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利用直线参数方程t的几何性质解题
过定点、倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数），其中t表示直线上以定点为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段的数量，由此，易得参数t具有如下 的性质：若直线上两点A、B所对应的参数分别为
，则
性质一：A、B两点之间的距离为，特别地，A、B两点到的距离分别为
性质二：A、B两点的中点所对应的参数为，若是线段AB的中点，则
，反之亦然。
在解题时若能运用参数t的上述性质，则可起到事半功倍的效果。
应用一：求距离
例1、 已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.
解:因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是 (t为参数)
即 (t为参数)
把它代入抛物线的方程,得
解得
由参数t的几何意义得


点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.
例2、直线l过点P(1，2)，其参数方程为(t是参数)，直线l与直线 2x +y ?2 =0 交于点Q，求PQ。
解：将直线l的方程化为标准形式，代入 2x +y ?2 =0得 t' = ，
∴ PQ = | t'| = 。
点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。
例3、经过点P(?1，2)，倾斜角为  的直线 l与圆 x2 +y2 = 9相交于A，B两点，求PA +PB和PA · PB的值。
解：直线l的方程可写成，代入圆的方程整理得：t2 +t?4=0，设点A，B对应的参数分别是t1 ，t2，则t1 +t2 = ?，t1 ·t2 = ?4，由t1 与t2的符号相反知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 ?t2| =  = 3，PA · PB =| t1 · t2 | = 4。
点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。
例4、设直线经过点(1,5),倾斜角为,
1)求直线和直线的交点到点的距离;
2)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.
解:直线的参数方程为( t为参数)
1)将直线的参数方程中的x,y代入,得t=.所以,直线和直线的交点到点的距离为
2)将直线的方程中的x,y代入,得设此方程的两根为,则==10.可知均为负值,所以=
点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。
应用二：求直线与曲线相交的弦长
例1、已知抛物线y2 = 2px，过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，求证：。
分析：弦长AB = |t1 ?t2|。
解：由条件可设AB的方程为(t是参数)，代入抛物线方程，
得 t2 sin2 θ ?2pt cos θ ?p2 = 0，由韦达定理：，
∴ AB = |t1 ?t2| =  =  = 。
例2、 过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.
解? 因直线的倾角为，则斜率为－1，又抛物线的焦点为F(1，0)，则可设AB的方程为
?? (为参数)
代入整理得
由韦达定理得t1＋t2=，t1t2=－16。
∴===.
例3、直线过点，倾斜角为，且与圆相交于A、B两点。
（1）求弦长AB.
（2）求和的长。
解：因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为
，即，（t为参数），代入圆方程，得
，整理得
（1）设A、B所对应的参数分别为，所以，，
所以
（2）解方程得，，
所以，
应用三：求点的坐标
例1、一个小虫从P（1，2）出发，已知它在 x轴方向的分速度是?3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。
分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程(t是参数)。
解：由题意知则直线PQ的方程是，其中时间t 是参数，将t=3s代入得Q（?8，12）。
例2、求点A（?1，?2）关于直线l：2x ?3y +1 =0的对称点A' 的坐标。
解：由条件，设直线AA' 的参数方程为 (t是参数)，
∵A到直线l的距离d = ， ∴ t = AA' = ，
代入直线的参数方程得A' (? ，)。
点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。
例3、直线过点，倾斜角为，求出直线上与点相距为4的点的坐标。
解：因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为
，即，（t为参数）， （1）
设直线上与已知点相距为4的点为M点，且M点对应的参数为t，则
，所以，将t的值代入（1）式，
当t＝4时，M点的坐标为；
当t＝－4时，M点的坐标为，
综上，所求M点的坐标为或.
点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。
应用四：解决有关弦的中点问题
例1、已知经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标.
解:设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为,由已知可得:
cos,
所以,直线的参数方程为(t为参数)
代入,整理得
中点M的相应的参数是=
所以点M的坐标为
点评:在直线的参数方程中,当t>0,则的方向向上;当t<0,则的方向向下,所以A,B中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.
例2、过点，倾斜角为的直线和抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点M点的坐标。
解：直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为
，（t为参数），因为直线和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程
中，得：，整理得，
，设这个二次方程的两个根为，
由韦达定理得，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得
，易知中点M所对应的参数为，将此值代入直线的参数方程得，M点的坐标为（2，1）
点评：对于上述直线的参数方程，A、B两点对应的参数为，则它们的中点所对应的参数为
应用五：求点的轨迹问题
例1、已知双曲线 ，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。
分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。
解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ ?sin2θ) t2 +2(2x0cosθ ?y0sinθ)t + (2x02 ?y02 ?2) = 0，
由题意t1 +t2=0，即2x0cosθ ?y0sinθ =0，得。
又直线P1P2的斜率 ，点P（2，1）在直线P1P2上，
∴，即2x2 ?y2 ?4x +y = 0为所求的轨迹的方程。
应用六：求与离心率有关的问题
例1、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若FA =2FB，求则椭圆的离心率。
分析：FA =2FB转化成直线参数方程中的 t1= ?2t2或|t1| =2|t2|。
解：设椭圆方程为 ，左焦点F1（c，0），直线AB的方程为，代入椭圆整理可得：(b2 +a2)t2 ? b2ct ?b4 = 0，由于t1= ?2t2，则
，①2×2+②得：，将b2 =a2 ?c2代入，
8 c2 = 3 a2 + a2 ?c2，得 ，故e = 。
在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用 t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。
?例2、? 椭圆与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。
分析：如果按常规设p(x,y),OP2+AP2=OA2,展开，与离心率没有明显的联系，但用参数方程就非常容易。
?解：设椭圆上的点P的坐标是（）（α≠0且α≠π），A（a，0）。
?则。而OP⊥AP，
?于是，整理得
?解得（舍去），或。
因为，所以。可转化为，解得，于是。故离心率e的取值范围是。
?点评：有关离心率入手比较困难的问题时我们可以考虑应用参数方程求解。

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