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2023年江苏省无锡市梁溪区中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数比小的数是( )
A. B. C. D.
2. 函数中自变量的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
5. 点在反比例函数的图象上，垂直于轴，垂足为，垂直于轴，垂足为则矩形的面积是( )
A. B. C. D.
6. 下列调查适合用普查方式的是( )
A. 某品牌灯泡的使用寿命 B. 全班学生最喜爱的体育运动项目
C. 长江中现有鱼的种类 D. 全市学生的家庭周内丢弃塑料袋的数量
7. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 等腰三角形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 直角三角形
8. 如图，七巧板是我国民间流传最广的一种传统智力玩具，也被西方称为“东方魔板”，它是由正方形分割成七块板组成若这个正方形的面积为，则图中两块面积之和为的是( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，四边形中，，，若，则的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
10. 小明在数学实践活动中尝试做一个无盖的长方体纸盒他把一张长为，宽为的矩形纸板分割成个矩形纸板，他用其中个作为底面，其余个作为侧面，恰好能做成这个纸盒，则这个纸盒的侧面高不可能是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 分解因式： ______ ．
12. 福建舰舷号：是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，满载排水量约为吨数据用科学记数法表示是______ ．
13. 把一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到的新图象对应的函数表达式是______ ．
14. 有些真命题的逆命题也是真命题，在你学过的命题中，请写出一个这样的命题：______ ．
15. 如图，已知是外接圆的直径，，则的度数是______．
16. 如图，在平行四边形中，，交于点，则：的比值是______ ．
17. 如图，这是著名的“赵爽弦图”，我国古代数学家赵爽利用它证明了勾股定理它是由四个全等的直角三角形拼成得到正方形与正方形连接，若恰好被平分，已知，则正方形的面积是______ ，正方形的面积是______ ．
18. 已知点，都在二次函数的图象上设函数图象的顶点横坐标为，当时，的值是______ ；当时，的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
解方程：；
解不等式组：．
21. 本小题分
如图，中，，，，垂足为．
若，求的度数；
若，求证：≌．
22. 本小题分
如图，在一个的棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内继续随机放入棋子每一方格内最多放入一枚棋子，如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”．
如果随机放入枚棋子，出现“三连珠”的概率是______ ．
如果随机放入枚棋子，求棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程
23. 本小题分
甲、乙两名射箭爱好者进行了一次射箭比赛，他们次射箭的成绩如下单位：环：
第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次
甲
乙
将上面的两组数据分别绘制成折线统计图：
根据你所学的统计知识，请你利用数据对甲、乙的射箭成绩做出比较与评价．
24. 本小题分
已知函数为常数．
当时，设函数图象与轴交于，两点在左侧，与轴交于点请判断的形状并说明理由；
证明：无论取何值，函数图象与轴一定有交点．
25. 本小题分
如图，在中，，分别为半径，弦的中点，连接并延长，交过点的切线于点．
求证：；
若，，求半径的长．
26. 本小题分
春夏之交正是农业用水高峰期，某地水利站有，两台泵机实施调水作业如果单开泵机，可以正好在预定时间内完成，总费用为元；如果单开泵机，则要比预定时间多天，总费用为元水利站经过测算，如果，两台泵机同时开启天，然后由泵机单独完成余下的调水作业，这样也能正好在预定时间内完成．
，两台泵机平均每天费用分别是多少元？
水利站接到上级部门要求提前天完成调水作业，请问如何安排两台泵机作业才能完成任务？花费最少是多少元？注：不足一天按照一天计算费用
27. 本小题分
如图，已知二次函数的图象交轴于点，作平行于轴，交函数图象于另一点点在第一象限作垂直于轴，垂足为，点在上，且点是线段上的动点点除外，将沿翻折得到．
当时，若点到轴的距离为，求此时二次函数的表达式；
若点在上有且只有一个位置，使得点到轴的距离为，求的取值范围．
28. 本小题分
数学实验室：有一个直角三角形纸板，，，小明计划以三角形的一条边为直径所在的边，先剪出一个最大的半圆，用这个半圆围成一个圆锥的侧面，然后在剩下的纸板上再剪出一个完整的圆，用这个圆作为圆锥的底面圆如图，小明首先以斜边为直径所在的边进行尝试，发现无法实现他的计划，他打算换成直角边来继续实验．
