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抽象函数
一、单选题
1．函数 f x 是R 上的增函数，点 A 0, 1 ，B 3,1 是其图象上的两点，则 f x 1 1的解集为（ ）
A． , 1 4, B． , 1 2, C．( - 1,2) D． 1,4
2．已知函数 f (x) 在定义域R上单调，且 x (0, )时均有 f ( f (x) 2x) 1，则 f ( 2)的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D． 1
3．单调增函数 f x 对任意 x, y R 满足 f x y f x f y ，若 f k 3x f 3x 9x 2 0恒成立，则
k 的取值范围是（ ）
A． 2 2 1,2 2 1 B． , 2 2 1
C． 0,2 2 1 D． 2 2 1,
20214 ．定义在R上的奇函数 f x 满足 f 2 x f x ，当 x 0,1 ， f x x log2 x ，则 f （ ）
2
3 1 3
A． B 1． 2 C． D． 2 2 2
5．已知定义在R 上的函数 f x 满足 f x y f x f y ，且当 x 0 时， f x 0，则关于 x的不等式
f mx2 f 2m f m2x f 2x （其中0 m 2 ）的解集为（ ）
x m x 2 {x | x m x 2A． B． 或 }
m m
2
C． x x

m D．{x | x m或 x
2
}
m m
6 x．已知函数 f x 是R上的偶函数，且 f x 的图象关于点 1,0 对称，当 x 0,1 时， f x 2 2 ，则
f 0 f 1 f 2 f 2020 的值为（ ）
A． 2 B． 1 C．0 D．1
7．已知奇函数 f x 的定义域为R，若 f x 2 为偶函数，且 f 1 1，则 f 2017 f 2016
A． 2 B． 1 C． 0 D．1
8．已知函数 f x 2是定义在R上的奇函数，当 x 0时， f x x x，则不等式 f ln x f 1 的解集为
（ ）
A． 0,e 1 1B． , C (
1
．
e
0, D． ,
e e
二、多选题
9．已知函数 f (x) 满足 x R ，有 f (x) f (6 x)，且 f (x 2) f (x 2)，当 x [ 1,1]时，
f (x) ln 1 x2 x ，则下列说法正确的是（ ）
A． f (2021) 0
B． x (2020,2022)时， f (x) 单调递增
C． f (x) 关于点 (1010,0) 对称

D． x ( 1,11) 时，方程 f (x) sin x 2 的所有根的和为
30

10 2．已知 f x 是定义在R 上的偶函数， f 1 x f 1 x ，且当 x 0,1 时， f x x x 2，则下列
说法正确的是（ ）
A． f x 是以 4为周期的周期函数
B． f 2018 f 2021 2
C．函数 y log2 x 1 的图象与函数 f x 的图象有且仅有3个交点
D．当 x 3,4 时， f x x2 9x 18
11．已知函数 f x 的定义域为R，且在R上可导，其导函数记为 f x .下列命题正确的有（ ）
A．若函数 f x 是奇函数，则 f x 是偶函数
B．若函数 f ' x 是偶函数，则 f x 是奇函数
C．若函数 f x 是周期函数，则 f x 也是周期函数
D．若函数 f x 是周期函数，则 f x 也是周期函数
12．已知函数 y f (x) 是 R 上的奇函数，对于任意 x R ，都有 f (x 4) f (x) f (2)成立，当 x 0,2 时，
f x 2x 1，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A． f (2) 0
B．点 (4,0)是函数 y f (x) 的图象的一个对称中心
C．函数 y f (x) 在[ 6, 2]上单调递增
D．函数 y f (x) 在[ 6,6]上有 3 个零点
三、填空题
13．写出一个满足 f x f 2 x 的奇函数 f x ______.
14．已知函数 f (x) 是 R 上的奇函数，且 y f (x) 的图象关于 x 1对称，当 x [0,1]时， f (x) 2x 1，计算
f (0) f (1) f (2) f (3) f (2021) ＝________．
15．函数 f (x) 为定义在R上的奇函数，且满足 f (x) f (2 x)，若 f (1) 3，则
f (1) f (2) f (50) __________．
x a, 1 x 0
16．设 f x 是定义在R 上的函数，且 f x f x 2 ，在区间 1,1 上， f x 2 ，其中 a R .
x ,0 x 1 5
f 5 9若 f

