资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第五模块 三角形计算与证明
【课标要求】
三角形
（1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性.
（2）探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边.
（3）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.
（4）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
（5）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
（6）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等.
（7）证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等.
（8）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
（9）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上.
（10）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形.
（11）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
（12）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问.
（13）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
（14）了解三角形重心的概念.
四边形
（1）了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
（2）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.
（3）探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.
（4）了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.
（5）探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.正方形具有矩形和菱形的一切性质.（6）探索并证明三角形的中位线定理.
【考点梳理】
考点一：全等三角形的判定与性质
1.全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“ ”．
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ ”.
（3）两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“ ”．
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ ”．
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“ ”．
2.全等三角形的性质：全等三角形的 相等，对应 相等．
3.注意事项：
（1）说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际
图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
（2）注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边与一
角对应相等的两个三角形也不一定全等．
考点二：特殊三角形的性质与判定
（1）直角三角形性质
角的关系： ；
边的关系： .
边角关系： .
等面积： .
外接圆的半径R= .
内切圆的半径r= .
（2）等腰三角形性质
角的关系： .
边的关系： .
轴对称图形，有 条对称轴.
（3）等边三角形性质
①角的关系：∠A=∠B=∠C=600；
②边的关系：AC=BC=AB；
③轴对称图形，有 条对称轴.
（4）三角形中位线：
注意：两个重要定理
角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角 的 相等；到角两边的
距离相等的点在这个角的 上；三角形的三条角平分线相交于一点.（ ）
垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个 的距离相等；
到线段两端点的距离相等的点在这条线段的 上；三角形的三边的垂直平分
线相交于一点.（ ）
考点三：相似三角形
一、比例线段
1．比例线段的定义
在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即__________________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称__________．
2．比例线段的基本性质
＝ad＝bC．
3．平行线分线段成比例
(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段____________________.
(2)平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边________________________________.
二、相似多边形
1．定义
对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做________，相似比为1的两个多边形全等．
2．性质
(1)相似多边形的对应角________，对应边成________；
(2)相似多边形周长的比等于________；
(3)相似多边形面积的比等于__________．
三、相似三角形
1．定义
各角对应________，各边对应成________的两个三角形叫做相似三角形．
2．判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与________相似；
(2)两角对应________，两三角形相似；
(3)两边对应成________且夹角________，两三角形相似；
(4)三边对应成________，两三角形相似；
(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
3．性质
(1)相似三角形的对应角________，对应边成________；
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于________；
(3)相似三角形周长的比等于________；
(4)相似三角形面积的比等于____________．
四、位似图形
1．定义
两个图形不仅 ，而且 ，这样的两个图形称为位似图形。
2．性质
若两个图形位似，则对应点的连线相交于 ，并且对应点到位似中心的距离之比等于________．
3．画位似图形的步骤
(1)确定位似________；
(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)；
(3)按位似比进行取点；
(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形．
五、平行投影和中心投影
在平行光的照射下，同一时刻不同物体的 与 成比例.
例1.图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形。
(1)如图1，求证：AD=CE；
(2)如图2，设CE与AD交于点F，连接BF.
①求证：∠CFA=600；
②求证：CF+BF=AF.
跟踪训练
1（2020 烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
例2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在直线BC上，△ADE是等腰直角三角形，∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．
（1）当点D在线段BC上时，如图1，求证：DC+CE=AC；
（2）当点D在线段CB延长线上时，如图2，求证：AC=CD-CE
（3）当点D在线段BC延长线上时（如图3），探究线段DC、CE、AC之间的数量关系，并证明．
跟踪训练
2.（2019 枣庄）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；
（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+ANAM．
例3．（潍坊市2020年）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．
（1）当时，求证：；
（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．
跟踪训练
3.如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．
4.如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC的中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF = BC.
