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第四章 机械能及其守恒定律
第五节 机械能守恒定律
1、内容：在只有重力和弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2、条件：（1）系统内只有重力（或弹力）做功；
（2）只发生动能和势能间的相互转化。
3、表达式： ① EP2+EK2=EP1+EK1 （ E2= E1）
② △EK增＝△EP减
或△EK减＝△EP增
知识回顾
4.守恒的判断方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
知识对比：机械能守恒定律与动能定理异同：
机械能守恒定律 动能定理
不同点 需要判断是否满足守恒条件及确定零势能面 一般不考虑适用条件也不需要确定参考面
相同点 只需考虑初、末状态，不用考虑中间过程 应用 范围 能用机械能守恒定律解决的问题都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定能用机械能守恒定律解决。 结论 动能定理比机械能守恒定律应用更广泛，更普遍 注意：
机械能守恒定律只涉及能量，不涉及功，强调能量转化；动能定理只涉及功和动能，强调功是能转化的量度。
热身训练
1．如图所示，三个质量相同的小球，从同一高度由静止释放，其中a球沿竖直方向自由下落，b球沿光滑斜面下滑，c球沿 光滑圆弧下滑．不计空气阻力b球从释放到运动至地面的过程中，（ ）
A．动能减少，机械能减少
B．动能减少，机械能增加
C．动能增加，机械能增加
D．动能增加，机械能不变
D
知识点一：单个物体的机械能守恒
判断一个物体的机械能是否守恒有两种方法：
（1）物体在运动过程中只有重力做功，物体的机械能守恒。
（2）动能与重力势能变化量的绝对值相等。
解题方法：
一般选取物体运动的最低点作为重力势能的零势参考点，把物体运动开始时的机械能和物体运动结束时的机械能分别写出来，并使之相等。
注意点：在固定的光滑圆弧类和悬点定的摆动类两种题目中，常和向心力的公式结合使用。这在计算中是要特别注意的。
例题1.如图：在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，求它到达B点的速度大小。
守恒式求解：以小球为研究对象，其从A到B的过程中，只重力做功，故机械能守恒：
以B点所在平面为参考平面，
由机械能守恒定律得：
条件判断
选零势面
点明过程、原理
找初末状态机械能，列方程
求解
确定研究对象
例题1.如图：在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，求它到达B点的速度大小。
转化式求解：小球从A到B的过程中，重力势能的减少量等于动能的增加量 ΔEp减＝ΔEk增 得：
例2、如图所示，质量为m的物体以某一初速v0从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过最低点B的速度为 ，求：
(1)物体在A点时的速度；
(2)物体离开C点后还能上升多高．
A→B，机械能守恒
B→最高点，机械能守恒
解：以B点所在平面为参考平面
典型题精讲
【典例1】(多选)如图，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为 g，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体（ ）
题型一：单个物体+直线
【解析】这个过程中物体上升的高度为h，则重力势能增加了mgh，故A错误；
【正确答案】CD
题型二：单个物体+直线
【典例2】如图，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP＝2R，
重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（ ）
A.重力做功 2mgR B.机械能减少 mgR
C.合外力做功mgR D.克服摩擦力做功 mgR
图4
题型二：单个物体+曲线
【解析】从P到B的过程中，小球下降的高度为R，WG＝mgR，选项A错误；
【正确答案】D
题型二：单个物体+曲线
知识点二：多物体组成的系统机械能守恒问题
1.当动能、势能仅在系统内相互转化或转移，则系统的机械能守恒.
2.机械能守恒定律表达式的选取技巧
(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解.
(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：
①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解.
②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解.
③从机械能的转化角度来看，系统中一个物体某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用ΔE减＝ΔE增来列式.
3.对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系.
例1、如图所示，轻绳跨过光滑的定滑轮，两端系着质量分别为M和m的物体A和B，且M m，开始时把A托起,使始B刚好与地面接触，此时A离地面的高度是h，放手让A由静止下落，（不考虑空气阻力） 求：
（1）当A着地时，A的速度多大？
（2）物体A落地后，B还能上升多高？
解：（1）物体A和B组成的系统，只有重力和系统内的弹力做功，故系统的机械能守恒。
由
即
解得：
（2）物体A着地后， B 竖直上抛，上升至最高点时，速度为零。 B 上升过程中，只有重力做功，故B的机械能守恒。
即
解得：
例2、(多选)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根长为L的轻杆连接(杆的质量不计)，两小球可绕穿过杆中心O的水平轴无摩擦地转动。现让轻杆处于水平位置，然后无初速度释放，重球b向下，轻球a向上，产生转动，在杆转至竖直的过程中 (　　)
A．b球的重力势能减少，动能增加
B．a球的重力势能增加，动能增加
C．a球和b球的总机械能守恒
D．a球和b球的总机械能不守恒
答案：ABC　解析：a、b两球组成的系统中，只存在动能和重力势能的相互转化，系统的机械能守恒，选项C正确，D错误。其中a球的动能和重力势能均增加，机械能增加，轻杆对a球做正功；b球的重力势能减少，动能增加，总的机械能减少，轻杆对b球做负功，选项A、B正确。
典型题精讲
1.常见模型
题型一：连接体+轻绳
2．重点点拨
(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
【典例1】如图所示，一轻绳跨过定滑轮悬挂质量为mA、mB的A、B两物块，滑轮的质量以及所有摩擦不计，已知mB>mA初始时两物块均静止，在两物块运动过程中，下列说法中正确的是（ ）
A、B减少的重力势能等于A增加的重力势能
B、B的机械能守恒
C、系统的机械能守恒，但两物体各自的机械能都在变化
D、B机械能的减少等于A机械能的增加
D、既然系统的机械能守恒，所以B机械能的减少等于A机械能的增加
mAg
F
mBg
F
