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人教版2023年七年级下册第8章《二元一次方程组》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列等式中，是二元一次方程的是（　　）
A．xy＝1 B．y＝3x﹣1 C． D．x2+x﹣3＝0
2．关于x、y的二元一次方程2x+y＝7的自然数解有（　　）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
3．方程组的解是，则a，b的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
5．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去x，可以将①×5+②×2
B．要消去y，可以将①×5﹣②×3
C．要消去x，可以将①×5﹣②×2
D．要消去y，可以将①×2﹣②×3
6．已知关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝10的解，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
7．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
8．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
9．一张竞赛试卷有25道题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小明做了全部试题得到70分，则他做对的题有（　　）
A．16道 B．17道 C．18道 D．19道
10．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知二元一次方程x﹣2y＝10，用含x的代数式表示y，则y＝　 　．
12．已知方程（m﹣3）x|m﹣2|+2y3﹣2n＝10是关于x、y的二元一次方程，则m　 　，n＝　 　．
13．若是二元一次方程3x+ay＝5的一组解，则a＝　 　．
14．解二元一次方程组的基本思路是“消元”，则解方程组最适合用 　 　消元法．
15．关于x，y的方程组有无数组解，则a+b的值为 　 　．
16．定义新运算：对于任意实数a，b都有a※b＝am﹣bn，等式右边是通常的减法和乘法运算．规定，若3※2＝5，1※（﹣2）＝﹣1，则（﹣3）※1的值为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（8分）解下列方程组：
（1）； （2）．
18．（6分）已知是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
19．（6分）若方程组和方程组有相同的解，求代数式（a﹣b）2023的值．
20．（6分）为丰富学生的课余生活，某中学计划购买若干篮球和足球．据了解，买6个篮球和10个足球需要1700元；买10个篮球和20个足球需要3100元．求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？
21．（8分）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成3，请你解二元一次方程组；
（2）妈妈说：“你猜错了”，我看到该题标准答案x与y是一对相反数，通过计算说明原题中“□”是几？
22．（8分）阅读探索
解方程组
解：设a﹣1+x，b+2＝y，原方程组可变为
解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
（2）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 　 　．
23．（10分）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案．
第8章《二元一次方程组》单元测试卷
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列等式中，是二元一次方程的是（　　）
A．xy＝1 B．y＝3x﹣1 C． D．x2+x﹣3＝0
【分析】二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据定义来判断方程是否符合条件即可．
【解答】解：A、xy＝1不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2，故不符合题意；
B、y＝3x﹣1是二元一次方程，故符合题意；
C、x+＝2不是二元一次方程，因为不是整式方程，故不符合题意；
D、x2+x﹣3＝0不是二元一次方程，因为其最高次数为2且只含一个未知数，故不符合题意．
故选：B．
2．关于x、y的二元一次方程2x+y＝7的自然数解有（　　）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【分析】将方程整理为y＝7﹣2x，将x的值依次代入，即可进行解答．
【解答】解：当x＝0时，y＝7﹣2×0＝7，符合题意；
当x＝1时，y＝7﹣2×1＝5，符合题意；
当x＝2时，y＝7﹣2×2＝3，符合题意；
当x＝3时，y＝7﹣2×3＝1，符合题意；
当x＝4时，y＝7﹣2×4＝﹣1，不符合题意；
综上：符合条件的自然数解有4组，
故选：B．
3．方程组的解是，则a，b的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】把x与y的值代入方程组求出a与b的值即可．
【解答】解：把代入方程组得，
将①+②，得4a＝8，
∴a＝2，
把a＝2代入①，得4﹣b＝1，
∴b＝3，
∴，
故选：B．