请你在图中，任选一条直角边为直径所在的边，帮小明画出一个最大的半圆请使用无刻度的直尺和圆规完成作图；
如果小明按照你选的直角边继续往下操作，他能否顺利得到这个圆锥的底面圆？如果能，请说明理由；如果不能，那么换另一条直角边能否实现？同样请说明理由友情提醒：请利用图完成题的解答
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
比小的数是，
故选：．
根据有理数的大小比较法则比较即可．
本题考查了有理数的比较大小，注意绝对值越大的负数的值越小是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：函数中，
所以，
故选：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3.【答案】
【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，幂的乘法运算法则，同底数幂的乘除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：
，
故选：．
先通分，再进行分式的加减运算．
本题考查分式的加减运算．掌握分式加减运算法则是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设点的坐标为，
则，，
把点的坐标代入函数解析式，得：，
矩形的面积是：，
故选：．
设点的坐标为，可求得，，再根据矩形的面积公式，即可求解．
本题考查了利用反比例函数的系数求面积，熟练掌握和运用利用反比例函数的系数求面积的方法是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：该选项如果进行普查，那么全部灯泡作废，所以只适宜抽样调查，故此选项不符合题意；
B.该选项适宜普查；
C.该选项如果进行普查，所需人力、物力、时间和经费较多，难度大，所以只适宜抽样调查，故此选项不符合题意；
D.该选项如果进行普查，所需人力、物力和时间较多，所以只适宜抽样调查，故此选项不符合题意．
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．掌握普查和抽样调查是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
【解答】
解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C、不一定是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、不一定是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：正方形的面积为，
正方形的边长为．
对角线的长为，
的直角边长为，
在对角线上的边长为，
的斜边为，
的直角边长为，
，
，
，
，
面积之和为的是，，，．
故选：．
分别求出各部分的面积即可求解．
本题考查了正方形的性质，算术平方根的意义，以及勾股定理等知识，求出各部分的面积是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，
，，
为等边三角形，
，，
，，
，
以为边作等边，如图，连接，，则，
为中点，
，
，
，
，
，，
，，
≌，
，
，
当且仅当过点时，最长，此时，故A正确．
故选：．
根据题意可得，再根据直角三角形斜边中线的性质解得，以为边作等边，连接，，由勾股定理解得的长，继而证明≌，由全等三角形对应边相等得到，最后根据三角形三边关系即可求解．
本题考查直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，涉及直角三角形斜边的中线、勾股股定理、三角形三边关系等知识，掌握相关知识是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：根据题意可得，有种分割方法，
设侧面的高为厘米，底面的长为厘米，底面的宽为厘米，
如图，，解得；
如图，，解得；
如图，，
解得；
如图，，
解得，，．
侧面高不可能是．
故选：．
根据题意可画出草图，将大矩形分为个小矩形，其中个为底面，其余个为侧面，要求满足可拼成一个无盖的长方体，经分析绘图，发现有种情况，设侧面的高为厘米，底面的长为厘米，底面的宽为厘米，根据草图分别列出三元一次方程据，解出侧面高可能的值，即可得到答案．
本题考查了三元一次方程组的应用，分类讨论是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
提取公因式，即可完成因式分解．
本题主要考查了提公因式法因式分解，正确提取公因式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为，其中是关键．
13.【答案】
【解析】解：将一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度，所得图象对应的函数关系式为，
故答案为：．
根据函数图象上下平移的规律可求得答案．
本题主要考查函数图象的平移，掌握函数图象平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
14.【答案】两直线平行，同位角相等答案不唯一
【解析】解：两直线平行，同位角相等是真命题，它的逆命题为：同位角相等，两直线平行也是真命题．
故答案为：两直线平行，同位角相等答案不唯一．
根据学过的真命题解答即可．
本题考查了命题与定理，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做另一个命题的逆命题．
