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【挑战满分】压轴小题 1：函数与导数
一、单选题
1. 已知函数 f x 2 x 5 ex ， g x 1 x3 2x2 a，若 f x g x 对 x R 恒成立，则 a的取值
3
范围是（ ）
32
A． 2e4 , B． 3e,

3



C． 4e2
32
, D． 6e,

3
2. f x f x x x 0, x x f x2 f x1 已知函数满足 ，且对任意的 ， ， ，都有 3，
1 2 1 2 x x
2 1
f 1 3030，则满足不等式 f x 2019 3 x 1010 的 x的取值范围是（ ）
A． x 2021 B． x 2020
C． x 1011 D． x 1010
2 1 f x1
3．已知 f x x 1 a ln x 在 , 上恰有两个极值点 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ，则 的取值范围
4 x2
为（ ）
1
A． 3,
1
ln 2 ln 2,1 B．

2 2

C． ,
1 ln 2 1 3 D． ln 2, ln 2
2 2 4


4. 已知函数 f x x ln x 1 ， g x x ln x，若 f x 1 2 ln t， g x t 2 ，则 x x x ln t
1 2 1 2 2
的最小值为（ ）．
1 2 1 1
A. B． C． D．
e2 e 2e e
5. 已知 a 0，不等式 xa 1 ex a ln x 0对任意的实数 x 1都成立，则实数 a的最小值为（ ）
e 1
A. e2 B. e C. D.
2 e
6. 已知函数 f x aex x a R 有两个零点 x ， x ，且 x x 则下列结论中不正确的是（ ）
1 2 1 2
A．0
1
a B．0 x 1 C． x x 2 D． ln x x ln x x
e 1 1 2 1 1 2 2
7. 若对任意 x 0, ，不等式 2e2x a ln a a ln x 0恒成立，则实数 a的最大值为（ ）
A. e B． e C． 2e D． e2
4e3x ex , x a
8. 设 a,b R ，已知函数 f (x) ， g x f x b ， h x f f x b，记函数
x, x a
g x 和 h x 的零点个数分别是M ， N ，则（ ）
A. 若N 3，则 M 2 B. 若M 2，则 N 3
C．若 N 2，则 M 1 D．若 M 1，则 N 2
1
9．已知函数 f（x）＝﹣x3+1+a（ x≤e，e是自然对数的底）与 g（x）＝3lnx的图象上存在关于 x轴对
e
称的点，则实数 a的取值范围是（ ）
1
A．[0，e3﹣4] B．[0， e3 2]
1
C．[ 3e3 2，e ﹣4] D．[e
3﹣4，+∞）
10. x已知e为自然对数的底数，定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 2e ，其中 f x 为 f x
的导函数，若 f 2 4e2 ，则 f x 2xex 的解集为（ ）
A． ,1 B． , 2 C． 1, D． 2,
11. 已知函数 f x x2 ax b(a, b R) 在区间 2, 3 上有零点，则 a2 ab的取值范围是
81 , 4 , 81 A． B．
C． 4,
81 D． ,
8 8 8
12. 已知函数 f x 9 ln x 2 a 3 x ln x 3 3 a x2 有三个不同的零点 x ， x ， x ，且
1 2 3
2
ln x ln x ln x
x1 1 x2 x3 ，则 3 1 3 2 3 3 的值为（ ）
x1 x2 x3
A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9
ln x , x 0
13. 已知函数 f x xe1 x x, x 0 ，若关于 的方程 f
2 (x) af ( x) a2 a 0有四个不等实根，

则实数 a的取值范围为（ ）
A． (0,1] B． , 1 1, C． ( , 1)∪{1} D． 1, 0 ∪ 1
8k 8
14. 若关于 x
x
的方程e * x k 2 恰有 3个不同的根，其中 k 1且 k N ，则 k的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
1
15. 已知函数 f (x) ex 3 ， g(x) ln
x
，若 f (m) g(n) 成立，则 n m的最小值为（ ）
2 2
A. 1 ln 2 B． ln 2 C． 2ln 2 D． ln 2 1
ln x
16. 已知函数 f ( x) = ，若 f 2 (x) mf (x) m 1 0仅有 3 个整数解，则实数m 的取值范围是（ ）
x
(ln5 1, ln 2A． 1)
ln5
B． ( 1,
ln 2
1]
5 2 5 2
[ln5 1, ln 2 ln5 ln 2C． 1] D．[ 1, 1)
5 2 5 2
17. 已知函数 f (x) x2 px q 对 p,q R，总有 x 0 [1,5]，使 f x0 m 成立，则m 的范围是
（ ）
, 5 A． B． ( , 2] C． ( ,3] D． ( , 4]
2
18. 已知函数 f (x) 2
x
, x 0， 若方程 f (x) x a 0恰有两个不相等的实数根，则实数 a的取值
log4 x, x 0
范围为（ ）
A．[ 1,0) B．[0, ) C．[1, ) D．[ 1, )
x2 2ax 2a, x 1 1
19. 已知 a R ，设函数 f x ，若关于 x的方程 f x x a恰有两个互异
ln x 1, x 1 4
的实数解，则实数 a的取值范围是（ ）
A． , 0 B． 5 2 6 , 8

5 2 5 2 5
C． , 0 6 , D． ,
,
8
6
8 4

1
20. 已知函数 f x 2x 1 1， g x x 2x a，若方程 f x g x 有 4 个不同的实数根 x 1，
x2， x3 ， x4（ x1A． 1, 4 B． 1, C． 0, 4 D． 0,1
1
21. x a a x 2 2已知函数 f x e e x a ln x 2 a 0 ，若 f x 有 2 个零点，则 a的取值范围是
2
（ ）
A． 0, e B 0, e2 ． C. e, D． 2 e ,
1 2
22. 已知定义域为(0, )的函数 f (x)满足 f (x) f (x) ，且 f (e) ， e为自然对数的底数，若
x x2 e
x f (x) x a关于 的不等式 2 0恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）
x x
A．[1, ) B．[2, )
e 2 e3 2e2 2
C． , D. , e e
23. 当 x>1时，函数 y=(lnx)2+alnx+1的图象在直线 y=x的下方，则实数 a的取值范围是（ ）
e2 5
A．(-∞，e) B．(-∞， )
2
e 5
C．(-∞ 4， ) D．(-∞，e-2)
2
24. 设 k 、b R，若关于 x的不等式ln x x k x 1 b在 0, ∞ 2k b 2上恒成立，则 的最小值
k 1
是（ ）
1A. e2 B. C. e 1 D. e 1e 1
2sinπx 1, x 0
1 x
25. 2已知函数 f x ， g x ，则关于 x的方程 f x g x 在区间 8,6
2sinπx 1, x 0 1 x
2
上的所有实根之和为（ ）
A． 10 B. 8 C. 6 D. 4
26．设函数 f x 的定义域为 R ，满足 f (x 2) 2 f (x)，且当 x 2,0 时， f (x) 2x(x 2)．若
3
对任意 x m, ，都有 f (x) ，则m 的取值范围是（ ）
4
2 3 1 3
A． , B． , C． , D． ,
3 4 2 2

27. 已知函数 f x x3 ax b， a、b R． x 、 x m, n 且满足 f x f n ， f f m ，
x
1 2 1 2
对任意的 x m, n 恒有 f m f x f n ，则当 a、b取不同的值时，（ ）
A. n 2x1 与 m 2x2 均为定值 B． n 2x1 与 m 2x2 均为定值
C． n 2x1 与 m 2x2 均为定值 D． n 2x1 与 m 2x2 均为定值
28. 已知定义域为 0, 6 的函数 y f x 的图象关于 x 3对称，当 x 0,3 时， f x ln x ，若方程
f x t 有四个不等实根 x ， x ， x ， x x x x x 时，都有 k x x 1 x2 x2 9 0 成立，
1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 2
则实数 k的最小值为（ ）
7 1 1 11
A. B． C． D．
24 3 2 3
1
29．已知 f (x)为奇函数，当 x [0,1]时， f (x) 1 2 x ，当 x ( , 1]， f (x) 1 e 1 x ，若关于
2
x的不等式 f (x m) f (x)恒成立，则实数 m的取值范围为（ ）
( ,1] , ln 2
1
A． B． 1, ln 2
1

2 2

1 , ln 2 C． D． ( , 2]
2
x 2
30. 已知两个实数M 、 N 满足M xex ln x x 1， N e ln x x在 x 0, 上均恒成立，
x
记M 、 N 的最大值分别为 a、b，那么
A. a b 2 B. a b 1 C. a b D. a b 1
二、多选题
31. 已知正项数列 a n a a a a 的首项为 2，前 项和为 S ，且 n 1 n n 1 n S a S
n n 1，2 n n n 1
b 1n ，数列 b 的前 n项和为T ，若T 16n n n ，则 n的值可以为（ ）a a 2
n n 1
A．543 B．542 C．546 D．544
32. 设 x R ，用 x 表示不大于 x 的最大整数，则 y x 称为高斯函数，也叫取整函数，下列结论正确
的是（ ）
A． a b a b a,b R
2
B． n 1 2 n n 1 2 n 1
0 n N


C． 4n 1 4n 2 4n 3 n N

x x 1 D． x 2 n 1 x nx n N
n n n
2
33 2f g(x)．已知 (x) 2m x 1 x 1， g(x) (m 2)e x
2 1 ．若 (x) ex f (x) x 有唯一的零点，e
则m的值可能为（ ）
A．2 B．3 C． 3 D． 4
34. 设函数 y f (x)的定义域为 D，若存在常数 a满足[﹣a，a] D，且对任意的 x1 [﹣a，a]，总存在 x2

[﹣a，a]，使得 f (x1) f ( x2 ) 1，称函数 f (x)为 P(a)函数，则下列结论中正确的有（ ）
A. 函数 f (x) 3x是 P(1)函数
B. 函数 f (x) x3 是 P(2)函数
C. 若函数 f (x) log12 (x t)是 P(2)函数，则 t=4
D. 若函数 f (x) tan x b

是 P( )函数，则 b= 2
4
log2 (x 1) , x 1
35. 已知函数 f (x) 2 ，若关于 x 的方程 f (x) m有四个不等实根 x1 ， x2 ， x3 ，
2( x 2) , x 1
x4 x1 x2 x3 x4 ，则下列结论正确的是（ ）
A．1 m 2 B． sin x1 cos x1 0
C． 4x3 x4 1 D． x2 x2 log 2的最小值为 101 2 m
36. 已知函数 f x sin ax a sin x ， x 0, 2π ，其中 a ln a 1，则下列说法中正确的是（ ）
f x a A. 若 只有一个零点，则 0, 1

B. 若 f x 只有一个零点，则 f x 0恒成立
C. 若 f x 只有两个零点，则 a 1,
3
2

a 1 3a 1
D. 若 f x 有且只有一个极值点 x ，则 f x π恒成立
0 0 2
log3 x , 0 x 937. 已知函数 f x π π ，若 f a f b f c f d ，且 a b c d ，2 sin , 9 x 17
4 x 4