，则 f 5a 的值是________.
2 2
四、解答题
17．已知定义在R 上的函数 f x ， g x 满足：
① f 0 1；
②任意的 x， y R ， f x y f x f y g x g y .
（1 2）求 f x g 2 x 的值；
（2）判断并证明函数 f x 的奇偶性.
18．已知函数 f (x) 满足对 x, y R，都有 f (x y) f (x) f (y)，且 f (1) 2．
（1）求 f (0)与 f ( 2)的值；
（2）写出一个符合题设条件的函数 f (x) 的解析式（不需说明理由），并利用该解析式解关于 x的不等式
f (2x 1)
1
f (x) 1 ．
19．如果存在一个非零常数T ，使得对定义域中的任意的 x，总有 f ( x +T) = f ( x)成立，则称 f x 为周期
函数且周期为T .已知 f (x) 是定义在R 上的奇函数，且 y f (x) 的图象关于直线 x a（ a 0，为常数）对
称，证明： f (x) 是周期函数.
20．已知函数 y f (x)(x R)．
（1）若 f (x) 满足 y f (x 1)为 R 上奇函数且 y f (x 1)为 R 上偶函数，求 f ( 3) f (5) 的值；
（2 1）若函数 y g(x)(x R)满足 g(x 3) g(x) [g(x)]2 对 x R 恒成立，函数 h(x) f (x) g(x)，求
2
证：函数 h(x) 是周期函数，并写出 h(x) 的一个正周期；
（3）对于函数 y f (x) ， y k(x)(x R) ，若 f (k(x)) f (x) 对 x R 恒成立，则称函数 y f (x) 是“广义周
期函数”， k(x) 是其一个广义周期，若二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0)的广义周期为 k(x) （ k(x) x 不恒
成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的 x1, x2 R ， x1 x2 ， f x1 f x2 成立的充要条件是
x b1 x2 ．a
参考答案
1．C
【解析】解法一：因为 f x 是R 上的增函数， A 0, 1 ，B 3,1
是其图象上的两点，所以函数 f x 的草图如图所示.由图象得，
f x 1 1 1 f x 1 1 0 x 1 3，即 1 x 2 .
解法二：因为 f x 是R 上的增函数， A 0, 1 ，
B 3,1 是其图象上的两点，所以当0 x 3时， 1 f x 1 .
又已知 f x 1 1，即 1 f x 1 1，
所以0 x 1 3，解得 1 x 2 .
故选：C
2．A
【解析】根据题意，函数 f (x) 在定义域R上单调，且 x (0, )时均有 f ( f (x) 2x) 1，
则 f (x) 2x 为常数，设 f (x) 2x t ，则 f (x) 2x t ，
则有 f (t) 2t t 1，解可得 t 1，则 f (x) 2x 1，故 f ( 2) 4 1 3；
故选：A.
3．B
【解析】因为 f x y f x f y ，
f k 3x所以 f 3x 9x 2 f (k 3x 3x 9x 2) 0
又对任意 x, y R 满足 f x y f x f y ，
所以 f (0) f (0) f (0)，
解得 f (0) 0，
由 f x 为 R 上单调增函数可得 k 3x 3x 9x 2 0，
令 t 3x 0 ，
即 (k 1)t t 2 2 0恒成立，
即 k 1 t
2
，
t
而 t
2 2
2 2 ，当且仅当 t ，即 时等号成立，
t t t 2
所以 k 1 2 2 ，即 k 2 2 1，
故选：B
4．D
【解析】因为 f x 满足 f 2 x f x ，所以 f x 的图像关于 x=1 对称.
又 f x 为定义在R上的奇函数，所以 f x f 2 x f x 2 ，
所以 f x 4 f x 2 f x ，
所以 f x 为周期函数，且周期 T=4.
f 2021 f 252 4 5 5 f 所以 2 2
，
2
f 5 f 2 5 f 1 1 log 1 3而 2 2
，
2 2 2 2