4．已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
【分析】①+②得出3x﹣3y＝6，再方程两边都除以3即可．
【解答】解：，
①+②，得3x﹣3y＝6，
两边都除以3得：x﹣y＝2，
故选：B．
5．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去x，可以将①×5+②×2
B．要消去y，可以将①×5﹣②×3
C．要消去x，可以将①×5﹣②×2
D．要消去y，可以将①×2﹣②×3
【分析】利用消元法一一判断即可．
【解答】解：要消去x，可以将①×5﹣②×2，
可得15y+4y＝30﹣18，
可得y＝．
故选：C．
6．已知关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝10的解，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【分析】先求出方程组的解，把x、y的值代入方程2x+3y＝10，即可求出m．
【解答】解：解方程组得：，
∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝10的解，
∴代入得：8m﹣3m＝10，
解得：m＝2，
故选：D．
7．方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】②×3+③得出9x+10z＝25④，由①和④组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，再把代入②求出y即可．
【解答】解：，
②×3+③，得9x+10z＝25④，
由①和④组成一个二元一次方程组：，
解得：，
把代入②，得10+y﹣2＝9，
解得：y＝1，
所以方程组的解是，
故选：B．
8．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费＝435元，②篮球的单价﹣足球的单价＝3元，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：
，
故选：D．
9．一张竞赛试卷有25道题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小明做了全部试题得到70分，则他做对的题有（　　）
A．16道 B．17道 C．18道 D．19道
【分析】设小明做对的题为x道，做错的题为y道，由题意：做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小明做了全部试题得到70分，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设小明做对的题为x道，做错的题为y道，
根据题意得：，
解得：，
即他做对的题为19道，
故选：D．
10．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】将方程组的两个方程相加，得出x+y＝2+a，当x，y的值互为相反数时，即可得出a＝﹣2，得出①符合题意；当a＝1时，原方程组的解满足x+y＝2+1＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝4+2＝6，得出②不符合题意；用a表示出x，y解方程组得出，代入x+2y可得x+2y＝3，得出③符合题意；即可得出答案．
【解答】解：，
①+②得：2x+2y＝4+2a，
∴x+y＝2+a，
当x，y的值互为相反数时，2+a＝0，
∴a＝﹣2，
∴①符合题意；
当a＝1时，原方程组的解满足x+y＝2+1＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝4+2＝6，
∴②不符合题意；
由方程组解得：，
∴x+2y＝2a+1+2（1﹣a）＝2a+1+2﹣2a＝3，
∴③符合题意；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知二元一次方程x﹣2y＝10，用含x的代数式表示y，则y＝　　．
【分析】将x看作已知数，解关于y的一元一次方程即可．
【解答】解：x﹣2y＝10，
移项得，2y＝x﹣10，
系数化为1得，y＝．
故答案为：．
12．已知方程（m﹣3）x|m﹣2|+2y3﹣2n＝10是关于x、y的二元一次方程，则m　1　，n＝　1　．
【分析】根据二元一次方程的定义得出m 3≠0且|m 2|＝1，3﹣2n＝1，求出m、n即可．
【解答】解：∵方程（m﹣3）x|m﹣2|+2y3﹣2n＝10是关于x，y的二元一次方程，
∴m 3≠0且|m 2|＝1，3﹣2n＝1，
解得：m＝1，n＝1．
故答案为：1，1．
13．若是二元一次方程3x+ay＝5的一组解，则a＝　2　．
【分析】将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
【解答】解：将代入原方程得：3×（﹣1）+4a＝5，
解得：a＝2．
故答案为：2．
14．解二元一次方程组的基本思路是“消元”，则解方程组最适合用 　加减　消元法．
【分析】根据所给方程组中方程的特点，采用加减消元法合适．
【解答】解：，
①+②得，4x＝16，
∴利用加减消元法合适，
故答案为：加减．
15．关于x，y的方程组有无数组解，则a+b的值为 　3　．
【分析】根据题意可知方程x+ay+1＝0和方程bx+2y+1＝0是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到答案．
【解答】解：∵关于x，y的方程组有无数组解，
∴方程x+ay+1＝0和方程bx+2y+1＝0是同一个方程，
∴，
∴a+b＝1+2＝3．
故答案为：3．
16．定义新运算：对于任意实数a，b都有a※b＝am﹣bn，等式右边是通常的减法和乘法运算．规定，若3※2＝5，1※（﹣2）＝﹣1，则（﹣3）※1的值为 　﹣2　．