则（ ）
A. ab 1
B. c d 26π
C. abcd的取值范围是 153,165
316
D. a b c d 的取值范围是 28,

9


1 2x 3 ,1 x 2

38. 已知函数 f (x) 1 x
f , x 2
，则下列说法正确的是（ ）
2 2
A. 若函数 y f (x) kx 有 4 个零点，则实数 k的取值范围为 1 , 1

24 6
1
B. 关于 x的方程 f (x)
2n 0(n N
*) 有 2n 4 个不同的解
C. 对于实数 x [1, )，不等式2xf (x) 3 0恒成立
D. 当 x [2n 1, 2n ](n N*)时，函数 f (x) 的图象与 x 轴围成的图形的面积为 1
39. 定义在(0, )
f (x)
上的函数 f (x)的导函数为 f (x)，且 f (x) ，则对任意 x 、 x (0, )，其中
x 1 2
x1 x2 ，则下列不等式中一定成立的有（ ）
x x
A． f x x f x f x B． f x f x 2 f x 1 f x
1 2 1 2
1 2 1 2 x x
1 2
C． f 2x1 2x1 f (1) D． f x1x 2 f x1 f x2
n
40. 我们知道，任何一个正实数 N 都可以表示成 N a 10 1 a 10, n Z .定义：
W N N的整数部分的位数, n 0, N 0 , n 0, 如：W 1.2 102 3，W 1.23 10 2， 的非有效数字 的个数
W 3 10 2 2，W 3.001 10 1 1，则下列说法正确的是（ ）
A．当 n 0，M 1， N 1时，W M N W M W N
B．当 n 0 时，W N n
C．若 N 2100 ， lg 2 0.301，则W N 31
D．当 k N 时，W 2k W 2 k
三、填空题
x x ex x x x x 0 x x
41. 若关于 的方程 ex
m 0有三个不相等的实数解 1， 2 ， 3 ，且 1 2 3 ，其中
x ex
2
x x x
m R， e 2.718为自然对数的底数，则 1 1 2 1 3 1 的值为
ex1 ex2 ex3
1 1 n
42. 对任意的 x ( , ) 2mx n，不等式 e x恒成立，则 的最小值为 .
m m m
43. 设定义在 D上的函数 y f x 在点 P x0 , f x0 处的切线方程为l : y g x ，当 x x0时，若
g x f x x2 0 在 D内恒成立，则称 P 点为函数 y f x 的“类对称中心点”，则函数 h x ln x的“类
x x0 2e
对称中心点”的坐标为 ．
44. 已知函数 f x 1 a 0 ，若对任意 x R ，存在 x 、 x2 使得
x2 a 1
f x1 f x2 f x x1 x2 ，则 a的最大值为 .
45. 已知函数 f (x) log2 x 2 2， x R ，若 θ 0 , π 使关于θ的不等式
1 x2
2x 1 2
f (2sinθ cosθ) f (4 2sinθ 2cosθ m) 2成立，则实数m的范围为 .
2
46. 已知不等式 ax ln x x a 1 x 1 0对任意 x 0恒成立，则实数a的取值范围是 ．
x 4, x 4 k
47. 已知函数 f x ．若存在正实数 k ，使得方程 f x 有三个互不相等的实根 x ， x ，

x 4, x 4 x
1 2
x3 ，则 x1 x2 x3 的取值范围是 ．
48. 设函数 f (x)在定义域(0, )上是单调函数，对 x (0, )， f f (x) ex x e若不等式
f (x) 1 ax对 x (0, )恒成立，则实数 a的取值范围是 ．
g(x) π 3x cos 2x 49. 已知函数 ln( x) 3，若 g(ax 2ex 2) 3在 x (0, )2 上恒 2 x 1
成立，则正实数 a的取值范围为 ．
50．定义在 R上的函数 f (x)满足 f (x) f (x 4), f ( x) f (x) 0且 f (0) 0 .当 x (0, 2]时，
f x 1 g(x) f (x) 2 π( ) 2 .则函数 sin x 在区间[ 6, 2]上所有的零点之和为 .x 3 4
【挑战满分】压轴小题 1：函数与导数
答案解析
1．A
【分析】
令 h x f x g x 2 x 5 ex
1
x3 2x2 a ，求导，分析导函数的正负，得所函
3
数的单调性和最值，由不等式恒成立思想可得选项．
【解析】
f x g x 2 x 5 ex 1令 h x x3 2x2 a ，则 h x x 4 2ex x ，
3
令 s x 2ex x，则 s x 2ex 1，令 s x 0 x ln 1，解得 ，令 s x 0，解得
2
x ln 1 ，
2
故 s x 1 1 在 , ln 上单调递减，在 ln , 2 2 上单调递增，故

s x 1 1 s ln 1 ln 0．
min
2

2
令 h x 0，解得 x 4，令 h x 0，解得 x 4 ，故 h x 在 , 4 上单调递减，在
h 4 2e4 32 32 4, 上单调递增，故 h x a 0，解得 a 2e4 ，
min 3 2
故选：A．
【小结】
不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数 a f x 恒成立( a f x 即可)或a f x 恒成立（ a f xmax min 即可）；
② 数形结合( y f x 图象在 y g x 上方即可)；
③ 讨论最值 f x 0 fmin 或 x 0max 恒成立.
2．B【分析】
f x2 f x1 f x2 3x2 f x3 1 3x 1可化为 0，构造函数，利用单调性获
x2 x1 x2 x1
【解析】
f x2 f x1 f x2 3x2 f x1 3x 3 1可化为 0，所以 f x 3x在 0,
x2 x1 x2 x1
上为增函数，
又 f x f x ，所以 f x 为奇函数，所以 f x 3x为奇函数，
所以 f x 3x在 R 上为增函数．因为 f x 2019 3 x 1010 ，
所以 f x 2019 3 x 2019 f 1 3 1，
所以 x 2019 1，即 x 2020
故选：B．
【小结】
f x2 f x1
关键点小结：本题的关键是把条件 3可化为
x2 x1
f x2 3x2 f x1 3x1
0 ，这是解决问题的突破口,这种结构往往是判定单调性，
x2 x1
所以把右边变成 0就顺理成章.
3．D
【分析】
1
由题意得导函数在区间 4 ,
3 1有两个零点，根据二次函数的性质可得 8 a 2，由根与

x1 x2 1 f x1
a 以及 1 x 3 ，求出 的表达式，将 x 用 x 表示，表系数的关系可得 x x 22 2 4 x 1
1 2 2 2
示为关于 x2 的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.
【解析】
由题意得 f x 2x 2
a
2x2 2x a x 0 ，
x x
令 f x 0，得 2x2 2x a 0，
1
由题意知 2x2 2x a 0在 , 上有两个根 x4 1
， x 2，