2
f 2021 3所以 .
2 2
故选：D
5．A
【解析】任取 x1 x2，由已知得 f x1 x2 0，即 f x1 f x2 0，所以函数 f x 单调递减．
2
由 f mx f 2m f m2x f 2x 2可得 f mx f 2x f m2x f 2m ，
即 f mx2 2x f m2x 2m ，
所以mx2 2x m2x 2m ，
mx2 m2即 2 x 2m 0，
即 mx 2 x m 0，
又因为0 m 2 ，
2
所以 m，
m
2
此时原不等式解集为 x m x ．
m
故选：A
6．D
【解析】因为 f x 是R上的偶函数，所以 f ( x) f (x)，
又 f (x) 的图象关于点 1,0 对称，则 f (x) f (2 x)，
所以 f ( x) f (2 x) ，则 f (x) f (2 x)，得 f (4 x) f (2 x) f (x)，
即 f (x 4) f (x)，所以 f (x) 是周期函数，且周期T 4，
由 x 0,1 时， f x 2 2x ，则 f (0) 1, f (1) 0 ，
f (2) f (0) 1， f (3) f ( 3) f (1) 0 ，
则 f (0) f (1) f (2) f (3) 0，
则 f 0 f 1 f 2 L f 2020 f (0) 505 0 f (0) 1
故选：D
7．D
【解析】 奇函数 f (x) 的定义域为R，若 f (x 2)为偶函数，
f (0) 0，且 f ( x 2) f (x 2) f (x 2)，
则 f (x 4) f (x)，则 f (x 8) f (x 4) f (x)，
则函数 f (x) 的周期是 8，且函数关于 x 2对称，
则 f (2017) f (252 8 1) f （1） f ( 1) ( 1) 1，
f (2016) f (252 8) f (0) 0，
则 f (2017) f (2016) 0 1 1，
故选D．
8．C
2
【解析】因为当 x 0时， f x x x，且函数 f x 是定义在R上的奇函数，
2 2
所以 x 0 时， f x f x x x x x ，
x2 x, x 0
所以 f x ，作出函数图象：
x
2 x, x 0
所以函数 f x 是 ，+ 上的单调递增，
ln x 1
又因为不等式 f ln x f 1 1，所以 0 x
x 0
，即 ，
e
故选：C.
9．CD
2 1 2
【解析】由题设知： f ( x) ln( 1 x x) ln ln( 1 x x) f (x)，故 f (x) 在 x [ 1,1]上为奇函
1 x2 x
数且单调递减，又 f (x 2) f (4 x) f (x 2) ，即关于 x 2k 1、 (2k,0) ， k Z 对称，且最小周期为 4，
A： f (2021) f (505 4 1) f (1) ln( 2 1) 0，错误；
B： x (2020,2022)等价于 x (0, 2) ，由上易知： (0,1)上递减， (1, 2)上递增，故 f (x) 不单调，错误；
C：由上知： f (x) 关于 (2k,0) 对称且 k Z ，所以 f (x) 关于 (1010,0) 对称，正确；
x
D：由题意，只需确定 f (x) 与 y sin 在 x ( 1,11) 的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下
2
图示，
∴共有 6 个交点且关于 x 5对称，则 x1 x6 x2 x5 x3 x4 10，
∴所有根的和为30，正确.
故选：CD
10．ACD
【解析】对于 A 选项，由已知条件可得 f x 1 f 1 x f x 1 f x 3 ，
所以，函数 f x 是以 4为周期的周期函数，A 选项正确；
对于 B 选项， f 2018 f 2 f 0 2， f 2021 f 1 0 ，则 f 2018 f 2021 2 ，B 选项错误；
对于 C 选项，作出函数 y log2 x 1 与函数 f x 的图象如下图所示：
2
当 x 0,1 时， f x x2 x 2 x 1 9 2,0 ，结合图象可知， 2 f x 2 .
2 4
当 x 3时， log2 x 1 2 ，即函数 y log2 x 1 与函数 f x 在 3, 上的图象无交点，
由图可知，函数 y log2 x 1 与函数 f x 的图象有3个交点，C 选项正确；
对于 D 选项，当 x 3,4 时， x 4 1,0 ，则 4 x 0,1 ，
所以， f x f x 4 f 4 x 4 x 2 4 x 2 x2 9x 18，D 选项正确.
故选：ACD.
11．AC
【解析】解：由导数的定义： f x f x x f x= lim
x 0 x
f x x f x f x f x x选项 A： f x = lim = lim =f x ，即 f x 是偶函数，故 A 正确；
x 0 x x 0 x
选项 B：如 f x sin x 1不是奇函数，而 f x cos x为偶函数；故 B 错误，
选项 C： f f x T x f x T f x x f xx T = lim = lim f x
x 0 x x 0 x
即 f x 也是周期函数，故 C 正确；
选项 D：如 f x x sin x 不是周期函数，但 f x 1 cos x 是周期函数；故 D 错误，
故选：AC.
12．AB
【解析】在 f (x 4) f (x) f (2)中，令 x 2，得 f ( 2) 0，又函数 y f (x) 是 R 上的奇函数，所以
f (2) f ( 2) 0， f (x 4) f (x) ，故 y f (x) 是一个周期为 4 的奇函数，因 (0,0)是 f (x) 的对称中心，所
以 (4,0)也是函数 y f (x) 的图象的一个对称中心，故 A、B 正确；
作出函数 f (x) 的部分图象如图所示，易知函数 y f (x) 在[ 6, 2]上不具单调性，故 C 不正确；
函数 y f (x) 在[ 6,6]上有 7 个零点，故 D 不正确.
故选：AB
sin π13． x （答案不唯一）
2

