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专题八 二次函数综合
【新课标要求】
通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；
能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二 次函数系数与图象形状和对称轴的关系；
会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值, 能解决相应的问题；
知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的 图象求一元二次方程的近似解.
【考点梳理】
知识点1.二次函数的线段周长问题
例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2
的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.
（1）求这个二次函数的解析式.
（2）点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N， 当点M的坐标为多少时，线段MN有最大值，并求出其最大值.
（3）如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N， 作ME⊥AC于点E，当点M的坐标为多少时，△MEN的周长有最大值，并求出其最大值.
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ的周长最小；若存在，求出点Q的坐标与周长最小值；若不存在，请说明理由.
跟踪训练.
1.（2022 广西柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求b，c，m的值；
（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
知识点2.二次函数的面积问题
例题2.在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0
（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由
（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
跟踪训练
2.（2022 青海西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
知识点3.二次函数角度问题
例3.如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
跟踪训练
3.（2022 内蒙古通辽）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线BC方程为y＝x﹣3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）点Q是抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
知识点4.二次函数特殊三角形问题
例4.（2022 滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
跟踪训练
4.如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线经过A，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．
知识点5.二次函数和特殊四边形
例5.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
跟踪训练.
5.（2022 烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
知识点6.二次函数与相似三角形
例6.如图，直线分别交轴、轴于点A，B，过点A的抛物线与轴的另一交点为C，与轴交于点，抛物线的对称轴交于E，连接交于点F．（1）求抛物线解析式；（2）求证：；
（3）P为抛物线上的一动点，直线交于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
跟踪训练.
6.（2022 湖北荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c向上平移，使顶点E落在x轴上的P点，此时的抛物线记为C，过P作两条互相垂直的直线与抛物线C交于不同于P的M，N两点（M位于N的右侧），过M，N分别作x轴的垂线交x轴于点M1，N1．
①求证：△PMM1∽△NPN1；
②设直线MN的方程为y＝kx+m，求证：k+m为常数．
知识点7：二次函数与其它问题
例7.（2022 辽宁大连）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S＝S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
跟踪训练.
8.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；
（2）如图，直线与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，于点G，若E为GA的中点，求m的值．
（3）直线与抛物线交于，两点，其中．若且，结合函数图象，探究n的取值范围．
【巩固提升】
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标；
3.（2022 日照）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S＝S△PAM﹣S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
4.（2022 聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
5.如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．
专题八 二次函数综合
参考答案
例1：
解：（1）把A（-3,0）B（1,0）代入中，
得，解得,
二次函数的解析式为
设点M的坐标为，
设AC解析式为，
则有，解得，
则AC解析式为，
则当线段MN的长度有最大值，且最大值为，
此时M点的坐标为
如图，延长MN交x轴于点P，则
则当MN最大时，周长有最大值为
存在，理由如下：
如图，作点C关于对称轴的对称点M，连接BM，
则BM与对称轴交点即是点Q的位置，由题知M（-2,2），
设直线BM解析式为，将B、M代入得，
解得，则直线BC解析式为，
将x=-1代入直线得Q点的坐标为，则最小周长为.
跟踪练习1：
解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得．
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0），
∴m＝5；
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，
设D（x，﹣x2+4x+5），
∵DE∥x轴，
∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，
∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；
例2：
解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）两点带入y＝ax2＋bx＋2可得：
解得：
∴二次函数解析式为.
由图像可知，当或时y﹤0；
综上：二次函数解析式为，当或时y﹤0；
（2）设点P坐标为，如图连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N.
PM=，PN=，AO=3.
当时，，所以OC=2
，
∵
∴函数有最大值，
当时，有最大值，
此时；
所以存在点，使△ACP 面积最大.
（3）存在，
假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形
①若CM平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点此时=
∵CM∥x轴，
∴点M、点C（0,2）关于对称轴对称，
∴M（﹣2,2），
∴CM=2.
由=；
②若CM不平行于x轴，如下图，过点M作MG⊥x轴于点G，
易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即.