a 0,
1 2 1
∴ 2 2 a 0
3 a 1，得 ．
4 4 8 2

4 8a 0

x1 x2 a 1由根与系数的关系得 ，由求根公式得 x 2 4 8a 1 1 2ax x 1,2
，
4 2
1 2 2
3 1 1 3
∵ x x1 2 ，∴ x
1 1 2a
，∵ a ，∴ x ．
2 2 8 2 2 2 4
f x x 1 2 a ln x x2 2x x ln x
则 1 1 1 2 1 2 1 x 2 1 x ln 1 x
x2 x
2 2 2
2 x2
1
x 1 2 1 x ln 1 x 1 x
2 2 2 2
3
，
2 4
1 1
令 t 1 x2 ，则 t ．
4 2
设 g t t t 1 1 2 ln t 1 t ，则 g t 1 2 ln t ，
4
2
1 1
易知 g t 在 , 上单调递增，
4 2
∴ g t 1 2ln t 1 2ln 2 ln e 0，
4
1 1
∴当 t 时，函数 g t 为减函数，
4 2
g t 1 1 1 3 1 1 1 1∴ 2 ln 1 ln 2，且 g t 2 ln ln 1 ln 2，
4 4 4 4 2 2 2 2
f x1 1 3 ∴
x
ln 2, ln 2 ，
2 4
2
故选：D.
【小结】
关键点小结：（1）根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数 a的
取值范围，以及 x1与 x2之间的关系；
（2）将题意转化为关于 x2 的函数，构造出t 1 x2 ，利用导数判断单调性.
4．C
【分析】
1
由已知条件可推得t 2 (x 1)ex1 eln x2 ln x ，即有ln x x 1，结合目标式化简可得
1 2 2 1
x x x ln t t 2 ln t ，令 h(t) t 2 ln t ，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，
1 2 2
即为 x1x2 x2 ln t的最小值.
【解析】
由题意， f (x ) x ln(x 1) 1 2ln t ，得 x 1 ln(x 1) ln t 2 ，
1 1 1 1 1
x 1 2 2
∴ ln[(x 1)e 1 ] 1 ln t x1，即t (x1 1)e 0，1
又 g(x2 ) x2 ln x2 t 2 ，得t 2 eln x2 ln x 2 0
∵ y x ex在[0, )上单调递增，
∴综上知： ln x2 x1 1，
∴ x x x ln t x ln x ln t t2 ln t ，
1 2 2 2 2
令h(t) t2 ln t ， (t 0)，则 h (t) 2t ln t t
1
∴ h (t) 0
1
，得 t e 2 ； h
(t) 0 ，得 0 t e 2 ；
1 1
故 h(t) 在 (0,e 2 ) 上单调递减，在 (e 2 , )上单调递增.
1 1
∴ h(t)min h(e
2 ) ，
2e
故选：C
【小结】
关键点小结：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用
导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.
5．B
【分析】
首先不等式变形为 xex x a eln x
a
ln ， f x xex x 1 ，不等式等价于
f x f ln x a ，然后利用函数的单调性可得 x a ln x 对任意 x 1恒成立，再利用参
a x 变分离 恒成立，转化为求函数的最小值.
ln x
【解析】
不等式变形为 xex x a a ln x ，
xex
a
即 ln x a eln x ，设 f x xex x 1 ，
则不等式 xa 1 ex a ln x 0对任意的实数 x 1恒成立，
等价于 f x f ln x a 对任意 x 1恒成立，
f x x 1 ex 0，则 f x 在 1, 上单调递增，
x ln x a ，即 x a ln x对任意 x 1恒成立，
a x
x
恒成立，即 a ，
ln x ln x min
x g x ln x 1令 g x ，则
2 x 1ln x ，ln x
当1 x e 时， g x 0， g x 在 1,e 上单调递减，
当 x e时， g x 0 ， g x 在 e, 上单调递增，
x e时， g x 取得最小值 g e e ，
a e ，即 a e，
a 的最小值是 e .
故选：B
【小结】
本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，
a
本题的关键和难点是不等式的变形 xex ln x a eln x ，并能构造函数并转化为
f x f ln x a 对任意 x 1恒成立,属于难题.
6．D
【分析】
求出原函数的导函数，可知当 a 0时函数有极小值，求出极小值，再由极小值小于 0求解 a
的范围判断 A，分析函数两零点大于 0，代入原函数，可得 x1 aex1 ,x aex22 ，得到
lnx1 x1 lnx2 x2判断 D，由lnx1 x1 lnx2 x2 lna，设 g ( x) ln x x ln a，
则 x1, x2 为 g(x) 的两个零点，利用导数求解 x1的范围与 x1 x2 的范围判断 B 与 C
【解析】
f x aex解：由 x a R ，得 f ' x aex 1，
a 0 当 时， f ' x aex 1<0在 x R 上恒成立，此时 f (x) 在 R 上单调递减，不合题意；当
a 0 得 ，时，由 f ' (x) 0 x ln a
当 x ln a时， f ' (x) 0，则 f (x) 在 ( , ln a) 上单调递减；当x ln a 时， f ' (x) 0，则 f
(x) 在 ( ln a, ) 上单调递增，
所以当 x ln a 时，函数取得极小值为 f ( lna) ae lna lna lna 1，
因为当 x 时， f (x) ，当 x 时， f (x) ，
a 0 1
所以要使函数有两个零点，则 ，解得0 a ，故 A正确；
ln a 1 0 e
由 f (0) a 0，极小值点 x ln a 0，可得0 x1 x2，
因为 x , x 是函数 f (x)的两个零点，所以 x aex1 ,x aex2 ，
1 2 1 2
所以lnx1 lna x1,lnx2 lna x2，所以lnx1 x1 lnx2 x2，故 D不正确；
由 lnx1 x1 lnx2 x2 lna，设 g (x) ln x x ln a ，则 x1, x2 为 g(x)的两个零点，
由 g '(x)
1
1 1 x ，得 g(x)在 (0,1)上单调递增，在(1, )上单调递减，
x x
所以0 x1 1 x2 ，故 B 正确；
设 h(x) g (x) g (2 x), (0 x 1) ，则 h( x) ln x ln(2 x ) 2 2 x (0 x 1) ，
h' (x) 1 1 2 2(x 1) 2由于 0恒成立，则 h(x)在 (0,1)上单调递增，
x 2 x x(2 x)
因为h(x) h(1) 0，
所以 h(x1) g(x1) g(2 x1) 0，即 g(x1) g(2 x1)，得 g(x2 ) g(2 x1)，
因为 h(x)在 (1, )上单调递减， x2,2 x1(1, )，
所以 x2 2 x1，即 x1 x2 2，故 C 正确，
综上 D不正确
故选：D
【小结】
此题考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数求极值，考查数学转化思想，考查运算能
力，属于难题.
7．C
【分析】
令 f (x) 2e2x a ln a a ln x， x (0, )，即 f (x) min ≥0，利用导数研究函数 f (x)的
性质，由 f (x) 4e2x
a
递增，由零点存在定理知存在 x ，使 f x 0，则可得
x 0 0
a 4x e2x0 ， f (x) f x 2e2 x0 a ln a a ln x 0，代入 a 4x e2x0 ，得关于 x
0 min 0 0 0 0
2 x
的不等式2e 0 1 2x 1 2x 2x ln x2 ln 4 … 0，再构造函数，利用单调性求得 x
0 0 0 0 0
的取值范围，再由 a 4x e2x00 ，求得 a的最大值.
【解析】
令 f (x) 2e2x a ln a a ln x， x (0, )，所以 f (x) a 4e2x ，
x
因为需要保证ln a有意义，所以 a 0，所以 f (x)在 (0, )上单调递增，
因为当 x 0时， f (x) 0，且 f (a) 4e2a 1 0，
所以 x0 (0,a)，使得 f x0 0，
并且当 x 0, x0 时， f (x) 0；当 x x0 , 时， f (x) 0，
所以函数 f (x) 在 0, x0 上单调递减，在 x0 , 上单调递增，
f x 2e2 x0 a ln a a ln x f x 4e2x a0所以 f (x) ，且 0，
min 0 0 0 x0
所以 a 4x e2x0 ， ln a ln 4 ln x 2x ，
0 0 0
所以 f (x)min 2e2x0 a ln a a ln x0
2e2 x0 4x e2 x0 ln 4 ln x 2x 4x e2 x0 ln x
0 0 0 0 0
2e2x0 1 2x0 ln 4 4x0 ln x0 4x20
2e2x0 1 2x 1 2x 2x ln x2 ln 4 … 0
0 0 0 0
所以 1 2x 1 2x 2x ln x2 ln 4 … 0，
0 0 0 0
考虑函数 h(x) (1 2x)(1 2x) 2x ln x2 ln 4 1 4x2 2x ln x2 2x ln 4，
其中 x (0, )，
根据复合函数单调性可得函数 h(x) 在 (0, )上单调递减，
h 1 1 1因为 0，所以解 h(x)… 0 x
0, x 0,
2 得到 2 ，所以 0 2 ，