【解析】取 f (x) sin x ，下面为证明过程：
2
显然，其定义域为 R；
由 f ( x) sin

x sin
x f (x) ，故 f (x) sin
x 为奇函数；
2 2 2
又 f (2 x) sin
2 x sin x2 2 sin x f (x) . 2
故答案为： sin
x （答案不唯一）.
2
14．1
【解析】由题意， f ( x) f (x) 且 f (2 x) f (x)，
∴ f ( x) f (2 x) f (x) f (2 x) f (x 2) ，即 f (x) f (x 4) ，
∴ f (x) 是周期为 4 的函数.
令 1 x 0，则0 x 1，而 x [0,1]时 f (x) 2x 1，
∴ f (x) f ( x) (2 x 1) 1
1

2x
，
∴ f (0) f (2) 0, f (1) 1, f (3) f ( 1) 1，即 f (0) f (1) f (2) f (3) 0，
而
f (0) f (1) f (2) f (3) f (2021) 505 [ f (0) f (1) f (2) f (3)] f (505 4) f (505 4 1)
f (0) f (1) 1 .
故答案为：1
15．3
【解析】 f (x) f (2 x)， f (x 2) f ( x)，又 f (x) 为奇函数，
f (x 2) f ( x) f (x), f (x 4) f (x 2) f (x)
f (x)是周期为 4的周期函数，
f (x)是定义在R上的奇函数， f (0) 0, f (4) f (0) 0，
f (2) f (0) 0, f (3) f ( 1) f (1) 3
f (1) f (2) f (3) f (4) 0，
f 1 f 2 ... f 50 0 12 f 1 f 2 3 .
故答案为：3．
2
16．
5
【解析】因为 f x f x 2 ，
f 5 1 1 9 1 1所以 f a ， f