求证：
(1)DF = AE；
(2)DF⊥AC
例4如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．
（1）求证：BE＝BF；
（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．
跟踪训练
5如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．
（2）若AB=3，EC=5，求EM的长．
例5．问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：　 　；
（2）AD的取值范围是　 　；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
例6.【问题探究】
（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
①请探究AD与BD之间的位置关系：　 　；
②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为　 　；
【拓展延伸】
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．
跟踪训练
6（2020年枣庄市）在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
（3）若，，求DN的长．
7．（2020 福建）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：．
例7.如图1，四边形的对角线，相交于点，，．
图1 图2
（1）过点作交于点，求证：；
（2）如图2，将沿翻折得到．
①求证：；
②若，求证：
跟踪训练
8（2021）在矩形中，，点，分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处．
（1）如图1，当与线段交于点时，求证：；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，交于点，求证：点在线段的垂直平分线上；
（3）当时，在点由点移动到中点的过程中，计算出点运动的路线长．
达标训练
1.已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF。
如图1，当∠BAC=900且AB=AC时，则AE与CF满足的数量关系是_______;
如图2，当∠BAC=900且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
如图3，延长AO到点D，使OD=OA，连接DE，当AO=CF=5，BC=6时，求DE的长。
2.如图,在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中,∠BEF=900，BE=EF，连接PF，点P是FD的中点，连接PE、PC.
(1)如图1,当点E在CB边上时,求证：PE=CE；
(2)如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明。
3.已知:如图27-6-13,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,点F在边AB上,BC2=BF·BA,CF与DE相交于点G.
(1)求证:△BCF∽△DGF;
(2)求证:DF·AB=BC·DG;
(3)当点E为AC中点时,求证:2DF·EG=AF·DG.
4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；
（2）如图2，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．
5如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F.
（1）如图①，当＝时，求的值；
（2）如图②，当DE平分∠CDB时，求证：AF＝OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG.
6．（14分）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝　 　；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 　 　．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 　 　．
答案
例1解答 证明：（1）如图1，∵△ABC与△BED都是等边三角形，
∴BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
∵AB=AC，∠ABD=∠CBE，BD=BE
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，
（2）①如图2，由（1）得：△ABD≌△CBE，
∴∠BCE=∠DAB，
∵∠ABC=∠BCE+∠CEB=60°，
∴∠ABC=∠DAB+∠CEB=60°，
∵∠CFA=∠DAB+∠CEB，
∴∠CFA=60°，
②如图3，在AF上取一点G，使FG=CF，连接CG，
∵∠AFC=60°，
∴△CGF是等边三角形，
∴∠GCF=60°，CG=CF，
∴∠GCB+∠BCE=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACG+∠GCB=60°，
∴∠ACG=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACG≌△BCF，
∴AG=BF，
∵AF=AG+GF，
∴AF=BF+CF．
点评 本题是三角形的综合题，难度不大，考查了等边三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角形的各边相等，且各角都是60°，在三角形中常利用外角定理得出角的大小关系，因此要熟练掌握；线段的和的证明常作辅助线帮助解决，辅助线的作法有两种：①在长边上截取短边的长，②延长短边等于长边．
跟踪训练1
【详解】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．全等三角形的判定与性质．平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
例2（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
即∠BAD+∠DAC=90°，
同理有AD=AE，∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAE
AD=AE
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴BC=CE+DC，
在Rt△ABC中，BC=AC，
∴CE+DC=AC
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
即∠BAE+∠EAC=90°，
同理有AD=AE，∠DAB+∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAE
AD=AE
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
又∵BC+BD=CD，
∴BC=CD-CE，
即AC=CD-CE；
（3）在△ACE和△ABD中，
AB=AC
∠BAD=∠CAE
AD=AE
∴△ACE≌△ABD，
∴BD=CE，
即BC+CD=CE，
∴BC=CE-CD，
∴AC=CE-CD．
跟踪训练2.