2x 1 1 2 1
2
a 4x e 0 0, a 4 e 2e，因为 0 在 上单调递增，所以
2 2
所以 a的最大值为2e .
故选：C
【小结】
本题主要考查导数的计算和导数在研究函数中的应用，利用导数研究极值时，无法正常求出
极值点，可设出极值点作分析，还考查了学生分析推理能力，运算能力，综合应用能力，难
度很大.
8．A
【分析】
根据题意需分 a 0、 a 0和 a 0三种情况讨论，为简单起见.只讨论 a 0的情况，
a 0时，分 M 1和M 2两种情况； M 2时，根据 b的取值分五种情况讨论，最后
判断即可.
【解析】
解：令 y 4e3x ex x R ， y 12e3x ex ，
3 3x x
y 12e3x ex 0, x ln ， y 4e e x R 递增，
6
3
y 12e3x ex 0, x ln ， y 4e
3x ex x R 递减，
6
3 3x x 3
x ln 时， y 4e e x R 有最小值 ， x , y 0
6 9
y 4e3x ex 0, x ln 1 ，
2
在同一坐标系下，作出函数4e3x ex 和 x的图象如下，
以下分三种情况讨论，
（1） a 0 ，作出函数 f x 的图象如下，
令 t f x ，则 h x f f x b 0，转化为t f x 和 f t b，
若M 2，函数 f x 的图象和 y b有 2 个交点，
①当 3 b 0时， g x 有 2 个零点，分别记为 x1, x2 ，且
9
x 3 ln , ln 3 x ln 1 3 ，
1 6 6 2 2 9
当 t x1时，即t f x x1显然无解，
当 t x2时，即t f x x2 显然无解，所以 N 0；
②当 b 0时， g x 有 2 个零点，分别记为 x ln
1 , x 0，3 2 4
当 t x3 时，即t f x x3 显然无解，
当 t x4 时，即t f x x4 显然有 2 解，所以 N 2 ；
1
③当 0 b 3时， g x 有 2 个零点，分别记为 x , x ，且 ln x 0, 0 x 3，
5 6 2 5 6
当 t x5 时，即t f x x5 可能有 0 解、1 解、2 解，
当 t x6 时，即t f x x6 有 2 解，
所以若 M 2，则 N 4，或 N 3，或 N 2，或 N 0 .
若M 1，即函数 f x 的图象和 y b有 1 个交点，
3
④ b 或 b 3时， g x 有 1 个零点，此时， M N 1；
9
3
⑤ b 时， g x 无零点.
9
综合以上有，若 M 1，则 N 1；
若M 2，则 N 4，或 N 3，或 N 2，或 N 0 .
（2）a 0和（3） a 0的情况和（1）相同.
所以若 N 3，则 M 2，正确.
故选：A.
【小结】
考查复合函数零点个数的判断以及逻辑推理，函数零点个数转化为方程解的个数或函数图象
交点的个数；作为选择题，计算量太大，思维能力太高，本题太难.
9．A
【分析】
1
根据题意，可以将原问题转化为方程 a+1＝x3﹣3lnx 在区间[ ，e]上有解，构造函数 g（x）＝
e
x3﹣3lnx，利用导数分析 g（x）的最大最小值，可得 g（x）的值域，进而分析可得方程 a+1
1
＝x3﹣3lnx在区间[ ，e]上有解，必有 1≤a+1≤e3﹣3，解可得 a的取值范围，即可得答
e
案．
【解析】
1
解：根据题意，若函数 f（x）＝﹣x3+1+a（ x≤e，e是自然对数的底）与 g（x）＝3lnx
e
的图象上存在关于 x 轴对称的点，
1
则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[ ，e]上有解，
e
1
﹣x3+1+a＝﹣3lnx a+1＝x3﹣3lnx，即方程 a+1＝x3﹣3lnx在区间[ ，e]上有解，
e
3 3 x3 1
设函数 g（x）＝x3﹣3lnx，其导数 g′（x）＝3x2 ，
x x
1
又由 x∈[ ，e]，g′（x）＝0在 x＝1有唯一的极值点，
e
1
分析可得：当 x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
e
当 1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
故函数 g（x）＝x3﹣3lnx 有最小值 g（1）＝1，
1
g ） 1
1
又由 （ 3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（ ）＜g（e），
e e3 e
故函数 g（x）＝x3﹣3lnx 有最大值 g（e）＝e3﹣3，
1
故函数 g（x）＝x3﹣3lnx 在区间[ ，e]上的值域为[1，e3﹣3]；
e
1
若方程 a+1＝x3﹣3lnx 在区间[ ，e]上有解，
e
必有 1≤a+1≤e3﹣3，则有 0≤a≤e3﹣4，
即 a 的取值范围是[0，e3﹣4]；
故选：A．
【小结】
本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于 x轴对称的点转化为
方程 a﹣x3＝﹣3lnx ﹣a＝3lnx﹣x3在上有解，属于难题．
10．B
【分析】
f x
根据题意，构造新函数 g x 2x，求导，利用导函数求得 g x 在 0, ∞ 上是减ex
函数，由 f 2 4e2 得出 g 2 0，将 f x 2xex 转化为 g x 0，利用单调性即可
求出不等式的解集.
【解析】
解：由题可知， f x f x 2ex ，即： f x f x 2ex 0，
f x
则令 g x ex 2x，
则 g x f x f x 2 f x f x 2e
x
x 0，
e ex
所以， g x 在 R 上是减函数，
因为 f 2 4e2，则 g f 22 2 4 0，即： g 2 0，e
x f x
则不等式 f x 2xe ，则 2x 0，等价于 g x 0，
ex
即 g x g 2 ，则 x 2 ，
所以 f x 2xex 的解集为： , 2 .
故选：B.
【小结】
本题考查利用单调性解不等式，利用构造函数法和利用导数求出函数的单调性，考查转化思
想.
11．B
【分析】
不妨设 x1 ， x2 为函数 f x 的两个零点，其中 x1 2, 3 ， x2 R ，运用韦达定理和主元法
二次函数的最值，构造函数 g x1 ，求得导数，判断单调性，可得所求范围.
【解析】
解：不妨设 x1 ， x2 为函数 f x 的两个零点，其中 x1 2,3 ， x2 R ，
则 x1 x2 a， x1x2 b .
则a2 ab x x 2 x x x x 1 x x2 2x x2 x x2 ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
4 21 x x2 2x x2
由1 x1 0， x2 R ，所以 1 x x2 2x x2 x x2 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 4 1 x1
x4
1
4 ，x1 1
4 3
可令 g x x1 ， g x x 3x 4 1 1 ，
1
4 x1 1 1 4 x1 1
当 x 812,3 ， g x 0 恒成立，所以 g x g 2 , g 3 4, .
1 1 1 8
则 g x 81的最大值为 ，此时 x 3，
1 8 1
x 2x x
2 3 3
还应满足 1 12 ，显然 x 3， x 时， a b
9
， a2 ab 81 .
2 1 x 1 21 4 4 4 8
故选：B.
【小结】
本题考查函数的零点问题，注意函数方程的转化，韦达定理的运用和构造函数法，考查化简
运算能力和推理能力，属于难题.
12．A
【分析】
ln x 2
9 ln x 2 9 ln x x
把 f（x）的零点转化为 a 3 的零点，令 t 3 ， t 0, ，
3x2 x ln x 3 ln x x
x
可得方程9t 2 51 a t 81 0有两实根t ， t ，由判别式大于 0 解得 a 的范围，再由根
1 2
51 a 51 3
与系数的关系可得 t t 6， t t 9
9
，进一步得到 t 3， t 3
2 ，1 2 9 9 1 2 1 t1
ln x ln x ln x
结合 x 1 x x 1 2 3，可得3 3，3 3，3 3 3
ln x
1，则可知 =t ，
1 2 3 x 11 x2 x3 x1
2
ln x ln x ln x ln x ln x
3 2 3 3 t 3 1
x x 2 ，则
3 2 3 3 t1t 22 81.
2 3 x1 x2 x3
【解析】
f x 9 ln x 2 a 3 x ln x 3 3 a x2 0
∴ a 3 x ln x 3x2 9 ln x 2
ln x 2
9 x ∴ a 3
3x2 x ln x 3 ln x
x
t 3 ln x令 ， t 0, ln x，则 3 t，
x x
∴ t 1 ln x ln x 1
x2 x2
令 t 0，解得 x e
∴ t 0, e 时， t 0 ， t 单调递减； t e, 时， t 0 ， t 单调递增；
t 1
1
∴ 3 ， t 3 , ，
min e e
9(3 t)2
∴a﹣3 9t
2 54t 81
t t
∴ 9t 2 51 a t 81 0 .
设关于 t 的一元二次方程有两实根t1 ， t2 ，
∴ 51 a 2 4 9 81 0，可得 a 3或 a 105 .
2
∵ a 3 9 3 t 0，故 a 3
t
∴ a 105舍去
t 51 a 51 3∴ t ＞ 6， t t 9 .
1 2 9 9 1 2
9
又∵ t t t 2 9 6，当且仅当t t 3 时等号成立，1 2 1 t 1 21
9
由于t t 6，∴ t 3， t 3（不妨设t t ）.
1 2 1 2 t 1 21
∵ x 1 x x 3
ln x
1
ln x ln x
，可得 3，3 2 3，3 3 3 .
1 2 3 x1 x2 x3
则可知3
ln x
1 =t ，3
ln x2 3 ln x 3 t .
x 1 x 21 2 x3
2
ln x ln x ln x
∴ 3 1 3 2 3 3
2
x x x t1t 2 81.
1 2 3
故选：A.
【小结】
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，
属难题.
13．A
【分析】
画出函数 f x 的图象，使用换元法，令t f x ，并构造函数 g t t 2 at a2 a，
通过t 的范围，可得结果.
【解析】
当 x 0时， f x xe1 x ' 1 x，则 f x 1 x e
f ' x 令 0，则0 x 1
令 f ' x 0，则 x 1
所以函数 f x 在 0,1 递增，在 1, 递减，
则 fmin x f 1 1，且当 x 0时， f x 0
ln x , x 0
函数 f x xe1 x , x 0 图象如图，
关于 x 的方程 f 2 (x) af ( x) a2 a 0有四个不等实根
令 t f x ， g t t 2 at a2 a
则① t 0， t 1
g 0 a2 a 0
所以 g 1 1 a a2
a 1
a 0
② t 0,1 ， t , 0 1,
由 g 1 a 1 2 0
则函数 g t 一个根在 0,1 ，另外一个根在 , 0 中
所以 g 0 a2 a 0 0 a 1
综上所述： a (0,1]
故选：A
【小结】
本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻
辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题.
14．C
【分析】
2
由已知得方程 x k ex 8k 8恰有 3个不同的根，构造函数 f x x k 2 ex，利用导
数研究函数的单调性及最值，知若方程恰有 3 个不同的根，需 f k 2 8k 8 0即可，
即 ek 2 2k 2 0，令t k 2 0， 构造函数 f (t) et 2t 6(t 0)，利用导数研究
函数的单调性，结合零点存在性定理知，该方程的根t0 2, 3 ，进而求解.
【解析】
ex 8k 8Q x k 2 ex 8k 8
x k 2
2
所以题目转化为方程 x k ex 8k 8恰有 3个不同的根，
令 f x x k 2 ex，求导 f x x k x k 2 ex，令 f x 0，解得 x 1 k 2，
x2 k .
当 x , k 2 时， f x 0，故 f x 单调递增；当 x k 2, k ， f x 0，故
f x 单调递减；当 x k， ， f x 0，故 f x 单调递增；
显然当 x 时， f x 0；当 x 时， f x ；
故 x k 2 ex 8k 8恰有 3个不同的根，只需 f k 2 8k 8 0即可，
即 4ek 2 8k 8 0，即ek 2 2k 2 0，
令 t k 2 0，即et 2t 6 0，
构造函数 f (t) et 2t 6(t 0)，求导 f (t) et 2，令 f (t) 0，得t ln 2，
当 t 0, ln 2 时， f t 0，故 f t 单调递减；当t ln 2, ，f t 0，故 f t
单调递增；
当 t 0时， f (t ) 0 ；当t ln 2时， f (ln 2) 2 2ln 2 6 4 2ln 2 0
当 t 2时， f (2) e2 10 0；当t 3时， f (3) e3 12 0，
由零点存在性定理知方程et 2t 6在 0, ∞ 上的根t0 2, 3 ，则ek 2 2k 2 0 在
2, 上的根 k0 4, 5 ，
故 ek 2 2k 2 0的解集为 k0 , ，故 k的最小值为 5.
故选：C
【小结】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1） 直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2） 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3） 数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解
15．D
【分析】
令t f (m) g(n)，得到 m,n关于 t的函数式，进而可得 n m关于 t的函数式，构造函数
利用导数研究单调性并确定最值，即可求 n m 的最小值.
【解析】
1
令 t f (m) g(n)，则em 3 t， ln
n
t，
2 2
1 1
∴m 3 ln t， t t n 2e 2 ，即 n m 2e 2 3 ln t ，
t 11 1
若 t 2h(t) 2e 2 3 ln t，则 h (t) 2e (t 0)，t
∴ h
1
(t) 0，有t ，
2
当0 t
1
时， h (t) 0， h(t)
1
单调递减；当t 时， h (t) 0， h(t)单调递增；
2 2
h(1∴h(t) ) ln 2 1，即 n m的最小值为ln 2 1.min 2
故选：D.
【小结】
关键点小结：令t f (m) g(n)确定 n m关于 t的函数式，构造函数并利用导数求函数
的最小值.
16．D
【分析】
先利用导数分析 f x 的单调性和最值，然后将不等式变形为( f (x) m 1)( f (x) 1) 0 并分析
m 1与 1的大小关系，根据 f x 的单调性和取值特点确定出整数解，由此列出关于m 的
不等式并求解出解集.
【解析】
x 0 f (x) 1 ln x由题得 ， 2 ，当 x (0,e)时， f (x) 0；当 x (e, )时，x
f (x) 0，
1
则当 x e时， f (x)取得最大值 ，且当 x 1时， f (x) 0恒成立.
e
因为 f 2 (x) mf (x) m 1 (f (x) m 1)( f (x) 1) 0，
若m 1 1，则 f (x) 1或 f (x) m 1，无法满足仅有 3 个整数解；
若m 1 1，则 f (x) 1或 f (x) m 1.
ln 2
若此时 f 2 (x) mf (x) m 1 0仅有 3 个整数解，又 f (2) f (4) ，
2
所以这 3个整数解只可能是 2，3，4，又 f (3)
ln3 f (5) ln 5 ln5 ln 2 ln3 ， ，且 ，
3 5 5 2 3
ln5
所以 m 1
ln 2 ln5 ln 2
，则 1 m 1.
5 2 5 2
故选：D.
【小结】
关键点小结：解答本题的关键是通过分析 f x 的单调性以及最值确定出不等式的整数解的具
体值，其中整数解的确定也可以结合函数图象进行分析.
17．B
【分析】
根据已知条件先分析得到 m f x ，然后分析 f (x) x2 px qmax min 的几何意义，
通过分析 g x x2 与 h x px q 在横坐标相等时，纵坐标竖直距离取最大值的最小值
时对应的 p, q的取值，由此确定出 f x 的解析式，同时求解出 f x max ，由此m的范围
可知.
【解析】
由题意可知： x0 1,5 ， f x0 m成立，即 m f x max，
又对 p,q R ，m f x m f x max，所以 max min ，
又 f (x) x2 px q 可看作 g x x2 与 h x px q 在横坐标相等时，纵坐标的竖
直距离，
由 g x x2 ， x 1,5 ，可取 A 1,1 , B 5, 25 ，所以 AB 的直线方程为l 1 : y 6x 5，
l AB g x x2设 与 平行且与 相切于C x , y ，所以 g x 2x 6 ，所以 x 3，所
0 0 0 0 0
以切线为l2 : y 6x 9 ，
当 h x 与 l1, l2 平行且与两条直线的距离相等时，即恰好在l1, l2 的中间，
此时 g x x2 与 h x px q 在纵坐标的竖直距离中取得最大值中的最小值，
此时 h x 6x 7，则 f x x2 6x 7 x2 6x 7 x 3 2 2 ，
又因为 x 1,5 ，所以 x 3 2 0,4 ，所以 f x 4 2 2max ，此时 x 1或3或5，
所以m的范围是 , 2 ，
故选：B.
【小结】
结论小结： h x f x g x 的几何意义：当 f x 与 g x 在横坐标相等时，纵坐标
的竖直距离.
18．D
【分析】
把方程根的问题转化为函数零点问题，再转化为两个函数图象交点的个数问题，根据函数的
单调性，运用数形结合思想进行求解即可.
【解析】
方程 f (x) x a 0恰有两个不相等的实数根，则函数 g(x) f (x) x a有两个零点，
2x x, x 0,
令 h(x) f (x) x ，
log2 x x, x 0
所以函数 h(x)与函数 y a有两个不同的交点，
当 x 0时，函数 h(x)单调递增，故函数有最大值 h(0) 1，
当 x 0时，函数 h(x)单调递增，函数没有最小值，函数图象如下图所示：
因此有 a 1 a 1，
故选：D
【小结】
已知方程的根的个数求参数，一般转化为函数零点个数问题，再转化为两个函数图象交点个
数问题，运用数形结合思想进行求解即可.
19．D
【分析】
就 x2 2ax 2a
1
x a, x 1 ln x 1 1 及 x a, x 1的根的个数分类讨论后可得
4 4
实数 a的取值范围.
【解析】
1
因为关于 x 的方程 f x x a 恰有两个互异的实数解，
4
故 x2 2ax 2a
1
x a, x 1 1有两个不同的实数根且ln x 1 x a, x 1无实根
4 4
或 x2 2ax
1 1
2a x a, x 1、 ln x 1 x a, x 1各有一个实数根
4 4
或 x2 2ax 2a
1
x 1 a, x 1无实根且ln x 1 x a, x 1有两个实数根.
4 4
若 ln x 1 1 x a, x 1有两个不同的实数根，
4
ln x 1则 x 1 a 0, x 1有两个不同的实数根，
4
因为 y ln x
1
x 1 a, x 1为增函数，
4
ln x 1故 x 1 a 0, x 1有两个不同的实数根不成立.
4
若 x2 2ax 2a 1 x a, x 1、 ln x 1 1 x a, x 1各有一个实数根，
4 4
1
先考虑ln x 1 x a, x 1有一个实数根即
4
ln x 1 x 1 a 0, x 1有一个实数根，
4
因为 y ln x 1 x 1 a, x 1为增函数，故ln1 1 1 a 0，
4 4
5
故a .
4
再考虑 x2 2ax 2a 1 x a, x 1 2有一个实数根即 x (2a 1 )x a 0, x 1有一个
4 4
实数根.
令 h x x2 (2a 1 )x a, x 1，
4
因为 h 1 1 1 1 2a a 0 x2，故 (2a )x a 0, x 1有一个实数根.
4 4
故 a 5 时， x2 2ax 2a 1 x a, x 1、 ln x 1 1 x a, x 1各有一个实数根.
4 4 4
若 x2 2ax 1 1 2a x a, x 1有两个不同的实数根且ln x 1 x a, x 1无实根，
4 4
1 5
因为 ln x 1 x a, x 1无实根，则由前述讨论可得 a ，
4 4
因为 x2 2ax 1 2a x a, x 1有两个不同的实数根，
4