【分析】根据新定义运算法则以及二元一次方程组的解法可求出m与n的值，然后再根据新定义运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵3※2＝5，1※（﹣2）＝﹣1，
∴，
解得，
∴（﹣3）※1
＝﹣3×1﹣1×（﹣1）
＝﹣3+1
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（8分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）把①代入②得出4（2y﹣1）+3y＝7，求出有，再把y＝1代入①求出x即可；
（2）②×2﹣①得出5y＝10，求出y，再把y＝2代入①求出x即可．
【解答】解：（1），
把①代入②，得4（2y﹣1）+3y＝7，
解得：y＝1，
把y＝1代入①，得x＝1，
所以方程组的解是；
（2），
②×2﹣①，得5y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入①，得2x+2＝2，
解得：x＝0，
所以方程组的解是．
18．（6分）已知是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【分析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，
∵这个方程组的解是，
∴，
∴c＝﹣2．
∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是，
∴﹣2a+b＝1，
∴，
解得：．
∴原方程组为．
19．（6分）若方程组和方程组有相同的解，求代数式（a﹣b）2023的值．
【分析】结合题意构建方程组，解得，分别代入x+y＝b与x+by＝a即可求解出a、b，代入计算即可．
【解答】解：依题意得：，
解得，
将代入x+y＝b得，b＝2，
将，b＝2代入x+by＝a得，a＝1，
∴（a﹣b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1．
20．（6分）为丰富学生的课余生活，某中学计划购买若干篮球和足球．据了解，买6个篮球和10个足球需要1700元；买10个篮球和20个足球需要3100元．求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？
【分析】设每个篮球的价格是x元，每个足球的价格是y元，由题意：买6个篮球和10个足球需要1700元；买10个篮球和20个足球需要3100元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设每个篮球的价格是x元，每个足球的价格是y元，
由题意得：，
解得：，
答：每个篮球的价格是150元，每个足球的价格是80元．
21．（8分）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成3，请你解二元一次方程组；
（2）妈妈说：“你猜错了”，我看到该题标准答案x与y是一对相反数，通过计算说明原题中“□”是几？
【分析】（1）运用加减消元法解方程组即可；
（2）用代入消元法解方程组，然后代入□x+4y＝﹣6求出缺少系数即可．
【解答】解：（1），
①×3﹣②×2得，﹣17y＝51，解得，y＝﹣3，
把y＝﹣3代入①，解得，x＝2，
所以，
（2）由题意可得，x＝﹣y代入2x﹣3y＝13，得2×（﹣y）﹣3y＝13，解得，，
所以，
设“□”为a，则有，解得，．
22．（8分）阅读探索
解方程组
解：设a﹣1+x，b+2＝y，原方程组可变为
解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
（2）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 　　．
【分析】（1）设＝x，＝y，可得出关于x、y的方程组，即可求出x、y的值，进而可求出a、b的值；
（2）设5（m+3）＝x，3（n﹣2）＝y，根据已知方程组的解确定出m、n的值即可．
【解答】解：（1）设＝x，＝y，
原方程组可变形为，
解得：，即，
解得：；
（2）设5（m+3）＝x，3（n﹣2）＝y，
原方程组可变形为：，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴，
解得：，
故答案为：．
23．（10分）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案．
【分析】（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资，根据“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件”列关于x，y的二元一次方程组求解即可；
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，根据租用的两种货车一次可以满载运输3100件物质，列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案．
【解答】解：（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资
由题意可得：，
解得：，
答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．
（2）解：设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：300a+400b＝3100，
∴．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．

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