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵AB＝2，
∴AD＝BD＝DC，
∵∠AMN＝30°，
∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠MBD＝30°，
∴BM＝2DM，
由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（）2，
解得，DM，
∴AM＝AD﹣DM；
（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA）
∴BE＝AF；
（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，
∴∠AME＝90°，
则AEAM，∠E＝45°，
∴ME＝MA，
∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，
∴∠BME＝∠AMN，
在△BME和△NMA中，
，
∴△BME≌△NMA（ASA），
∴BE＝AN，
∴AB+AN＝AB+BE＝AEAM．
例3【详解】
（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90，
∴∠EFB=90，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，
∴BC=AB =，CD= AC+ AD=，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3）△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图：
∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G，
∴AG=BC=，∠GAB=45，
∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135，
∴△BCD的面积的最大值为：，
旋转角．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题
跟踪训练
3
（1）证明：在平行四边形ABCD中，
∵AD=AC，AD⊥AC，
∴AC=BC，AC⊥BC，
连接CE，
∵E是AB的中点，
∴AE=EC，CE⊥AB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠ECF=∠EAD=135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF=∠AED=90°-∠CED，
在△CEF和△AED中，∠CEF=∠AED，EC=AE
∴△CEF≌△AED，
∴ED=EF；
（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，
∵AD=AC，
∴AC=CF，
∵DP∥AB，
∴FP=PB，
∴CP=AB=AE，
∴四边形ACPE为平行四边形；
（3）解：垂直，
理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，
∵∠NAE=∠EAM=45°，
∴EM=EN，
在△RtDME与Rt△FNE中，
∴△DME≌△FNE，
∴∠ADE=∠CFE，
在△ADE与△CFE中，∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠FCE=135°，DE=EF
∴△ADE≌△CFE，
∴∠DEA=∠FEC，
∵∠DEA+∠DEC=90°，
∴∠CEF+∠DEC=90°，
∴∠DEF=90°，
∴ED⊥EF．
点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
4解答 证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴ED∥BC，ED=BC．
∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，
∴AG=BG，DG⊥AB．
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．
又BF=BC，
∴BF=DE．
∴在△AED与△DFB中，
AD=BD，∠ADE=∠DBF，ED=FB ，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴AE=DF，即DF=AE；
（2）设AC与FD交于点O．
∵由（1）知，△AED≌△DFB，
∴∠AED=∠DFB，
∴∠DEO=∠DFG．
∵∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．
点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件
例4【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°
∵CD⊥AB，AC＝BC
∴BD＝AD，∠BCD＝30°，
∵AF⊥AC
∴∠FAC＝90°
∴∠FAB＝∠FAC﹣∠BAC＝30°
∴∠FAB＝∠ECB，且AB＝BC，AF＝CE
∴△ABF≌△CBE（SAS）
∴BF＝BE
（2）AF＝2GD，AF∥DG
理由如下：
连接EF，
∵△ABF≌△CBE
∴∠ABF＝∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC＝60°
∴∠ABE+∠ABF＝60°，且BE＝BF
∴△BEF是等边三角形，且GE⊥BF
∴BG＝FG，且BD＝AD
∴AF＝2GD，AF∥DG
跟踪训练
5解：（1）证明：∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形，
∴AD∥CG，AH∥DG，
∴四边形ADGH为平行四边形，AD=HG．
∵AD=BC，∴BC=HG，∴BC+CH=HG+CH，即BH=CG．
∴GF=BH．
在△ABH和△HGF中，
AB=HG，∠B=∠HGF，BH =GF，
∴△ABH≌△HGF．
∴∠BAH=∠GHF，AH=HF．
∵∠BAH+∠BHA=90°，
∴∠GHF+∠BHA=90°．
∴∠AHF=90°．∴△AHF为等腰直角三角形．
（2）∵AB=3，EC=5，
∴AD=CD=3，CE=EF=5．∴DE=2．
∵AD∥EF，∴．
∴EM=DE=．
例5
解：（1）如图1，AD是中线，
在与中，
故答案为：
（2）
故答案为：
（3）证明：延长至点，使，
∵是的中线，∴，
在和中
∴，
∴，
又∵，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
又∵
∴
（4）证明：延长至点使，连接．．
∵G为的中点，∴
∴
∴
在中，∵，
∴，
又矩形中，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又为的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
在和中，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵G为的中点，
∴，
即．
【点睛】本题考查的是倍长中线法证明三角形全等，同时考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
例6【解答】解：【问题探究】
（1）∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ABC＝∠DEC＝45°＝∠CDE
