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徐州市2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
(考试时间120分钟 试卷满分150分)
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2. 三角形的内角的对边的长分别为.向量.若，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
3．若复数满足，则（ ）
B.
C. D.
定义：，其中为向量、的夹角，若，，，则
（ ）
A. B. C. D.
5.等腰三角形的底和腰之比为（黄金分割比）的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形.如图，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，且黄金三角形的顶角,根据这些信息，
可求得的值为（ ）
B． C． D．
6.已知，，均为锐角，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知点P是△ABC所在平面内的点，有下列四个等式：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8.已知锐角三角形的内角的对边的长分别为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．
9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 复数的虚部为
C. D. 若复数满足，则的最大值为2
10. 下列等式成立的是（　　）
A. B.
C. D.
11.已知是边长为的等边三角形，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
12.在中，内角的对边的长分别为.则下列结论中正确的是　　
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则面积的最大值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知单位向量的夹角为，则　 　．
14.已知，则 ; .（第一空2分，第二空3分）
15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞“三沙永乐龙洞”．若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，且、、、在同一平面内.测得
，则、两点的距离为______.
在中，内角的对边的长分别为若，
则___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数，，.
（1）当时，求的值;
（2）若是纯虚数，求的值;
（3）若在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围.
18.已知向量，，在同一平面上，且，
（1）若与垂直，求的值；
（2）若（其中），当取最小值时，求与的夹角的大小.
19.已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
20.在中，内角的对边的长分别为.且．
（1）若，求角；
（2）设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值．
21.已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数.
(1)若，求的特征向量；
(2)设向量、的特征函数分别为、.记函数.
（ⅰ）求的单调增区间；
（ⅱ）若方程在上的解为，求.
22.为提升城市旅游景观面貌，某市城建部门拟对一公园进行改造.已知原公园是直径为米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，间距离为米，按照设计要求，取圆弧上一点，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．
（1）若时，点与出入口的距离为多少米？
（2）点设计在什么位置时，免费开放的植物园区域
面积最大？最大面积为多少平方米？2022~2023学年度第二学期期中考试
高一数学参考答案
一、单项选择题:
1. B. 2. B 3．C 4．D 5.C 6.A 7.B 8.C
二、多项选择题：
9. AD 10. BCD 11.ABD 12.AD
三、填空题：
13. 14. ， 15. 16.
四、解答题：
17．解：（1）当时，
； ...................3分
由纯虚数可得：，解得； ........................6分
（3）， ............8分
所以在复平面上复数对应点， ...........................9分
因为点位于第二象限点，可得，解得，
所以的范围是. ............... ................ 10分
18.解:(1)法一：因，，则，，.....2分
由与垂直可得：， .......................3分
即: .......................5分
解得： ............... .............6分
法二：由与垂直可得：， .......................1分
即： ...........................2分
即：， ......................5分
解得： ...................6分
(2)法一：由，，及，得， ............7分
所以， ............. .............8分
则当时，取最小值，此时 ...... .............10分
而，即有，则，
所以向量与的夹角为. ....................12分
法二：因为 ..... ............7分
所以， ......... .............8分
以下同法一：
19.解：（1）因为，所以， ...................1分
. ...........................2分
.............................3分
. ............................4分
. .............................5分
（2）因为，
故. .........................6分
所以， .........................8分
. ..................10分
所以. .........12分
20.解：(1)因为， 依据正弦定理，
可得：，
即， .....................2分
由余弦定理知：， .....................3分
因为，所以． ...........................4分
则在中，，，由正弦定理得：
又， .....................5分
因为，所以． .......................6分
(2)法一：因为， ................7分
又是的角平分线和得：
即， 所以， ................10分
因，，，且，故AD
当且仅当取等号，
所以最大值为． .....................12分
法二：因为， ....................7分
在和中，由正弦定理可得：
,
又由，
将两分式相比得： ， 即：. .....................8分
则：，即：,
亦即： .....................9分
所以
即： ..........................10分
以下同法一：
21.解：(1）
........................2分
所以的特征向量为 .....................3分
（2）由向量、可知：，
.........................4分
..........................5分
（ⅰ）由，可得，
即函数的单调增区间为 .................7分
（ⅱ）令，又，则
所以
当时，的图象关于对称，且，
当时，的图象关于对称，且，
所以等价于，
设为与的两交点的横坐标，则， ...................9分
由为方程的两个解可得：，
即，即， ..........................10分
所以
....................12分
解：（1）设，易知 .......2分
在中，由余弦定理易知:， .........3分
即：
解得:
故：点与出入口的距离为米. ........................5分
（2）设，，
在中，由余弦定理易知，，
..................6分
①， .................7分
由正弦定理易知 ， ②， ...................8分
将①②代入下列式子中：
.......................9分
.........................10分
当即时，的最大值为 ...................11分
答：当时，免费开放的植物园区域面积最大，且最大面积为
平方米. ..............12分

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