2a
1

4 1

2 2
1
2a 5 2 6故 4
4a 0 ，解得 a ，
8
1
1 2a a 0
4


a 5 2 6
5
综上， , , ，
8

4
故选：D.
【小结】
知道分段函数零点个数，则可以根据各段函数的形式确定各段上零点的个数，并结合相应的
函数的特征再利用单调性或根分布等方法来处理即可.
20．D
【分析】
作出 f x ， g x 的大致图象如图所示，得出 f x ， g x 的图象都关于直线 x 1对称，
1
从而可得 x x 2，1 x 2 ，根据 f x g x a x2，解得 2x ，即
1 4 3 3 3 3 3 x3 2
可得出 a x x x x3 4x2 4x 1，设 h x x3 4x2 4x 1 1 x 2 ，利
1 4 3 3 3 3
用导数即可求解.
【解析】
作出 f x ， g x 的大致图象如图所示，
可知 f x ， g x 的图象都关于直线 x 1对称，可得 x1 x4 2，1 x3 2 ．
由 f x3 g x3 1 x2得 3 2x3 a，x3 2
2
则 a x 2x
1
3 3 ，
x3 2
所以 a x x x a 2 x x3 4x2 4x 1．
1 4 3 3 3 3 3
设 h x x3 4x2 4x 1 1 x 2 ，
则 h x 3x2 8x 4 x 2 3x 2 0 ，
所以 h x 在 1, 2 上单调递增，所以 a x1 x4 x3 的取值范围是 0,1 ，
故选：D．
【小结】
结论小结：与对称有关的常用结论：
①若点 A x1, y1 ， B x2 , y2 关于直线 x a对称，则 x1 x2 2a；
②若 f x 的图象关于直线 x a对称，则 f x f 2a x ；
f b x f x x a b③若 f a x ，则 的图象关于直线 对称：
2
④若 f 2a x f x 2b，则 f x 的图象关于点 a,b 对称．
21．C
【分析】
根据零点的定义，结合基本不等式、导数运用转化法进行求解即可.
【解析】
f x 0 x a 1可转化为e ea x 2 x2 a2 ln x .
2
设 g x ex a ea x 2 ，
x a a x
由基本不等式得ex a ea x 2 2 e e 2 0，
当且仅当 x a时， g x 取到最小值 0.
1
2 2 2
h x x2设 a2 ln x a 0 ，则h a a x x x ，
2 x x
当 0 x a 时， h x 0， h x 单调递增；
当 x a时， h x 0， h x 单调递减，
x a h x 1 2 2所以当 时， 取到最大值 a a ln a .
2
若 f x 有 2 个零点，则 g x 与 h x 有两个交点，
1
a2此时 a2 lna 0，解得 a e，
2
故选：C
【小结】
关键小结：根据零点定义转化为两个函数的交点是解题的关键.
22．B
【分析】
整理已知等式后，构造函数 g(x) xf (x)，求出 f x ，再讨论恒成立问题.
【解析】
f (x) f (x)
1
由 ，得 xf (x) f (x)
1

x x2 x
设 g(x) xf (x)， g (x) xf (x)
1
f (x) ，
x
则 g(x) ln x c
ln x c
，从而有 f (x) .
x
f (e) 1 c 2 ln x 1 ln x又因为 ，所以c 1， f (x) ， f (x) ，
e e x x2
所以 f (x)在 (0,1)上单调递增，在(1, )上单调递减，所以 f (x)max f (1) 1.
f (x) a
因为不等式 x 2 0恒成立，所以 f (x) x2 2x a 0 ，
x x
即 f (x) (x 1)2 1 a，又因为 f (x) (x 1)2 1 2 ，所以 a 2 .
故选: B
【小结】
本题关键是构造函数 g(x) xf (x) ，求出 f (x)
ln x 1
，转化为恒成立问题,进而变量
x
分离确定参数范围,
23．D
【分析】
分离参数，构造函数，求导分析出单调性，求出该函数的最小值，即可得到 a的取值范围.
【解析】
x 1 x 1
由题意知， a lnx,(x 1), 构造函数 F x lnx,(x 1) ，
lnx lnx
lnx 1 x 1 lnx
F x ,令 g x x 1 lnx,则
x ln2 x
g x 1 1 0, g x g 1 0,故当1 x e时 , F x 0, F x 单调递减;当 x e
x
时 , F x 0, F x 单调递增，所以 F x … F e e 2,所以 a e 2,
故选：D.
24．C
【分析】
令 f x ln x x k x 1 ，分析得出b f x max，分 k 1、 k 1两种情况讨论，可
得出 f x ln k 1 k 1 2k b 2
ln k 1 2
，进而可得出 1 ，令
max k 1 k 1
ln t 2
t k 1 0 ，利用导数求出函数 g t 1 的最小值，即可得解.
t
【解析】
令 f x ln x x k x 1 ，则 f x b 对任意的 x 0, 恒成立，所以，
b f x max .
①当 k 1时， f x 1 1 k 0，函数 f x 在 0, ∞ 上单调递增，函数 f x 无最
x
大值，不合乎题意；
1
②当 k 1时，令 f x 0，可得 x .
k 1
1
当0 x 时， f x 0，此时函数 f x 单调递增，
k 1
1
当 x 时， f x 0，此时函数 f x 单调递减，
k 1
1 1
所以， f x f 1 ln
1 k 1

ln k 1 k 1，max k 1 k 1 k 1 k 1

即b ln k 1 k 1，
2k b 2 b ln k 1 k 1 ln k 1 2
2 2 1 ，
k 1 k 1 k 1 k 1
ln t 2 ln t 1
设 t k 1 0，令 g t 1 ，则 g t ，
t t 2
当 0 t
1
时， g t 0，此时函数 g t 单调递减，
e
t 1当 时， g t 0，此时函数 g t 单调递增.
e
1g t g 1 e 2k b 2所以， ，因此， 的最小值是1 e .
min e k 1
故选：C.
【小结】
结论小结：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） x D，m f x m f x min；
（2） x D，m f x m f x max；
（3） x D，m f x m f x max；
（4） x D，m f x m f x min .
25．B
【分析】
根据函数的解析式可以判断 g x 的图象关于 1, 1 对称，而根据 f x 的解析式可判断
其在 , 2 ∪ 0, 上的图象关于 1, 1 对称，再根据 f x 、 g x 在 0, 6 上的图
象可以得到 8, 6 上它们共有 8 个不同的交点，从而可得所有的实根之和.
【解析】
当 x πx 0时， f x 2sin 1，而 2 x 2，
2
故 f 2 x 2 sin πx πx π 1 2sin 1，故 f x f 2 x 2 ，
2 2

πx
当 x≤ 2时， f x 2sin 1，而 2 x 0，
2
故 f πx πx 2 x 2sin π 1 2sin 1，故 f x f 2 x 2 ，
2 2

故 f x 在 , 2 ∪ 0, 上的图象关于 1, 1 对称，
1 x 2
当 2 x 0且 x 1时， g x 1 , 3 1, ，
1 x x 1
πx πx π
而 π 0且 ，故 1 f x 1，故此时 f x 与 g x 的图象无交点.
2 2 2
下面仅考虑 0, 6 上 f x 与 g x 的图象，如图所示；
因为 f 6 1 1 g 6 ， g 1 0 f 1 1， g 3 1 f 3 3，
7 4
故在 0, 6 上 f x 与 g x 的图象共有 4 个不同的交点，
故在区间 8, 6 上的所有实根之和为4 2 8，
故选：B.
【小结】
思路小结：不可解方程的解性质的讨论，取决于两个函数的图象性质，而后者由函数的解析
式来确定，根据对解析式合理变形后可发现其对应的图象性质，另外注意利用
f x f 2a x 2b来确定函数图象的对称中心.
26．D
【分析】
1
根据题设条件可得当 x 2k , 2k 1 时， f x 0, ，其中 k N * ，结合函数在 0, 2
2k
上的解析式和函数在 2, 的图象可求m 的取值范围.
【解析】
当 x 2,0 时， f (x) 2 x 1 2 2，故 f (x) 2 x 1 2 2 0,2 ，
因为 f (x 2) 2 f (x)，
故当 x 0, 2 时， x 2 2, 0 ， f x 1 f x 2 x x 2 0,1 ，
2
同理，当 x 2, 4 1 1时， f x f x 2 0, ，
2 2
1
依次类推，可得当 x 2k , 2k 1 时， f x 0, ，其中 k N * .
2k
3
所以当 x 2 时，必有 f (x) .
4
如图所示，因为当 x 0, 2 时， f x 的取值范围为 0,1 ，
故若对任意 x m, 3，都有 f (x) ，则m 0，
4
3 x2 2x 3 1

令 4， x 2或0 x ，
2 0 x 2
2
3
结合函数的图象可得 m ，
2
故选：D.
【小结】
思路小结：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其
他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
27．D
【分析】
分析得出 a 0 ，利用导数分析函数 f x 的单调性，可得知 x1 为函数 f x 的极大值点， x2
为函数 f x 的极小值点，再由 f x1 f n 、 f x2 f m 结合因式分解可得出结论.
【解析】
当 a 0 时， f x 3x2 a 0，此时，函数 f x 在 R 上为增函数，
当 x1、 x2 m, n 时， f x1 f n ， f x2 f m ，不合乎题意，所以， a 0 .
由 f x 0可得 x a3 ，
a a a a
当 x < - - 或 x > - 时， f x 0；当- - < x < - 时， f x 0 .
3 3 3 3