设M（x，﹣2），则有，解得：.
又QG=3,∴，
∴
综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
Q点坐标为：
.
跟踪训练2：
解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），
∴点E的坐标为（﹣1，0）．
将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当x＝0时，y＝﹣1×（0）2+2×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3）．
设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．
∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0），
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE＝AE OB﹣AE CD＝×4×3﹣×4×2＝2，
∴△BCE的面积为2．
（3）存在，理由如下：
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝OB＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠BAE＝45°.
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．
①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，
在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，
∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2，
∴点P1的坐标为（2，3）；
②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，
在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，
∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4，
∴点P2的坐标为（4，﹣5）．
综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．
例3：
解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；
（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=﹣，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+1，
设点P（x，﹣ x2+x+1），则D（x，﹣ x+1），
∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，
∴S△PBC=OB DP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x，
又∵S△PBC=1，
∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，
∴点P的坐标为（1，）或（2，1）；
（3）存在．
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴OC=OA=1，
∴∠BAC=45°，
∵∠BQC=∠BAC=45°，
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点，
设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，
设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，
解得：x=（负值已舍去），
∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，
∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），
∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．
跟踪训练3：
解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），
将B、C两点代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）令y＝0，则﹣x2+4x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），
∴AB＝2，
∴S△ABC＝×2×3＝3，
∵S△PBC＝S△ABC，
∴S△PBC＝，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
设P（t，﹣t2+4t﹣3），则Q（t，t﹣3），
∴PQ＝|﹣t2+3t|，
∴＝×3×|﹣t2+3t|，
解得t＝或t＝，
∴P点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）；
（3）过点B作BE⊥BC交CQ于点E，过E点作EF⊥x轴交于F，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，
∵∠ACQ＝45°，
∴∠BCQ＝∠OCA，
∵OA＝1，
∴tan∠OCA＝，
∴tan∠BCE＝＝，
∵BC＝3，
∴BE＝，
∵∠OBC＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF＝1，
∴E（4，﹣1），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
联立方程组，
解得（舍）或，
∴Q（，﹣）．
例4：解：（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AC＝＝；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵点P为该抛物线对称轴上，
∴设P（1，p），
∴PA＝＝，PC＝＝，
∵PA＝PC，
∴＝，
∴p＝﹣1，
∴P（1，﹣1）；
（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
设M（m，m2﹣2m﹣3），
∵△BCM为直角三角形，
∴①当∠BCM＝90°时，
如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，
∴∠HMC＝45°＝∠HCM，
∴CH＝MH，
∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，
∴﹣m2+2m＝m，
∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，
∴M（1，﹣4）；
②当∠CBM＝90°时，
过点M作M'H'⊥x轴，
同①的方法得，M'（﹣2，5）；
③当∠BMC＝90°时，如图2，
Ⅰ、当点M在第四象限时，
过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，
∴∠CDM＝∠E＝90°，
∴∠DCM+∠DMC＝90°，
∵∠DMC+∠EMB＝90°，
∴∠DCM＝∠EMB，
∴△CDM∽△MEB，
∴，
∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），
∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，
∴，
∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝，
∴M（，﹣），
Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），
即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．
例5：（1）令，则，
∴点B的坐标为(0，3)，
抛物线经过点B (0，3)，C (1，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，则，
解得：，
∴点A的坐标为(，0)，
∴OA=3，OB=3，OC=1，
，
∵，且，
∴△PAO△CAB，
∴，即，
∴；
（3）存在，
过点P作PD⊥x轴于点D，
∵OA=3，OB=3，∠AOB=，
∴∠BAO=∠ABO=，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∵，
∴PD=AD=2，
∴点P的坐标为(，2)，
当N在AB的上方时，过点N作NE⊥y轴于点E，如图，
∵四边形APMN为平行四边形，
∴NM∥AP，NM=AP=，
∴∠NME=∠ABO=，
∴△NME为等腰直角三角形，
∴Rt△NMERt△APD，
∴NE=AD=2，
当时，，
∴点N的坐标为(，3)，
当N在AB的下方时，过点N作NF⊥y轴于点F，如图，
同理可得：Rt△NMFRt△APD，
∴NF=AD=2，
当时，，
∴点N的坐标为(，)，
当AP为平行四边形的对角线时，点N的横坐标为-4，
∴N（-4，-5），
综上，点N的坐标为(，3)、 (，)或（-4，-5） ．
跟踪训练5：解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1） （x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1） （x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝ （﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
（3）设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
例6：解：（1）∵直线分别交轴、轴于点A，B
∴A（3,0），B（0，），
∵抛物线经过A（3，0），D（0，3），
∴，解得
∴该抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线AD的解析式为y=kx+a，
将A（3，0），D（0，3）代入得： ，解得
∴直线AD的解析式为y=-x+3，
∴E（1，2），G（1，0），
∵∠EGO=90°，
∴
∵OA=3，OB=，∠A0B=90°，
∴
∴
∴∠OAB=∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG=90°，
∴∠OAB+∠EOG=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OE⊥AB；
（3）存在.
∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴C（-1，0），
∴AC=3-（-1）=4，
∵OA=OD=3，∠AOD=90°，
∴，
设直线CD解析式为y=mx+n，则：
，解得
∴直线CD解析式为y=3x+3，
①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，如图2所示，
∴OM//CD，
∴直线OM的解析式为y=3x，
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
∴3x=-x2+2x+3，解得：；
②当△AMO∽△ACD时，如图3所示，
∴
∴，
过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM=90°，
∵∠OAD=45°，
∴
∴OG=OA-AG=3-2=1，
∴M（1，2），
设直线OM解析式为y=m1x，将M（1，2）代入，得：m1=2，
∴直线OM解析式为y=2x，
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
∴2x=-x2+2x+3，解得：x=±．
综上，点P的横坐标为或±．
跟踪训练6：解：（1）解：将A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴E（1，﹣9）；
（2）①证明：∵PN⊥PM，
∴∠MPN＝90°，
∴∠NPN1+∠MPM1＝90°，
∵NN1⊥x轴，MM1⊥x轴，
∴∠NN1P＝∠MM1P＝90°，
∴∠N1PN+∠PNN1＝90°，
∴∠MPM1＝∠PNN1，
∴△PMM1∽△NPN1；
②证明：由题意可知平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2，
设N（x1，kx1+m），M（x2，kx2+m），
联立方程组y＝，
整理得x2﹣（2+k）x+1﹣m＝0，
∴x1+x2＝2+k，x1 x2＝1﹣m，
∵△PMM1∽△NPN1，
∴＝，即＝，
∴k+m＝（k+m）2，
∴k+m＝1或k+m＝0，
∵M、N与P不重合，
∴k+m＝1，
∴k+m为常数．
例7：解（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）；
当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
（2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴OA＝1，OB＝OC＝3．
∵点E的坐标为（m，0），OE＝OF，
∴OE＝OF＝m，BE＝CF＝3﹣m，
∴S＝S1+S2
＝ CF OA+ BE OF
＝×（3﹣m）×1+×（3﹣m）×m
＝﹣m2+m+
＝﹣（m﹣1）2+2．
∵﹣＜0，
∴当m＝1时，S取得最大值，
即当S取最大值时，m的值为1．
（3）存在，设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）．
在图（2）中，连接BD，过点Q作QM⊥x轴于点M，过点D作DN∥x轴，过点P作PN∥y轴交DN于点N．
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，BC＝3．
∵抛物线的顶点为D，
∴点D的坐标为（1，﹣4），
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴BD＝＝2，CD＝＝，
∵BC2+CD2＝（3）2+（）2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝45°+90°＝135°．
∵QM∥OC，
∴∠CQM＝180°﹣∠OCB＝180°﹣45°＝135°．
∵∠PQC＝∠ACD，∠PQC＝∠PQM+∠CQM，∠ACD＝∠ACO+∠OCD，
∴∠PQM＝∠ACO．
又∵QM∥PN，
∴∠DPN＝∠PQM＝∠ACO．
又∵∠AOC＝∠DNP＝90°，
∴△AOC∽△DNP，
∴＝，即＝，
解得：n1＝1（不合题意，舍去），n2＝4，
∴点P的坐标为（4，5）．
跟踪训练7：解：（1）在中，
令得，
令得或，
∴，，，
设直线CA的解析式为，则，
解得，
∴直线CA的解析式为；
（2）∵直线x=m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，
∴，且，，，
∴，，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵E为GA的中点，
∴，
∴，
解得或，
∵时，D与A重合，舍去，
∴；
（3）由得：或，
①若，即，
∵且，
∴，且，
解得；
②若，即，
可得：且，
解得．
综上所述，n的取值范围是或．
【巩固提升】
1.解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入
得，解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，
∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）.