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，CE＝CD
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠ADC＝∠BEC＝45°
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°
∴AD⊥BD
故答案为：AD⊥BD
②如图，过点C作CF⊥AD于点F，
∵∠ADC＝45°，CF⊥AD，CD＝
∴DF＝CF＝1
∴AF＝＝3
∴AD＝AF+DF＝4
故答案为：4
【拓展延伸】
（2）若点D在BC右侧，
如图，过点C作CF⊥AD于点F，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE
∴∠ADC＝∠BEC，
∵CD＝，CE＝1
∴DE＝＝2
∵∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝∠CFD＝90°
∴△DCE∽△CFD，
∴
即
∴CF＝，DF＝
∴AF＝＝
∴AD＝DF+AF＝3
若点D在BC左侧，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE
∴∠ADC＝∠BEC，
∴∠CED＝∠CDF
∵CD＝，CE＝1
∴DE＝＝2
∵∠CED＝∠CDF，∠DCE＝∠CFD＝90°
∴△DCE∽△CFD，
∴
即
∴CF＝，DF＝
∴AF＝＝
∴AD＝AF﹣DF＝2
跟踪训练
6【详解】（1）证明：∵，，CD是中线，
∴，，
∴．
在△DCE与△DCF中，，
∴．
∴；
（2）证明：∵，
∴
∵，
∴．
∴．
∴，即．
（3）如图，过D作于点G，
则，．
当，时，
由，得．
在中，
．
∵，，
∴．
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
7【解析】（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，
在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
（2）①DF＝PF．
证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，
∴DF＝PF．
②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，
∴∠HPF＝∠DEP，，
∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，
∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，
∴∠DEP＝∠DAC，
又∵∠CDF＝∠DAC，
∴∠DEP＝∠CDF，
∴∠HPF＝∠CDF，
又∵FD＝FP，∠F＝∠F，
∴△HPF≌△CDF（ASA），
∴HF＝CF，
∴DH＝PC，
又∵，
∴．
例7【详解】解：（1）连接CE，
∵，
∴，
∵，，，
∴△OAE≌△OCD，
∴AE=CD，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE=CD，OE=OD，
∵，
∴CD=BE，
∴；
（2）①过A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，连接CE，
由（1）得，，
∴，
由翻折的性质得，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴EF=DE，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴CD=AE=BE，
∵AF∥CD，
∴，
∵EF=DE，CD=BE，，
∴△BEF≌△CDE（SAS），
∴，
∵，
∴∠CED=∠BCD，
又∵∠BDC=∠CDE，
∴△BCD∽△CDE，
∴，即，
∵DE=2OD，
∴．
跟踪训练
8【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折变换可知，∠DEF＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF．
（2）证明：如图2中，连接AC交EF于O，连接PM，PO．
∵AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
∵PE＝PF，
∴PO平分∠EPF，
∵PE＝PF，AD＝BC，AE＝FC，
∴ED＝BF，
由折叠的性质可知ED＝EH，所以BF＝EH，
∴PE﹣EH＝PF﹣BF，
∴PB＝PH，
∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，
∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），
∴PM平分∠EPF，
∴P．M，O共线，
∵PO⊥EF，OE＝OF，
∴点M在线段EF的垂直平分线上．
（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC．
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝＝，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABO＝∠OAB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，
∴点G运动的路径的长＝＝π．
故答案为：π．
达标训练
1解：（1）∵AB=AC，∠BAC=900,OC=OB
∴OA=OC=OB,AO⊥BC
∵∠AOC=∠EOF=900
∴∠AOE=∠COF
∵OE=OF
∴△AOE≌△COF
∴AE=CF
结论成立
理由：
∵∠BAC=900,OC=OB
∴OA=OC=OB
∵∠AOC=∠EOF
∴∠AOE=∠COF
∵OA=OC,OE=OF
∴△AOE≌△COF
∴AE=CF
∵OA=OD
∴OE=OA=OD=5
∴∠AED=900
∵OA=OE,OC=OF,∠AOE=∠COF
∴
∴△AOE∽△COF
∴
∵CF=0A=5
∴
∴AE=
∴DE===
2
（1）延长EP交DC于点G，如图（1）所示：
∵∠FEC=∠DCE=90°，
∴EF∥CD，
∴∠PFE=∠PDG，
又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD
∴△PEF≌△PGD（AAS），
∴PE=PG，EF=GD，
∵BE=EF，
∴BE=GD．
∵CD=CB，
∴CG=CE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CP⊥GE，CP=EG=PE，
∴△CPE是等腰直角三角形．
∴PE=CE；
（2）PE=CE；
理由如下：如图（2）所示：
延长EP交CD的延长线于点G，
∵∠FEB+∠DCB=180°，
∴EF∥CD，
∴∠PEF=∠PGD，
又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，
∴在△PEF和△PGD中，
，
∴△PEF≌△PGD（AAS），
∴PE=PG，EF=GD，
∵BE=EF，
∴BE=GD．
∵CD=CB，
∴CG=CE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CP⊥GE，CP=EG=PE，
∴△CPE是等腰直角三角形．
∴PE=CE；
3.证明　(1)∵DE∥BC,∴∠FDG=∠FBC,又∠DFG=∠BFC,
∴△BCF∽△DGF.
