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2023 年 4 高一期中质量检测
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B C C D B D
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11 12
答案 ACD BC BCD ABD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
19 1
13． i；14． ；15 16 20 3 (14 6 5) ． ； ． ， (第一空 2分，第二空 3分)．
2 6 3
四、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】
（1）因为 z 5 5(1 2i) 1 2i
1 2i (1 2i)(1 2i)
所以 z 1 22 5 .
（2）将 z 1 2i代入方程 x2 ax b 0得： (a b 3) i( 2a 4) 0,
a b 3 0
即： 2a 4 0 ，解得：
a 2,b 5.

18．【解析】
（1）设 c (x, y)
y 3x
x 2 x 2
则 2 x y
2 16，得： 或
y 2 3 y 2 3
所以 c (2,2 3)或c ( 2, 2 3) .
（2）由 a b 2a 5b 得 a b 2a 5b 0
- 1 -
即： 2a2 3a b 5b2 0 ，
由 a 1, 3 得： | a |= 2，又 | b | 1，代入上式得 a b 1
所以 cos < a,b > a b 1 ，故 < a,b >
| a | | b | 2 3
19．【解析】
（1）设OA OB r ,SA SB l , 由题意得： l 2 r，得： l 6.
所以 S侧 rl 18 ,S 9 ，S表 S侧 S 27 底 底 .
（2）令 SO R,由O O2 OB2 O B2 ，得 (3 3 R)2 9 R2 ,
解得 R 2 3.
V 4故 球 R
3 32 3 .
3
20．【解析】
（1）由 (b c)(sin B sinC) asin A 3bsinC
得 (b c)(b c) a 2 3bc，即 b2 c2 a2 bc
2 2 2
所以 cos A b c a 1
2bc 2
A 故
3
a b c
（2）由正弦定理 ，得 b 4 3 sinB,c 4 3 sinC
sin A sin B sinC 3 3
则
c b 4 3 (sinC 4 3 sinB）= [sin（B ) sinB]
3 3 3
4 3 ( 3 cos B 1 sin B sin B)
3 2 2
4 3
( 3 cos B 1 sin B) 4 3 cos(B )
3 2 2 3 6
0 B B cos(B ) ( 3 , 3因为 ，所以 ，则 )
3 6 6 6 6 2 2
4 3
所以 cos(B ) ( 2,2)，即 c b ( 2,2) .
3 6
21．【解析】

（1）设 AE AC（ 0，1 ）
- 2 -

CF AF AC AE 2ED AC AE 2(AD AE ) AC

2AD AE AC AB AC AC AC AB AC

CF 2 2 2AB AC AB 2 AB AC 2AC

因为 AB AC 2 所以 CF 4 2， 4 4， 0，1

当 = 1 时， CF 最小
2
1 1 1 2 1 2
此时 AD BE= （AB+AC）（ AC 1-AB）=- AB AB AC AC 3
2 2 2 4 4 2

（2） AE AF= AC AB 1 AC
2
AB AC ( 2 )AC
4 2 6
9
因为 0，1 ，所以 AE AF

0,
4
22．【解析】
（1）因为 4asin A bsinC cos A csin AcosB
所以 4sin2 A sin BsinC cos A sinC sin AcosB
sinC(sin Bcos A sin AcosB)
sinC sin(A B) sin 2C
sin A 1
所以
sinC 2
AD AB
（2） 在△ABD中， ①sin ABD sin ADB
AB2 AD2 BD2 2AD BD cos ADB ②
CD BC
在△BCD中， ③
sin CBD sin CDB
BC 2 CD2 BD2 2CD BD cos CDB ④
因为 BD是 ABC的角平分线
所以 sin ABD sin CBD
因为 ADB CDB
所以 sin ADB sin CDB， cos ADB cos CDB 0
AD AB① ③得： ⑤
CD BC
AD AB CD BC
所以 ，
AC AB BC AC AB BC
- 3 -
所以 CD ② AD ④得：
CD AB2 AD BC 2 CD AD (AD CD ) (CD AD ) BD2
CD AD AC AC BD 2
2 2
所以 BD2 CD AB AD BC CD AD
AC
BC AB2 AB BC 2
CD AD
AB BC
=BA BC DA DC ，得证.
(ii)由（1）知： c 2a 2
AD AB
由⑤式知（或由角平分线定理知）： 2
CD BC
所以 AD 2 1 AC，DC AC
3 3
BD2 2 2 AC 2所以 由(i)知：
9
BD2 2所以 AC 2 2
9
因为 BD2 2 AC 2 2 2 BD AC 2 ，当且仅当 BD AC 时取得等号
9 3 3
BD AC 3 2所以
2
- 4 -绝密★启用并使用完毕前
2022一2023学年下学期高一期中学情检测
数学试题
本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷
上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，
1.(2-i)(1+i)=
A.3+i
B.1-2i
C.3-i
D.3
2.若向量OB=(3,2),AB=(一4,5)，则点A的坐标为
A.(-1,7)
B.(7,-3)
C.(-1,-3)
D.(7,7)
3,对于横纵坐标均为整数的向量，若它们的模相同，坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”
如向量(1,1)，(1，一1)，(-1,1)，（一1，一1）是模为√2的“等模整向量”，则模为√10的“等
模整向量”的个数为
A.4
B.8
C.10
D.12
4.“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火
及灾涝等原因，屡毁屡建，今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼
上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，
为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东
相距104（单位：米）的A,B两个观测点，在
A点测得超然楼在北偏东60°的点D处
D
(A,B,D在同一水平面上)，在B点测得
超然楼在北偏西30°，楼顶C的仰角为45°，
则超然楼的高度CD(单位：米)为
A.26
B.26√3
C.52
D.523
高一数学试题第1页（共4页）
5,矩形ABCD中，AB=3,AD=2,M为线段AB上靠近A的三等分点，N为线段BC的中点，
则DM·AN=
A.-1
B.0
C.1
D.7
6.三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC上分别有三点E,F,G,且
P驱=1，e=
EA-1 FB-2'GC
号，则三棱锥P-ABC与P-EFG的体积之比是
A.6
B.8
C.12
D.24
7.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若m=(b,b),n=(cosC,W3sinC),
m·n=a十c,则B=
A.
B
c
D君
8.已知A,B,C,D四点都在表面积为100π的球O的表面上，若AD是球O的直径，且BC=
4,∠BAC=150°，则三棱锥A一BCD体积的最大值为
A.4√3
B.8√3
C.4(2-√3)
D.8(2-√3)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，
9.关于复数21，z2,之3，下列说法中正确的是
A.|1=1
B.z=之112
C.z1·（z2十之3)=1·22十之1·23
D.1十之2=z1十z2
10.已知正四棱台ABCD一A1B1C1D1中，AB=4,A1B1=2,AA1=2,则关于该正四棱台，下
列说法正确的是
A∠A1AB=8
B.高为√2
C体积为282
3
D.表面积为123
11.石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边形，正六边形ABCDEF为其中的一个六
元环，设AB=1,P为正六边形ABCDEF内一点（包括
边界)，则下列说法正确的是
A.AD=4AB+4A京
B.AC.AD=3AB
C.AD在AB上的投影向量为AB
D.A市.A店的取值范围为[一合·]
高一数学试题第2页（共4页）

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