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）.
2.解：（1）对直线，当x=0时，y=2，当y=0时，x=4，
∴点A的坐标是（0，2），点C的坐标是（4，0），
把点A、C两点的坐标代入抛物线的解析式，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴是直线，C（4，0），
∴点B的坐标为（﹣2，0）；
∴A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），抛物线的解析式是；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，交直线AC于点F，如图1所示．
设M（m，），则F（m，），
∴，
∴S四边形ABCM=S△ABC+S△AMC
=
，
∵0＜m＜4，
∴当m=2时，四边形面积最大，最大值为8，此时点M的坐标为（2，2）；
3.解：（1）解：把x＝3，y＝0代入y＝﹣x2+2mx+3得，
﹣9+6m+3m＝0，
∴m＝1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：∵y＝﹣x2+m（2x+3），
∴当2x+3＝0时，即x＝﹣时，
y＝﹣，
∴D（﹣，﹣）；
（3）如图，
连接OP，
设P（m，﹣m2+2m+3），
设PD的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴ON＝﹣+3，
∵S＝S△PAM﹣S△BMN，
∴S＝（S△PAM﹣+S四边形AONM）﹣（S四边形AONM+S△BMN）＝S四边形AONP﹣S△AOB，
∵S四边形AONP＝S△AOP+S△PON＝+＝+（﹣＝﹣+m+，S△AOB＝＝，
∴S＝﹣+m＝﹣（m﹣1）2+，
∴当m＝1时，S最大＝，
当m＝1时，y＝﹣12+2×1+3＝4，
∴P（1，4）．
4.解：（1）由题意得，
，
∴，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，
∴D（﹣1，4），
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AD2＝20，
∵C（0，3），
∴CD2＝2，AC2＝18，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
∵∠BOC＝90°，
∴tan∠BCO＝＝，
∴∠DAC＝∠BCO；
（3）解：如图，
作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，
∴DE∥FD1，
∴△DEC∽△D1EF，
∴＝，
∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，
∴D1（2，1），
∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴N（0，﹣3），
同理可得：，
∴，
∴OM＝3，
∴M（3，0），
设P（2，m），
当 MNQP时，
∴MN∥PQ，PQ＝MN，
∴Q点的横坐标为﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q（﹣1，8），
当 MNPQ时，
同理可得：点Q横坐标为：5，
当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q′（5，﹣8），
综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．
5.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴
解得
∴此抛物线的解析式为：
（2）当时，，所以，OB=OC=3，
∴是等腰直角三角形，
以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，
∴是等腰直角三角形，
设点P的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
设BC的解析式为，将B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
，
解得，，故BC的解析式为，
把代入得，，则E点坐标为，
如图，当E为直角顶点时，，解得，，（舍去），把代入得，，则P点坐标为，
当Q为直角顶点时，PQ=QE，即，解得，（舍去），把代入得，，则P点坐标为；
当P为直角顶点时，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即，解得，（舍去），则P点坐标为；
综上，P点坐标为或．
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