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8.6.2 直线与平面垂直
(第1课时)
复习导入
直线与平面有三种位置关系：
直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交．
对于空间直线、平面的平行，
研究的内容及思路是：
研究的内容和思路是：
研究的方法是：
今天我们研究学习:直线与平面相交，先研究其中的特殊情况——
线线平行→线面平行→面面平行
定义→判定→性质
直观感知→操作确认→归纳概括→思辨论证
垂直.
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面，门轴所在直线与地面的位置关系，长方体的侧棱与底面等，都给我们以直线与平面垂直的形象．
问题1：类比直线与平面平行、平面与平面平行的定义，都是利用直线、平面及组成元素的关系来刻画直线、平面的位置关系，那么你认为该如何刻画直线与平面垂直呢？
新知探索
生活中给我们以直线与平面垂直的实例有很多，比如旗杆、门轴等，那么同学们能将其数学化，用数学的语言来表示这些实例吗？
图1
图2
新知探索
新知探索
如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC．随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？
A
B
新知探索
A
B
新知探索
A
B
新知探索
A
B
新知探索
A
B
新知探索
A
B
新知探索
A
B
新知探索
A
B
新知探索
C1
B1
A
B
所在直线 地面内任意一条直线
新知探索
师生活动：(2)对于实例2,追问：门轴所在直线与地面内任何一条直线垂直吗？
图2
通过以上两个实例，你能用简洁的语言给出直线与平面垂直的定义吗？
新知探索
一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足.
直线与平面垂直的定义中，“任意”能改为“无数”吗？也就是说，如果直线与平面内无数条直线垂直，能说直线与平面垂直吗？
任意直线 所有直线 无数条直线.
新知探索
你能用图形语言、符号语言来刻画直线与平面垂直吗？如何画图比较直观？你能用符号语言表示直线与平面垂直的定义吗？
平面的垂线
直线的垂面
垂足
新知探索
问题2：我们知道，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？过一点垂直于已知直线的平面有多少个？
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条;
过一点垂直于已知直线的平面只有一个．
新知探索
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
点到平面的距离：　
棱锥的高=棱锥的顶点到底面的距离
如图，⊥平面，为垂足，线段的长度即为点到平面的距离.
新知探索
问题3：根据定义判断线面垂直方便吗？
类比直线与平面、平面与平面平行的判定定理.
为便于判定，我们能否通过检验直线与平面内较少直线的位置关系来判定直线与平面垂直？如果可以，能减少到几条？
探究活动：
如图7，准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（，与桌面接触）．
新知探索
思考：①折痕AD与桌面垂直吗？
不垂直.
②如何翻折才能使折痕AD与桌面肯定垂直 请同学展示一下．
新知探索
③把上述各图都有折痕垂直于桌面的特征，那么各图中，关于折痕和桌面还有哪些共同特征？（寻找不同图形中不变的是什么？寻找变化中的不变性）
折痕与桌面内的两条相交直线都垂直．
满足什么条件就能保证直线与平面垂直？
新知探索
如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么该直线与平面垂直．
1.两相交直线的交点必须在垂足吗？
3.两条平行直线也能确定一个平面，“两条相交直线”能改为“两条平行直线”吗？
2.为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直？
4.你能从向量的角度解释吗？
新知探索
你能从向量的角度解释吗？
平面向量基本定理：平面内任意一个向量可以用平面内两个不共线的向量来表示，因此两条相交直线可以看成两个不共线向量可以表示平面内的任意一条直线；而两条平行直线代表共线向量，不能表示平面上的任意直线．
5.在上述“观察—探究”的基础上，请同学们尝试用三种语言写出线面垂直的判定定理；你能举例说明它在日常生活中的应用吗？
新知探索
判定定理　如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
符号语言 图形语言
定理说明：可以利用线线垂直，得到线面垂直，体现了转化的数学思想，空间问题的降维思想；实现了将无限问题有限化．
线线垂直
线面垂直
例析
例3.求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
结合已知与求证，你认为证明此问题的依据有哪些？
直线与平面垂直的定义
直线与平面垂直的判定定理
如图，已知，，求证：.
∴
例析
证明：在平面内作两条相交直线
线面垂直→线线垂直
线线垂直→线面垂直
例3. 如图，已知，，求证：.
∵，根据直线与平面垂直的定义知：
又∵，∴
即
问题4:直线与平面相交时，直线与平面垂直是一种特殊情况，当它们不垂直时， 可以发现，不同的直线与平面相交的情况是不同的，类比异面直线，如何刻画这种不同呢？
斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段.
线段叫这点到这个平面的垂线段.
Ａ
Ｐ
Ｏ
斜线
垂线
斜线在平面上的射影
斜足
垂足
新知探索
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线和平面的夹角). 简称线面角.
思考：1.改变的位置，的大小改变吗？为什么？
2.如果是平面内任意一条不与直线重合的直线，那么直线与所成的角（记作）和直线与这个平面所成的角（记作）两角的大小关系如何？
斜线上一点和斜足间的线段PA叫这点到这个平面的斜线段.
线段PO叫这点到这个平面的垂线段.
Ａ
Ｐ
Ｏ
斜线
垂线
斜线在平面上的射影
斜足
垂足
新知探索
新知探索
①观看小视频，并利用两支笔及桌面模仿视频旋转射影所在的笔半周，直观发现有何关系？
②如果在平面内平移直线至,则直线与所成的角与的大小关系又是什么样呢？
PA与直线AB所成的角大于直线PA与这个平面所成的角．
平面的斜线与平面内所有直线所成的角中，斜线与平面所成的角最小．
新知探索
新知探索
直线与平面所成的角的取值范围 ：
一条平面的斜线与所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°；
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；
一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°．
综上，直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．
例析
例4.如图，在正方体-中，
(1)分别写出下列直线与平面所成的角:
①直线与平面; ②直线与平面; ③直线与平面.
例析
例4.如图，在正方体-中，
(2)求直线与平面所成的角．
解：连接，与相交于点，连接.设正方体的棱长为
∵
∴平面.
∴.
又∵
∴平面.
例析
例4.如图，在正方体-中，
(2)求直线与平面所成的角．
∴为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角.
在中，，，
∴.
∴.
∴直线与平面所成的角为.
课堂小结
1.直线与平面垂直的定义及有关概念
定义 一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面垂直，记作.
有关 概念 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足.
图示
性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条;
过一点垂直于已知直线的平面只有一个．
垂线段 与点 面距 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
课堂小结
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么该直线与平面垂直．
图形语言
符号语言
课堂小结
3.直线和平面所成角的定义及有关概念
有关概念 对应图形
斜线：一条直线与平面，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线. 斜足：斜线和平面的交点叫做斜足.

射影：过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.
课堂小结
3.直线和平面所成角的定义及有关概念
直线与平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线和平面的夹角). 简称线面角.
规定 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.
范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤≤90°
作业
(1)梳理本节课所学内容；
(2)课本P152的练习1——4题.

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