f
1 a 1 ，所以 ，解得a
3
，
2 2 2 2 2 10 2 10 5
所以 f 5a f 3 f 1 2 .
5
2
故答案为：
5
17．（1）1；（2）偶函数，证明见解析.
2 2
【解析】（1）依题意， f x g x f x f x g x g x f x x f 0 1 .
（2 2 2）由（1）知 f 0 g 0 1，
∴ g 2 0 f 2 0 1 0，即 g 0 0，
∴ f x f 0 x f 0 f x g 0 g x f x ，
又因为 f x 的定义域为R ，
所以函数 f x 为偶函数.
18．（1） f (0) 0， f ( 2) 4；（2） ( ,
3
] (1 , )（答案不唯一）.
2 2
【解析】（1）由 f (x y) f (x) f (y)，令 x y 0，得 f (0) 2 f (0)，所以 f (0) 0，
令 x 1, y 1，得 f (0) f (1) f ( 1)，因为 f (1) 2，所以 f ( 1) 2，
令 x y 1，得 f ( 2) f ( 1) f ( 1) 4，
（2）答案不唯一，例如： f (x) 2x满足条件.
f (2x 1)
1 2(2x 1) 1 2(2x 1) 2x 3由 ，得 1 0f (x) 1 ，2x 1 2x 1 2x 1
3 1
解得： x 或 x ，
2 2
故解集为 ( ,
3
] (1 , )
2 2
19．证明见解析
【解析】∵ f (x) 是定义在R 上的奇函数，
∴ f ( x) f (x) ，
∵ y f (x) 的图象关于直线 x a（ a 0，为常数）对称，
所以 f (a x) f (a x)，
∴ f (2a x) f [a (a x)] f [a (a x)] f ( x) f (x) .
从而 f (4a x) f (2a x) f (x) .
∴ f (x) 是周期函数，且周期为 4a .
20．（1）0；（2）证明见解析，正周期为 24；（3）证明见解析．
【解析】（1）因为 f (x) 满足 y f (x 1)为 R 上奇函数，所以 f (1 x) f (1 x)，所以
f ( x) f (x 2) 0，
又因为 f (x) 满足 y f (x 1)为 R 上偶函数，所以 f ( x 1) f (x 1) ，所以 f ( x) f (x 2)，
所以有 f (x 2) f (x 2) 0 ，所以 f (x 2) f (x 2) ，所以 f (x 4) f (x)，所以
f (x 8) f (x 4) f (x)，所以 f (x) 的一个周期为8，
所以 f ( 3) f (5) 2 f (5)，
在 f ( x) f (x 2) 0中令 x 1，得 f (1) f (1) 0，所以 f (1) 0，
在 f (x 4) f (x)中令 x 1，得 f (5) f (1) ，所以 f (5) f (1) 0，
所以 f ( 3) f (5) 0 ；
1
（2）因为 g(x 3) g(x) g 2 (x)
1
，
2 2
所以 g(x
1
6) g(x 3) g 2 (x 3) 1 g(x 3) 1 g(x 3)
2 2
因为 g(x 3) 1 g(x 3) 1 g(x)
1
g 2 (x) 1 g(x) g
2 (x)
2 2
1
g(x) g 2 (x)
4
2
g(x)
1
，
2
2
所以 g(x 6) 1 1 1 1 g(x) g(x) g(x)，所以函数 g(x)的一个周期为6，2 2 2 2
因为 h(x) f (x) g(x)，
所以 h(x 24) f (x 8 3) g(x 6 4) f (x) g(x) h(x)，所以 h(x) 是周期函数，一个正周期为 24；
b b
（3）充分性：当 x1 x2 时， xa 1
x2 ，a
2
b b b
此时 f x1 f x2 a x

2 b

x

2 c ax
2
2 bx2 c f x2 ，
a a a
所以充分性满足；
必要性：因为二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0)的广义周期为 k(x) ，
所以 f (k(x)) f (x) ，所以 a(k(x))2 bk(x) c ax2 bx c，
2 2
所以 a k (x) x b[k(x) x] 0，
b
又因为 k(x) x 不恒成立，所以 a[k(x) x] b 0，所以 k(x) x a ，
又因为 f x1 f x2 ，且 f k x1 f x1 ，所以 f k x1 f x2 ，
因为 x1 x2 ，所以 k(x1) x x
b b
2 1 x2 ，a a
所以 k x1 x x
b
2 ，即 1 x
b
2，也即 x1 x2 ，a a
所以必要性满足．
b
所以：对任意的 x1, x2 R ， x1 x2 ， f x1 f x2 成立的充要条件是 x1 x2 ．a

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