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19.1.2 函数的图像
第十九章 一次函数
创设情境
　　我们知道，以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标可以画出函数的图象。如果知道一个点的坐标，怎样判断这个点是否在函数图象上？
（1）判断下列各点是否在函数 的图象上？
①（-0.5，1）； ②（1.5，4）．
（2）判断下列各点是否在函数 的图象上？
①（2，3）；②（4，2）．
方法：把点的横坐标（即自变量x）的取值代入解析式求出相应的函数值y值，看是否等于该点的纵坐标，如果等于，则该点在函数图象上；如果不等于，则该点不在函数图象上.
探索新知
一.实际问题中的函数图象
-3
O
4
14
24
8
T/℃
t/时
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T随时间t的变化而变化.你能从图中得到哪些信息？
（1）从这个函数图象可知：这一天中 时气温最低（ ）, 气温最高（ ）;
4
-3℃
14时
8℃
（2）从 至 气温呈下降状态，从4时至 14时气温呈上升状态，从 至 气温又呈下降状态.
0时
4时
14时
24时
-3
O
4
14
24
8
T/℃
t/时
【例1】下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x 表示时间，y 表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
根据图象回答下列问题：
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
（2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？
（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
（4）小明读报用了多长时间？
（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
分
析
根据图象回答问题：
(1)图象上点的纵坐标表示： ；横坐标表示： .
小明离家的时间
小明离家的距离
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
(2)小明的活动时间可以分为5个过程，分别是： ， ，
， ， .
小明从家到食堂
吃早餐
从食堂到图书馆
在图书馆读报
从图书馆回家
解
答
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
食堂离小明家0.6km；小明从家到食堂用了8min.
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
(2)小明吃早餐用了多长时间？
25-8=17 小明吃早餐用了17min.
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
0.8-0.6=0.2 食堂离图书馆0.2km.
28-25=3 小明从食堂到图书馆用了3min.
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（4）小明读报用了多长时间？
58-28=30 小明读报用了30min.
(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
由纵坐标可得，图书馆离小明家0.8km.
68-58=10；0.8÷10=0.08
小明回家的平均速度为0.08km/min.
用图象来解决例题中的5个问题有什么优点？
函数图象上的所有点与函数关系式中的两个变量的关系是一一对应的，它能使函数关系更直观，在解决一些用函数关系式很难表示的函数关系中很实用.
二.函数的表示方法
解析式法
知识点 1
定义：用解析式来表示函数关系的方法叫做解析式法.
【例2】一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余油量为y(升)，行驶路程为x(千米)．(1)写出y与x的关系式；(2)这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？(3)这辆车在中途不加油的情况下，最远能行驶多少千米？
【解答】(1)由题意，得y＝－0.6x＋48.(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升．当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米．(3)令y＝0，即－0.6x＋48＝0，解得x＝80，即这辆车在中途不加油的情况下，最远能行驶80 km.
解析式法简单明了，能够准确的反映整个变化过程中自变量与函数之间的对应关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示，如气温与时间的函数关系.
思考1：用解析式法表示函数有什么优缺点？
1.函数解析式是一个等式；
2.是用含自变量的式子表示函数；
3.要确定自变量的取值范围.
思考2：用解析式法表示函数时需要注意什么？
列表法
知识点 2
定义：用表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
列表法一目了然，使用起来比较方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律.
思考：用列表法表示函数有什么优缺点？
【例4】有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题：
质　量(克) 1 2 3 4 …
伸长量(厘米) 0.5 1 1.5 2 …
总长度(厘米) 10.5 11 11.5 12 …
(1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？(2)当所挂重物为x(克)时，用h(厘米)表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量．
【解答】(1)5÷0.5×1＝10(克)，即要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克．(2)h＝10＋0.5x(0≤x≤50)．(3)令10＋0.5x＝25，解得x＝30，即当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．
图象法
知识点 3
定义：用图象来表示函数关系的方法叫做图象法.
图象法形象直观，但只能近似的表达两个变量之间的函数关系.
思考：用图象法表示函数有什么优缺点？
【例3】如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的关系，请根据图象回答下列问题：
(1)汽车一共行驶的路程是多少？(2)汽车在行驶途中停留了多长时间？(3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？
【解答】(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)．(2)由横坐标看出2－1.5＝0.5(小时)，故汽车在行驶途中停留了0.5小时．(3)①由纵坐标看出汽车到达B点时的路程是80千米，由横坐标看出到达B点所用的时间是1.5小时，由此算出平均速度80÷1.5＝ (千米/时)；②由纵坐标看出汽车从B到C没动，此时速度为0千米/时；③由横坐标看出汽车从C到D用时3－2＝1(小时)，从纵坐标看出行驶了120－80＝40(千米)，故此时的平均速度为40÷1＝40(千米/时)；④由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米，由横坐标看出用时4.5－3＝1.5(小时)，由此算出平均速度120÷1.5＝80(千米/时)．(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5(小时)，返回用了1.5小时．
课堂小结
表示方法 优点 缺点
解析式法
列表法
图象法
能准确地反映整个变化过程中两个变量间的关系
有些实际问题不一定能用解析式表示
由表中已有自变量的每一个值可以直接得出相应的函数值
自变量的值不能一一列出，也不容易看出自变量与函数之间的对应关系
能直观、形象地表达函数关系
观察图象只能得到近似的数量关系

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