所以，函数 f x a的单调递增区间为 , a ， , ，单调递减区间为 3 3

a
,
a . 3 3

对任意的 x m, n 恒有 f m f x f n ， f x f m ， f x f nmin max ，
又当 x1、 x2 m, n 且满足 f x1 f n ， f x2 f m ，
所以， x 为函数 f x 的极大值点， x 为函数 f x 的极小值点，则 x a ，
1 2 1 3
ax2 3 ，
由 f x1 f n 3 3 3可得 x1 ax1 b n an b，可得 x1 n3 a x1 n 0 ，
即 x1 n x21 nx1 n2 a 0，因为 x1 n，则 x21 nx1 n2 a 0，
x a ，可得 a 3x
2 2
，所以， n nx 2x2 0，即 n x n 2x 0，
1 3 1 1 1 1 1
所以， n 2x1 0，同理可得 m 2x2 0 ，
故选：D.
【小结】
关键点小结：解本题的关键在于以下两点：
（1） 利用已知条件分析出 x1 、 x2 为函数 f x 的极值点；
（2） 利用等式 f x1 f n ， f x2 f m 结合因式化简得出结果.
28．A
【分析】
作出函数 f (x) 的图象，如图，作直线 y t ，由此可得 x1 ， x2 ， x3 ， x4 的关系及范围，而
2 2 9 (x2 x2 )
不等式 k x3x4 1 x1 x2 9 0可转化为 k 1 2 ，令 x1 x2 t ，求出 t范围，
x3x4 1
9 (x2 x2 )
并把 1 2 变成 t 的函数，由导数求出它的范围，从而得 k 的范围．
x3x4 1
【解析】
作出函数 f (x)的图象，如图，作直线 y t，它与 f (x)图象的四个交点的横坐标依次为 x1，
x2， x3， x4 x1 x2 x3 x4 ，
因为函数 y f x 的图象关于 x 3对称，所以 x3 6 x2 ,x4 6 x1，
- ln x1 = ln x2 ，即 x1x2 1，且1 x2 3，
2 2 9 (x2 x2 )
显然 x3x4 1，不等式 k x3x4 1 x1 x2 9 0变形为 k 1 2 ，
x3x4 1
x3x4 (6 x2 )(6 x1) 36 6(x1 x2 ) x1x2 37 6(x1 x2 )，
x2 x2 (x x )2 2x x (x x )2 2，
1 2 1 2 1 2 1 2
9 (x2 x2 ) 11 (x x )2
所以 1 2 1 2 ，
x3x4 1 36 6(x1 x2 )
1
由勾形函数性质知 x x x 在 x (1,3)时是增函数，所以
1 2 x 2 22
x 1 x x 10
1 2 x 2
2,
3
，
2
10 11 t 2 t 2 11 2 (t 6) 25
令 t x1 x2 ，则t

2,
3
， g(t) ， g (t) ，
6(6 t) 6(t 6) 6(t 6)2
10 7
当 t 2, 3 时， g (t) 0， g(t)单调递减，所以 g(t) g(2) 24，

7 7
所以 k ，即 k 的最小值是 ．
24 24
故选：A．
【小结】
关键点小结：本题考查方程的根函数零点问题，解题方法是数形结合思想，作出函数图象，
及相应直线，通过两者交点观察出方程根的性质，范围，不等式就可参数分离变形为
9 (x2 x2 )
k 1 2 ，再利用刚才的关系范围求出不等式右边的式子的取值范围即可得．
x3x4 1
29．C
【分析】
根据奇函数的定义求出函数解析式，作出函数图象，通过函数图象平移，分析平移单位满足
的条件，从而得出结论．
【解析】
∵ f (x)是奇函数，

所以当 x [ 1, 0]时， x [0,1]， f (x) f ( x)


1 2 x
1 2 x 1 1，

2 2
当 x [1, )， x ( , 1]， f (x) f ( x) 1 e 1 x ex 1 1，
作出函数 f (x)的图象，如图．
当m 0， f (x)的图象向右平移m个单位得 f (x m)的图象，如图， f (x m) f (x)不
可能恒成立，
当m 0时， f (x)的图象向左平移 m 个单位得 f (x m)的图象，如图，
当 f (x m0)
1
的最右端图象与 f (x)的图象在 x 2相切时，
f (x m0) ex 1 m0 ，此时 f (x)图象上对应直线的斜率为 2，
由 ex 1 m0 2得， x ln 2 1 m0，此时 y eln 2 1 m0 1 m0 1 eln 2 1 1，又切点在直线
y 2x 1 1 1上，∴切点为( ,1)，即 x ln 2 1 m ，m ln 2 ，
2 0 2 0 2
1
∴当m m ln 2 时，不等式 f (x m) 0 f (x)恒成立．2
1
综上， m的取值范围是( , ln 2 ]．
2
故选：C．
【小结】
关键点小结：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题，解题方法是数形结
合思想．利用图象平移变换得出不等式恒成立时的条件，结合导数的几何意义可求得结
论．
30．B
【分析】
设 f x ex x 1，利用导数证明出 f x 0，可得出 xex ln x x 1 f x ln x ，
ex 2 x 2
ln x x f
x x 2 ln x 1
e
，求得 xex ln x x 1 0， ln x x 1，可
x
求得 a、b的值，由此可得出合适的选项.
【解析】
x
设 f x e x 1，该函数的定义域为 R ，则 f x ex 1.
当 x 0 时， f x 0，此时，函数 f x 单调递减；
当 x 0时， f x 0，此时，函数 f x 单调递增.
所以， f x f 0 0，即 f x ex x 1 0min ，
令 g x x ln x 1 1，则函数 g x 在 0, ∞ 上为增函数，且 g e
1 0，
e
g 1 1 0，
1
所以，存在 x ,1 使得 g x x ln x
0，1 e 1 1 1
令 h x x ln x 2，其中 x 0, ， h x 1 1 x 1 .
x x
当 0 x 1时， h x 0，此时函数 h x 单调递减；
当 x 1时， h x 0，此时函数 h x 单调递增.
所以， h x h 1 1，又 h 4 2 ln 4 2 2 ln 2 2 1 ln 2 0min ，
所以，存在 x2 1, 4 使得 h x2 x2 ln x2 2 0 .
xex ln x x 1 ex ln x x ln x 1 f x ln x 0，
当且仅当 x ln x 0时，等号成立；
ex 2
ln x x e x 2 ln x x 2 ln x 1 1 f x 2 ln xx 1 0 1 1，
当且仅当 x 2 ln x 0时，等号成立.
所以 a 0， b 1，即a b
1 ． 故选：B.
【小结】
思路小结：利用导数的方法研究不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，
分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求得
结果；有时也可以根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最
值，即可得出结果.
31．AB
【分析】
a 2n 1 an an 1 an a S 1可得 a 1 a 1 2 2， 然后求出 a ，
由 S
2 n n n 1 n 1 n n
然后可得bn 、Tn ，然后可解出答案.
【解析】
an 1 an an 1 an
S a S 1，所以
a2 a2 2 a a 1 ，
因为
2 n n n 1 n 1 n n 1 n
2 2 2 2
即 a n 1 1 an 1 2，故数列 an 1 是首项为 a1 1 1，公差为 2的等差数
列，
则 a 1 2n 2n 1，则 an 2n 1 1，
b 1 1 2n 1 所以 2n 1n a a 2 2 ，
n n 1 2n 1 2n 1
则T
1
13 1 5 3 2n 1 2n 1 n 2n 1 1 ，2 2
1
令 2n 1 1 16，解得 2n 1 33，即 n 544，2
故选:AB
32．BCD
【分析】
2 2 2
当a，b都是整数时，可判定 A错误；对于 B，由 n 1 n n 1 n 1

n 0，

可判定 B正确，令 x 4n 1 1，证得

4n 1 4n 1 14n 1 4n 2 4n 3 ，可判定 C正确；构造函数
f x nx x 1 2 x x x n 1 ，证得函数 f x 1是以 为周期的
n n n n
x 0, 1 周期函数，结合 时， f x 0 ，可判定 D 正确.
n
【解析】
对于 A，当 a， b 都是整数时，有 a b a b ，故 A 错误.
2 2 2 2
对于 B，因为 n N ，所以 n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 ，
2
所以 n 1 2 n n 1 2 n 1
n 1
2 n n 1 2 n 0，故 B正确，

对于 C，由题意知 4n 1 4n 1 4n 2 4n 3，
则只需证明 4n 1 1 成立即可，
4n 3
令 x 4n 1 1，则 x2 4n 1，

当 x 2m m N 时， x2 4m2 4n 1，则有 m2 n 1，
那么 x2 4m2 4n 4 4n 3；
x 2m 1 m N 当 时， x2 4m2 4m 1 4n 1， m2 m n，即 m2 m n 1，
那么 x2 4 m2 m 1 4n 5 4n 3，所以命题成立，
4n 1 1即 4n 1 4n 1 4n 2 4n
，
3
所以 4n 1 4n 2 4n 3 n N ，故 C正确.

f x nx x x 1 x 2 n 1 x 对于 D，构造函数 ，
n n n
f x 1 1 2 n 1则 nx 1 x x x x 1 f x ，n n n n