15.【答案】
【解析】解：是外接圆的直径，
，
．
故答案为．
先根据圆周角定理得到，然后利用互余求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
16.【答案】：
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
：：．
，
：：，
：：．
故答案为：：．
证明∽，然后利用相似三角形的性质即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明∽是解答本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：设交、于点、，如图，
四边形为正方形，
，，，
，
；
根据题意，、、与为四个全等的直角三角形，
，，
，
，
≌，
，
平分，
，
又，，
≌，
，
设，则，
，
，，
∽，
，即，
解得或舍去，
经检验，是该分式方程的解，
，
在中，，
．
故答案为：，．
根据正方形的面积公式可求得正方形的面积；结合题意，证明≌，≌，由全等三角形的性质可得，，设，则，证明∽，可得，代入并求值，然后在中由勾股定理可得，即可获得答案．
本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
18.【答案】
【解析】解：当时，
，
解得：；
当时，
点，在图象上，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
解得：，
．
故答案为：，．
根据到对称轴距离相等的点的纵坐标相等，进行计算即可；分别表示出、，根据进行计算即可．
本题考查了二次函数的基本性质，理解其基本性质是解题的关键
19.【答案】解：
；
．
【解析】先根据二次根式的性质、负整数指数幂和特殊角三角函数值将原式化简，再进行加减运算即可；
先用完全平方公式、单项式乘多项式的法则将原式展开，再合并同类项即可．
本题考查实数的运算和整式的混合运算．掌握二次根式的性质、负整数指数幂、特殊角三角函数值、完全平方公式和单项式乘多项式运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：，
，，，
，
，
该方程的解为；
，
解不等式，可得 ，
解不等式，可得 ，
所以，该不等式组的解集为．
【解析】利用公式法解该一元二次方程即可；
分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定解不等式组的解集即可．
本题主要考查了解一元二次方程以及解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算方法和步骤是解题关键．
21.【答案】解：，
；
证明：在和中，
，
≌．
【解析】首先根据平行线的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余即可求出的度数；
直接利用证明即可．
此题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
22.【答案】
【解析】解：棋盘内已有四枚棋子，在剩余的个方格内随机放入一枚棋子，能出现“三连珠”的位置是、、、四个位置，
出现“三连珠”的概率是．
故答案为：．
画树状图如图：
共有个等可能的结果，棋盘内同时出现三个“三连珠”的有、、、，共个结果，
棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率为．
棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有个等可能的结果，棋盘内同时出现三个“三连珠”的结果有个，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：如图，
甲的中位数是，
甲的众数是，
甲的平均数是，
甲的方差是．
乙的中位数是，
乙的众数是，
乙的平均数是，
乙的方差是．
从中位数、众数和平均数看乙的成绩比甲的成绩好，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定．
【解析】根据描点，连线的步骤画图即可；
分别求出中位数、众数、平均数、方差，然后比较即可．
本题考查了折线统计图，中位数，众数，平均数，方差的知识，求出甲和乙的中位数、众数、平均数、方差是解答本题的关键．
24.【答案】解：为等腰直角三角形，理由如下：
对于函数，当时，
可有，
当时，，即，
当时，有，解得，，
又在左侧，
，，
，
，，
，
，，
，
同理，
，
又，
为等腰直角三角形；
当时，此时函数为为一次函数，
令，则，即此时一次函数图象与轴交点为；
当时，此时函数为二次函数，
令，有解即可，
即有解，
，
有解．
综上所述，无论取何值，函数图象与轴一定有交点．
【解析】当时，分别求得，，，借助勾股定理可得，再证明，即可获得答案；
分情况讨论：当时，此时函数为，为一次函数，与轴交点为；当时，此时函数为二次函数，令时，可有，由一元二次方程的根的判别式分析判断即可．
本题主要考查了二次函数的图象与坐标轴交点、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．
25.【答案】证明：连接，
是的切线，
，
，
，分别为半径，弦的中点，
为的中位线．
，
，
；
解：如图．连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则，
，
解得：，
，
即半径的长为．
【解析】连接，根据切线的性质得出，根据三角形的中位线求出，即可求出答案；
