三角形求出AE的长度，然后在Rt△DCE中解直角三角形求出CE的长度，然后根据AC=CE-AE求出AC的长度即可．
【详解】解：在Rt△BAE中，∠BAE=680，BE=162米，
∴（米），
在Rt△DEC中，∠DGE=600，DE=176.6米，
∴（米），
∴（米），
∴工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形．
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专题10：解三角形--2023年中考数学之解题方法突破训练
一、单选题
1．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（ ）
A．米 B．3米 C．米 D．米
3．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则图中的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（　　）
A．60m B．40m C．30m D．60m
5．如图，港口在观测站的正东方向，，某船西东从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
6．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（　　）米．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8
7．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )
A． n mile B．60 n mile C．120 n mile D．n mile
8．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y=的图象上，作射线AB，交反比例函数图象于另一点M，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则CM的长度为（　　）
A．5 B．6 C．4 D．5
9．如图，小山岗的斜坡AC的坡角α=45°，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为（ ）.（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）
A．164m B．178m C．200m D．1618m
10．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）．
A． B．51 C． D．101
二、填空题
11．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号）
12．如图，小明与小华利用三角板测量教学楼前雕塑AB的高度．小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°；小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°．已知CD为10米，则雕塑AB的高度是________．（，，结果精确到0.1米）．
13．如图所示，为了测量出某学校教学大楼的高度，数学课外小组同学在处，测得教学大楼顶端处的仰角为45°；随后沿直线向前走了15米后到达处，在处测得处的仰角为30°，已知测量器高1米，则建筑物的高度约为______米．（参考数据：，，结果按四舍五入保留整数）
14．如图，河宽CD为100米，在C处测得对岸A点在C点南偏西30°方向、对岸B点在C点南偏东45°方向，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）
15．圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表两个部件组成，垂直于地面的直杆叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离约为_______．（精确到；参考数据：）
16．如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，又在河的另一岸边取两个点B、C，测得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的长为200米，则河的宽度为_________．（结果保留根号）
17．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
18．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，）
19．某拦水坝的横截面为梯形， 迎水坡的坡角为，且， 背水坡的坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽__________．
20．如图，在一笔直的海岸线上有相距的两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是________．
21．如图，小明一家自驾到古镇游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向，则，两地的距离_______千米．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A（，0），B（0，2），点C在第一象限，∠ABC=135°，AC交轴于D，CD=3AD，反比例函数的图象经过点C，则的值为_______．
23．如图，为了测量河对岸旗杆AB的高度，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进20m到达D处，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，则旗杆AB的高度为_______（精确到0.1m，参考数据：=1.414，=1.732）
24．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是_____米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）
25．如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF=_____．
三、解答题
26．如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：，，）
27．如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是侧面示意图，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，点C在MN上，且位于自动扶梯顶端B点的正上方，BC⊥MN．测得AB＝10米，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50°，点B的仰角为30°，求二楼的层高BC（结果保留根号）
（参考数据：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）
28．如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东60°的方向上.该货船航行30分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，
（1）求的度数；
（2）已知在岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.（参考：、）
29．如图，数学课外兴趣小组的同学们站在建筑物对面的观测点处（其底部与建筑物底部在同一水平面上），由观测点测得该建筑物楼顶上面的旗杆顶端的仰角为、底端的仰角为，已知他们所在观测点与地面的高度为以及旗杆的高度为.求观测点底部与建筑物的距离以及建筑物的高度.
（参考数据：，，，，，）
30．九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB=38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数．
（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度．
（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）．
备用数据：．
31．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
(1)求点B到AD的距离；
(2)求塔高CD（结果用根号表示）．
32．如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）．
33．如图，甲建筑物的高AB为40m，AB⊥BC，DC⊥BC，某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动，从B点测得D点的仰角为60°，从A点测得D点的仰角为45°．求乙建筑物的高DC．
34．云洞岩被誉为“闽南第一洞天”风景文化名山，是国家级旅游景区．某校数学兴趣小组为测量山高，在山脚处测得山顶的仰角为，沿着坡角为的山坡前进米到达处，在处测得山顶的仰角为，求山的高度．（结果保留三个有效数字）（已知，）
35．如图是宁夏沙坡头的沙丘滑沙场景．已知滑沙斜坡AC的坡度是tanα=，在与滑沙坡底C距离20米的D处，测得坡顶A的仰角为26.6°，且点D、C、B在同一直线上，求滑坡的高AB．（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．
36．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为10m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
37．如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
38．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）
39．位于河南省郑州市的炎黄二帝巨型塑像，是为代表中华民族之创始、之和谐、之统一．塑像由山体CD和头像AD两部分组成．某数学兴趣小组在塑像前50米处的B处测得山体D处的仰角为45°，头像A处的仰角为70.5°，求头像AD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）
40．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东66.1°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．参考数据：sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，tan64°≈2.26，取1.414．
41．吉林省广播电视塔（简称“吉塔”）是我省目前最高的人工建筑，也是俯瞰长春市美景的最佳去处．某科技兴趣小组利用无人机搭载测量仪器测量“吉塔”的高度．已知如图将无人机置于距离“吉塔”水平距离138米的点C处，则从无人机上观测塔尖的仰角恰为30°，观测塔基座中心点的俯角恰为45°．求“吉塔”的高度．（注：≈1.73，结果保留整数）
42．如图，身高1.6米的小明为了测量学校旗杆AB的高度，在平地上C处测得旗杆高度顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进3米到达D处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，求旗杆AB的高度（）
43．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30 ，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45 ，请计算旗杆AB的高度(结果保留根号)．
44．如图，小明要测量塔CD的高度.他先在A处仰望塔顶，测得∠A = 30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得∠DBC = 60°.求该塔的高度．（结果保留根号）
45．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．
46．如图，某学校在“国学经典”中新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑3米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．(最后结果精确到0．1米，参考数据：)
47．钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．
（参考数据：cos59°≈0．52，sin46°≈0．72）
48．如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？（结果精确到1米．参考数据：sin32°＝0．5299，cos32°＝0．8480）
49．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处G （点G 在DE上）距D点3米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
50．我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC．(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.5，≈1.73)
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