CD
A、由于运动的高度相同，而质量不同，据EP=mgh,B减少的重力势能大于A增加的重力势能
B、B下降时拉力做负功，B的机械能守恒在减少
C、AB组成的系统与外界无能量交换，所以系统的机械能守恒；A的动能势能都在增加，机械能增加，所以两物体各自的机械能都在变化
【典例2】如图所示，将质量为3m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，杆足够长，下列说法正确的是（　　）
A．环到达B处时，重物上升的高度
B．环到达B处时，环与重物的速度大小相等
C．环从A到B，环减少的机械能大于重物增加的机械能
D．环能下降的最大高度为
1．常见模型
题型二：连接体+轻杆
2．重点点拨
(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
【典例1】如图所示，长为2L的轻杆OB，O端装有转轴，B端固定一个质量为m的小球B，OB中点A固定一个质量为m的小球A，若OB杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中，求
（1）A、B球摆到最低点的速度大小各是多少？
（2）轻杆对A、B球各做功多少？
（3）轻杆对A、B球所做的总功为多少？
（1）求A、B球摆到最低点的速度大小？
A、B系统机械能守恒
（2）求轻杆对A、B球各做功多少？
动能定理
对A球：
对B球：
分别以A、B两球为研究对象，机械能守恒吗？
（3）求轻杆对A、B球所做的总功为多少？
A、B系统机械能守恒
【典例2】如图所示，长为2L的轻质杆一端用铰链固定于O点，杆的中点固定有质量为m的小球A，杆的另一端固定有质量为2m的小球B。现将杆从水平位置由静止释放，不计杆、球系统在竖直平面内转动过程中所受的摩擦，重力加速度为g，求：
（1）刚释放杆时，B球的加速度大小a；
（2）由水平位置转过90°时，杆转动的角速度ω；
（3）杆转至竖直位置时，杆对铰链的作用力F。
与弹簧相关的机械能守恒问题
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
2．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
3．如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)。
题型三：连接体+轻弹簧
【典例1】如图，在倾角为30°的光滑斜面上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C上，另一端连接一质量为m＝4 kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住物体B使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放。求：
(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力；
(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
(3)物体A的最大速度的大小。
【典例2】如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上.其正上方A位置有一只小球.小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零.对于小球下降阶段，下列说法中正确的是(不计空气阻力)(　　 )
A.在B位置小球动能最大
B.在C位置小球动能最大
C.从A→C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加
D.整个过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒
BD
【解析】小球从B运动至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球加速，从C运动到D，重力小于弹力，合力向上，小球减速，故在C点动能最大，故A错误，B正确.小球下降过程中，只有重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧系统机械能守恒，D正确；从A→C位置小球重力势能的减少量等于动能增加量和弹性势能增加量之和，故C错误.
当堂检测
1.如右图所示，上表面有一段光滑圆弧的质量为M的小车A置于光滑平面上，在一质量为m的物体B自弧上端自由滑下的同时释放A，则( 　　)
A．在B下滑过程中，B的机械能守恒
B．轨道对B的支持力对B不做功
C．在B下滑的过程中，A和地球组成的系统的机械能守恒
D．A、 B和地球组成的系统的机械能守恒
【解析】A和B之间只有动能和势能的相互转化，故系统的机械能守恒，过程中A的机械能增加，B的机械能减少，所以AB之间的弹力对A做正功，对B做负功。【答案】D
2.如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上．现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
【解析】不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功，系统机械能守恒，B正确，C、D错误；斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°，故弹力做负功，A错误。【答案】B
3.如图所示，重为100N的物块在倾角30°的光滑斜面上的a点静止下滑，在b点接触到一根轻弹簧，物块把弹簧压缩到c点又被弹簧弹回，从b点脱离弹簧，最后又回到a点。已知ab＝1m，bc＝0.2m，那么下列说法中，正确的是 （ ）
A．整个过程中物块动能的最大值为50J
B．整个过程中弹簧弹性势能的最大值大于60J
C．从c到b弹簧的弹力对物块做功60J
D．整个过程中弹簧、物块与地球组成的系统机械能守恒
【解析】从a到b重力做功为50J，在b点动能为50J，之后弹簧弹力从零开始增大，刚开始还是小于重力分量，物块继续加速，因此动能最大值大于50J，当压缩到c点，动能变为零，重力势能全部转化为弹性势能，此时弹簧压缩形变最大，弹性势能最大，根据重力做功可知重力势能减小60J，说明弹性势能最大60J，因此从c到b的过程，弹簧做功也是60J。【答案】CD
4.如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中(　　)
A．M、m各自的机械能分别守恒
B．M减少的机械能大于m增加的机械能
C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能
D．M和m组成的系统机械能守恒
D
5.如图所示，一半径为R、质量为M的1/4光滑圆弧槽D，放在光滑的水平面上，有一质量为m的小球由A点静止释放，在球沿圆弧下滑到B点的过程中，下述说法正确的是 （ ）
A．小球的机械能守恒
B．小球和槽组成的系统机械能守恒
C．小球、槽和地球组成的系统机械能守恒
D．小球、槽和地球组成的系统机械能不守恒
C

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