(2)∵BC2=BF·BA,
∴=,
又∠ABC=∠CBF,
∴△BAC∽△BCF.
由(1)知△BCF∽△DGF,
∴△DGF∽△BAC,
∴=,
∴DF·AB=BC·DG.
(3)如图,作AH∥BC交CF的延长线于H,
∵DE∥BC,
∴AH∥DE.
∵点E为AC的中点,
∴AH=2EG.
∵AH∥DG,
∴△AHF∽△DGF,
∴=,
∴=,
即2DF·EG=AF·DG
4．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，
则∠BDE+∠FDE＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠FDE+∠ADF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠C＝45°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD＝180°﹣∠C＝135°，
∵∠BFD＝45°，DF⊥BC，
∴∠BFD＝45°，BD＝DF，
∴∠AFD＝135°，
∴∠EBD＝∠AFD，
在△BDE和△FDA中
，
∴△BDE≌△FDA（ASA），
∴AD＝DE；
（2）解：DE＝AD，
理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，
则∠BDE+∠GDE＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠GDE+∠ADG＝90°，
∴∠BDE＝∠ADG，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠C＝60°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD＝180°﹣∠C＝120°，
∵∠ABC＝30°，DG⊥BC，
∴∠BGD＝60°，
∴∠AGD＝120°，
∴∠EBD＝∠AGD，
∴△BDE∽△GDA，
∴＝，
在Rt△BDG中，＝tan30°＝，
∴DE＝AD．
5
（1）∵ ，∴ 。∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC。∴△CEF∽△ADF。∴ 。∴ 。∴ 。（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF。又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD。又∵∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，∴∠ADF=∠AFD。∴AD=AF。在Rt△AOD中，根据勾股定理得： ，∴AF= OA。（3）证明：连接OE，∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点，∴点O是BD的中点。又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线。∴OE∥CD，OE= CD。∴△OFE∽△CFD。∴ 。∴ 。又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD。∴△EGF∽△ECD。∴ 。在Rt△FGC中，∵∠GCF=45°，∴CG=GF。又∵CD=BC，∴ 。∴ 。∴CG= BG。
6【解答】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，
∴cos∠ABD＝＝，
如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，
∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，
∴∠DBF＝∠ABE＝90°，
∴△FBD∽△EBA，
∴＝，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOB＝∠AOF，
∴∠DBA＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，
故答案为：，30°；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，
∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵＝，
∴△ABE∽△DBF，
∴＝，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠ABD＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．
拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，
∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，
∴BE＝，AD＝2，DB＝4，
∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，
∴EF＝1，
∵D、E、F三点共线，
∴∠DEB＝∠BEF＝90°，
∴DE＝＝＝，
∵∠DEA＝30°，
∴DG＝DE＝，
由（2）可得：＝，
∴，
∴AE＝，
∴△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；
如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，
同理可求：△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；
故答案为：或．
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