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专题一 分式的化简与求值及解不等式（组）
【复习目标】
1.掌握分式的基本性质；能用分式的相关知识对分式进行化简与求值；
2.掌握不等式的基本性质；会解一元一次不等式（组）.
【知识梳理】
知识点一 分式的性质
1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子表示为 .
2.最简分式：当一个分式的分子和分母，
时，这样的分式叫做最简分式.
3.约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．
约分的关键是确定分式的分子、分母的 . 确定分子、分母公因式的方法： .
4.通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.通分的关键是确定几个分式的 .确定最简公分母的方法： .
知识点二 分式的运算（用字母表示）
（1）加减法法则：①同分母的分式相加减： .
②异分母的分式相加减： .
（2）乘法法则： .乘方法则： .
（3）除法法则： .
（4）分式的混合运算顺序： .
（注意：1.分式化简时，若分子分母能因式分解，一定要先因式分解，再进行化简.
当整式与分式进行加减运算时，要将整式看作分母为“1”的分式，然后进行通分.
3.结果必须化为最简分式. 4.符号意识：分式化简过程中要特别注意常见的符号变形，如x-y=-(y-x),-x-y=-(x+y)）
知识点三 不等式及一元一次不等式（组）
1.不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向 .
不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向 .
不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向 .
2.一元一次不等式
解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
3.一元一次不等式组
（1）解集：一般的，几个不等式的解集的 ，叫做他们所组成不等式组的解集.
（2）解法：先求出各个不等式的解集，然后求出解集的公共部分，可以借助数轴确定他们的公共部分(口诀：同大取大，同小取小，大小小于中间找，大大小小无处找)
【典型例题】
考点一 分式的运算：
例1.（2022 十堰）计算：÷（a+）．
跟踪训练
1.化简
考点二 分式的化简求值：
例2.（2022 营口）先化简再求值：（a+1﹣）÷，
其中a＝+|﹣2|﹣（）﹣1．
跟踪训练
2.先化简，再求值： ﹣xy（+），其中（x，y）是函数y＝2x与y＝的图象的交点坐标．
3.（2022 滨州）先化简，再求值：（a+1﹣）÷，
其中a＝tan45°+（）﹣1﹣π0．
考点三 解一元一次不等式（组）：
例3．解不等式，把解集在数轴上表示出来，并写出它的最大整数解．
例4.解不等式组
跟踪训练
4.求不等式的所有自然数解
5.求不等式组的所有整数解.
【巩固训练】
1.（2022 聊城）先化简，再求值：÷（a﹣）﹣，
其中a＝2sin45°+（）﹣1．
2.（2022 郴州）先化简，再求值：÷（+），
其中a＝+1，b＝﹣1．
3.（2022 威海）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
4.先化简，再求值：，其中|x|＝2．
5.先化简，再求值：
，其中a,b满足.
6.（2022 潍坊）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
7.（2022 扬州）解不等式组 并求出它的所有整数解的和．
8.解下列不等式组（1）； （2）1＜3x-2＜4；
9.解下列不等式组
（1） （2）．
10.先化简，再求值：（ ）÷（x+2），其中x是不等式组的整数解．
先化简再求值：，其中x满足x2﹣3x﹣1＝0．
专题一 分式的化简与求值及解不等式（组）
参考答案
【知识梳理】
知识点一
值不变
没有公因式
公因式 公因式 系数取最大公约数与相同字母最低次幂的乘积
同分母 最简公分母 各分母所有因式最高次幂的积
知识点二
，
（2），
（3）
（4）先乘除，后加减，右括号先算括号里边的
知识点三
1.不变 不变 改变
3.公共部分
例1 跟踪训练1
例2
解：原式＝
＝
＝
＝
＝，
∵a＝+|﹣2|﹣（）﹣1＝3+2﹣2＝3，
∴原式＝＝．
跟踪训练2.解：原式=﹣2y﹣3x＝2x+3y﹣2y﹣3x＝﹣x+y，
∵（x，y）是函数y＝2x与y＝的图象的交点坐标，
∴联立，
解得，，
当x＝1，y＝2时，原式＝﹣x+y＝1，
当x＝﹣1，y＝﹣2时，原式＝﹣x+y＝﹣1．
解：
原式＝
＝
＝
＝，
∵a＝tan45°+（）﹣1﹣π0
＝1+2﹣1
＝2，
∴当a＝2时，原式＝＝0．
例3.解：去分母得：3x+3﹣6＜6x﹣4x﹣6，
移项合并得：x＜﹣3，
则不等式的最大整数解为﹣4．
例4.解：，
解不等式①，得：x＞-6，
解不等式②，得：x≤13，
故原不等式组的解集是-6＜x≤13
跟踪训练
4.解：去分母，得：3（4+x）+6≥8（x+1），
去括号，得：12+3x+6≥8x+8，
移项，合并同类项，得：﹣5x≥﹣10，
系数化成1得：x≤2．
则不等式的自然数解是：0，1，2．
5.解：，
解①得：x≥1，
解②得：x≤5，
所以不等式组的解集是1≤x≤5，
则不等式的整数解是：1，2,3,4,5，
巩固训练
1.解：÷（a﹣）﹣
＝×﹣
＝﹣
＝，
∵a＝2sin45°+（）﹣1
＝2×+2
＝，
代入得：原式＝＝．
2.解：÷（+）
＝÷
＝
＝ab，
当a＝+1，b＝﹣1时，原式＝（+1）（﹣1）
＝5﹣1
＝4．
3. 解：，
解不等式①得：x≤5，
解不等式②得：x＞2，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示，
∴原不等式组的解集为2＜x≤5．
4.解：，
＝[﹣]
＝
＝
＝，
∵|x|＝2且x﹣2≠0，
∴x＝±2且x≠2，
∴x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝＝
5.解：原式=
解方程组得，，原式=
6.解：原式＝（） ，
＝×，
＝，
∵x是方程x2﹣2x﹣3＝0，
分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，
所以x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∵x≠3，
∴当x＝﹣1时，原式＝．
7.解：，
解不等式①，得：x≥﹣2，
解不等式②，得：x＜4，
∴原不等式组的解集是﹣2≤x＜4，
∴该不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，
∵﹣2+（﹣1）+0+1+2+3＝3，
∴该不等式组所有整数解的和是3．
8.解：（1）
由①得解集为x≥3，
由②得解集为x＜3，所以不等式组无解．
（2）原式整理为，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为1＜x＜2，
9.解：（1）解不等式，得
解不等式，得
故不等式组的解集为．
（2）原不等式可变为：
解①得：
解②得：
故原不等式组的解集为
10.解：原式＝[]÷[]
＝（）÷（）
，
由，
解得：﹣1＜x≤2，
∵x是整数，
∴x＝0，1，2，
由分式有意义的条件可知：x不能取0，1，
故x＝2，
∴原式2．
11.解：原式=
＝÷
＝
＝
＝
＝，
∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴x2﹣3x＝1，
∴原式＝＝3．
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