f x 1 f x 1 0 0, 所以函数 是以 为周期的周期函数，故只需证明 在 内恒成立即可，
n n

因为当 x 0,
1
时， f x 0 ，所以结论成立，故 D 正确.
n
故选：BCD.
【小结】
对于函数的新定义试题的求解：
1、根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确；
2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质进行推理、论证求解.
33. ACD
【分析】
g(x) x2 1 2 x2 1
通过 (x) e f (x) ex 只有一个零点，化为(m 2)( ex ) 2m ex 1 0 只有一个实
数根．
x2 1
令 t ex ，利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，通过①当m 2 时，②
当m 3时，③当m 3时，④当m 4时，验证函数的零点个数，推出结果即可．
【解析】
2m(x2 1) 2 2
解： f (x) ex 1， g(x) (m 2)(x 1) ．
(x) ex f (x) g(x) ex 只有一个零点，
(m 2)(x2 1)2
2m(x2 1) ex x 0只有一个实数根，e
x2 2
即 (m 2)( 1)2 2m x 1ex x 1 0 只有一个实数根．e
x2 1 (x2 1) ex (x2 1)ex (x 1)2
令 t ex ，则 t ex
0，
(ex )2
x2 函数 t 1ex 在 R 上单调递减，且 x 时， t 0，
x2 1
函数 t ex 的大致图象如图所示，
所以只需关于t 的方程(m 2)t2 2mt 1 0(*) 有且只有一个正实根．
1
①当m 2时，方程(*)为4t2 4t 1 0，解得t ，符合题意；
2
1
②当m 3时，方程(*)为5t2 6t 1 0，解得t 或 t 1，不符合题意；
5
③当m 3时，方程 (*)为 t 2 6t 1 0，得 t 3 10，只有3 10 0，符合题
意．
④当m 4时，方程(*)为2t2 8t 1 0 t 4 3 2 4 3 2 ，得 ，只有 0，符合题
2 2
意．
故选：ACD．
【小结】
本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及数形结合，构造法的应用，考查转化思想以及
计算能力，属于难题．
34. AD
【分析】
根据题中所给定义，结合条件，逐一检验各个选项，分析整理，即可得答案.
【解析】
对于 A： f (x) 3x，定义域为 R，当 a 1时，有[ 1,1] R，
对任意 x [ 1,1]， f (x ) 3x1 ，
1 1
因为 x1 [ 1,1]，存在 x2 x1 [ 1,1]，使 f (x 1) f ( x 2) f (x 1) f ( x 1) 3x1 3 x1 30 1，
所以函数 f (x) 3x是 P(1)函数，故 A正确；
对于 B： f (x) x3 ，定义域为 R，当a 2时，有[ 2, 2] R，
当 x1 0时， f (x1) 0，
所以不存在 x2 [ 2,2]，使得 f (x1) f ( x2 ) 1，此时 f (x1) f ( x2 ) 0，故 B 错误；
对于 C：当 t=4时， f (x) log12 (x 4)，定义域为( 4, )， a 2，
因为 x1 [ 2, 2], x2 [ 2, 2]，则 x2 [ 2, 2] ，
所以 x 4 [2,6]，
又 f (x) log12 (x 4)为增函数，
所以 f (x) [log12 2, log12 6]，
又因为log12 6 log12 12 1, log12 2 0，所以 f (x) (0,1) ，
所以 f (x1) (0,1), f ( x2 ) (0,1)，
所以 f (x1) f ( x2 ) (0,1)，即 f (x1) f ( x2 ) 1，故 C 错误；

对于 D：当 x 时， 1 tan x 1，
4 4
所以 f (x) [b 1,b 1]，

因为函数 f (x) tan x b是 P( )函数，
4
π π π π
所以对任意 x ，总存在 x 使 f (x ) f ( x ) 1，
1 [ , ] 2 [ , ] 1 2
4 4 4 4
π π
又 x2 [ , ]，当 x2 x1时， f (x1) f ( x1) 1，
π 4 4
当 x 时，有 (b 1)(b 1) 1，解得 b= ，故 D正确.
1 4 2
故选：AD
【小结】
解题的关键是掌握 P(a)函数的定义，并根据选项所给条件，结合各个函数的性质，进行分析和
判断，综合性较强，属中档题.
35. ACD
【分析】
画出 f x 的图象，结合图象求得 m, x1, x2 , x3, x4 的取值范围，利用特殊值确定 B 选项错误，
利用基本不等式确定 CD选项正确.
【解析】
画出 f x 的图象如下图所示，
由于关于 x的方程 f (x) m有四个不等实根 x1， x2 ， x3 ， x4 x1 x2 x3 x4 ，
由图可知1 m 2，故 A选项正确.
由图可知 x , x 关于直线 x x1 x 2对称，故 2 2, x x 4
1 2 ，2 1 2
2
由 2 x 2 2 x 1 解得 x 3或 x 1，
所以 3 x1 2, 2 x2 1，
3 3π 2 x 3π ，当 时， sin x cos x 2 , sin x cos x 0，所以 B 选
4 1 4 1 2 2 1 2
项错误.
2 2
令 2 x 2 m x 2 1 ， log 2 x 2 m log m 1， x 2 log m2 1，
2 x 2 2 logm 2 1， x1, x2 是此方程的解，
1 1
所以logm 2 2 x 2 2 ，或 logm 2 2 x 2 2
，
1 2
x2 x2 log x2 4 x
2 1
2
故 1 2 m 1 1 2 x1 2 2
2 x 2 2 11 2 8 2 2 x
2 1
2 x 2 1
2
2 x 2 2
8 10，
1 1
2 1
当且仅当 2 x1 2 2 ,x
5
1
2 x 2 2时等号成立，故 D选项正确.1
由图象可知log2 x3 1 log2 x4 1 ，
log x 1 log x 1 0， x 1 x 1 1， x 1 1 , x 1 14 ，
2 3 2 4 3 4 4 x 1 x 1
3 3
由 log2 x 1 1 x 1 ，解得 x 1或 x 1 ，
2
由 log2 x 1 2 x 1
3
，解得 x 3或 x ，
3
x 1
4
所以 ,1 x 3，
3
4 2 4
1 1
4x x 4x 1 4 x 1 53
3 4 3 x 1 x 1
3 3
2 4 x 1 13 5 1①.x3 1
1 1 34 x 1 , x 1 2 , x x 1令 或 ，
x 1 4 2 2
所以①的等号不成立，即4x3 x4 1，故 C 选项正确.
故选：ACD
【小结】
求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问
题，可考虑利用基本不等式来求解.
36. ABD
【分析】
利用 f 0 0以及零点存在定理推导出当 a 1时，函数 f x 在 0, 2π 上至少有两个零点，
结合图象可知当0 a 1时，函数 f x 在 0, 2π 上有且只有一个极值点，利用导数分析函
数 f x 在 0, 2π 上的单调性，可判断 A 选项的正误；利用 A 选项中的结论可判断 B 选
1
项的正误；取 a ，解方程 f x 0可判断 C 选项的正误；分析出当 f x 在 0, 2π 上
2
1 1 1
只有一个极值点时， 0 a 1，分 a 、0 a 、 a 1三种情况讨论，结合
3 3 3
sin x x可判断 D选项的正误.
【解析】
构造函数 g x x ln x 1 1 x 1，其中 x 0，则 g x 1 .
x x
当 0 x 1时， g x 0，函数 g x 单调递减；
当 x 1时， g x 0 ，此时，函数 g x 单调递增.
所以， g x g 1 0min .
a ln a 1， a 0且 a 1.
f x sin ax a sin x，则 f 0 0 .
π aπ π aπ
当 a 1时， f sin a sin sin a 0，
2 2 2 2
f 3π sin 3aπ a sin 3π sin 3aπ a 0，

f x π 3π
由零点存在定理可知，函数 在 , 内至少有一个零点，
2 2
所以，当 a 1时，函数 f x 在区间 0, 2π 上至少有两个零点，
所以，当函数 f x 在区间 0, 2π 上只有一个零点时， 0 a 1.
对于 A 选项，当0 a 1时， f x a cos ax a cos x a cos ax cos x .
aπ π
0 a 1 ，则0 ， 0 2aπ 2π，
2 2
f π a cos
aπ
0， f 2π a cos 2aπ cos 2π a cos 2aπ 1 0，
2 2
f x π
由零点存在定理可知，函数 在区间 , 2π 上至少有一个极值点，
2
令 f x 0，可得cos ax cos x，
当 x 0, 2π 时， 0 ax x 2π，由cos ax cos x cos 2π x ，可得 ax 2π x ，
2π
解得 x ，
a 1
2π
所以，函数 f x 在区间 0, 2π 上有且只有一个极值点 x .
a 1
作出函数 y1 cos ax 与函数 y2 cos x 在区间 0, 2π 上的图象如下图所示：
由图象可知，函数 y1 cos ax 与函数 y2 cos x 在区间 0, 2π 上的图象有且只有一个交点，
记该交点的横坐标为 x0 ，当0 x x0 时， cos ax cos x，此时 f x 0；
当 x0 x 2π时， cos ax cos x，此时 f x 0 .
所以，函数 f x 在区间 0, x0 上单调递增，在区间 x0 ,2π 上单调递减.
所以， f x f x0 f 0 0，又 f 2π sin 2aπmax .
若函数 f x 在区间 0, 2π 上有且只有一个零点，则 f 2π sin 2aπ 0 .
0 a 1，则0 2aπ 2π，所以， 0 2aπ π，解得0 a 1 ，A 选项正确；
2
对于 B 选项，若函数 f x 在区间 0, 2π 上有且只有一个零点时，
由 A 选项可知，函数 f x 在区间 0, x0 上单调递增，在区间 x0 ,2π 上单调递减.
Q f 0 0 ， f 2π sin 2aπ 0，所以，对任意的 x 0, 2π ， f x 0 ，B 选项正确；
对于 C选项，取 a 1 ，则
2
f x sin x 1 sin x sin x sin x cos x sin x 1 x cos ，

x x
0 x 2π，则0 π，令f x 0，可得sin 0或 cos x 1 x x ，可得 0或 π，
2 2 2 2 2
解得 x 0或 x 2π.
1
所以，当 a 时，函数 f x 有两个零点，C 选项错误；
2
对于 D 选项，当 a 1时，若0 x 2π，则0 ax 2aπ，且2aπ 2π，
当 x 0, 2π 时，令 f x 0，可得出cos ax cos x cos 2kπ x k Z ，至少可得
出ax 2π x或ax x 2π，
即函数 f x 在区间 0, 2π 上至少有两个极值点，不合乎题意，所以， 0 a 1.
π
下面证明：当0 x 时， sin x x ，
2
构造函数 h x x sin x，其中0 π x ，则h x 1 cos x 0 ，
2
π
所以，函数 h x x sin x在区间 0, 上为增函数，所以， h x h 0 0，即
2

sin x x .
a 1 3a 1
分以下三种情况来证明 f x π恒成立.0 2
f x0 a cos ax0 cos x0 0，可得cos ax0 cos x0 ，
0 ax x 2π 2π，由cos ax cos x 可得出 ax 2π x ，所以， x .
0 0 0 0 0 0 0 a 1
则 sin ax0 sin 2π x0 sin x0 .
a 1 x 3π①当 时， ，则 f x sin x 1 sin x，
3 0 2 3 3
f 3π sinπ 1 sin 3π 4 2π ，

即 f x a 1 3a 10 π成立；
2
2π 3π
0 1 π
②当 a x时，
3 0
, 2
2
，

2π则 f x sin ax a sin x sin x a sin x a 1 sin x a 1 sin
0 0 0 0 0 0 a 1
a 1 sin 2π a 1 sin 2π 2π a 1 sin 2aπ a 1 2aπ 2aπ
a 1
a 1 a 1 a 1

a 1 3a 1
π；
2
1
③当 a 1时， x 2π 3 0 a 1 π ,
3π
，2

f x0 sin ax0 a sin x0 sin x0 a sin x0 a 1 sin x0 a 1 sin x0
a 1 sin x π a 1 sin 2π 1 a π 1 a π π
a 1 sin a 1 0 a 1 a 1 a 1

a 1 3a 1
1 a π π.
2
a 1 3a 1
综上所述，当函数 f x 只有一个极值点 x 时， f x π恒成立.0 0 2
故选：ABD.
【小结】
利用导数解决函数零点问题的方法：
（1） 直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基
本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体
现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2） 构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3） 参变量分离法：由 f x 0 分离变量得出 a g x ，将问题等价转化为直线 y a
与函数 y g x 的图象的交点问题.
37．ACD
【分析】
作出函数 f x 的图象，利用对数的运算性质可判断 A 选项的正误，利用正弦型函数的对称
性可判断 B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断 C选项的正误；利用双勾函数的
单调性可判断 D选项的正误.
【解析】
由 log3 x 2可得 2 log3 x 2
1
，解得 x 9 .
9
作出函数 f x 的图象如下图所示：
1
由图象可得 a 1 b 9 c 11 15 d 17，
9
由 log3 a log3 b ，可得 log3 a log3 b，即log3 a log3 b log3 ab 0，得
ab 1，A选项正确；
πx π π
令 kπ k Z ，解得 x 4k 1 k Z ，
4 4 2
当 x 9,17 时，令9 4k 1 17 ，解得2 k 4 ，由于 k Z ， k 3，
πx π
所以，函数 y 2sin x 9,17 的图象关于直线 x 13对称，
4 4

则点 c, f c 、 d , f d 关于直线 x 13对称，可得c d 26，B 选项错误；
abcd c 26 c c 13 2 169 153,165 ，C选项正确；
a b c 1 1 d a 26，下面证明函数y x 在 0,1 上为减函数，
a x
1 1 1 1
任取 x1、 x2 0,1 且 x1 x2，则 y1 y2 x1 x2 x1 x2
x1 x2 x1 x2
x x x2 x1 x1 x2 x1x2 1 ，
1 2 x1x2 x1x2
0 x1 x2 1，则 x1 x2 0， 0 x1x2 1，所以， y1 y2 ，
1
所以，函数y x 在 0,1 上为减函数，
x
1 1
9 a 1，则 a b c d a a 26
316
28, 9

，D 选项正确.