解直角三角形求出，连接，根据平行线得出，解直角三角形求出，即可得出答案．
本题考查了解直角三角形，切线的性质，平行线的性质，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
26.【答案】解：设预定完成工作任务的时间为天，则单开泵机需要天完成，单开泵机需要天完成，
由题意可得 ，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
所以，泵机平均每天费用是元
泵机平均每天费用是元；
设泵机工作天，泵机工作天其中，总费用为元，
由题意可得，，
，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为元，
此时天，
泵机工作天，泵机工作天，总费用为最少为元．
【解析】设预定完成工作任务的时间为天，则单开泵机需要天完成，单开泵机需要天完成，由题意列分式方程并求解，即可获得答案；
设泵机工作天，泵机工作天其中，总费用为元，由题意可得，，整理可得，结合一次函数的性质即可获得答案．
本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解题关键．
27.【答案】解：作于，
二次函数的图象交轴于点，
当时，，
，，
又平行于轴，垂直于轴，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，
，
在中，
，
点到轴的距离为，
，
当点在轴右侧时，
，
，
点在二次函数的图象上，
，
解得：，
，
当点在轴左侧时，此时与重合，
，
，
点在二次函数的图象上，
，
解得：，
，
综上所述，二次函数的表达式为或．
如图 ，当点在轴上方时，
过点作，分别交、轴于点、，作，垂足为，
四边形和四边形是矩形，
，，，
点到轴的距离为，
，
，
，
沿翻折得到，
，，
在中，
，
在和中，
，，
，
又，
∽，
，即，
，
，
如图 ，当点在轴下方时，
过点作，作，垂足为，延长交于点，
四边形是矩形，
，，
点到轴的距离为，
，
，
，
沿翻折得到，
，，
在中，
，
在和中，
，，
，
又，
∽，
，即，
，
点在上有且只有一个位置，
，
平行于轴，且，
当时，，
解得：，，
，
，
，
．
的取值范围是．
【解析】作于，先确定，根据矩形的性质可得，可得出，利用锐角三角函数求出，根据翻折的性质得到，，利用三角函数求出，根据已知可得，然后分两种情况：点在轴右侧时和点在轴左侧时，分别确定点的坐标即可得出结论；
分两种情况讨论：当点在轴上方时，当点在轴下方时，即可得解．
本题是二次函数与特殊四边形的综合题，考查了折叠的性质，图象上点的坐标特征及二次函数图象的性质，待定系数法确定函数解析式，矩形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理定理及直角三角形的性质等知识点．运用了分类讨论和数形结合的思想．通过作辅助线构造相似三角形的是解题的关键．
28.【答案】解：选择直角边为直径所在的边，
如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；连接，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点，交于点，点即为圆心．
如图，连接，设半圆的半径为，
，，，
，
由作图可知，与、相切于点、，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
这个半圆的弧长为：，
圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的扇形的弧长，
圆锥底面圆的周长为，
底面圆的半径为，
在中，，
记半圆与交于点，剩下部分切出底面圆，分别与、相切于点、，设的半径为，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
不能实现；
选择直角边为直径所在的边，设半圆的半径为，
如图，与、相切于点、，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
这个半圆的弧长为：，
圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的扇形的弧长，
圆锥底面圆的周长为，
底面圆的半径为，
在中，，
记半圆与交于点，剩下部分切出底面圆，分别与、相切于点、，设的半径为，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
可以实现．
【解析】如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；连接，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点，交于点，点即为圆心．
分两种情况：选择直角边为直径所在的边，连接，利用∽，求出的半径长，继而求得底面圆的半径长，在剩下的纸板上再剪出一个最大的圆，利用相似三角形的相关性质，可以求出该圆的半径，若该半径大于底面圆的半径长，则可以实现，反之，则不能；按同样的方法说明选择直角边为直径所在的边的情况．
本题考查作图应用与设计作图，考查了尺规作图，切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握切线的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
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