故选：ACD.
【小结】
已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1） 直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2） 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3） 数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
38. AC
【分析】
根据函数的表达式，作出函数的图像，对于 A，C利用数形结合进行判断，对于 B，D利用
特值法进行判断.
【解析】
1 x 3当 时， f (x) 2x 2
3
；当 x 2时， f (x) 4 2x；
2 2
x 3 1 x x
当 2 x 3，则1 ， f (x) f 1；
2 2 2 2 2
3 x
当3 x 4，则 2， f (x)
1 x x
f 2 ；
2 2 2 2 2
x
当 4 x 6，则2 3， f (x)
1 x
f x 1 ；
2 2 2 4 2
x 1 x x
当6 x 8，则3 4， f (x) f 1 ；
2 2 2 4
依次类推，作出函数 f (x)的图像：
对于 A，函数 y f (x) kx有 4 个零点，即 y f (x)与 y kx有 4 个交点，如图，直线 y kx
1 1 1 1
的斜率应该在直线 m, n之间，又 k ， k k ， , ，故 A正确；
m 6 n 24 24 6
1
对于 B，当 n 1时， f (x) 有 3 个交点，与2n 4 6不符合，故 B错误；
2
3
对于 C，对于实数 x [1, )，不等式2xf (x) 3 0恒成立，即 f (x) 恒成立，由图
2x
3 3
知函数 f (x)的每一个上顶点都在曲线 y 上，故 f (x) 恒成立，故 C正确；
2x 2x
1 1
对于D， 取 n 1， x [1,2]，此时函数 f (x)的图像与x轴围成的图形的面积为 1 1 ，
2 2
故 D错误；
故选：AC
【小结】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1） 直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2） 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3） 数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
39. ABC
【分析】
f (x)
构造 g(x) ，由 f (x)
f (x)
有 g (x) 0，即 g(x)在 (0, )上单调递减，根据各选
x x
项的不等式，结合 g(x)的单调性即可判断正误.
【解析】
f (x) xf (x) f (x)
由 f (x) 知： 0，
x x
g (x) f (x) xf x f x令 ，则 g x 0，
x x2
g x g(x1) g(x2 ) x2 f (x1) x1 f (x )∴ ( )在 (0, ) 2上单调递减，即 0
x1 x2 x1x2 (x1 x2 )
当 x1 x2 0时， x2 f (x1) x1 f (x2 )；当 x1 x2 0时， x2 f (x1) x1 f (x2 )；
x
A： g(x x ) g(x )， g(x x ) g(x ) 1有 f (x x ) f (x )，
1 2 1 1 2 2 x x 1 2 11 2
x2 f (x x ) f (x )，所以 f x x f x f x ；
x x 1 2 2 1 2 1 2
1 2
B:由上得 x2 f (x1)(x1 x2 ) x1 f (x2 )(x1 x2 )成立，整理有
f x f x x 2 f x x 1 f x ；
1 2 x 1 x 2
1 2
x f (2x1 ) f (1) f 2x 2x f (1)
C：由 2x1 1，所以 g(2 1 ) g(1) ，整理得 1 1 ；
2x1 1
D：令 x x 1且 x 1 x 1 ， g(x )g(x ) f (x ) f ( 1 )，
x x
1 2 1 2
时，
2 x 1 2 11
1
g(x1x2 ) g(1) f (1)，
有 g(x1x2 ) g(x1) ， g(x1x2 ) g(x2 )，所以无法确定 g(x1x2 ), g(x1)g(x2 )的大小.
故选：ABC
【小结】
f (x) f (x)
xf (x) f (x)
思路小结：由 形式得到 0，
x x
f (x) xf (x) f (x)
1、构造函数： g(x) ，即 g (x) .
x x
2、确定单调性：由已知 g (x) 0，即可知 g(x) 在 (0, )上单调递减.
3、结合 g(x)单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.
40. BCD
【分析】
W N N 10n ,10n 1先要通过举例，搞清楚 的意义， n N 时， N 的整数部分的位数
为n 1,当 N 10
n ,10n 1 n 1, 2, 3, ,N 的非有效数字中 0的个数为n .然后通过
举例可以否定 A；通过一般性论证判定 B；借助于对数指数运算，和不等式的性质，判定
CD；
【解析】
当 N 10,100 时， N 的整数部分位数为 2，当 N 100,1000 时， N 的整数位数为 3，
一般地， N n 10 ,10
n 1 n N 时， N 的整数部分的位数为 n 1,
当 N 0.1,1 时， N 的非有效数字中0的个数为1，当N 0.01,0.1 时，比如，0.010101023,
n n 1
其非有效数字中 0 的个数为 2，一般地，当 N 10 ,10 n 1, 2, 3, ,N 的非有
效数字中 0的个数为n .
取M 102 ， N 10，则W M 3，W N 2，
W MN W 103 4 5 W M W N ，取
M 500, N 50,W M 3,W N 2,W MN W 25000 5 W M W N ,
故A 有不正确的时候，故 A 错误；
当 n 0时， 1 a 10 ,∴ N a 10 n 10
n ,10 n 1 , W N n，B正确；
因为 N 2100 ,lg2 0.301，则
lg2100 100lg2 30.1, n 30,1030 N 1031, W N 31，故 C 正确；
k N*时，根据定义,由于2k 为正整数，且不可能是 10的倍数，∴存在 m N ,使得
10m 2k 10m 1 ，此时W 2k m 1
10 m 1 2 k 10 m W 2 k， m 1，故 D正
确．故选：BCD．
【小结】
本题考查新定义问题，涉及指数与指数幂的运算，对数与对数运算，难度较大．必要的时候
通过具体实例理解新定义函数的意义是重要的思维途径.在 D的判定中，注意不等式的性质
的运用， k N * 时， 2k 为正整数，且不可能是 10 的倍数是关键的，由此才能得出
10 m 1 2 k 10 m ，特别是右端不能取等号，否则比如0.01 x 0.1的话，不能得出W
x 2的结论，其中W 0.1 1 .注意小数中非有效数字概念，比如 0.010101023 中
10101023是有效数字.
41．1
【分析】
通过换元法将方程变为t 2 m 1 t 1 m 0 x，其中
ex t；利用导数可求得
x
g x x 的大致图象，从而确定其与 y t的交点个数，将所求式子化为e
t 1 2 t 1 2 ，利用韦达定理可求得结果.
1 2
【解析】
x ex x 1 m 0
由
x m 0得： ex
x
ex x e x 1
，
e
x
设 x t，则t 1e m 0， t
2 m 1 t 1 m 0，
t 1
令 g x x ，则 g x 1 x ，
ex ex
g x 在 ,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，
且 g 0 0， g 1 1 ，当 x 0时， g x 0，可得 g x 大致图像如下.
e
x
x x e x x x
要使关于 的方程 ex
x m 0有三个不相等的实数解 1 ， 2 ， 3 ，且x e
x1 0 x2 x3 .
结合图象可得关于t 的方程t 2 m 1 t 1 m 0一定有两个不等的实数根t ,1t 2，
1 m x1 t xt 0 t t t 1 m t t 2 x且 ， ， ，则 ， 3 t .
1 2 1 2 1 2 ex 11 ex2 ex3 2
x 2 1 1 x x3 2 1 1 = t 1
2 t 1 2
ex ex

ex 1 2
1 2 3
t t 2 t t t t 2 2 1 1 +1 1 m 1 m +1 1.
1 2 1 2 1 2
故答案为：1.
【小结】
已知函数零点(方程根)个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1） 直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2） 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3） 数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解
2
42． e2
【分析】
根据不等式恒成立，构造 f (x) e2mx n x (m 0)，有 f (x) 2me2mx n 1，利用二阶导
数研究 f (x)单调性，再讨论 m 0、m 0时 f (x)的单调性，进而确定 f (x)在
x ( 1 , n ) 上的最小值及对应 m、n 的关系式，将 与所得关系式转化为直线与曲线相
m m
n
切的问题，求 的最小值即可.
m
【解析】
令 f (x) e2mx n x (m 0)，则 f (x) 2me2mx n 1，即 f (x) 4m2e2mx n 0，
∴ f (x) 单调递增，
1
∴当m 0时， f (x) 0，即 f (x)在 x ( , )上递减，而当 x 时， f (x) ，
m
1
故不满足 f (x) ；
m
1 n ln(2m)
当 m 0时，若 f (x) 0得 e2mx n ，即 x ，
2m 2m
x n ln(2m)∴ 时， f (x) 0，即 f (x)
n ln(2m)
递减；当 x 时， f (x) 0，即
2m 2m
f (x) n递增；若令 k ，即 m
n
，
1 mn ln(2m) k
则：①当 ，即 n ln(2m) 2， f (x) f ( 1 ) en 2 1 1 恒
m 2m min m m m
成立；
n
e2 n n m e2 n e2 n
∴m 情况下 最小，即直线 与曲线 g(n) 相切，而 g (n) ，
2 m k 2 2
1 n e2 n0g (n ) 2 e2 n0 n 1 e
3 n0
∴ 0
0 时， ，有 0 ，m0 ，则k 2 2 2 m e3
；
0
1 n ln(2m)
当 ，即 n ln(2m) 2，
m 2m
f ( n ln(2m)f (x) )
1 n ln(2m) 1
，得 n ln(2m) 1，
min 2m 2m m
n
e1 n m e
2 n n m e1 n e1 n
∴ 情况下 最小，即直线 与曲线 g(n) 相切，而 g (n) ，
2 2 m k 2 2
1 n0
g (n ) 1 n e 2 2 ne1 n0 n 1 e 0
∴ 0
0 时， ，有 0 ，2 2 m0
，则 ；
k 2 m e20
2 2 n 2
∴综上： ，即 的最小值为 .
e2 e3 m e2
2
故答案为：
e

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